Retrovie

Modena non è stata particolarmente colpita dai terremoti di questi giorni (qui è consentito anche ai più scettici mettere in atto qualunque tipo di gesto o attività apotropaica): abbiamo sentito le scosse, qualche edificio ha messo su un po' di crepe, nel centro storico è caduta una palla di marmo dal tetto di una chiesa che ha travolto le linee del filobus e ha lasciato un buco sul marciapiede, ma, alla fine, niente di irreparabile.

Non è andata così bene più a nord, nella cosiddetta bassa. Avete letto gli articoli, avete sentito i telegiornali, avete visto le foto: un disastro. La seconda scossa, quella di ieri, è stata brutta.

Io ero in classe, era appena suonata la campana, stavo per uscire, tutti erano in piedi, qualcuno voleva sapere come fare per rimediare ai suoi voti, qualcuno voleva uscire, qualcuno stava chiacchierando, tutti abbiamo sentito il pavimento saltellare. Ho in mente un fermo-immagine, tutti che mi guardano a bocca aperta, mentre cerchiamo di renderci conto di quello che succede, poi qualcuno si muove, sposta una sedia, ma non vuole essere il primo a mettere la testa sotto al banco perché a sedici anni se metti la testa sotto il banco fai brutta figura. E allora io urlo "tutti sotto i banchi!" e mentre mi fiondo sotto la cattedra vedo che tutti quanti si stanno mettendo al riparo, per quanto un banco possa essere considerato un riparo.

E là sotto, con una mano appoggiata sul pavimento, sento muovere tutto e sento i due studenti che stanno nei due banchi davanti alla cattedra che dicono "ma non finisce più!", e io dico "zitti!", "state zitti!", e non so bene perché lo dico, cosa c'è poi da ascoltare, e poi anche loro cominciano a dire "sshht, zitti!", forse vogliamo capire se la scuola starà in piedi, o forse vogliamo poter sentire se qualcuno chiama perché ha davvero bisogno, chissà.

Poi il tempo, che in quei momenti è dotato di vita propria e fa un po' quel che gli pare, finalmente passa e le scosse si fermano. Ci alziamo, si sentono le tre campane, e io dico "andate giù", e poi urlo "PIANO, NON CORRETE!", che mi ricordo ancora di quel terremoto di sedici anni fa, quando non esisteva un piano di evacuazione per la scuola, quando non si mettevano le teste sotto ai banchi, quando si correva fuori alla disperata, e c'era quella ragazza che era rimasta un po' indietro rispetto ai compagni, si era messa a correre nell'atrio vuoto, ed è caduta a terra. Non si è fatta nulla, ma il panico è una brutta bestia.

Io ho raccolto le mie cose e sono uscito, ho cercato gli studenti e ho fatto l'appello per vedere se c'erano tutti. Il punto di ritrovo era nel parco dell'istituto di riposo che si trova di fronte alla nostra scuola: lontano dagli edifici, sull'erba, all'ombra degli alberi, aveva un'atmosfera surreale. E la sensazione di essere in uno strano mondo mi ha accompagnato per tutto il giorno, e poi anche per la notte e il giorno dopo, cioè oggi. I telefoni non andavano, qualcuno è riuscito a fare qualche telefonata utilizzando una cabina telefonica (ne esistono ancora, sì), le auto non giravano. Quando mi ha telefonato mia moglie, da Carpi, sentivo un elicottero, delle sirene, lei che mi diceva che ci sarebbe voluto un po' per tornare a casa, visto che le strade erano intasate.

Una volta consegnati gli studenti ai loro parenti ho preso la bicicletta e me ne sono andato a casa. Ho attraversato due parchi, pieni zeppi di gente. Bambini che giocavano, biciclette, persone sedute sull'erba, carrozzine, passeggini, ragazzi più grandi che chiacchieravano. Era bellissimo, non avevo mai visto così tanta gente al parco, sembrava una giornata di festa. E mi ripetevo che non era vero, che c'era gente che aveva paura, che erano arrivate notizie di morti e di crolli, eppure non potevo fare a meno di pensare che sarebbe stato bello se tutte le giornate fossero state così, con la gente al parco che si chiede "come va?", che si dà una mano, che si aiuta.

I miei genitori si erano preoccupati di prelevare i nipoti da scuola, e li avevano raccolti tutti in cortile. Li ho visti giocare, li ho salutati, ho tirato fuori il telefono e mi sono attaccato a internet, per capire un po' cosa stesse succedendo.

Leggendo, trovavo notizie spaventose, e durante tutta la giornata ho cercato di informarmi, ho mandato email ad amici che abitano a Carpi e dintorni, ho guardato carte geografiche piene di puntini e stelline, ho letto la lista delle ultime scosse, e mi rendevo conto che a pochi chilometri di distanza c'era il disastro.

Nel pomeriggio vado a casa, arriva mia moglie, ce ne stiamo seduti su un paio di panchine, parliamo con altre persone che abitano nel nostro condominio. Che si fa stanotte? Qualcuno dormirà in macchina, qualcuno in casa sul divano, qualcuno non lo sa ancora. Mi telefona un amico e mi dice che se ne va con tutta la famiglia in montagna, tanto le scuole sono chiuse; lui poi tornerà a Modena il giorno dopo, vediamo come va la notte.

Già, la notte. Io ho lo sportello di un armadio che è un sismografo sensibilissimo, e quando sento quel rumore le pulsazioni mi vanno a mille (e mi succede da quando, sedici anni fa, ho scoperto mio malgrado questa caratteristica). Mia moglie mi propone di montare una tenda nel prato dietro casa, i figli sono ben felici, e allora via che si monta la tenda.

Prima di andare a dormire raccolgo un po' i pensieri, mi rivedo la studentessa quasi in lacrime che aveva paura di tornare in casa, lo studente sperduto che sarebbe dovuto tornare a casa con la corriera, ma le strade erano bloccate, i figli e i nipoti che in un lampo si infilano sotto la tavola mentre io sono ancora lì che mi chiedo "ma sarà un'altra scossa, o è solo un'impressione?" (era un'altra scossa), le ambulanze, gli elicotteri, la collega che abita nella zona dell'epicentro e non ha notizie, e mi sento un po' in colpa. Perché io posso dormire in tenda sotto casa, mentre qualcuno deve dormire in tenda perché la casa non ce l'ha più.

E allora, tra la paura che non passa, e il pensiero di essere ancora uno dei fortunati, mi pare di essere come il soldato che sta nelle retrovie. Un po' sollevato perché non è coinvolto direttamente, ma terrorizzato perché a trenta chilometri più a nord c'è la guerra.

Una cosa divertente che non farò mai più

Mi sono trovato in casa questo libro:



Una cosa divertente che non farò mai più, Minimum Fax, 12.50€

e me lo sono preso dietro per avere qualcosa da leggere durante una trasferta a Milano per i giochi matematici organizzati dalla Bocconi (dove ho finalmente incontrato .mau., ma questa è un'altra storia).

Non avevo mai letto niente di David Foster Wallace, ed è stata una piacevolissima scoperta. Anobii raccoglie, al momento, 420 recensioni su questo libro, e quindi non starò a tirarla tanto per le lunghe: si tratta della cronaca di una settimana di crociera extra-lusso commissionata all'autore dalla rivista Harper's — inizialmente doveva trattarsi di un semplice articolo, che poi si è trasformato in un volume di 149 pagine.

Il racconto è umoristico, scritto con uno stile meraviglioso, denso di satira e critica nei riguardi dello stile di vita delle crociere da ricconi. Da leggere (ma lo avrete già letto tutti).

Pagherei per sapere scrivere così.

Ho visto cose

Quest'anno ho vinto il pacchetto completo per i giochi matematici: ho accompagnato uno studente alle finali delle Olimpiadi della Matematica a Cesenatico, una squadra alle semifinali, sempre a Cesenatico, e uno studente (quello di cui sopra) per le finali Kangourou a Cervia-Mirabilandia.

