“Guarda che tu mi devi ubbidire!”.
“Ma mamma, io posso decidere se ubbidirti o no”.
“No! Puoi disubbidirmi solo se poi vai a predicare al tempio!”.
mercoledì 28 gennaio 2009
martedì 27 gennaio 2009
Call for paper
Il 14 febbraio si festeggia il Carnevale della Matematica, ospitato qui. Se avete scritto qualcosa di matematico e volete che sia pubblicato, fatemi sapere.
lunedì 26 gennaio 2009
Tanto per mettere le cose in chiaro
“Prof, posso andare ad aprire la finestra?”.
“Va bene... però tirati su le braghe che non mi piace la visione delle tue mutande”.
“Ma uffa, prof... Va bene?”.
“Sì, ma non camminare così che mi sembri Jar Jar”.
“Ma prof, lei non sa nemmeno chi sia Jar Jar”.
“See”.
“Allora mi dica: che razza è? Su che pianeta è nato?”.
“Ehm. È un Gungan”.
“Giusto. E il pianeta?”.
“Eehhmmm”.
“Psst, prof! Naboo”.
“Naboo!”.
“Eh, vabbè, così son buoni tutti”.
“Comunque deve morire tra atroci sofferenze. Siediti che interrogo”.
“Va bene... però tirati su le braghe che non mi piace la visione delle tue mutande”.
“Ma uffa, prof... Va bene?”.
“Sì, ma non camminare così che mi sembri Jar Jar”.
“Ma prof, lei non sa nemmeno chi sia Jar Jar”.
“See”.
“Allora mi dica: che razza è? Su che pianeta è nato?”.
“Ehm. È un Gungan”.
“Giusto. E il pianeta?”.
“Eehhmmm”.
“Psst, prof! Naboo”.
“Naboo!”.
“Eh, vabbè, così son buoni tutti”.
“Comunque deve morire tra atroci sofferenze. Siediti che interrogo”.
martedì 20 gennaio 2009
domenica 18 gennaio 2009
Il canone cancrizzante
Attraverso gli elementi condivisi di Keplero sono arrivato a questo post di Strange Paths: il canone cancrizzante di Bach scritto su un nastro di Möbius. Da vedere, ascoltare, riascoltare, rivedere...
Per chi ha letto GEB, e per chi ancora non sa cosa sia GEB.
Per chi ha letto GEB, e per chi ancora non sa cosa sia GEB.
sabato 17 gennaio 2009
(Gli snob scrivono Gauß)
Dopo i Chuck Norris facts, ecco i Carl Friedrich Gauß facts.
When Gauss tells you that he’s lying, he’s telling the truth.
When Gauss tells you that he’s lying, he’s telling the truth.
giovedì 15 gennaio 2009
Soldati - Una dimostrazione alternativa
“Se ben ricordo, hai parlato di Achille e la Tartaruga perché avevi detto che esiste un'altro modo di dimostrare che, nel gioco dei soldati, non si può arrivare alla quinta casella”.
“Esatto, un modo che richiede la conoscenza delle serie geometriche”.
“E come funziona?”.
“Prima di tutto dobbiamo utilizzare un numero particolare, la sezione aurea”.
“Ne ho già sentito parlare...”.
“Molto bene. Noi utilizzeremo questo valore: (√5 -1)/2, che indichiamo con φ, e con le sue potenze riempiremo la nostra scacchiera, così:”.
“Uhm, e adesso?”.
“Per prima cosa ci ricordiamo della definizione di φ: è una delle soluzioni dell'equazione x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere come x2 + x = 1”.
“Va bene”.
“Il fatto che φ sia soluzione significa che possiamo sostituirlo alla x, e otteniamo la formula φ2 + φ = 1”.
“Ok”.
“Ora ragioniamo come abbiamo fatto quando abbiamo usato i numeri di Fibonacci. Che succede se sposto un soldato verso l'alto?”.
“Ci provo. Allora, per spostare un soldato verso l'alto devi avere due caselle occupate, per esempio φ9 e φ8. Queste le cancelli e riempi invece φ7. Adesso?”.
“Adesso calcoli la differenza tra prima e dopo”.
“Dovrebbe essere φ9 + φ8 - φ7. E quanto fa?”.
“Prova a scriverla così: φ7 (φ2 + φ - 1)”.
“Ah! Nella parentesi vedo l'espressione φ2 + φ, che è uguale a 1. Quindi dentro alla parentesi c'è uno zero, e allora tutto vale zero!”.
“Bene. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.
“Se ci muoviamo verso il basso devo passare da φ7 + φ8 a φ9, tanto per fare un esempio”.
“E quindi la differenza è?”.
“La differenza tra prima e dopo sarà φ7 + φ8 - φ9”.
“Che puoi scrivere come φ7(1 + φ - φ2). Dato che φ è circa uguale a 0.6, la quantità tra parentesi sarà sempre maggiore di zero”.
“Questo significa che se mi muovo verso il basso, la somma dei valori nelle caselle occupate diminuisce”.
“Perfetto. Ora parliamo dei movimenti verso destra e verso sinistra”.
“Bè, possiamo farla un po' più breve: o mi trovo di fronte a una sequenza di potenze decrescenti, come quando mi sposto verso l'alto, e in questo caso il totale dei valori nelle caselle rimane invariato, oppure mi trovo di fronte a una sequenza di potenze crescenti, come quando mi sposto verso il basso, e in questo caso il totale diminuisce”.
“Giusto. Rimarrebbe il caso particolare in cui devi attraversare la colonna centrale: per esempio, quando passi da φ7 + φ6 a φ7”.
“Bè, in quel caso il valore diminuisce”.
“Bene. Ora osserviamo che, dato che la somma totale nei movimenti può rimanere costante oppure diminuire, per poter fare arrivare un soldato nella casella con valore 1, bisogna che la somma totale sia maggiore o uguale a 1”.
“Va bene. Quanto è allora il valore totale delle caselle occupate dai nostri soldati?”.
“Dobbiamo calcolarla. Immagina che la prima riga, quella appena sotto alla linea blu, sia infinitamente estesa, sia a destra che a sinistra”.
“Vedo che abbiamo un φ5 centrale, e poi sia a destra che a sinistra si estende una successione di φ6, φ7, eccetera”.
“Giusto. Prova a calcolare la somma di φ6 + φ7 + ...”.
“Come faccio?”.
“Scrivila così:”.
φ6(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)
“Ah, ora tra parentesi ho la serie geometrica, la cui somma è 1/(1 - φ). Allora risulta φ6/(1 - φ)”.
“Ricordati che φ è soluzione di x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere così, questa volta: x2 = 1 - x”.
