επακταί ημήραι — parte 4

«Di algoritmi per il calcolo della Pasqua ce ne sono tanti, ma quello ufficiale è naturalmente quello proposto da Giglio, Clavio e amici».

«Mi pare giusto. Com'è fatto?».

«Primo: calcoliamo il numero d'oro».

«Che sarebbe?».

«Abbiamo detto che esiste un ciclo quasi perfetto che uguaglia 19 anni a 235 mesi sinodici: in 19 anni ci sono 235 lune piene, insomma».

«Ok».

«E allora il numero d'oro è un numero compreso tra 1 e 19 che ci dice a che punto siamo del ciclo. Ecco la formuletta:».

A = anno mod 19 + 1.

«Prendo l'anno, divido per 19, calcolo il resto, aggiungo 1?».

«Esatto. Per quest'anno, A = 18».

«Fin qua ci siamo».

«Poi si calcola il numero del secolo:».

B = anno div 100 + 1.

«Con div intendi la divisione intera, vero?».

«Sì. Per quest'anno, B = 21».

«Giusto».

«Poi dobbiamo tenere in considerazione la conversione da calendario giuliano a calendario gregoriano, perché quello gregoriano ha 3 anni bisestili in meno ogni 4 secoli».

C = (3 × B) div 4 - 12.

«Vediamo, per il 2012 risulterebbe C = 3, ma mi sfugge il senso».

«Sai che, col calendario gregoriano, non tutti gli anni divisibili per 4 sono bisestili».

«So che quelli divisibili per 100 lo sono solo se sono anche divisibili per 400».

«Esatto. La riforma del calendario è avvenuta nel 1582; il primo anno divisibile per 100 è stato il 1600, bisestile. Il successivo è 1700, non bisestile (mentre lo sarebbe stato, se si fosse seguito il calendario giuliano), poi 1800, non bisestile, poi ancora 1900, non bisestile, e infine 2000, bisestile. Quindi in tutto 3 anni bisestili in meno rispetto a quelli del calendario giuliano».

«Bene».

«Ora dobbiamo prendere in considerazione il famoso ciclo di 19 anni, il ciclo di Metone. Dato che non è accuratissimo, bisogna correggerlo: sbaglia di un giorno ogni 310 anni (giuliani), il che corrisponde circa a 8 giorni in 25 secoli (gregoriani):».

D = (8 × B + 5) div 25 - 5.

«Allora, per il 2012 dovrebbe essere D = 1».

«Ok».

«Non capisco, siamo nel ventunesimo secolo, manca poco al venticinquesimo, perché D = 1?».

«Tieni presente che la correzione deve partire dal 1582, quindi 25 secoli saranno passati solo quando arriveremo nel quarantesimo secolo».

«Ah, ecco».

«Ora dobbiamo calcolare il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo. Dato che un anno è uguale a 52 settimane più un giorno, il giorno in cui cade il 21 marzo cade ogni anno un giorno più tardi, mentre negli anni bisestili cade due giorni più tardi. In totale, sono 5 giorni in più ogni 4 anni. E, come se non bastasse, dobbiamo tenere conto anche della correzione sugli anni bisestili gregoriani, cioè il valore di C calcolato prima. Ecco la formula:».

E = (anno × 5) div 4 - 10 - C.

«Allora, quest'anno avremo che E = 2502, ma che significa?».

«Se calcoli 2502 mod 7, ottieni 3, e infatti quest'anno il 21 marzo sarà un mercoledì, terzo giorno della settimana. Non calcoliamo subito il valore di E modulo 7, perché lo useremo poi in un'altra formula che già prevede il calcolo del modulo».

«Ok. Ora, abbiamo finito?».

«Eh, no, ora viene il bello: dobbiamo calcolare l'epatta».

«Eh?».

«L'epatta è l'età della luna all'inizio dell'anno. Ogni anno la luna piena cade 11 giorni prima, rispetto all'anno precedente, perché l'anno solare è di 11 giorni più lungo di 12 mesi sinodici. Dobbiamo poi tenere conto anche delle correzioni calcolate prima in C e in D, e anche del fatto che un mese sinodico non è lungo esattamente 30 giorni, ma un po' meno, cioè 29.53059 giorni (o, se vogliamo, 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi). Infine, l'anno solare non è davvero 11 giorni più lungo dei 12 mesi lunari, in realtà è 10.89 giorni più lungo. Insomma, risulta questo calcolone:».