Ho potuto quindi osservare da vicino e per molto tempo il mondo dei giochi matematici. E sono giunto a una conclusione: il mondo dei giochi matematici contiene la quintessenza della nerditudine.

Ho visto un ragazzo risolvere un cubo di Rubik dietro la schiena. Ne ho visto un altro far girare alcune palline in aria, alla maniera dei giocolieri, mentre attendeva l'inizio della gara.

Ne ho visto uno scendere le scale con un monociclo (era uno dei miei, tra l'altro, uno che come sport pratica il basket su monociclo, per dire).

Ho visto l'impegno e la serietà di una ragazza che, per conciliare tutte le sue attività, è venuta nel pomeriggio a Cesenatico, ha svolto la gara, e a mezzanotte se ne è tornata a casa (ciao, M.).

Ho visto studenti scrivere formule sui tovaglioli del ristorante (anche insegnanti (ero io, sì)), sfogliare libri contenenti quesiti matematici, chiedere di fare più allenamenti il prossimo anno scolastico, e persino promettere di parteciparvi.

Ho visto un insegnante manifestare il suo disappunto perché la partenza al venerdì mattina gli ha impedito di guardare l'episodio appena uscito di The Big Bang Theory (ero ancora io, ehm). E ho visto gli studenti dargli ragione.

Ho visto un gruppo di giovani universitari, che facevano parte dell'organizzazione, vestirsi come i personaggi di Dragonball per presentare ai concorrenti l'ambientazione delle gare di quest'anno (c'era pure Majin-Bu, col tentacolo sulla testa).

Ho visto ragazzi e ragazze fare matematica in maniera seria: ne ho visti cinque guadagnare il massimo punteggio perché avevano risolto perfettamente sei quesiti. Quesiti che io riuscirei a risolvere perfettamente in sei settimane (forse). Ho visto l'imbarazzo dell'organizzazione che, probabilmente, avrebbe voluto avere un solo vincitore, e invece ne ha avuti cinque e non è stata in grado di distinguerli. Bé, oltre all'imbarazzo c'era anche una certa felicità, bisogna dirlo.

Ho visto la delusione nei volti degli studenti che, tutti appiccicati alle vetrate sulle quali stavano appendendo le soluzioni, si dicevano uno con l'altro: "ma era così facile?".

Ma è stato quando ho visto alcuni ragazzi che si rilassavano in spiaggia, indecisi tra il parlare ancora di curve algebriche e il rivolgere l'attenzione a curve più naturali, che mi sono reso conto dell'esistenza di una costante universale, dalla quale non sfuggono nemmeno le menti più nerd di questo mondo.

Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso se ne stavano tornando verso casa dopo una piacevole passeggiata nel bosco.

Passando vicino a un cespuglio di more, Piccolo Orso si accorse di una serie di impronte: erano di uno strano animale, ma visto prima di allora.

«Vado io per prima!», esclamò Mamma Orsa, posizionandosi sulla quinta impronta un po' preoccupata.

«Tu stai nel mezzo, Piccolo Orso», disse Babbo Orso a Piccolo Orso che, obbediente, si mise sulla terza impronta.

«Io starò in fondo alla fila», concluse Babbo Orso, sistemandosi sulla prima impronta.

Mamma Orsa si incamminò lungo il sentiero; ogni suo passo era lungo tanto quanto la distanza tra 7 delle piccole orme presenti sul terreno.

I passi di Piccolo Orso erano invece più corti: ognuno di essi copriva la distanza di 5 piccole orme.

Babbo Orso era quello che faceva i passi più lunghi: addirittura 9 orme.

«Ehi, mamma!», chiamò Piccolo Orso, «se vai così in fretta non riesco a starti dietro».

«Non ti preoccupare, Piccolo Orso», rispose Mamma Orsa, «ti aspetto».

«Ma io vorrei venire vicino a te!», disse Piccolo Orso.

«E perché non ci riesci? Non sto andando veloce», domandò Mamma Orsa.

«Eh, perché i miei passi non sono mai pari ai tuoi. Arriveremo mai sulla stessa impronta di questo strano animale?», domandò curioso Piccolo Orso. «Vorrei che anche il Babbo fosse vicino a noi».

«Sono qui dietro, Piccolo Orso», lo rassicurò Babbo Orso, «non ti preoccupare. Vuoi fare un gioco?».

«Uh, sì, sì!», rispose contento Piccolo Orso. «Come si gioca?».

«Giochiamo a indovinare quando riusciremo ad essere tutti vicino alla Mamma», la buttò lì Babbo Orso, cercando di camuffare un problema matematico in un gioco per bambini.

«Babbo, non mi freghi! Questo non è un gioco, è un problema!», rispose Piccolo Orso che, anche se era ancora piccolo, non era uno sprovveduto.

«Ma sì, è uno dei soliti problemi di tuo padre», intervenne Mamma Orsa, «per lui sono giochi, non capisce bene la differenza tra le due cose. Lascialo fare, magari è divertente».

«Va bene», disse rassegnato Piccolo Orso. «Siamo sicuri che io posso arrivare di fianco alla Mamma? Perché mentre io faccio un passo da 5 impronte, lei ne fa uno da 7, rimango sempre indietro di 2 impronte!».

«Hai ragione, Piccolo Orso», gli rispose Babbo Orso, «ma ricordati che puoi anche fare una corsetta: se invece di un solo passo ne fai due, non rimani più indietro di 2 impronte, ma sei in vantaggio di 3!».

«Hai ragione, Babbo!», commentò felice Piccolo Orso.

«Allora», continuò Babbo Orso, «ricordati che quando sei partito eri, rispetto alla Mamma, indietro di 2 impronte. Col primo passo la vostra distanza è aumentata a 4 impronte, poi a 6. Ecco fatto!».

«Cosa?», domandò Piccolo Orso.

«Se la distanza è di 6 impronte, puoi raggiungere la Mamma facendo per due volte una corsa: se per ognuno dei due successivi passi della Mamma tu ne fai due, guadagni ogni volta 3 impronte, e quindi riesci a raggiungerla», spiegò Babbo Orso. «Riesci a dirmi a che punto vi incontrerete?».

«Credo di sì», rispose Piccolo Orso, pensieroso. «Devo fare in tutto sei passi, per un totale di 30 impronte. Ero partito dalla numero 3, quindi la incontrerò alla numero 33, giusto?».

«Giusto! Sei stato molto bravo, Piccolo Orso! La Mamma ha fatto invece in tutto quattro passi, per un totale 28 impronte. Era partita dalla numero 5, quindi anche lei arriva alla numero 33», rispose Babbo Orso.

«E tu riuscirai a raggiungerci, Babbo?», domandò Piccolo Orso.

«Certo», rispose Babbo Orso. «Vedi, dall'impronta 33 in poi tu e la Mamma è come se vi muoveste insieme con un grande passo lungo 35 impronte».

«Davvero?», domandò ancora Piccolo Orso.

«Eh, sì. La Mamma fa passi lunghi 7 impronte, tu fai dei passi lunghi 5, allora sette passi dei tuoi corrispondono a cinque dei suoi e a un totale di 35 impronte», spiegò Babbo Orso. «Allora, io invece faccio passi lunghi 9 impronte, e quindi ogni quattro passi percorro una distanza di 36 impronte».

«Una più di noi!», esclamò Piccolo Orso.

«Proprio così. Quindi, pian piano, riesco a raggiungervi», concluse Babbo Orso. «Sono partito dalla impronta numero 1, poi sono arrivato alla 10, poi alla 19 e alla 28. Se voi siete alla numero 33, quanti passi dovrò ancora fare per recuperare la mia distanza?».

«Cinque per quattro!», rispose Piccolo Orso. «Cioè venti, e arriverai di fianco a noi!».

«Bravissimo, Piccolo Orso!», esclamò contento Babbo Orso, «dopo venti passi avrò percorso 180 impronte. Dato che ero partito dalla numero 28, arriverò alla 208».