“E quindi φ2 = 1 - φ. Ah, ma allora φ6/(1 - φ) = φ4”.
“Giusto. Ora ricordati che hai un'altra serie come questa che va verso sinistra, e hai un φ5 centrale”.
“Va bene. Allora la prima riga ha come somma φ5 + 2φ4”.
“Adesso ti faccio fare un po' di passaggi: ricordati sempre che φ2 + φ = 1”.
“Ok, sono pronto”.
“Scriviamo l'espressione che hai ottenuto come φ5 + φ4 + φ4, e poi raccogliamo φ3 tra i primi due termini”.
“Va bene, mi viene φ3(φ2 + φ) + φ4”.
“Dato che φ2 + φ = 1, puoi semplificare”.
“Giusto, viene φ3 + φ4”.
“Questa volta raccogli φ2”.
“Uhm, risulta φ2(φ + φ2), e dato che la parentesi vale 1, ottengo finalmente φ2”.
“Perfetto. Riassumendo, la somma dei valori della prima riga, che ha come elemento centrale φ5, è φ2”.
“Posso generalizzare?”.
“Certo, i calcoli per le altre righe sono identici, hai solo una potenza in più”.
“Allora il totale della seconda riga, quella con elemento centrale φ6, sarà φ3”.
“Certo, e poi avrai φ4, φ5, e così via. Ora immagina di sommare tutte le righe, andando via via verso il basso”.
“Uh, bello, una doppia serie geometrica... Allora, devo calcolare questa somma:”.
φ2 + φ3 + φ4 + ...
“E quanto fa?”.
“Se raccolgo φ2, ottengo φ2(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)”.
“Hai un'altra serie geometrica tra parentesi”.
“Vedo, quindi il risultato è φ2/(1 - φ). Un momento, dato che φ2 è uguale a 1 - φ, ottengo 1”.
“Giusto. Quindi?”.
“Quindi se avessi infiniti soldati, il valore sarebbe quello giusto per poter arrivare fino alla quinta riga. Se ne ho a disposizione un numero finito, invece, la somma totale non raggiungerà mai 1, e quindi i soldati non arriveranno mai alla quinta riga. Wow”.
“E tutto questo grazie alle proprietà della sezione aurea, o dei numeri di Fibonacci”.
“Esatto, un modo che richiede la conoscenza delle serie geometriche”.
“E come funziona?”.
“Prima di tutto dobbiamo utilizzare un numero particolare, la sezione aurea”.
“Ne ho già sentito parlare...”.
“Molto bene. Noi utilizzeremo questo valore: (√5 -1)/2, che indichiamo con φ, e con le sue potenze riempiremo la nostra scacchiera, così:”.
“Uhm, e adesso?”.
“Per prima cosa ci ricordiamo della definizione di φ: è una delle soluzioni dell'equazione x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere come x2 + x = 1”.
“Va bene”.
“Il fatto che φ sia soluzione significa che possiamo sostituirlo alla x, e otteniamo la formula φ2 + φ = 1”.
“Ok”.
“Ora ragioniamo come abbiamo fatto quando abbiamo usato i numeri di Fibonacci. Che succede se sposto un soldato verso l'alto?”.
“Ci provo. Allora, per spostare un soldato verso l'alto devi avere due caselle occupate, per esempio φ9 e φ8. Queste le cancelli e riempi invece φ7. Adesso?”.
“Adesso calcoli la differenza tra prima e dopo”.
“Dovrebbe essere φ9 + φ8 - φ7. E quanto fa?”.
“Prova a scriverla così: φ7 (φ2 + φ - 1)”.
“Ah! Nella parentesi vedo l'espressione φ2 + φ, che è uguale a 1. Quindi dentro alla parentesi c'è uno zero, e allora tutto vale zero!”.
“Bene. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.
“Se ci muoviamo verso il basso devo passare da φ7 + φ8 a φ9, tanto per fare un esempio”.
“E quindi la differenza è?”.
“La differenza tra prima e dopo sarà φ7 + φ8 - φ9”.
“Che puoi scrivere come φ7(1 + φ - φ2). Dato che φ è circa uguale a 0.6, la quantità tra parentesi sarà sempre maggiore di zero”.
“Questo significa che se mi muovo verso il basso, la somma dei valori nelle caselle occupate diminuisce”.
“Perfetto. Ora parliamo dei movimenti verso destra e verso sinistra”.
“Bè, possiamo farla un po' più breve: o mi trovo di fronte a una sequenza di potenze decrescenti, come quando mi sposto verso l'alto, e in questo caso il totale dei valori nelle caselle rimane invariato, oppure mi trovo di fronte a una sequenza di potenze crescenti, come quando mi sposto verso il basso, e in questo caso il totale diminuisce”.
“Giusto. Rimarrebbe il caso particolare in cui devi attraversare la colonna centrale: per esempio, quando passi da φ7 + φ6 a φ7”.
“Bè, in quel caso il valore diminuisce”.
“Bene. Ora osserviamo che, dato che la somma totale nei movimenti può rimanere costante oppure diminuire, per poter fare arrivare un soldato nella casella con valore 1, bisogna che la somma totale sia maggiore o uguale a 1”.
“Va bene. Quanto è allora il valore totale delle caselle occupate dai nostri soldati?”.
“Dobbiamo calcolarla. Immagina che la prima riga, quella appena sotto alla linea blu, sia infinitamente estesa, sia a destra che a sinistra”.
“Vedo che abbiamo un φ5 centrale, e poi sia a destra che a sinistra si estende una successione di φ6, φ7, eccetera”.
“Giusto. Prova a calcolare la somma di φ6 + φ7 + ...”.
“Come faccio?”.
“Scrivila così:”.
φ6(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)
“Ah, ora tra parentesi ho la serie geometrica, la cui somma è 1/(1 - φ). Allora risulta φ6/(1 - φ)”.
“Ricordati che φ è soluzione di x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere così, questa volta: x2 = 1 - x”.
“E quindi φ2 = 1 - φ. Ah, ma allora φ6/(1 - φ) = φ4”.
“Giusto. Ora ricordati che hai un'altra serie come questa che va verso sinistra, e hai un φ5 centrale”.
“Va bene. Allora la prima riga ha come somma φ5 + 2φ4”.
“Adesso ti faccio fare un po' di passaggi: ricordati sempre che φ2 + φ = 1”.
“Ok, sono pronto”.
“Scriviamo l'espressione che hai ottenuto come φ5 + φ4 + φ4, e poi raccogliamo φ3 tra i primi due termini”.
“Va bene, mi viene φ3(φ2 + φ) + φ4”.
“Dato che φ2 + φ = 1, puoi semplificare”.