F = ( (11 × A + 20 + D - C) mod 30 + 30) mod 30,
Se F = 24 oppure se (F = 25 e A>11) allora F va aumentato di 1.

«Mi viene F = 6, per il 2012».

«Esatto, quest'anno l'epatta è proprio 6».

«Ma perché aggiungi 30 e fai un secondo modulo 30? Che senso ha?».

«Per valori dell'anno grandi, potrebbe succedere che F risulti un valore negativo. Allora si aggiunge 30 e si ricalcola il modulo 30, così si calcola sempre un valore positivo».

«Ah. E quella seconda riga in cui modifichi F se sono vere alcune condizioni?».

«Quella tiene conto delle imprecisioni che si avrebbero considerando il mese sinodico di esattamente 30 giorni e la differenza tra anno solare e 12 mesi lunari di esattamente 11 giorni. Una delle condizioni richieste da papa Gregorio era quella di mantenere la tradizione: secondo il calendario giuliano la prima luna piena di primavera non poteva cadere il 19 aprile, ma secondo questi nuovi calcoli, sì. Per questo motivo viene effettuata quella correzione su F, quando risulta uguale a 24. Se invece risulta uguale a 25, e però nel secolo in corso ci sono stati, o ci saranno, anni con epatta pari a 24, allora la luna piena non cadrà il 18 aprile, ma il 17. Le tradizioni sono dure a morire: era così nel calendario giuliano, che aveva solo 19 valori possibili per l'epatta, uno per ogni anno del ciclo metonico, e questa strana correzione è rimasta anche col calendario gregoriano».

«Gulp».

«Detto in altri termini: dopo 19 anni le epatte dovrebbero ripetersi, ma 19 moltiplicato 11 (i famosi 11 giorni di differenza tra anno solare e 12 mesi lunari) fa 209, che non è un multiplo di 30, ma è uguale a 29 modulo 30. Questo significa che il ciclo delle epatte non si chiude, e per fare in modo che tutto torni è necessario aggiungere 1 al valore dell'epatta ogni 19 anni. Questa correzione si chiama saltus lunae».

«Sempre più difficile».

«Detto questo, abbiamo quasi fatto. La prima luna piena dopo il 21 marzo, o la luna appena precedente, sarà».

G = 44 - F.

«Che, sempre per il 2012, risulta 38. Cosa significa?».

«Significa che il 38-esimo giorno di marzo è la luna piena».

«Ma marzo non ha 38 giorni!».

«E allora si va ad aprile: il 7 aprile, per la precisione».

«Ah. E 44 da dove viene?».

«Eh, abbiamo detto che l'epatta è l'età della luna, cioè quanti giorni sono passati dalla luna nuova. La luna piena si ha, per definizione, 14 giorni dopo; 44 è semplicemente 30+14, serve per arrivare alla luna piena di marzo. Attenzione al fatto che non sempre il calcolo di G ci dà proprio la luna di marzo: se non è così dobbiamo correggerne il valore:».

se G < 21 allora G = G + 30.

«Bene. Abbiamo finito?».

«Sì, per trovare la domenica, basta quest'ultimo calcolo. Parto dal giorno della luna piena, aggiungo 7 giorni, e torno indietro fino a incontrare la domenica:».

G + 7 - (E + G) mod 7.

«Ce l'abbiamo fatta: per il 2012 risulta 39. Quindi, il 39 marzo?».

«Proprio così».

«Che non esiste, allora passiamo ad aprile: risulta l'otto aprile».

«Per sapere se la risposta è giusta, ti lascio con l'annuncio ufficiale della Pasqua di quest'anno, letto il giorno dell'Epifania nelle chiese cattoliche:».