«E io e la Mamma avremo fatto cinque passi giganti da 35 impronte», concluse Piccolo Orso, «e saremo arrivati alla casella 175+33, cioè alla 208. E saremo finalmente tutti insieme!».

«Bravo, Piccolo Orso. Cammina adesso, altrimenti la Mamma non la raggiungiamo più».

---

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso hanno applicato quello che i Veri Matematici chiamano teorema cinese del resto.

Hanno cioè risolto il sistema composto dalle seguenti tre equazioni:

x = 3 mod 5,
x = 5 mod 7,
x = 1 mod 9.

Wikipedia riporta la formula risolutiva universale, ma il metodo utilizzato dalla famiglia Orsi è più carino e comprensibile.

Il tutto proviene da una discussione su Quora, figure comprese.

Qui si fanno regali un po' nerd

Molto nerd, ok.

Come funziona il generatore automatico di testi

Nel post precedente ho parlato di un generatore automatico di testi in "lingua italiana". Ecco come ho fatto a costruirlo (ho usato il python perché mi piace, ma anche chi non lo conosce dovrebbe essere in grado di seguire il sorgente, il linguaggio non lo conosco bene nemmeno io e quindi non ho usato costruzioni strane e incomprensibili).

L'idea di base è questa: non faccio una analisi statistica del testo, perché tenere una tabella delle frequenze di tutte le possibili sestine diventa improponibile. Uso invece il testo stesso come generatore.

E cioè: leggo il testo in memoria e, quando ho bisogno di generare un carattere, estraggo una lettera a caso dal testo. E fin qua è facile.

Se devo generare delle coppie di caratteri, invece, faccio così: all'inizio leggo una lettera a caso, poi a partire da un punto casuale del testo cerco la prima occorrenza di quella particolare lettera, e scelgo la lettera immediatamente successiva. Memorizzo quest'ultima lettera e continuo così.

Se poi devo generare delle terne tengo in memoria una coppia di lettere, e a partire da un punto casuale del testo cerco quella coppia e prendo la lettera successiva, e così via.

Vediamo un po' se si capisce il sorgente. Partiamo così:

f=open("i_promes.txt","r")

testo=f.read()

testo=testo.replace("\x0D","")
testo=testo.replace("\x0A","")

N=len(testo)

from random import randrange

M = 1000 #dimensione massima del testo da generare
K = 6 #memoria del generatore casuale

buffer=testo[randrange(N)]
if K==0:
  buffer=""

output=""

Dovrebbe essere semplice: leggo tutto il file all'interno della variabile testo, tolgo dai piedi i caratteri di line feed e carriage return, memorizzo in N la lunghezza del testo, e importo la funzione che mi serve per generare numeri casuali. Poi definisco M, la lunghezza del testo che deve essere generato, e K, la memoria del generatore (nello scorso post ho mostrato il risultato per i valori di K che vanno da 0 a 6).

Poi inizializzo un buffer che memorizzerà i caratteri che dovrò cercare (ma se K è uguale a zero il buffer non mi serve, quindi lo riazzero (lo so, era più elegante inserire un if, ma questa è una correzione dell'ultimo minuto…), e preparo la variabile che memorizzerà l'output e che si chiama, giustamente, output.

Ora viene il bello: la funzione che cerca, all'interno del testo, la prima occorrenza dei caratteri contenuti nel buffer. Il testo viene immaginato infinito, quando arrivo alla fine ricomincio dall'inizio.

def trova(lista,posizione):
  #restituisce il carattere successivo a quelli presenti nella lista
  #a partire dalla posizione data, cerca la prima occorrenza di lista
  #(l'ho chiamata lista, ma e' poi una stringa, ehm)
  l=len(lista)

  if l==0:
    return randrange(N)
  
  trovato = False
  c=0
  j=(posizione) % N

  while not trovato:

    if lista[c]==testo[j]:
      c+=1
    else:
      j=j-c #devo riportare indietro j, maledetto
      c=0

    if c==l:
      trovato=True

    j+=1
    j%=N

  return j%N

Questa funzione trova la posizione in cui compaiono tutti i caratteri di lista, a partire dalla posizione indicata dalla variabile posizione. Le prime righe fanno funzionare il generatore senza memoria: se la lista l è vuota, restituisci un numero casuale e basta. Altrimenti vai avanti.

La variabile trovato si occupa di fare terminare il ciclo; all'inizio non ho ancora trovato niente e quindi è settata a False. La variabile c serve per scorrere il buffer, e la j invece scorre il testo (la j viene sempre usata modulo N, in modo da essere riazzerata se supera N).

Poi comincia il ciclo di ricerca: fino a che non è stato trovato tutto ciò che è contenuto nel buffer si fa una ricerca: se il primo carattere del buffer è uguale al carattere nel testo, aumento c di 1 (così successivamente proverò col secondo carattere del buffer, col terzo, eccetera), altrimenti vado avanti. Il vado avanti mi ha fatto penare, e questo è il motivo del commento nella riga j=j-c.

Le cose stanno in questo modo: supponiamo che il buffer contenga le lettere "abc" e che nel testo siano presenti invece le lettere "aabc". Allora il primo confronto ha successo, ma il secondo no: c viene riazzerato, ma j non deve proseguire dal terzo carattere del testo, cioè b, ma deve tornare indietro. So che mi sono spiegato male, ma provate a togliere la riga maledetta e vedrete che non funziona più.

Il resto è facile: se c è uguale alla lunghezza del buffer l, ho trovato tutto quello che cercavo. Segnalo il tutto settando la variabile trovato e restituisco j (che è stato già incrementato di 1 e che quindi punta al primo carattere dopo la stringa trovata). Ed ecco fatto.

Manca il programma principale, molto semplice:

for i in xrange(M):
    j=trova(buffer,randrange(N))
    buffer+=testo[j]
    output+=testo[j]
    if len(buffer)>K:
      buffer=buffer[1:] #cancello il primo carattere


print output

Faccio un ciclo lungo M, all'interno del quale chiamo la funzione trova. Aggiungo al buffer e a output il nuovo carattere restituito da trova, e se il buffer è troppo lungo lo accorcio.

Fine.

Se avete idee per migliorare, dite pure. Con un generatore a memoria 6 comincia a diventare lento.

Sul concetto di entropia

Prima di parlare del concetto di entropia, ecco una citazione di Shannon, cioè di colui che l'ha definita nell'ambito della teoria dell'informazione:

La mia più grande preoccupazione era come chiamarla. Pensavo di chiamarla informazione, ma la parola era fin troppo usata, così decisi di chiamarla incertezza. Quando discussi della cosa con John Von Neumann, lui ebbe un'idea migliore. Mi disse che avrei dovuto chiamarla entropia, per due motivi: "Innanzitutto, la tua funzione d'incertezza è già nota nella meccanica statistica con quel nome. In secondo luogo, e più significativamente, nessuno sa cosa sia con certezza l'entropia, così in una discussione sarai sempre in vantaggio".

Quindi l'entropia è una cosa misteriosa (alla fine, un numero) che rappresenta la quantità di informazione trasportata da un messaggio, o anche una misura dell'imprevedibilità con cui si susseguono i caratteri del messaggio stesso.

Mi spiego meglio: se il messaggio è "1111111111", non è che esso trasporti una gran quantità di informazione. Se una sorgente trasmette sequenzialmente dei caratteri, e io vedo che questi sono sempre degli 1, bé, non sarò sorpreso se, mettendomi in ascolto, osservo in continuazione degli 1. Detto in un altro modo: un libro in cui l'unico carattere utilizzato è 1 è un libro abbastanza noioso, e non ho problemi a immaginare come andrà a finire.

Se invece apro un libro e leggo "Il cielo sopra il porto aveva il colore della televisione sintonizzata su un canale morto", ecco che già faccio fatica a prevedere cosa succederà dopo, e mi vien voglia di andare avanti a leggere (poi cambierò idea dopo tre pagine, ma questa è un'altra storia). Il testo trasporta più informazione di quello banale composto solo dalla cifra 1, anche se in esso è presente ancora della ridondanza. Ad esempio, riconosco il fatto che si tratta della lingua italiana. So che se vedo una "q" è molto probabile che dopo ci sia una "u".