“Giusto, viene φ3 + φ4”.
“Questa volta raccogli φ2”.
“Uhm, risulta φ2(φ + φ2), e dato che la parentesi vale 1, ottengo finalmente φ2”.
“Perfetto. Riassumendo, la somma dei valori della prima riga, che ha come elemento centrale φ5, è φ2”.
“Posso generalizzare?”.
“Certo, i calcoli per le altre righe sono identici, hai solo una potenza in più”.
“Allora il totale della seconda riga, quella con elemento centrale φ6, sarà φ3”.
“Certo, e poi avrai φ4, φ5, e così via. Ora immagina di sommare tutte le righe, andando via via verso il basso”.
“Uh, bello, una doppia serie geometrica... Allora, devo calcolare questa somma:”.
φ2 + φ3 + φ4 + ...
“E quanto fa?”.
“Se raccolgo φ2, ottengo φ2(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)”.
“Hai un'altra serie geometrica tra parentesi”.
“Vedo, quindi il risultato è φ2/(1 - φ). Un momento, dato che φ2 è uguale a 1 - φ, ottengo 1”.
“Giusto. Quindi?”.
“Quindi se avessi infiniti soldati, il valore sarebbe quello giusto per poter arrivare fino alla quinta riga. Se ne ho a disposizione un numero finito, invece, la somma totale non raggiungerà mai 1, e quindi i soldati non arriveranno mai alla quinta riga. Wow”.
“E tutto questo grazie alle proprietà della sezione aurea, o dei numeri di Fibonacci”.
mercoledì 14 gennaio 2009
Carnevale della Matematica #9
È uscito da .mau. oggi. Il prossimo sarà ospitato qui, cominciate già a pensare a cosa scrivere...
Soldati - Somme infinite
“Ma dai, figuriamoci se qualcuno ha pensato sul serio che Achille non fosse in grado di raggiungere e superare la tartaruga”.
“A parte i miei studenti, intendi? Che dopo che io ho raccontato la storia mi chiedono sempre se è proprio vero che Achille non ce la fa a vincere la gara di corsa?”.
“Eh, sì”.
“Bè, la descrizione del paradosso viene da Zenone di Elea, un filosofo greco. In effetti i greci ne dovevano sapere di gare di corsa”.
“Appunto. E quindi? Perché tutta questa storia?”.
“La storia serve per fare capire che non è così semplice parlare di somme infinite”.
“In che senso?”.
“Nel senso che la descrizione fatta dalla signorina Tartaruga è giusta, dopotutto. Achille deve davvero percorrere tanti piccoli pezzi, se ogni volta vuole raggiungere la posizione in cui si trovava la tartaruga precedentemente. Naturalmente impiegherà sempre meno tempo, e a un certo punto raggiungerà e sorpasserà la tartaruga. Il fatto è che, se vogliamo seguire la descrizione del moto fatta dalla signorina Tartaruga, dobbiamo sommare infiniti segmenti sempre più piccoli, e anche infiniti istanti di tempo sempre più piccoli. E non è ovvio il modo in cui possiamo farlo, come spiega il paradosso”.
“Uhm, comincio a capire. Quando si ha a che fare con gli infiniti ci sono sempre dei problemi”.
“Esatto. Pensa a questa somma:”.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
“Quando mi fermo?”.
“Mai”.
“Ah. Sommo tutte le frazioni con denominatori del tipo 2n. Sono numeri sempre più piccoli, però sono anche infiniti”.
“Già. E la domanda a cui è difficile rispondere è questa: quanto risulta?”.
“Boh? Come si fa a saperlo?”.
“Prova a guardare questa figura:”.
“Che roba è?”.
“È un segmento lungo due unità. Noterai che è stato diviso in tanti segmenti più piccoli”.
“Vedo”.
“Partiamo da sinistra. Il primo segmento che vedi è la metà del totale”.
“E quindi è lungo una unità”.
“Giusto. Il puntino che si vede è proprio il punto medio del segmento grande. Se osservi bene, la metà di destra è stata divisa ulteriormente a metà da un altro puntino”.
“Sì, e mi pare anche che ogni metà di destra sia divisa ulteriormente a metà. A un certo punto i pallini sono così vicini che non si capisce più niente”.
“Non si capisce, in effetti, ma possiamo pensare che questo procedimento di dividere a metà la metà di destra non abbia mai fine”.
“Ok, i segmenti contengono infiniti punti”.
“Bene, ora ti domando: quanto sono lunghi questi segmenti?”.
“Dunque, abbiamo detto che il primo è lungo una unità, cioè 1. Il secondo è lungo la metà di 1, cioè 1/2. Il terzo è la metà del secondo, cioè 1/4. Poi ci sarà 1/8, 1/16... Ho capito, è una rappresentazione grafica della somma infinita che mi hai scritto prima”.
“Esatto. Ora puoi calcolare il risultato di quella somma infinita, anche se in modo non del tutto rigoroso”.
“E come faccio?”.
“Ti basta vedere quanto è lungo il segmento”.
“Ah, già. Il segmento è lungo due unità. Vuol dire che quella somma di infiniti termini ha come risultato 2?”.
“Sì. Puoi interpretare il disegno come il percorso fatto da Achille. Ogni volta deve correre lungo un tratto che è sempre più breve, ma alla fine riuscirà a raggiungere la tartaruga e a sorpassarla”.
“Ho capito. Ma si riesce anche a dimostrare in modo rigoroso che il risultato è proprio 2?”.
“Sì, ma bisogna sviluppare una teoria complicata, che richiede l'uso dei limiti. I Veri Matematici chiamano serie geometrica quella somma infinita. Noi possiamo fare qualche calcolo, anche se non del tutto rigoroso”.
“Proviamo”.
“Allora, la somma che vogliamo calcolare è la seguente:”.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = x.
“Ok, hai indicato con x il risultato che vogliamo trovare”.
“Sì. Quella somma può anche essere scritta in questo modo:”.
1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = x
“Uhm, va bene, anche se non capisco bene il motivo di questa complicazione”.
“Osserva bene ciò che è scritto dentro alla parentesi. Non noti niente?”.
“Bè, è una somma infinita anche quella... Un momento, è proprio la somma che vogliamo calcolare! Uffa, non mi abituerò mai a questi paradossi”.
“Già, è qui che la dimostrazione diventa poco rigorosa. Per fare le cose per bene dovremmo prima utilizzare delle somme finite, e poi fare il limite. Ma siccome i limiti sono difficili, ci accontentiamo”.
“Va bene, va bene. Ora che facciamo?”.
“Ora, dato che hai visto anche tu che quella che è dentro alla parentesi è proprio la somma che vogliamo calcolare, e dato che a quella somma noi abbiamo dato il nome di x, facciamo una sostituzione:”.
