How to Solve It
György Pólya (per gli amici americani George Polya) ha scritto un libro che insegna a risolvere i problemi.
Quella che leggete qua sotto è una traduzione delle prime pagine del libro, nelle quale l'autore schematizza il suo metodo (il resto del libro è dedicato all'approfondimento del metodo, invece). Sono bene accetti suggerimenti aventi lo scopo di migliorarla.
(È tutto legale: l'autore permette di pubblicare, fotocopiare, tradurre, diffondere il suo schema. Basta cercare con google il titolo del libro per trovare l'originale in giro per la rete, per esempio qui.)
[Edit: il documento, eventualmente modificato e corretto, sta anche qua]
Capire il problema
Cosa si deve trovare? Quali sono i dati? Quali sono le condizioni?
È possibile soddisfare le condizioni? Le condizioni sono sufficienti per determinare ciò che si deve trovare? Oppure sono insufficienti? O ridondanti? O contraddittorie?
Disegna una figura. Introduci una notazione appropriata.
Separa le varie parti delle condizioni. Puoi scriverle secondo la notazione scelta?
Elaborare una strategia
Hai già visto in precedenza questo problema? Oppure hai visto lo stesso problema presentato in una forma leggermente diversa?Conosci un problema simile? Conosci un teorema che potrebbe essere utile?
Guarda le incognite! E prova a pensare a un problema che conosci già che ha le stesse incognite, o incognite simili.
Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza. Puoi utilizzarlo? Puoi usare i suoi risultati? Puoi usare il suo metodo di risoluzione? Potresti introdurre alcuni elementi ausiliari per rendere possibile l'uso di quel problema?
Puoi riformulare il problema? Puoi riformularlo una seconda volta in un modo ancora diverso?
Se non riesci a risolvere il problema dato, prova prima a risolvere un problema simile al tuo. Puoi pensare a un problema analogo più semplice? A un problema più generale? A un problema più specifico? A un problema analogo? Puoi risolvere una parte del problema? Prova a tenere solo una parte delle condizioni, lasciando perdere il resto; quanto differisce il risultato che riesci a trovare da quello richiesto dal problema? Come può variare? Puoi ricavare qualcosa di utile dai dati? Puoi pensare ad altri dati utili per determinare ciò che devi trovare? Puoi cambiare le incognite, oppure i dati, o entrambi se necessario, in modo tale che le nuove incognite e i nuovi dati siano più vicini tra loro?
Hai usato tutti i dati? Hai usato tutte le condizioni? Hai preso in considerazione tutte le nozioni essenziali coinvolte nel problema?
Mettere in pratica la strategia
Nello svolgimento della strategia, controlla ogni passaggio. Riesci a riconoscere in modo chiaro che il passaggio è corretto? Puoi dimostrare che è corretto?Controllare
Puoi controllare il risultato? Puoi controllare le tue deduzioni?Puoi ricavare il risultato in modo diverso? Puoi trovarlo con un'occhiata?
Puoi usare il risultato, o il metodo di risoluzione, per qualche altro problema?
Post
32 commenti:
Tanto di cappello, ma non mi sembra niente di eclatante.
Almeno queste prime due pagine.
Quello che enuncia è un procedimento generico che non dico si impari a scuola, ma che con molto esercizio e un po' di furbizia e attenzione uno può facilmente ricordare, o pensandoci ancor con di più, elencare, per farne un libro.
E un po' come se io scrivessi un megatrattato su "come svoltare a destra in Italia" e riempissi pagine di:
"Hai guardato a destra e a sinistra?
hai il piede sulla frizione? La marcia ingranata?"
E via dicendo.
Ripeto, sicuramente sono io l'ignorante superficiale, ma non mi sembra la fine del mondo.
Un metodo per imparare un metodo di risoluzione non l'hanno ancora scritto?
Non tutto è ovvio come svoltare a destra (e comunque ai bambini insegni a guardare anche dall'altra parte, quando fanno una curva).
Risolvere i problemi non è una cosa così ovvia, pensa a quelli di geometria euclidea che facevi al biennio.
Altro esempio, classico e che, forse, conosci già, preso da questo libro:
Un orso, partendo da un punto P, cammina per un chilometro verso sud. Poi cambia direzione e cammina un chilometro verso est. Poi volta ancora a sinistra e cammina per un chilometro verso nord, arrivando esattamente sul punto P dal quale era partito. Di che colore è l'orso?
Prova a risolverlo (motivando), poi mi dici.
Risolvere problemi non è cosa ovvia, ma come tentare di farlo sì.
Bisogna analizzare le incognite, i dati in possesso, gli esempi precedenti... tutta roba trita e ritrita.
L'esempio dell'orso poi mi sfugge, non ci vuole un genio per capire che il problema è impossibile da risolvere senza ulteriori dati.
Qui ti sbagli, non è tutto ovvio. Il problema dell'orso si risolve - anzi, è molto interessante. Prova.