Se poi mi trovo davanti a un testo completamente disordinato, qualcosa del tipo "k853LhbzTF" (testo generato tramite il servizio random.org, che assicura di generare in modo davvero casuale i caratteri), ecco che esso è completamente irriconoscibile e imprevedibile. Non posso sapere quale sarà il prossimo carattere.

Bene, non dirò nient'altro sull'entropia, prima devo studiare… Però vorrei mostrare i risultati di un esperimento.

Ho preso un testo della lingua italiana (di cui non rivelerò ora il titolo), ed ho fatto una statistica sulle frequenze delle singole lettere. Dopodiché ho costruito un generatore casuale di testi che rispetti la statistica trovata: ecco il risultato:

h ban se;ldf lnam idecos ao uobuguceandoi rozin rt iiemPeoiadoroel:r tangvaaanitirnata n ie r aaoin lcrl iigmmprci,n'neriu eaìvrs dl n omgPruunnsed!ais e vrauaeabito va.' ennictu o h ie iso onemn c msfa ete eo ete.n'c oauaonreo asemi ae oszào, iie ef s o rrrihlie ePirgeoreunssad ioedatc arte,t ecal i olseo quiirom cp qia vram aiuhnr lesaanacponeaaho eìcnidcfo elsrenrtlcioaoauichis egoo.eevss fhspie lu ehenrbo gaodelnaomoo:oftpzitn oe uodacaau A qvtm àmlaa od na l,u aud romrudia d ai, etfcssinid s iunldanaouvi giuleer hngr io ouaanrncnoios vo,- oan iaaiscìutir:sn; rt ipp -i faeecqQseenhu btir cen aeetev mn spesoaot se ,sia mclnnuden eitn eascsnacpeet a tao nuaoe soreeecesig pò o o oe cctoiòiaiu' oaai cete ?,lfas p nlnl etrteria ersnoeaneaenaqrplen o reaangoileo'enrloeitltc aùittvnn ,qaussst-i i uuna r i oozitsptevcrinotgliiolnccpa aea;tv aiciEotnanoeoa clIcaepofeetttenaslin aeais ntrn c,o a o t rrt urn nbdvo eeel sne osmnartsg ùna-ignstzcr itcnu madom nn

Totalmente incomprensibile, ma se fate un'analisi delle frequenze, scoprite che l'andamento è quello della lingua italiana.

Questo generatore di testi è senza memoria: ogni lettera non dipende dalla precedente, il sistema non ricorda nulla. Se esce una "q", dopo potrebbe uscire qualunque lettera.

Ho allora provato a costruire un generatore diverso, a memoria 1, in cui ogni lettera dipende, in un qualche modo, dalla precedente. Ho insomma seguito la statistica delle coppie di lettere della lingua italiana. Ecco qua:

eno sutrtiaitrila fagugl è e ce ment'è APo, - che ssi a e'eri dia meva seroves' da Viniso enongntencomatuell'è E vina. rglunti, anunorelosì diuofono, ltel veradadi era guerd'aneverorina crove e sisare Laramen di d'e, liabrsici querirtttisuche le fenne pe.Litò, de, ciatrò no.Ini ater nn funnuti diguerovi emevamen a be pechemisto, spitto all'astenevera, cavenio bbernzimo ss'avamichen'etelllla chi Tri scenochemei io merso, duscranontade avelotò a'ive, de chanto. bin o, coratomo me a e quaronn pesue aruo devesté enzavò erte ve pprbavosego, n e ma inda. ma e cuia arva qungilantovavirinelche, cori din Ciù cinovi nto. i illì? to nderela po, enzi dò danzzidisuonacoi anelun del ua, dincheti; ceve spre Di - ccal stedopproste Indasase, lendosomia quore pe di, a pennta i apopomisccore enessere evantanzzaler cicia con iù a, co. esi che cigi si Avenzina chol'orone patrbendeli di l ginqunove le; ccassstolerca erolltrero. pittol di futerm'atti. che a, co. sa Ehe vevoran Ve tenca iarinonongl'i la, di F

Visto cosa succede? Vengono generate delle parole che assomigliano, in modo molto vago, a parole italiane. Se volete giocare, non andate avanti nella lettura e provate a capire quale romanzo è stato usato per istruire il generatore. Secondo me non ci si riesce ancora, ma forse passando a un generatore a memoria 2 (cioè che tenta di seguire la statistica delle terne di lettere della lingua italiana) si riesce a capire qualcosa di più:

iona mo, che, doti: no nella quessarle come posio, più corresta unoripore che che farete nonervi miluttibito cappessacomene diatto anombacch'eranombo più ra Ma segli spel che guil po' mi che, ogno diver tumio, se inta ner lui, mezza, e. Il se inato d'er darcio: le ogolo l'un l'alerse pe verla vogolortiremispersichione no l'ormoste quer unon quanda che par che fostitandissi più di me fato que' verobasciate suovermagio. Scaveneva po e ta, - E quai. E, diste, lì ano chiancato, il pregna che distrimaizion rangue rità. Ne alchigno inonnizio co a corsigna maccribenz'avederno lortava, ganch'esen tire che ra medesto pova quallegrassigo ce no vi menzabittero sappezzo si e da e lo c'essempada partudeverancorava lavate, ri paggiorio, - Si Maggianducambe alibrazi trosappere sciusome paglitano dole da suoi il no da Gettorsi tre; in in griver la pia in purlo, in crivò occoricenno, d'unavanchia luole do be te se ri ve; e Rodre chi soperani fato, né il co campiù mun posta, ci, e no fati, posennal 386.

Un indizio c'è… Ma è certamente più facile risolvere il quesito con un testo generato da un generatore con memoria 3:

dott'effensolla finessuno s'asperfino; e, non mondo, per la tale si racchie dunquella scoppo che gli e invano, com'è accorso, in que' tempossata. Perchessar non sonaria, 13 fero Renza convenion venti par raccio; e racchi ricava in quella.- La gli chi, acco! magine, perca ho tro, e ancorre i botto, le conte Amare ad astata il 1629, ricura sbravamo. Giovarolentivamente: voci parebbe con fuorecissi, zamportunni.- Zittigato ancia e picchiozze, quellire: il che rappensiemeri in cera, che sequillecielargo se prime nella cheneficinquelloquesta in creder che s'ace dopo, inari mando dal sorroratichie difest'invenece arri tire: a fiori, fino, vede col tempresumano don anza sta letervitazio: e tutto: una più per rimaste d'una farsi in quel parlò da l'altri, non la stella tava più precausa. Alloro pre a rimiti, in questamenturba, riposse essegrido che lontare o che una sta andettere di passigno, padre, figli anche ne diverso la l'uominare? Non celli amincorso della suo rimammele me stra quale, in

Qui si riconoscono intere parole. Vado avanti ancora un po', ecco quello con memoria 4:

rebbe far cosa?- Io stare non ha regoli. Avuto fermaron si povero. Renzo ebbe vitato parte megliamento quell'idee superfluo. Prestarsi tutte passarmi stessero di spasimo; lasciò a così che stare, affaccente a ogni porti, lascicantando, questa padrone; ha facesse addosson ne sospetta, si tutto proprivaron tutto. " Ha delle giorno tutte le pane si dànno del vicenda; ma e con un'inchino al privile aveva piazioni poteva, si diede a forse, gettò deferenico andavanti argo. - Ben preti, dà lui con gli stesso. Socchiamaron desto d'Agnescolta, eran facenzo, e con si ragazza tutto asse forza di può con gli era un altri. - Senza, facevamo poi posalità, come poueri d'estralascio; ma che, di boccettare in cui o gli riveste dall'aria disse: - mi causa, divere: diver aprir consonaggio d'esser avvicinò, e che, e più alla monache, sentì necessi, confuso che la viotto da essendo da poco, guardando signor del cominaccia; nessuno, e dondo della se niente a di no, insegnetto, d'avessero malgrado signore? C