1+ 1/2 x = x.
“Uhm, mi pare che questo si possa definire Trucco Ignobile”.
“Lo è, infatti. Ma prova a calcolare x”.
“Questo è facile, viene x = 2. Ehi, è proprio il calcolo che avevamo fatto prima guardando il segmento!”.
“Esatto. Questa tecnica, anche se farebbe inorridire un Vero Matematico, può essere usata per calcolare il risultato di altre somme infinite. Possiamo usarla per tutte le serie geometriche convergenti”.
“Spiega, spiega”.
“Invece di prendere le potenze di 1/2, prendiamo le potenze di un generico numero q”.
“Va bene, in questo caso la tua somma dovrebbe diventare così:”.
1 + q + q2 + q3 + ... = x.
“Bene. Riesci a fare la trasformazione che ho fatto prima?”.
“Se non sbaglio, è questa:”.
1 + q(1 + q + q2 + q3 + ...) = x
“Vero. Hai notato che all'interno della parentesi c'è ancora x?”.
“Ah, giusto. Allora posso scrivere questo:”.
1 + qx = x
“E, se risolvi l'equazione, cosa ottieni?”.
“Ottengo che x = 1/(1 - q)”.
“Molto bene. Questo è il risultato della somma di infinite potenze di q. Hai calcolato la somma di una serie geometrica, di cui q viene detta ragione”.
“E perché dici che questo procedimento non è rigoroso? Non funziona sempre?”.
“Prova a calcolare il risultato della somma infinita quando q è uguale a 2”.
“Cioè dovrei calcolare il risultato di questa espressione?”.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
“Già, una serie geometrica di ragione 2”.
“Secondo la formula viene 1/(1-2). Oh oh, risulta -1”.
“Ti pare possibile che la somma di infiniti numeri positivi, sempre più grandi, dia come risultato un numero negativo?”.
“Eh, no”.
“Ecco spiegato il motivo. Quel risultato vale solo quando la serie converge, cioè quando q è minore di 1 (se usiamo anche i numeri negativi, allora q deve essere compreso tra -1 e +1, ma se vogliamo stabilire chi vince la gara di corsa tra Achille e la Tartaruga non abbiamo bisogno di numeri negativi)”.
“A parte i miei studenti, intendi? Che dopo che io ho raccontato la storia mi chiedono sempre se è proprio vero che Achille non ce la fa a vincere la gara di corsa?”.
“Eh, sì”.
“Bè, la descrizione del paradosso viene da Zenone di Elea, un filosofo greco. In effetti i greci ne dovevano sapere di gare di corsa”.
“Appunto. E quindi? Perché tutta questa storia?”.
“La storia serve per fare capire che non è così semplice parlare di somme infinite”.
“In che senso?”.
“Nel senso che la descrizione fatta dalla signorina Tartaruga è giusta, dopotutto. Achille deve davvero percorrere tanti piccoli pezzi, se ogni volta vuole raggiungere la posizione in cui si trovava la tartaruga precedentemente. Naturalmente impiegherà sempre meno tempo, e a un certo punto raggiungerà e sorpasserà la tartaruga. Il fatto è che, se vogliamo seguire la descrizione del moto fatta dalla signorina Tartaruga, dobbiamo sommare infiniti segmenti sempre più piccoli, e anche infiniti istanti di tempo sempre più piccoli. E non è ovvio il modo in cui possiamo farlo, come spiega il paradosso”.
“Uhm, comincio a capire. Quando si ha a che fare con gli infiniti ci sono sempre dei problemi”.
“Esatto. Pensa a questa somma:”.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
“Quando mi fermo?”.
“Mai”.
“Ah. Sommo tutte le frazioni con denominatori del tipo 2n. Sono numeri sempre più piccoli, però sono anche infiniti”.
“Già. E la domanda a cui è difficile rispondere è questa: quanto risulta?”.
“Boh? Come si fa a saperlo?”.
“Prova a guardare questa figura:”.
“Che roba è?”.
“È un segmento lungo due unità. Noterai che è stato diviso in tanti segmenti più piccoli”.
“Vedo”.
“Partiamo da sinistra. Il primo segmento che vedi è la metà del totale”.
“E quindi è lungo una unità”.
“Giusto. Il puntino che si vede è proprio il punto medio del segmento grande. Se osservi bene, la metà di destra è stata divisa ulteriormente a metà da un altro puntino”.
“Sì, e mi pare anche che ogni metà di destra sia divisa ulteriormente a metà. A un certo punto i pallini sono così vicini che non si capisce più niente”.
“Non si capisce, in effetti, ma possiamo pensare che questo procedimento di dividere a metà la metà di destra non abbia mai fine”.
“Ok, i segmenti contengono infiniti punti”.
“Bene, ora ti domando: quanto sono lunghi questi segmenti?”.
“Dunque, abbiamo detto che il primo è lungo una unità, cioè 1. Il secondo è lungo la metà di 1, cioè 1/2. Il terzo è la metà del secondo, cioè 1/4. Poi ci sarà 1/8, 1/16... Ho capito, è una rappresentazione grafica della somma infinita che mi hai scritto prima”.
“Esatto. Ora puoi calcolare il risultato di quella somma infinita, anche se in modo non del tutto rigoroso”.
“E come faccio?”.
“Ti basta vedere quanto è lungo il segmento”.
“Ah, già. Il segmento è lungo due unità. Vuol dire che quella somma di infiniti termini ha come risultato 2?”.
“Sì. Puoi interpretare il disegno come il percorso fatto da Achille. Ogni volta deve correre lungo un tratto che è sempre più breve, ma alla fine riuscirà a raggiungere la tartaruga e a sorpassarla”.
“Ho capito. Ma si riesce anche a dimostrare in modo rigoroso che il risultato è proprio 2?”.
“Sì, ma bisogna sviluppare una teoria complicata, che richiede l'uso dei limiti. I Veri Matematici chiamano serie geometrica quella somma infinita. Noi possiamo fare qualche calcolo, anche se non del tutto rigoroso”.
“Proviamo”.
“Allora, la somma che vogliamo calcolare è la seguente:”.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = x.
“Ok, hai indicato con x il risultato che vogliamo trovare”.
“Sì. Quella somma può anche essere scritta in questo modo:”.
1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = x
“Uhm, va bene, anche se non capisco bene il motivo di questa complicazione”.
“Osserva bene ciò che è scritto dentro alla parentesi. Non noti niente?”.
“Bè, è una somma infinita anche quella... Un momento, è proprio la somma che vogliamo calcolare! Uffa, non mi abituerò mai a questi paradossi”.
