Soldati - Una dimostrazione alternativa

“Se ben ricordo, hai parlato di Achille e la Tartaruga perché avevi detto che esiste un'altro modo di dimostrare che, nel gioco dei soldati, non si può arrivare alla quinta casella”.

“Esatto, un modo che richiede la conoscenza delle serie geometriche”.

“E come funziona?”.

“Prima di tutto dobbiamo utilizzare un numero particolare, la sezione aurea”.

“Ne ho già sentito parlare...”.

“Molto bene. Noi utilizzeremo questo valore: (√5 -1)/2, che indichiamo con φ, e con le sue potenze riempiremo la nostra scacchiera, così:”.

“Uhm, e adesso?”.

“Per prima cosa ci ricordiamo della definizione di φ: è una delle soluzioni dell'equazione x² + x - 1 = 0, che potremmo scrivere come x² + x = 1”.

“Va bene”.

“Il fatto che φ sia soluzione significa che possiamo sostituirlo alla x, e otteniamo la formula φ² + φ = 1”.

“Ok”.

“Ora ragioniamo come abbiamo fatto quando abbiamo usato i numeri di Fibonacci. Che succede se sposto un soldato verso l'alto?”.

“Ci provo. Allora, per spostare un soldato verso l'alto devi avere due caselle occupate, per esempio φ⁹ e φ⁸. Queste le cancelli e riempi invece φ⁷. Adesso?”.

“Adesso calcoli la differenza tra prima e dopo”.

“Dovrebbe essere φ⁹ + φ⁸ - φ⁷. E quanto fa?”.

“Prova a scriverla così: φ⁷ (φ² + φ - 1)”.

“Ah! Nella parentesi vedo l'espressione φ² + φ, che è uguale a 1. Quindi dentro alla parentesi c'è uno zero, e allora tutto vale zero!”.

“Bene. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.

“Se ci muoviamo verso il basso devo passare da φ⁷ + φ⁸ a φ⁹, tanto per fare un esempio”.

“E quindi la differenza è?”.

“La differenza tra prima e dopo sarà φ⁷ + φ⁸ - φ⁹”.

“Che puoi scrivere come φ⁷(1 + φ - φ²). Dato che φ è circa uguale a 0.6, la quantità tra parentesi sarà sempre maggiore di zero”.

“Questo significa che se mi muovo verso il basso, la somma dei valori nelle caselle occupate diminuisce”.

“Perfetto. Ora parliamo dei movimenti verso destra e verso sinistra”.

“Bè, possiamo farla un po' più breve: o mi trovo di fronte a una sequenza di potenze decrescenti, come quando mi sposto verso l'alto, e in questo caso il totale dei valori nelle caselle rimane invariato, oppure mi trovo di fronte a una sequenza di potenze crescenti, come quando mi sposto verso il basso, e in questo caso il totale diminuisce”.

“Giusto. Rimarrebbe il caso particolare in cui devi attraversare la colonna centrale: per esempio, quando passi da φ⁷ + φ⁶ a φ⁷”.

“Bè, in quel caso il valore diminuisce”.

“Bene. Ora osserviamo che, dato che la somma totale nei movimenti può rimanere costante oppure diminuire, per poter fare arrivare un soldato nella casella con valore 1, bisogna che la somma totale sia maggiore o uguale a 1”.

“Va bene. Quanto è allora il valore totale delle caselle occupate dai nostri soldati?”.

“Dobbiamo calcolarla. Immagina che la prima riga, quella appena sotto alla linea blu, sia infinitamente estesa, sia a destra che a sinistra”.

“Vedo che abbiamo un φ⁵ centrale, e poi sia a destra che a sinistra si estende una successione di φ⁶, φ⁷, eccetera”.

“Giusto. Prova a calcolare la somma di φ⁶ + φ⁷ + ...”.

“Come faccio?”.

“Scrivila così:”.

φ⁶(1 + φ + φ² + φ³ + ...)

“Ah, ora tra parentesi ho la serie geometrica, la cui somma è 1/(1 - φ). Allora risulta φ⁶/(1 - φ)”.

“Ricordati che φ è soluzione di x² + x - 1 = 0, che potremmo scrivere così, questa volta: x² = 1 - x”.

“E quindi φ² = 1 - φ. Ah, ma allora φ⁶/(1 - φ) = φ⁴”.

“Giusto. Ora ricordati che hai un'altra serie come questa che va verso sinistra, e hai un φ⁵ centrale”.

“Va bene. Allora la prima riga ha come somma φ⁵ + 2φ⁴”.

“Adesso ti faccio fare un po' di passaggi: ricordati sempre che φ² + φ = 1”.

“Ok, sono pronto”.

“Scriviamo l'espressione che hai ottenuto come φ⁵ + φ⁴ + φ⁴, e poi raccogliamo φ³ tra i primi due termini”.

“Va bene, mi viene φ³(φ² + φ) + φ⁴”.

“Dato che φ² + φ = 1, puoi semplificare”.

“Giusto, viene φ³ + φ⁴”.

“Questa volta raccogli φ²”.

“Uhm, risulta φ²(φ + φ²), e dato che la parentesi vale 1, ottengo finalmente φ²”.

“Perfetto. Riassumendo, la somma dei valori della prima riga, che ha come elemento centrale φ⁵, è φ²”.

“Posso generalizzare?”.

“Certo, i calcoli per le altre righe sono identici, hai solo una potenza in più”.

“Allora il totale della seconda riga, quella con elemento centrale φ⁶, sarà φ³”.

“Certo, e poi avrai φ⁴, φ⁵, e così via. Ora immagina di sommare tutte le righe, andando via via verso il basso”.

“Uh, bello, una doppia serie geometrica... Allora, devo calcolare questa somma:”.

φ² + φ³ + φ⁴ + ...

“E quanto fa?”.

“Se raccolgo φ², ottengo φ²(1 + φ + φ² + φ³ + ...)”.

“Hai un'altra serie geometrica tra parentesi”.

“Vedo, quindi il risultato è φ²/(1 - φ). Un momento, dato che φ² è uguale a 1 - φ, ottengo 1”.

“Giusto. Quindi?”.

“Quindi se avessi infiniti soldati, il valore sarebbe quello giusto per poter arrivare fino alla quinta riga. Se ne ho a disposizione un numero finito, invece, la somma totale non raggiungerà mai 1, e quindi i soldati non arriveranno mai alla quinta riga. Wow”.

“E tutto questo grazie alle proprietà della sezione aurea, o dei numeri di Fibonacci”.