Memoria 5:

mo che, o piuttosto a' suoi prova innanzi don Federigo Borromeo, dovesse verso sudice qui, e si storia, che tempo è...?Ma in visto, bisogno d'ubbidirla, come scappa la grazia, rimescolata: ora il cappello, a guardata, che una tese ben essersi trovale, una nuova partite qualche spinge in fretta loro un po' di...! - Meno aspo; e senza arrivava, che, forusciti ad imitava colui che mette comanda, una parte scorsi che noi, per buon se le farmi il passo fissato.- Un po' di sorte, che andato, distribuiti alla mezzo a intrappeso, al peggio che lì, per verità: giacché il carattenzione di venendo legittima.- Renzo tanti, in buona grande davanti nobile incontrasti. Gli atti, era solitudine, legati posto all'acquistata con una scellera, guardando furono di bene. Chi è dovere una presenza terrotte piccolo quotidi, " il conti, vederei. A nessuno di cosa, doveva sentì in mezzi a torbidandosela con quale s'appagorgia, si volesse; e sarebbe a un tempo. Vinse la bianchi degni di corpo, bisogna pecorelle

E infine memoria 6:

mpo aspettata racconterò poi s'avveda.- Basta, aumentaneamenti, d'aspettava in vece vi desideri, l'immaginazioni, ai sacchi, e d'osteri, l'incarico. Una di quelli arruffate, dicendo: - è qui apposta a' monatti, il più fitti che s'avesse più alieni da dove fosse un po' dall'altra parola, arrivasse immoto; spoglia, s'alzò mezzo della morte mia, dal suo paese, avendo risaputo tenere provar la vedremo lasciar andar loro facesse ora che passeggiero era di nuovo in colloquio che credeva quindi disse, con un parentado: dice uno; onde l'orrore, figliuola; e si potesse di protezione, non provare. Ma vogliam crederlo lì quel desiderio, aveva infatti... coll'aiuto m'accorgersi e fautorità spontanetto, che potesse alla carità... gran fatti, alcuno di colui?- Sì, signoria inediti, e spediti e a male prode nelle stanza trovando pur dare avanti, il povero. - Brava gli animi alternativamento di fare una parte, più esperimento che non s'era poi, qualche di sopra questo Raccolse questi momento? - domand

Se non avete ancora capito (impossibile), vi dirò che in una prova che ho fatto mentre mettevo a punto il programma che ho usato per generare tutti questi testi è saltato fuori un certo Don Abbondanza…

Steampunk

Se il Nautilus fosse un essere vivente, invece che un sottomarino, secondo me potrebbe avere dei figli fatti così:





Questo cosino si chiama disfenoide camuso, ha 12 facce triangolari, ed è molto simpatico.

È una specie di magia

Il divertimento nel costruire poliedri col Geomag non consiste soltanto nel soddisfare la fame della propria sindrome di Peter Pan (cosa che, comunque, dà una certa soddisfazione): c'è anche qualcosa di più. Il fatto è che tu sei lì, con mille magnetini in mano che ti scappano da tutte le parti, cerchi di fare stare insieme l'aggeggio che stai costruendo puntellando un po' qua, un po' là e, quando metti l'ultimo pezzo, tac, ecco la magia: ci sta! La figura si chiude perfettamente, ti accorgi che è giusta così, e a volte ti chiedi come sia possibile che tutto si combini.

Poi, magari, ti chiedi anche come hanno fatto a studiarli e a capire che mettendo insieme un po' di quadrati e di triangoli si sarebbe ottenuta una figura stabile e chiusa. E ti immagini che salti di gioia avrebbero fatto Euclide o Archimede con in mano una scatola di Geomag, o con l'accesso a un computer con un software di geometria dinamica.

Comunque sia, non ho abbastanza pezzi per costruire altri solidi archimedei (accidenti, non riesco a fare il pallone da calcio). Alcuni solidi hanno poi facce troppo grandi (ottagoni, o decagoni) che andrebbero sostenute con un interno rigido, che non esiste in commercio. E allora ho provato a costruire qualche poliedro ancora più strano.

Questo piccolino qui, ad esempio:



si chiama ebesfenomegacorona e, sì, l'ho scelto principalmente per il nome. Wikipedia riporta l'etimologia: hebes sta per ottuso, in latino, sphenós sta per cuneo, in greco, mégas sta per grande, sempre in greco, e corona è corona sia in latino che in italiano. Quindi potremmo chiamarlo anche grande corona ottusa cuneiforme. Tre quadrati e diciotto triangoli che magicamente stanno insieme.

Chiralità

Questo poliedro apparentemente poco regolare




è uno dei tredici poliedri archimedei. La sua particolarità (oltre al nome, naturalmente: si chiama cubo camuso oppure cubo simo) è quella di essere chirale: questo significa che se lo mettiamo davanti a uno specchio, l'immagine che vediamo non è identica a quella reale — un po' come quando osserviamo una nostra mano allo specchio.

Dunque esistono due versioni di cubo simo: una destrogira e una levogira. Quella che vedete è quella destr levog è una delle due.

Nomi fantastici

Se si prende un cubo e si troncano sia i vertici che gli spigoli (cosa che non si riesce a fare con Geomag, purtroppo, questa volta le misure dei magneti non si adattano al troncamento) si ottiene una figura che si chiama rombicubottaedro, che già di per sé è un nome importante.



Se osserviamo bene, possiamo notare una specie di cintura fatta di quadrati (costruita con magneti blu), sui cui bordi sono appoggiate due scodelle, una con la concavità verso l'alto e una con la concavità verso il basso (costruite con magneti rossi). Bene, questa constatazione ci permette di chiamare questo solido anche col meraviglioso nome di ortobicupola quadrata elongata.

E non è finita qui: se allineiamo le due scodelle in modo che a un quadrato della parte superiore corrisponda un triangolo della parte inferiore, e viceversa, otteniamo un nuovo poliedro, che non è più un solido archimedeo:

e che viene detto girobicupola quadrata elongata.

Il tetraedro troncato

A partire da un tetraedro,



eliminando i quattro piccoli tetraedri ai vertici si ottiene il tetraedro troncato, composto da quattro esagoni e quattro triangoli (qui gli esagoni sono stati riempiti da triangoli, altrimenti la figura non sta in piedi)

Ed ecco il cubottaedro

A partire da un ottaedro un po' grosso,

 

tagliando le sei piramidi a base quadrata, si ottiene un bel cubottaedro, composto da otto triangoli e sei quadrati.

Babbo, ma quando posso giocare io?

Il figlio piccolo ha tirato fuori la scatola dei Geomag, e io non ho potuto resistere. Volevo costruire una struttura autoportante, ma non il solito icosaedro. E allora ho costruito un icosaedro più grande…

 

La struttura è solidissima, e mette in evidenza le sotto-strutture pentagonali che non appaiono quando si costruisce un icosaedro più piccolo.

E allora, rimuovendo le piramidi a basi pentagonali e sostituendole con pentagoni di plastica che hanno lo scopo di rendere la struttura più solida, e aggiungendo poi qualche triangolino, si può costruire anche un fantastico icosidodecaedro:

Dodici pentagoni e venti triangoli, sessanta spigoli e venti vertici: uno dei tredici poliedri archimedei.

A me pare bellissimo.

Snumeratezza

Si stava parlando, in seconda, di pi greco (ogni tanto capita, si vede che è un numero che attira la curiosità, non so) e uno studente ha domandato: ma è vero che qualcuno ha calcolato sei miliardi di cifre di pi greco?

Io ho risposto che, sì, certamente qualcuno le avrà calcolate; e ora scopro che il record attuale è di oltre mille miliardi, ma non è questo il punto. Il punto è che lo studente poi, stupito, si è chiesto quanto tempo ci avrà messo, questo pazzo furioso, a calcolarsi sei miliardi di cifre di pi greco a mano.