“Già, è qui che la dimostrazione diventa poco rigorosa. Per fare le cose per bene dovremmo prima utilizzare delle somme finite, e poi fare il limite. Ma siccome i limiti sono difficili, ci accontentiamo”.
“Va bene, va bene. Ora che facciamo?”.
“Ora, dato che hai visto anche tu che quella che è dentro alla parentesi è proprio la somma che vogliamo calcolare, e dato che a quella somma noi abbiamo dato il nome di x, facciamo una sostituzione:”.
1+ 1/2 x = x.
“Uhm, mi pare che questo si possa definire Trucco Ignobile”.
“Lo è, infatti. Ma prova a calcolare x”.
“Questo è facile, viene x = 2. Ehi, è proprio il calcolo che avevamo fatto prima guardando il segmento!”.
“Esatto. Questa tecnica, anche se farebbe inorridire un Vero Matematico, può essere usata per calcolare il risultato di altre somme infinite. Possiamo usarla per tutte le serie geometriche convergenti”.
“Spiega, spiega”.
“Invece di prendere le potenze di 1/2, prendiamo le potenze di un generico numero q”.
“Va bene, in questo caso la tua somma dovrebbe diventare così:”.
1 + q + q2 + q3 + ... = x.
“Bene. Riesci a fare la trasformazione che ho fatto prima?”.
“Se non sbaglio, è questa:”.
1 + q(1 + q + q2 + q3 + ...) = x
“Vero. Hai notato che all'interno della parentesi c'è ancora x?”.
“Ah, giusto. Allora posso scrivere questo:”.
1 + qx = x
“E, se risolvi l'equazione, cosa ottieni?”.
“Ottengo che x = 1/(1 - q)”.
“Molto bene. Questo è il risultato della somma di infinite potenze di q. Hai calcolato la somma di una serie geometrica, di cui q viene detta ragione”.
“E perché dici che questo procedimento non è rigoroso? Non funziona sempre?”.
“Prova a calcolare il risultato della somma infinita quando q è uguale a 2”.
“Cioè dovrei calcolare il risultato di questa espressione?”.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
“Già, una serie geometrica di ragione 2”.
“Secondo la formula viene 1/(1-2). Oh oh, risulta -1”.
“Ti pare possibile che la somma di infiniti numeri positivi, sempre più grandi, dia come risultato un numero negativo?”.
“Eh, no”.
“Ecco spiegato il motivo. Quel risultato vale solo quando la serie converge, cioè quando q è minore di 1 (se usiamo anche i numeri negativi, allora q deve essere compreso tra -1 e +1, ma se vogliamo stabilire chi vince la gara di corsa tra Achille e la Tartaruga non abbiamo bisogno di numeri negativi)”.
martedì 13 gennaio 2009
Soldati - Il piè veloce Achille e la signorina Tartaruga
“Buongiorno, signorina Tartaruga!”.
“Oh, buon giorno, signor Achille. Dove va così di fretta?”.
“Ah, stavo facendo una corsetta per tenermi in allenamento, non ho una meta particolare”.
“Bravo, bravo, si tenga in forma. Anzi, senta...”.
“Mi dica”.
“Le andrebbe di fare una gara di corsa con me?”.
“Con lei?”.
“Con me, certo. Un omone grande e grosso come lei non avrà paura, vero?”.
“Ma no, certo che no. Però, sa, con rispetto parlando, io penso che non sia proprio una gara alla pari”.
“Eh, lo so. Per questo mi domandavo se lei fosse così gentile da lasciarmi un po' di vantaggio. Non tanto, sa? Mi basta poco”.
“Va bene, se proprio vuole”.
“Facciamo così, allora. Lei parte da qua, e io mi metto un po' più avanti, diciamo a circa dieci metri. Vince chi arriva per primo a quell'albero là in fondo, lo vede?”.
“Quello con il bersaglio appeso?”.
“Proprio quello. C'era un signore, prima, che stava cercando di lanciare delle frecce, andava avanti e indietro, prendeva delle misure. Non ho ben capito, ma mi pare che alla fine di frecce non ne abbia lanciato nemmeno una”.
“C'è della gente strana, al mondo. Ecco, io mi metto in posizione, mi dica lei quando vuole partire. Dia il segnale, e io parto”.
“Sa che lei mi sembra un po' troppo sicuro di vincere?”.
“Bè, lei mi scuserà se le ho dato questa impressione, ma mi pare proprio di riuscire a batterla anche se le ho dato dieci metri di vantaggio”.
“Perché lei pensa di riuscire a raggiungermi in breve tempo, immagino?”.
“Eh, sì. In un attimo riesco a percorrere quei dieci metri che mi separano da lei”.
“Ma lei ha pensato a cosa succede, mentre percorre quei dieci metri?”.
“No, cosa succede?”.
“Succede che anche io faccio un pochino di strada, sa? Quando lei ha percorso i suoi dieci metri, io mi sono spostata un po' dalla mia posizione”.
“E allora?”.
“E allora lei dovrà percorrere anche quel po' di strada in più che io ho percorso”.
“Va bene, non sarà un problema”.
“Ma mentre lei percorre quel pezzetto di strada, io riuscirò a farne ancora un po', e lei dovrà percorrere anche quell'ulteriore pezzo”.
“Oh, già”.
“Lei capisce che, ogni volta che percorre un po' di strada, io riuscirò sempre a farne un altro pezzetto. Insomma, riuscirò sempre a starle davanti”.
“Oh!”.
“E quindi lei non riuscirà a vincere”.
“Non ci avevo pensato, sa che ha ragione?”.
“In altre parole, vincerò io”.
“Ecco, io, credevo...”.
“Comunque, se ora vuole partire, io sono pronta”.
“Vede, il fatto è che, dopo la descrizione che ha fatto, io non mi sento più tanto in forma per gareggiare”.
“Vuol dire che si ritira?”.
“Mah, sì, pensavo che forse dovrei allenarmi ancora un pochino”.
“Come vuole. Allora la saluto, quando vuole tornare a sfidarmi io sono sempre qui”.
“Va bene, ci penserò. Ora vado a correre ancora un po', arrivederci”.
“Arrivederci, signor Achille”.
“Ah, signorina Tartaruga?”.
“Sì?”.
“Complimenti per la gara, non mi era mai capitato di perdere senza gareggiare. A dir la verità, non mi era ancora capitato di perdere”.
“C'è sempre una prima volta, signor Achille. Si faccia coraggio, e si alleni. Arriverci!”.
“Arrivederci, signorina Tartaruga!”.
“Oh, buon giorno, signor Achille. Dove va così di fretta?”.
“Ah, stavo facendo una corsetta per tenermi in allenamento, non ho una meta particolare”.
