Soldati - La più bella dimostrazione della matematica

“Oh, ci ho provato e riprovato, ma non ce l'ho fatta a spingere un soldato fino alla quinta riga”.

“Eh, lo so”.

“Come, lo sai?”.

“Lo so perché è impossibile”.

“Ma come? Potevi anche dirmelo prima!”.

“E privarti del piacere di provare il gioco?”.

“Grrr. E come mai è impossibile? Si dimostra?”.

“Certo. La dimostrazione a me piace moltissimo, vuoi vederla?”.

“Ah, sì, dopo aver provato tante volte, ora voglio sapere perché non ci si riesce”.

“Bene. Dobbiamo mettere un po' di numeri sulla nostra scacchiera: cominciamo dal basso, e scegliamo arbitrariamente la settima riga sotto il confine con il deserto”.

“Perché proprio quella?”.

“Non è importante, da qualche parte dobbiamo partire. Poi ti dico cosa succede se decidiamo di partire da un'altra riga”.

“Ok”.

“Ora ci espandiamo, verso l'alto, destra e sinistra, mediante i numeri di Fibonacci”.

“Fibonacci? La successione 1, 1, 2, 3, 5, eccetera? Quella in cui ogni numero è la somma dei due precedenti?”.

“Giusto, quella”.

“E cosa c'entra adesso Fibonacci?”.

“Eh, è questo il genio della dimostrazione, stai a vedere. Riempiamo la scacchiera fino ad arrivare alla famosa quinta riga, guarda:”.

“Uhm, vedo. Quella casella con il 144 sarebbe quella da raggiungere, giusto?”.

“Certo. Ora ragioniamo sulle mosse che si possono fare per fare muovere un soldato”.

“Bè, un soldato potrebbe muoversi verso l'alto, scavalcando un suo compagno ed eliminandolo”.

“Ok, facciamo un esempio. All'inizio la situazione potrebbe essere questa:”.

“Allora, il soldato sulla casella col 5 salta quello sulla casella con 8 e arriva sulla 13”.

“Perfetto. Ora calcola la somma delle caselle con i soldati prima e dopo il movimento”.

“Allora, prima del movimento abbiamo un soldato sul cinque e uno sull'otto, totale tredici”.

“E dopo il movimento?”.

“Dopo, bè, c'è solo la casella col tredici. Quindi è ancora tredici. Ah, ho capito! La somma non cambia, è la definizione dei numeri di Fibonacci. Ogni numero è la somma dei due precedenti, allora ogni volta che un soldato salta e ne mangia un altro la somma dei numeri sulle caselle non cambia”.

“Benissimo. Questo per quanto riguarda i movimenti verso l'alto. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.

“Perché mai dovremmo muoverci verso il basso?”.

“In effetti, sembra che non abbia molto senso, ma non si sa mai: non escludiamo nessuna possibilità”.

“Va bene. In questo caso passeremmo da un 13+8 a un 5: il valore diminuisce”.

“Perfetto. Vediamo ora un movimento verso destra oppure verso sinistra”.

“Qua dipende se mi trovo a sinistra o a destra della colonna che passa per il 144”.

“Sì, e dipende anche dalla direzione in cui vai. Se ci pensi, ci sono due possibilità: o vai verso numeri crescenti, oppure verso numeri decrescenti. C'è anche un caso particolare in cui attraversi la colonna centrale, per esempio nella sequenza 13, 21, 13, ma possiamo metterlo nel caso dei numeri decrescenti”.


“Fammi capire. Potrei avere una sequenza di questo tipo:”.

 
“Giusto. E che succede?”.

“Ah, è come prima, sostituisco 13+21 con 34, la somma non cambia”.

“E se vai verso sinistra?”.

“Se vado nell'altro senso, sostituisco 34+21 con 13, la somma diminuisce”.

“Bene, vedi allora che anche nel caso in cui attraversi la colonna centrale il risultato diminuisce”.

“Ah, ok. Se considero le caselle 13, 21, 13, devo sostituire 13+21 con 13, il risultato diminuisce certamente”.

“Perfetto. Quindi, riassumendo, un qualsiasi movimento dei soldati potrebbe o lasciare invariata la somma totale contenuta nelle caselle occupate, oppure potrebbe farla diminuire. Non è possibile che aumenti”.

“Giusto, abbiamo analizzato tutti i possibili movimenti”.

“Ora immagina di avere un soldato per ogni casella numerata sotto alla linea blu. Quanto è la somma totale?”.

“Uhm, devo fare i calcoli. La prima riga vale 1, la seconda 3, la terza 6, poi 11, 19, 32 e 53. Il totale è 125”.

“E alla fine di tutte le mosse dove vuoi arrivare?”.

“Alla casella 144”.

“E sapendo che le tue mosse lasceranno invariato oppure faranno diminuire la somma totale, cosa concludi?”.

“Che la somma totale non è sufficiente per arrivare a 144, e quindi non riesco ad arrivarci. Bello! Ma potrei aggiungere qualche pedina in più?”.

“Se lo fai, anche il tuo 144 aumenterà. Si può dimostrare che il triangolo di numeri di Fibonacci presente sotto alla linea blu, centrato su un generico numero di Fibonacci, che indichiamo con F_n (nel nostro esempio è 13), ha sempre somma totale minore di F_n+5. E quindi non raggiungerai mai la quinta riga”.

“Molto bello”.

“A me piace molto perché è una dimostrazione che usa un concetto che apparentemente non ha alcun legame col problema, e poi invece scopri che è un'idea geniale per risolverlo. Esiste anche un'altra dimostrazione, molto simile a questa, che non usa direttamente i numeri di Fibonacci, ma usa la sezione aurea, che è comunque legata alla successione di Fibonacci. Però bisogna conoscere le serie geometriche, altrimenti si fa come Achille con la Tartaruga”.

“Eh?”.