Allora io gli ho fatto notare che il pazzo furioso ha certamente usato un computer, che è impossibile che se le sia calcolate a mano, e gli ho chiesto di provare a calcolare quanti quaderni gli ci sarebbero voluti per contenere sei miliardi di cifre, utilizzando una cifra per ogni quadretto. E lui mi ha guardato strano, come se gli avessi assegnato un compito impossibile.

E l'ho invitato a provarci, partendo dai quadretti contenuti in un foglio. Aiutandosi magari con un righello (i quadretti sono da 4 millimetri, di solito) si trova che in un foglio ce ne stanno circa 52×73, cioè 3796. Un quaderno standard ha 20 fogli piegati a metà, cioè 40 fogli, 80 facciate, per un totale di 303680 quadretti.

I numeri cominciano a diventare grossi, e non è semplice immaginarseli; ora si può calcolare il numero di quaderni necessari per contenere sei miliardi di cifre di pi greco: una semplice divisione ci dà il risultato di 19757, facciamo 20000.

Quanto spazio occuperanno ventimila quaderni? Quanti ce ne stanno in questa stanza? Quanto è grande questa stanza? Ma come facciamo a calcolarlo, dobbiamo prendere un metro?

Ho risposto che non serviva una misura precisa, che sarebbe bastato dare un'occhiata alle mattonelle sul pavimento, che sono quadrati di circa 20 centimetri di lato. Per farla breve, è risultato che l'aula può contenere più di 400000 quaderni. È impossibile, ha esclamato qualcuno. Abbiamo sbagliato i conti! E allora io l'ho invitato a fare una stima più semplice, quella del numero di mattonelle presenti sul pavimento. E lui ha risposto che, boh, saranno state cinquanta, forse cento. In realtà con una divisione si è scoperto che sono 900. Così tante? Impossibile!

Poi è saltato fuori anche un altro argomento, classico quasi quanto il pi greco: quante volte si può piegare un foglio di carta. Ho iniziato con un problema noto (a quelli pratici dell'ambiente, naturalmente): se si potesse piegare un foglio di carta quante volte quante si vuole, quante pieghe si dovrebbero fare per arrivare fino alla Luna? Gli studenti hanno stimato a occhio che sarebbero serviti milioni di pieghe, mentre tutti sanno che la risposta è un semplice 42. Effettivamente è una risposta che ha dell'incredibile, ma è giusta.

Sembra che il record per la piegatura di un foglio di carta sia, attualmente, pari a 12 volte (quello di 13 pieghe non è stato omologato perché il malloppo risultante non stava in piedi da solo, ma aveva bisogno della stabilizzazione fornita dal peso di qualche studente). Qualcuno mi ha chiesto perché non si riesce a fare di più, in fondo basta avere a disposizione un foglio molto grande. L'ho invitato a fare il calcolo, prendendo ad esempio un foglio di carta grande quanto un campo da calcio (in ogni classe c'è sempre qualche studente che conosce le misure di un campo da calcio al millimetro).

Le misure di un campo da calcio sono variabili, per un'area che va dai 6400 agli 8250 metri quadrati: facciamo 8000. Dopo la prima piega diventano 4000, poi 2000, poi 1000, 500, 250, 125 (facciamo 128), 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. E siamo arrivati alla misura di un foglio A0. Dividiamo ancora una volta e otteniamo un A1, poi un A2, un A3 e infine un A4. Totale: 17 pieghe, che corrispondono a uno spessore di 2¹⁷ pagine, cioè 131072. Piegando un foglio delle dimensioni di un campo da calcio si ottiene un libro di più di 130 mila pagine. Vedete, ho detto prendendo in mano un foglio A4, su un campo da calcio ci stanno centotrentamila fogli fatti così. E qualcuno, nonostante l'evidenza matematica, ha detto che era impossibile.

Ecco, tutto questo per dire che noi ci preoccupiamo di spiegare argomenti complicati come le disequazioni, i radicali o la geometria euclidea, usiamo l'algebra per astrarre sempre più, tendiamo a non eseguire più operazioni ma ci accontentiamo di indicarle, mentre chi ci sta davanti ha pochissima praticità già con i semplici numeri, quando sono un po' grandi (dove grande significa superiore a 20, di solito (le dita delle mani più quelle dei piedi, sì)).

E anche io, che ho scritto queste cose, ho un po' paura a schiacciare il bottone pubblica, perché potrei avere fatto qualche errore di calcolo. Sai che figura, dopo.

Il potere del teatro, e quello delle maestre (ovvero: coi gattini non si sbaglia mai)

Io e mia moglie abbiamo uno strano rapporto col teatro: ci piace sederci davanti, sotto al palco; ci piace vedere gli attori da vicino, ci piace renderci conto del fatto che è tutto vero: loro sono lì, l'opera d'arte è irripetibile, non ci sono effetti speciali, montaggi, trucchi. Ci piacciono gli sputini che fanno quando parlano, per dire come siamo messi. E ci succede una cosa strana: quando, alla fine dello spettacolo, si presentano tutti al pubblico, ringraziano e ricevono gli applausi, bé, noi ci commuoviamo.

Insomma, siamo stati a uno spettacolo teatrale un po' anomalo. Gli attori erano tutti bimbi di quarta elementare, e tra di loro ce n'era uno che, quando è arrivato in prima, non parlava. Dico, non parlava proprio, aveva problemi vari di cui non conosco la diagnosi precisa, ma di cui conosco l'effetto: a scuola aveva (e ha ancora) bisogno della maestra di sostegno.

Bé, in questo spettacolo teatrale la compagnia di quarta elementare ha proposto una libera interpretazione della Storia di una gabbianella e del gatto che le insegnò a volare. La trama, a grandi linee, è quella del romanzo, ma al suo interno gli attori hanno inserito le loro storie, le loro esperienze personali. L'hanno attualizzata e personalizzata.

Ebbene, il bimbo che in prima non parlava era anche lui un attore. Impersonava uno dei gatti amici del gatto protagonista, e aveva una parte comica: uno dei suoi amici gatti si mangiava sempre le parole, non sapeva pronunciare termini un po' difficili e allora lui interveniva e, con perfetta dizione, pronunciava il termine in modo corretto. La prima volta siamo rimasti tutti un po' stupiti, mai avremmo pensato che si sarebbe esposto a tanto. Mai l'avevamo sentito parlare davanti a tanta gente. La seconda volta abbiamo sorriso. La terza abbiamo riso di gusto.

E, dunque, se io e mia moglie ci commuoviamo di fronte a attori sconosciuti che ricevono gli applausi del loro pubblico, figuratevi come ci siamo sentiti di fronte a questi attori, alla fine dello spettacolo. Se, poi, aggiungiamo il fatto che tra di loro c'era anche il nostro figlio più piccolo, potete immaginare la scena pietosa.

Quanto sono grandi i buchi piccoli quanto si vuole, ovvero: dell'utilità dell'ultimo teorema di Fermat

Sul quarto di circonferenza di raggio unitario che giace nel primo quadrante ci sono infiniti punti a coordinate razionali.

«Eeh?».

«Dai, circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine…».

«Ok».

«Prendo il quarto che sta nel primo quadrante».

«Eh».

«Bene: lì sopra ci stanno infiniti punti con coordinate razionali».

«E perché?».

«Sai cosa sono le terne pitagoriche?».

«Uffa, sì, lo so. Sono terne di numeri naturali che soddisfano il teorema di Pitagora».

«Esempio?».

«Per esempio, 3,4 e 5. La somma dei quadrati costruiti sui cateti 3 e 4, cioè 9 e 16, dà come risultato il quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè 25».

«Bene. Diciamo quindi che le terne pitagoriche soddisfano all'equazione x² + y² = z²».

«Giusto».

«O, anche, all'equazione (x/z)² + (y/z)² = 1».

«Ecco che complichi».