“Bravo, bravo, si tenga in forma. Anzi, senta...”.
“Mi dica”.
“Le andrebbe di fare una gara di corsa con me?”.
“Con lei?”.
“Con me, certo. Un omone grande e grosso come lei non avrà paura, vero?”.
“Ma no, certo che no. Però, sa, con rispetto parlando, io penso che non sia proprio una gara alla pari”.
“Eh, lo so. Per questo mi domandavo se lei fosse così gentile da lasciarmi un po' di vantaggio. Non tanto, sa? Mi basta poco”.
“Va bene, se proprio vuole”.
“Facciamo così, allora. Lei parte da qua, e io mi metto un po' più avanti, diciamo a circa dieci metri. Vince chi arriva per primo a quell'albero là in fondo, lo vede?”.
“Quello con il bersaglio appeso?”.
“Proprio quello. C'era un signore, prima, che stava cercando di lanciare delle frecce, andava avanti e indietro, prendeva delle misure. Non ho ben capito, ma mi pare che alla fine di frecce non ne abbia lanciato nemmeno una”.
“C'è della gente strana, al mondo. Ecco, io mi metto in posizione, mi dica lei quando vuole partire. Dia il segnale, e io parto”.
“Sa che lei mi sembra un po' troppo sicuro di vincere?”.
“Bè, lei mi scuserà se le ho dato questa impressione, ma mi pare proprio di riuscire a batterla anche se le ho dato dieci metri di vantaggio”.
“Perché lei pensa di riuscire a raggiungermi in breve tempo, immagino?”.
“Eh, sì. In un attimo riesco a percorrere quei dieci metri che mi separano da lei”.
“Ma lei ha pensato a cosa succede, mentre percorre quei dieci metri?”.
“No, cosa succede?”.
“Succede che anche io faccio un pochino di strada, sa? Quando lei ha percorso i suoi dieci metri, io mi sono spostata un po' dalla mia posizione”.
“E allora?”.
“E allora lei dovrà percorrere anche quel po' di strada in più che io ho percorso”.
“Va bene, non sarà un problema”.
“Ma mentre lei percorre quel pezzetto di strada, io riuscirò a farne ancora un po', e lei dovrà percorrere anche quell'ulteriore pezzo”.
“Oh, già”.
“Lei capisce che, ogni volta che percorre un po' di strada, io riuscirò sempre a farne un altro pezzetto. Insomma, riuscirò sempre a starle davanti”.
“Oh!”.
“E quindi lei non riuscirà a vincere”.
“Non ci avevo pensato, sa che ha ragione?”.
“In altre parole, vincerò io”.
“Ecco, io, credevo...”.
“Comunque, se ora vuole partire, io sono pronta”.
“Vede, il fatto è che, dopo la descrizione che ha fatto, io non mi sento più tanto in forma per gareggiare”.
“Vuol dire che si ritira?”.
“Mah, sì, pensavo che forse dovrei allenarmi ancora un pochino”.
“Come vuole. Allora la saluto, quando vuole tornare a sfidarmi io sono sempre qui”.
“Va bene, ci penserò. Ora vado a correre ancora un po', arrivederci”.
“Arrivederci, signor Achille”.
“Ah, signorina Tartaruga?”.
“Sì?”.
“Complimenti per la gara, non mi era mai capitato di perdere senza gareggiare. A dir la verità, non mi era ancora capitato di perdere”.
“C'è sempre una prima volta, signor Achille. Si faccia coraggio, e si alleni. Arriverci!”.
“Arrivederci, signorina Tartaruga!”.
lunedì 12 gennaio 2009
Soldati - La più bella dimostrazione della matematica
“Oh, ci ho provato e riprovato, ma non ce l'ho fatta a spingere un soldato fino alla quinta riga”.
“Eh, lo so”.
“Come, lo sai?”.
“Lo so perché è impossibile”.
“Ma come? Potevi anche dirmelo prima!”.
“E privarti del piacere di provare il gioco?”.
“Grrr. E come mai è impossibile? Si dimostra?”.
“Certo. La dimostrazione a me piace moltissimo, vuoi vederla?”.
“Ah, sì, dopo aver provato tante volte, ora voglio sapere perché non ci si riesce”.
“Bene. Dobbiamo mettere un po' di numeri sulla nostra scacchiera: cominciamo dal basso, e scegliamo arbitrariamente la settima riga sotto il confine con il deserto”.
“Perché proprio quella?”.
“Non è importante, da qualche parte dobbiamo partire. Poi ti dico cosa succede se decidiamo di partire da un'altra riga”.
“Ok”.
“Ora ci espandiamo, verso l'alto, destra e sinistra, mediante i numeri di Fibonacci”.
“Fibonacci? La successione 1, 1, 2, 3, 5, eccetera? Quella in cui ogni numero è la somma dei due precedenti?”.
“Giusto, quella”.
“E cosa c'entra adesso Fibonacci?”.
“Eh, è questo il genio della dimostrazione, stai a vedere. Riempiamo la scacchiera fino ad arrivare alla famosa quinta riga, guarda:”.
“Uhm, vedo. Quella casella con il 144 sarebbe quella da raggiungere, giusto?”.
“Certo. Ora ragioniamo sulle mosse che si possono fare per fare muovere un soldato”.
“Bè, un soldato potrebbe muoversi verso l'alto, scavalcando un suo compagno ed eliminandolo”.
“Ok, facciamo un esempio. All'inizio la situazione potrebbe essere questa:”.
“Allora, il soldato sulla casella col 5 salta quello sulla casella con 8 e arriva sulla 13”.
“Perfetto. Ora calcola la somma delle caselle con i soldati prima e dopo il movimento”.
“Allora, prima del movimento abbiamo un soldato sul cinque e uno sull'otto, totale tredici”.
“E dopo il movimento?”.
“Dopo, bè, c'è solo la casella col tredici. Quindi è ancora tredici. Ah, ho capito! La somma non cambia, è la definizione dei numeri di Fibonacci. Ogni numero è la somma dei due precedenti, allora ogni volta che un soldato salta e ne mangia un altro la somma dei numeri sulle caselle non cambia”.
“Benissimo. Questo per quanto riguarda i movimenti verso l'alto. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.
“Perché mai dovremmo muoverci verso il basso?”.
“In effetti, sembra che non abbia molto senso, ma non si sa mai: non escludiamo nessuna possibilità”.
“Va bene. In questo caso passeremmo da un 13+8 a un 5: il valore diminuisce”.
“Perfetto. Vediamo ora un movimento verso destra oppure verso sinistra”.
“Qua dipende se mi trovo a sinistra o a destra della colonna che passa per il 144”.