Fratelli carissimi, la gloria del Signore si è manifestata e sempre si manifesterà in mezzo a noi fino al suo ritorno. Nei ritmi e nelle vicende del tempo ricordiamo e viviamo i misteri della salvezza.
Centro di tutto l'anno liturgico è il Triduo del Signore crocifisso, sepolto e risorto, che culminerà nella domenica di Pasqua l'8 aprile 2012.
In ogni domenica, Pasqua della settimana, la santa Chiesa rende presente questo grande evento
nel quale Cristo ha vinto il peccato e la morte. Dalla Pasqua scaturiscono tutti i giorni santi: le Ceneri, inizio della Quaresima, il 22 febbraio 2012. L'Ascensione del Signore, il 20 maggio 2012. La Pentecoste, il 27 maggio 2012. La prima domenica di Avvento, il 2 dicembre 2012.
Anche nelle feste della santa Madre di Dio, degli Apostoli, dei Santi e nella commemorazione dei fedeli defunti, la Chiesa pellegrina sulla terra proclama la Pasqua del suo Signore.
A Cristo che era, che è e che viene, Signore del tempo e della storia, lode perenne nei secoli dei secoli.

«Amen».

«Buon carnevale».

«E buona Pasqua».

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Di queste cose ne avevano già parlato proprio loro, i Rudi Mathematici, nel numero 134 della prestigiosa rivista di matematica ricreativa. E adesso ne ho parlato anche io, perché scrivere è un buon metodo per comprendere un argomento.

Un'analisi del calendario gregoriano, che utilizza anche le frazioni continue, è qua.

Il testo originale di Cristoforo Clavio, con tutti i calcoletti, è qui. Auguri.

Qui una parte del testo di Clavio viene analizzata, in modo da estrarre degli algoritmi comprensibili.

Qui si può giocare con in vari algoritmi, e fare calcoli online (funziona solo con internet explorer, roba da matti). Se provate a far fare al sistema qualche calcolo, potete vedere che nel 2019 si verificherà il cosiddetto paradosso pasquale: la pasqua astronomica dovrebbe cadere il 24 marzo, ma in realtà sarà festeggiata il 21 aprile (è il caso dell'epatta 24, che deve essere corretta in 25).

Una completa analisi sul calcolo dell'epatta si trova qui.

Uno si può domandare, a questo punto, quanto deve essere lungo un vero calendario perpetuo riciclabile per tutte le occasioni. Allora, il ciclo di Metone dura 19 anni. Il calcolo del numero C corregge l'epatta per gli anni di inizio secolo (ci siamo capiti, il secolo inizia l'anno dopo) non bisestili, che sono 3 ogni 400 anni. C viene utilizzato per il calcolo di F, che lo renderà periodico se diventa multiplo di 30 (il mese sinodico): succede ogni 4000 anni. D corregge l'epatta di 8 giorni ogni 25 secoli, cioè 30 giorni in 9375 anni, e poiché D è basato anche sul numero del secolo, il ciclo dovrà essere multiplo di 100; il minimo comune multiplo di 9375 e 100 è 37500. Il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo dipende dal ciclo principale del calendario gregoriano, che dura 400 anni. Allora, il ciclo generale per la Pasqua gregoriana ha una durata pari al minimo comune multiplo tra 19, 4000, 37500 e 400: 5 milioni e 700 mila anni. Un calendarietto.

La data più frequente, per la Pasqua, è il 19 aprile: 220400 volte su 5700000 (grazie alla correzione di F, che sposta il 26 aprile alla settimana precedente). La seconda data più frequente è il 18 aprile (la correzione di F a volte sposta il 25 aprile al 18 aprile). La meno frequente è 22 marzo.

Se la luna piena ecclesiastica capita il 21 marzo ed è sabato, allora la Pasqua cade il giorno 22 marzo: è la Pasqua più precoce possibile, la Pasqua bassa. Se invece il 21 marzo è domenica, la Pasqua sarà festeggiata la domenica successiva. Se invece la luna piena ecclesiastica capita il 20 marzo (inverno!), la luna piena primaverile arriva 29 giorni dopo, il 18 aprile. Se questo giorno è domenica, la Pasqua cade la domenica dopo, il 25 aprile, detto di Pasqua alta.

L'ultima Pasqua bassa si ebbe nel 1818 e la prossima si avrà nel 2285. L'ultima Pasqua alta si ebbe invece nel 1943 e la prossima nel 2038.

Il 21 marzo si celebra san Benedetto, mentre il 25 aprile compreso san Marco, da qui il detto: non sequitur Marcum, nec precedit Benedictum (o meglio, non precede e non coincide con san Benedetto, ma in latino si conta in modo veramente strano).