«Ma no, era solo per dire che (3/5)² + (4/5)² = 1».

«Ok, ma perché la scrivi così? Perché ti piace avere un 1 a destra dell'uguale?».

«Perché l'equazione x² + y² = 1 è l'equazione della circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine».

«Ah, ora ci sono: prendiamo il quarto di circonferenza nel primo quadrante perché usiamo numeri naturali, che sono lati di triangoli rettangoli».

«E quindi, dato che esistono infinite terne pitagoriche, ecco che esistono infiniti punti a coordinate razionali sull'arco di circonferenza in blu che ti disegno qua sotto».

«E tutte quelle curve verdi cosa sono?».

«Sono alcune delle infinite curve di equazione xⁿ + yⁿ = 1. Se le disegnassimo tutte, vedremmo l'angolo in alto a destra del quadrato completamente pieno».

«Anche loro conterranno infiniti punti a coordinate razionali, suppongo».

«Supponi male».

«Ma come?».

«Rifacendo il ragionamento di prima all'indietro, se esistessero punti a coordinate razionali che stanno sulle curve verdi, esisterebbero terne di numeri naturali che soddisfano all'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ».

«Uh, l'ultimo teorema di Fermat».

«Eh, già».

«Ma allora, nell'angolo in alto a destra del quadrato non ci sono punti a coordinate razionali?».

«Certo che ce ne sono, infiniti».

«Ma se ci sono infinite curve verdi, senza punti a coordinate razionali!».

«Adesso hai capito il titolo di questo post?».

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Da una discussione sulla lista Cabrinews.

Tesori nascosti

Girellando per l'internet in attesa di andare a dormire, ma senza fretta perché con questa neve ci hanno chiuso le scuole un'altra volta, ti capita davanti un post di uno che vuole trasmetterti la gioia di aver scoperto un tesoro nascosto, e tu lo leggi incuriosito, e scopri che questo tesoro è un pezzo scritto su Quora da un anonimo matematico che cerca di spiegarti come ragiona la gente come lui, e quello che l'ha scoperto te lo descrive così, con queste parole:

Insomma, il nostro anonimo scrive questo pezzo, che è ovviamente brillante, ma è bello, sincero, quasi commovente nel parlarti di una cosa che sono in pochi ad avere. E tu che pensi che i matematici genii sono tutti pazzi (è vero, alcuni lo sono), leggilo, ‘sto pezzo, che se io penso che una mezza medaglia Fields mi viene a scrivere 15777 caratteri (spazi esclusi) di come ci si sente ad essere lui mi vengono i le lacrime (e anche questo è internet: cioè che uno che ha visto i sette mari e scoperto tesori e combattutto battaglie viene da te sulla battigia, che hai il libro di pirati sottobraccio e il moccio al naso, e ti racconta com’è, davvero, i pirati e i sette mari. Poi decidi tu, ma intanto lo sai.).

E allora tu ti chiedi e che sarà mai, cos'è questa esaltazione, poi, dato che non hai fretta, perché tanto domattina puoi dormire un po' di più, vai a leggerlo di persona. E scopri che è proprio così, la bellezza, la commozione, i pirati, il moccio al naso. Ed è una meraviglia.

E quindi grazie, anonimo matematico, e grazie, Aubrey McFato, per averlo letto, e per averci fatto anche un epub.

επακταί ημήραι — parte 4

«Di algoritmi per il calcolo della Pasqua ce ne sono tanti, ma quello ufficiale è naturalmente quello proposto da Giglio, Clavio e amici».

«Mi pare giusto. Com'è fatto?».

«Primo: calcoliamo il numero d'oro».

«Che sarebbe?».

«Abbiamo detto che esiste un ciclo quasi perfetto che uguaglia 19 anni a 235 mesi sinodici: in 19 anni ci sono 235 lune piene, insomma».

«Ok».

«E allora il numero d'oro è un numero compreso tra 1 e 19 che ci dice a che punto siamo del ciclo. Ecco la formuletta:».

A = anno mod 19 + 1.

«Prendo l'anno, divido per 19, calcolo il resto, aggiungo 1?».

«Esatto. Per quest'anno, A = 18».

«Fin qua ci siamo».

«Poi si calcola il numero del secolo:».

B = anno div 100 + 1.

«Con div intendi la divisione intera, vero?».

«Sì. Per quest'anno, B = 21».

«Giusto».

«Poi dobbiamo tenere in considerazione la conversione da calendario giuliano a calendario gregoriano, perché quello gregoriano ha 3 anni bisestili in meno ogni 4 secoli».

C = (3 × B) div 4 - 12.

«Vediamo, per il 2012 risulterebbe C = 3, ma mi sfugge il senso».

«Sai che, col calendario gregoriano, non tutti gli anni divisibili per 4 sono bisestili».

«So che quelli divisibili per 100 lo sono solo se sono anche divisibili per 400».

«Esatto. La riforma del calendario è avvenuta nel 1582; il primo anno divisibile per 100 è stato il 1600, bisestile. Il successivo è 1700, non bisestile (mentre lo sarebbe stato, se si fosse seguito il calendario giuliano), poi 1800, non bisestile, poi ancora 1900, non bisestile, e infine 2000, bisestile. Quindi in tutto 3 anni bisestili in meno rispetto a quelli del calendario giuliano».

«Bene».

«Ora dobbiamo prendere in considerazione il famoso ciclo di 19 anni, il ciclo di Metone. Dato che non è accuratissimo, bisogna correggerlo: sbaglia di un giorno ogni 310 anni (giuliani), il che corrisponde circa a 8 giorni in 25 secoli (gregoriani):».

D = (8 × B + 5) div 25 - 5.

«Allora, per il 2012 dovrebbe essere D = 1».

«Ok».

«Non capisco, siamo nel ventunesimo secolo, manca poco al venticinquesimo, perché D = 1?».

«Tieni presente che la correzione deve partire dal 1582, quindi 25 secoli saranno passati solo quando arriveremo nel quarantesimo secolo».

«Ah, ecco».

«Ora dobbiamo calcolare il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo. Dato che un anno è uguale a 52 settimane più un giorno, il giorno in cui cade il 21 marzo cade ogni anno un giorno più tardi, mentre negli anni bisestili cade due giorni più tardi. In totale, sono 5 giorni in più ogni 4 anni. E, come se non bastasse, dobbiamo tenere conto anche della correzione sugli anni bisestili gregoriani, cioè il valore di C calcolato prima. Ecco la formula:».

E = (anno × 5) div 4 - 10 - C.

«Allora, quest'anno avremo che E = 2502, ma che significa?».

«Se calcoli 2502 mod 7, ottieni 3, e infatti quest'anno il 21 marzo sarà un mercoledì, terzo giorno della settimana. Non calcoliamo subito il valore di E modulo 7, perché lo useremo poi in un'altra formula che già prevede il calcolo del modulo».

«Ok. Ora, abbiamo finito?».

«Eh, no, ora viene il bello: dobbiamo calcolare l'epatta».

«Eh?».

«L'epatta è l'età della luna all'inizio dell'anno. Ogni anno la luna piena cade 11 giorni prima, rispetto all'anno precedente, perché l'anno solare è di 11 giorni più lungo di 12 mesi sinodici. Dobbiamo poi tenere conto anche delle correzioni calcolate prima in C e in D, e anche del fatto che un mese sinodico non è lungo esattamente 30 giorni, ma un po' meno, cioè 29.53059 giorni (o, se vogliamo, 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi). Infine, l'anno solare non è davvero 11 giorni più lungo dei 12 mesi lunari, in realtà è 10.89 giorni più lungo. Insomma, risulta questo calcolone:».

F = ( (11 × A + 20 + D - C) mod 30 + 30) mod 30,
Se F = 24 oppure se (F = 25 e A>11) allora F va aumentato di 1.

«Mi viene F = 6, per il 2012».

«Esatto, quest'anno l'epatta è proprio 6».