“Sì, e dipende anche dalla direzione in cui vai. Se ci pensi, ci sono due possibilità: o vai verso numeri crescenti, oppure verso numeri decrescenti. C'è anche un caso particolare in cui attraversi la colonna centrale, per esempio nella sequenza 13, 21, 13, ma possiamo metterlo nel caso dei numeri decrescenti”.
“Fammi capire. Potrei avere una sequenza di questo tipo:”.
“Giusto. E che succede?”.
“Ah, è come prima, sostituisco 13+21 con 34, la somma non cambia”.
“E se vai verso sinistra?”.
“Se vado nell'altro senso, sostituisco 34+21 con 13, la somma diminuisce”.
“Bene, vedi allora che anche nel caso in cui attraversi la colonna centrale il risultato diminuisce”.
“Ah, ok. Se considero le caselle 13, 21, 13, devo sostituire 13+21 con 13, il risultato diminuisce certamente”.
“Perfetto. Quindi, riassumendo, un qualsiasi movimento dei soldati potrebbe o lasciare invariata la somma totale contenuta nelle caselle occupate, oppure potrebbe farla diminuire. Non è possibile che aumenti”.
“Giusto, abbiamo analizzato tutti i possibili movimenti”.
“Ora immagina di avere un soldato per ogni casella numerata sotto alla linea blu. Quanto è la somma totale?”.
“Uhm, devo fare i calcoli. La prima riga vale 1, la seconda 3, la terza 6, poi 11, 19, 32 e 53. Il totale è 125”.
“E alla fine di tutte le mosse dove vuoi arrivare?”.
“Alla casella 144”.
“E sapendo che le tue mosse lasceranno invariato oppure faranno diminuire la somma totale, cosa concludi?”.
“Che la somma totale non è sufficiente per arrivare a 144, e quindi non riesco ad arrivarci. Bello! Ma potrei aggiungere qualche pedina in più?”.
“Se lo fai, anche il tuo 144 aumenterà. Si può dimostrare che il triangolo di numeri di Fibonacci presente sotto alla linea blu, centrato su un generico numero di Fibonacci, che indichiamo con Fn (nel nostro esempio è 13), ha sempre somma totale minore di Fn+5. E quindi non raggiungerai mai la quinta riga”.
“Molto bello”.
“A me piace molto perché è una dimostrazione che usa un concetto che apparentemente non ha alcun legame col problema, e poi invece scopri che è un'idea geniale per risolverlo. Esiste anche un'altra dimostrazione, molto simile a questa, che non usa direttamente i numeri di Fibonacci, ma usa la sezione aurea, che è comunque legata alla successione di Fibonacci. Però bisogna conoscere le serie geometriche, altrimenti si fa come Achille con la Tartaruga”.
“Eh?”.
“Eh, lo so”.
“Come, lo sai?”.
“Lo so perché è impossibile”.
“Ma come? Potevi anche dirmelo prima!”.
“E privarti del piacere di provare il gioco?”.
“Grrr. E come mai è impossibile? Si dimostra?”.
“Certo. La dimostrazione a me piace moltissimo, vuoi vederla?”.
“Ah, sì, dopo aver provato tante volte, ora voglio sapere perché non ci si riesce”.
“Bene. Dobbiamo mettere un po' di numeri sulla nostra scacchiera: cominciamo dal basso, e scegliamo arbitrariamente la settima riga sotto il confine con il deserto”.
“Perché proprio quella?”.
“Non è importante, da qualche parte dobbiamo partire. Poi ti dico cosa succede se decidiamo di partire da un'altra riga”.
“Ok”.
“Ora ci espandiamo, verso l'alto, destra e sinistra, mediante i numeri di Fibonacci”.
“Fibonacci? La successione 1, 1, 2, 3, 5, eccetera? Quella in cui ogni numero è la somma dei due precedenti?”.
“Giusto, quella”.
“E cosa c'entra adesso Fibonacci?”.
“Eh, è questo il genio della dimostrazione, stai a vedere. Riempiamo la scacchiera fino ad arrivare alla famosa quinta riga, guarda:”.
“Uhm, vedo. Quella casella con il 144 sarebbe quella da raggiungere, giusto?”.
“Certo. Ora ragioniamo sulle mosse che si possono fare per fare muovere un soldato”.
“Bè, un soldato potrebbe muoversi verso l'alto, scavalcando un suo compagno ed eliminandolo”.
“Ok, facciamo un esempio. All'inizio la situazione potrebbe essere questa:”.
“Allora, il soldato sulla casella col 5 salta quello sulla casella con 8 e arriva sulla 13”.
“Perfetto. Ora calcola la somma delle caselle con i soldati prima e dopo il movimento”.
“Allora, prima del movimento abbiamo un soldato sul cinque e uno sull'otto, totale tredici”.
“E dopo il movimento?”.
“Dopo, bè, c'è solo la casella col tredici. Quindi è ancora tredici. Ah, ho capito! La somma non cambia, è la definizione dei numeri di Fibonacci. Ogni numero è la somma dei due precedenti, allora ogni volta che un soldato salta e ne mangia un altro la somma dei numeri sulle caselle non cambia”.
“Benissimo. Questo per quanto riguarda i movimenti verso l'alto. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.
“Perché mai dovremmo muoverci verso il basso?”.
“In effetti, sembra che non abbia molto senso, ma non si sa mai: non escludiamo nessuna possibilità”.
“Va bene. In questo caso passeremmo da un 13+8 a un 5: il valore diminuisce”.
“Perfetto. Vediamo ora un movimento verso destra oppure verso sinistra”.
“Qua dipende se mi trovo a sinistra o a destra della colonna che passa per il 144”.
“Sì, e dipende anche dalla direzione in cui vai. Se ci pensi, ci sono due possibilità: o vai verso numeri crescenti, oppure verso numeri decrescenti. C'è anche un caso particolare in cui attraversi la colonna centrale, per esempio nella sequenza 13, 21, 13, ma possiamo metterlo nel caso dei numeri decrescenti”.
“Fammi capire. Potrei avere una sequenza di questo tipo:”.
“Giusto. E che succede?”.
“Ah, è come prima, sostituisco 13+21 con 34, la somma non cambia”.
“E se vai verso sinistra?”.
“Se vado nell'altro senso, sostituisco 34+21 con 13, la somma diminuisce”.
“Bene, vedi allora che anche nel caso in cui attraversi la colonna centrale il risultato diminuisce”.
“Ah, ok. Se considero le caselle 13, 21, 13, devo sostituire 13+21 con 13, il risultato diminuisce certamente”.
“Perfetto. Quindi, riassumendo, un qualsiasi movimento dei soldati potrebbe o lasciare invariata la somma totale contenuta nelle caselle occupate, oppure potrebbe farla diminuire. Non è possibile che aumenti”.
“Giusto, abbiamo analizzato tutti i possibili movimenti”.
“Ora immagina di avere un soldato per ogni casella numerata sotto alla linea blu. Quanto è la somma totale?”.
“Uhm, devo fare i calcoli. La prima riga vale 1, la seconda 3, la terza 6, poi 11, 19, 32 e 53. Il totale è 125”.
“E alla fine di tutte le mosse dove vuoi arrivare?”.
“Alla casella 144”.
“E sapendo che le tue mosse lasceranno invariato oppure faranno diminuire la somma totale, cosa concludi?”.
“Che la somma totale non è sufficiente per arrivare a 144, e quindi non riesco ad arrivarci. Bello! Ma potrei aggiungere qualche pedina in più?”.
“Se lo fai, anche il tuo 144 aumenterà. Si può dimostrare che il triangolo di numeri di Fibonacci presente sotto alla linea blu, centrato su un generico numero di Fibonacci, che indichiamo con Fn (nel nostro esempio è 13), ha sempre somma totale minore di Fn+5. E quindi non raggiungerai mai la quinta riga”.
“Molto bello”.
“A me piace molto perché è una dimostrazione che usa un concetto che apparentemente non ha alcun legame col problema, e poi invece scopri che è un'idea geniale per risolverlo. Esiste anche un'altra dimostrazione, molto simile a questa, che non usa direttamente i numeri di Fibonacci, ma usa la sezione aurea, che è comunque legata alla successione di Fibonacci. Però bisogna conoscere le serie geometriche, altrimenti si fa come Achille con la Tartaruga”.
“Eh?”.
domenica 11 gennaio 2009
Moon, you che brilling in the ciel
In questi giorni la luna è particolarmente vicina alla terra. Da qua si vede così.
Soldati - Avanzata
“Bè, io ce l'ho fatta a mandare qualche soldato in avanti”.
“Bene, spero che tu non abbia cercato la soluzione su internet”.
“Ah, perché, c'è?”.
“Già, basta cercare il gioco dei soldati di Conway”.
“Quel Conway?”.
“Sempre lui, già. Dai, fammi vedere fino a dove riescono ad andare i tuoi soldati”.
“Allora, far fare un solo passo oltre alla linea blu è facile, ecco qua:”.
“Giusto. Il soldato più in alto si sacrifica, quello sotto lo scavalca e arriva nella posizione indicata dal cerchio rosso. Era in effetti facile. Si può andare oltre?”.
“Sì. Si riesce a spingere un soldato fino alla seconda riga con questa configurazione:”.
“Molto bene!”.
“Ah, ma ho fatto di meglio. Ecco qua il sistema per arrivare fino alla terza riga:”.
“Bene, bene. Non dirmi che arrivi anche alla quarta riga...”.
“Eh, è stata dura, ma ecco qua:”.
“Ottimo! E, dimmi, per quanto riguarda la quinta riga?”.
“Ecco, ci sto lavorando. Ma ce la farò, ormai ho una certa pratica”.
“Eh eh eh”.
“Bene, spero che tu non abbia cercato la soluzione su internet”.
“Ah, perché, c'è?”.
“Già, basta cercare il gioco dei soldati di Conway”.
“Quel Conway?”.
“Sempre lui, già. Dai, fammi vedere fino a dove riescono ad andare i tuoi soldati”.
“Allora, far fare un solo passo oltre alla linea blu è facile, ecco qua:”.
“Giusto. Il soldato più in alto si sacrifica, quello sotto lo scavalca e arriva nella posizione indicata dal cerchio rosso. Era in effetti facile. Si può andare oltre?”.
“Sì. Si riesce a spingere un soldato fino alla seconda riga con questa configurazione:”.
“Molto bene!”.
“Ah, ma ho fatto di meglio. Ecco qua il sistema per arrivare fino alla terza riga:”.
“Bene, bene. Non dirmi che arrivi anche alla quarta riga...”.
“Eh, è stata dura, ma ecco qua:”.
“Ottimo! E, dimmi, per quanto riguarda la quinta riga?”.
“Ecco, ci sto lavorando. Ma ce la farò, ormai ho una certa pratica”.
“Eh eh eh”.
sabato 10 gennaio 2009
Soldati - il gioco
Siamo in zona di guerra.
Al di sotto della linea blu c'è il nostro spazio: lì possiamo mettere in posizione i nostri soldati. Al di sopra, il deserto.
Nella figura è rappresentato un solo soldato: da solo non può muoversi, ma deve essere aiutato da altri compagni. Ogni soldato ne può scavalcare un altro adiacente (muovendosi in orizzontale oppure in verticale, ma non lungo la diagonale): il soldato scavalcato viene sacrificato e tolto dal campo di battaglia.
Possiamo mettere quanti soldati vogliamo nella zona al di sotto della linea blu, zona che si estende verso il basso, a destra e a sinistra indefinitamente. Il nostro scopo è quello di fare addentrare il più possibile nel deserto almeno uno dei nostri soldati.
Quanto avanti riusciamo a spingerci?
Al di sotto della linea blu c'è il nostro spazio: lì possiamo mettere in posizione i nostri soldati. Al di sopra, il deserto.
Nella figura è rappresentato un solo soldato: da solo non può muoversi, ma deve essere aiutato da altri compagni. Ogni soldato ne può scavalcare un altro adiacente (muovendosi in orizzontale oppure in verticale, ma non lungo la diagonale): il soldato scavalcato viene sacrificato e tolto dal campo di battaglia.
Possiamo mettere quanti soldati vogliamo nella zona al di sotto della linea blu, zona che si estende verso il basso, a destra e a sinistra indefinitamente. Il nostro scopo è quello di fare addentrare il più possibile nel deserto almeno uno dei nostri soldati.
Quanto avanti riusciamo a spingerci?
martedì 6 gennaio 2009
Due idioti
Io e mia moglie ci stiamo urlando da una stanza all'altra:
“Ci sposiamo?”.
“Sì, dai!”.
Già, feisbuc.
“Ci sposiamo?”.
“Sì, dai!”.
Già, feisbuc.
lunedì 5 gennaio 2009
Sottili confini
La differenza tra Vero Pilota, che guida abilmente sulla neve senza catene, e Vero Coglione, che si intraversa e ti fa fare un quarto d'ora di sosta non voluta, sta tutta in un tornante dal fondo ghiacciato.
domenica 4 gennaio 2009
Promemoria
Se proprio devi toglierti i guanti, non appoggiarli sulla neve con l'apertura controvento.
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