«Ma perché aggiungi 30 e fai un secondo modulo 30? Che senso ha?».

«Per valori dell'anno grandi, potrebbe succedere che F risulti un valore negativo. Allora si aggiunge 30 e si ricalcola il modulo 30, così si calcola sempre un valore positivo».

«Ah. E quella seconda riga in cui modifichi F se sono vere alcune condizioni?».

«Quella tiene conto delle imprecisioni che si avrebbero considerando il mese sinodico di esattamente 30 giorni e la differenza tra anno solare e 12 mesi lunari di esattamente 11 giorni. Una delle condizioni richieste da papa Gregorio era quella di mantenere la tradizione: secondo il calendario giuliano la prima luna piena di primavera non poteva cadere il 19 aprile, ma secondo questi nuovi calcoli, sì. Per questo motivo viene effettuata quella correzione su F, quando risulta uguale a 24. Se invece risulta uguale a 25, e però nel secolo in corso ci sono stati, o ci saranno, anni con epatta pari a 24, allora la luna piena non cadrà il 18 aprile, ma il 17. Le tradizioni sono dure a morire: era così nel calendario giuliano, che aveva solo 19 valori possibili per l'epatta, uno per ogni anno del ciclo metonico, e questa strana correzione è rimasta anche col calendario gregoriano».

«Gulp».

«Detto in altri termini: dopo 19 anni le epatte dovrebbero ripetersi, ma 19 moltiplicato 11 (i famosi 11 giorni di differenza tra anno solare e 12 mesi lunari) fa 209, che non è un multiplo di 30, ma è uguale a 29 modulo 30. Questo significa che il ciclo delle epatte non si chiude, e per fare in modo che tutto torni è necessario aggiungere 1 al valore dell'epatta ogni 19 anni. Questa correzione si chiama saltus lunae».

«Sempre più difficile».

«Detto questo, abbiamo quasi fatto. La prima luna piena dopo il 21 marzo, o la luna appena precedente, sarà».

G = 44 - F.

«Che, sempre per il 2012, risulta 38. Cosa significa?».

«Significa che il 38-esimo giorno di marzo è la luna piena».

«Ma marzo non ha 38 giorni!».

«E allora si va ad aprile: il 7 aprile, per la precisione».

«Ah. E 44 da dove viene?».

«Eh, abbiamo detto che l'epatta è l'età della luna, cioè quanti giorni sono passati dalla luna nuova. La luna piena si ha, per definizione, 14 giorni dopo; 44 è semplicemente 30+14, serve per arrivare alla luna piena di marzo. Attenzione al fatto che non sempre il calcolo di G ci dà proprio la luna di marzo: se non è così dobbiamo correggerne il valore:».

se G < 21 allora G = G + 30.

«Bene. Abbiamo finito?».

«Sì, per trovare la domenica, basta quest'ultimo calcolo. Parto dal giorno della luna piena, aggiungo 7 giorni, e torno indietro fino a incontrare la domenica:».

G + 7 - (E + G) mod 7.

«Ce l'abbiamo fatta: per il 2012 risulta 39. Quindi, il 39 marzo?».

«Proprio così».

«Che non esiste, allora passiamo ad aprile: risulta l'otto aprile».

«Per sapere se la risposta è giusta, ti lascio con l'annuncio ufficiale della Pasqua di quest'anno, letto il giorno dell'Epifania nelle chiese cattoliche:».

Fratelli carissimi, la gloria del Signore si è manifestata e sempre si manifesterà in mezzo a noi fino al suo ritorno. Nei ritmi e nelle vicende del tempo ricordiamo e viviamo i misteri della salvezza.
Centro di tutto l'anno liturgico è il Triduo del Signore crocifisso, sepolto e risorto, che culminerà nella domenica di Pasqua l'8 aprile 2012.
In ogni domenica, Pasqua della settimana, la santa Chiesa rende presente questo grande evento
nel quale Cristo ha vinto il peccato e la morte. Dalla Pasqua scaturiscono tutti i giorni santi: le Ceneri, inizio della Quaresima, il 22 febbraio 2012. L'Ascensione del Signore, il 20 maggio 2012. La Pentecoste, il 27 maggio 2012. La prima domenica di Avvento, il 2 dicembre 2012.
Anche nelle feste della santa Madre di Dio, degli Apostoli, dei Santi e nella commemorazione dei fedeli defunti, la Chiesa pellegrina sulla terra proclama la Pasqua del suo Signore.
A Cristo che era, che è e che viene, Signore del tempo e della storia, lode perenne nei secoli dei secoli.

«Amen».

«Buon carnevale».

«E buona Pasqua».

---

Di queste cose ne avevano già parlato proprio loro, i Rudi Mathematici, nel numero 134 della prestigiosa rivista di matematica ricreativa. E adesso ne ho parlato anche io, perché scrivere è un buon metodo per comprendere un argomento.

Un'analisi del calendario gregoriano, che utilizza anche le frazioni continue, è qua.

Il testo originale di Cristoforo Clavio, con tutti i calcoletti, è qui. Auguri.

Qui una parte del testo di Clavio viene analizzata, in modo da estrarre degli algoritmi comprensibili.

Qui si può giocare con in vari algoritmi, e fare calcoli online (funziona solo con internet explorer, roba da matti). Se provate a far fare al sistema qualche calcolo, potete vedere che nel 2019 si verificherà il cosiddetto paradosso pasquale: la pasqua astronomica dovrebbe cadere il 24 marzo, ma in realtà sarà festeggiata il 21 aprile (è il caso dell'epatta 24, che deve essere corretta in 25).

Una completa analisi sul calcolo dell'epatta si trova qui.

Uno si può domandare, a questo punto, quanto deve essere lungo un vero calendario perpetuo riciclabile per tutte le occasioni. Allora, il ciclo di Metone dura 19 anni. Il calcolo del numero C corregge l'epatta per gli anni di inizio secolo (ci siamo capiti, il secolo inizia l'anno dopo) non bisestili, che sono 3 ogni 400 anni. C viene utilizzato per il calcolo di F, che lo renderà periodico se diventa multiplo di 30 (il mese sinodico): succede ogni 4000 anni. D corregge l'epatta di 8 giorni ogni 25 secoli, cioè 30 giorni in 9375 anni, e poiché D è basato anche sul numero del secolo, il ciclo dovrà essere multiplo di 100; il minimo comune multiplo di 9375 e 100 è 37500. Il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo dipende dal ciclo principale del calendario gregoriano, che dura 400 anni. Allora, il ciclo generale per la Pasqua gregoriana ha una durata pari al minimo comune multiplo tra 19, 4000, 37500 e 400: 5 milioni e 700 mila anni. Un calendarietto.

La data più frequente, per la Pasqua, è il 19 aprile: 220400 volte su 5700000 (grazie alla correzione di F, che sposta il 26 aprile alla settimana precedente). La seconda data più frequente è il 18 aprile (la correzione di F a volte sposta il 25 aprile al 18 aprile). La meno frequente è 22 marzo.

Se la luna piena ecclesiastica capita il 21 marzo ed è sabato, allora la Pasqua cade il giorno 22 marzo: è la Pasqua più precoce possibile, la Pasqua bassa. Se invece il 21 marzo è domenica, la Pasqua sarà festeggiata la domenica successiva. Se invece la luna piena ecclesiastica capita il 20 marzo (inverno!), la luna piena primaverile arriva 29 giorni dopo, il 18 aprile. Se questo giorno è domenica, la Pasqua cade la domenica dopo, il 25 aprile, detto di Pasqua alta.

L'ultima Pasqua bassa si ebbe nel 1818 e la prossima si avrà nel 2285. L'ultima Pasqua alta si ebbe invece nel 1943 e la prossima nel 2038.

Il 21 marzo si celebra san Benedetto, mentre il 25 aprile compreso san Marco, da qui il detto: non sequitur Marcum, nec precedit Benedictum (o meglio, non precede e non coincide con san Benedetto, ma in latino si conta in modo veramente strano).

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