@Ronkas: Hai un Prof. in gambissima, ma tu tieni duro, non mollare!
è bianco, perchè l'unico posto dove puoi spostarti come fa l'orso e tornare al punto P è il polo nord...( poi potrebbe essere un orso bruno marsicano che si è perso, ma questo è un'altro discorso)
p.s. che bello, non mi sento del tutto stupido nonostante i vari 3 e 4 !
Per Obi:
se per "unico punto" intendi proprio il Polo Nord (lat.90°, long. quellachetipare), allora bisognerebbe correggere un po' quell'aggettivo "unico".
Il tutto, però, senza cambiare colore all'orso...:-)
Già già. Come mai il punto non è unico? Quanti ce ne sono ancora? Ci sono orsi bianchi al polo sud?
già già... il punto non è unico! :-)
ci sono altri punti sulla terra dove è possibile ritrovarsi dopo aver compiuto un chilometro verso sud, uno verso est e uno verso nord. Si trovano però tutti intorno al polo sud. Ma al polo sud, NO orsi banchi!
Ho letto però con interesse il tema sulla risoluzione dei problemi.
Già alla scuola media è un tema "cruciale". Tanti ragazzi trovano difficoltà, anzi sempre più ragazzi trovano difficoltà!
ahimé...!
Trovo nella traduzione degli spunti interessanti...
Io guido alla risoluzione dei problemi di geometria, partendo dalla domanda finale:
1) qual è la richiesta?
2) rispondi alla domanda senza preoccuparti di altro.. (naturalmente il ragazzo deve possedere la conoscenza delle formule e/o proprietà...)
3) analizza uno per uno i parametri presenti nella formula scritta.
Es: b lo conosco? Se sì, sostituisci nella formula alla lettera il dato numerico. SE no... me lo vado a preparare!
4)Come si trova b?
a questo punto può presentarsi la soluzione con altra formula conosciuta oppure può essere necessario "utilizzare i dati".
5) infatti: un problema si risolve con i dati che ho!
E qui il ragazzo è portato a considerare con attenzione i dati e pian piano a utilizzarli, elaborarli.... a porsi domande: "cosa posso fare con tale dato ...", utilizzare informazioni ecc...
Utilizzo questo metodo con chi trova difficoltà, lascio naturalmente libera scelta all'alunno che segue diverse procedure, discutendo con la classe le diverse soluzioni...
Bello il problema dell'orso!
Peccato che Obi l'abbia rovinato così... senza dare tempo per pensare XD
si..in effetti potrebbe andare anche un qualsiasi punto che, dopo un chilometro verso sud ti porti in un altro punto ( P') in cui girare intorno al polo sud comporti un percorso di esattamente un chilometro (verso est) per poi tornare a P' e poi a P puntando nuovamente a sud.
Ma resta il fatto che a sud non ci sono orsi...
ops, intendevo *puntando poi verso nord*...
Alla faccia del modo preciso, analitico e matematico di risolvere i problemi!
Passate direttamente dallo scoprire il punto esatto in cui i dati sono verificati a definire con certezza il colore dell'orso!
Fino al punto posso essere d'accordo, ma il resto è tutta "spannometria" (come direbbe una nostra vecchia conoscenza).
E per giunta, a voler fare i pignoli, non è nemmeno specificato che la superficie in cui ci si muove è la terra.
Perciò, scusate se rompo le uova nel paniere, ma mi risulta un esempio un po' infelice, che si avvicina di più a un concetto di indovinello per bambini, più che un problema.
Spero che nel libro sia valutato questo aspetto, se no sarebbe una doppia delusione.
@Giovanna: sì, la risoluzione dei problemi è un problema... Sembrano cose ovvie, dopo che le si è lette. Ma quando ti trovi di fronte a un problema da risolvere, non sempre le ricordi tutte.
@obi: bravo, hai trovato un'infinità di altri punti, ma ce ne sono altre ancora...
@ronkas: sei una borsa! Un orso al polo nord è certamente bianco, non c'è nessun tipo di spannometria. E il senso del problema non è quello, comunque. E, come vedi, sembrava una cosa banale ma non è ancora stato risolto completamente (e poi, oltre alla terra conosci altri luoghi abitati da orsi?).
Io il libro l'ho comprato 15 anni fa e mi era piaciuto molto. Ho comprato anche Mathematics and plausible reasonings e un terzo di cui mi sfugge il titolo, sempre di Polya e sempre sullo stesso tema del "problem solving".
Sono più utili ad un insegnante che ad uno studente pero'.
ciao Dario
Dici che uno studente non potrebbe trovare spunti interessanti (a parte quel borioso di Ronkas :-))?
Ad essere sincero non trovo punti deboli nel ragionamento di Ronkas.
Ed è risaputo, come dice Bressanini, che il problem solving sia soprattutto una metodologia didattica.
Certamente bianco?
E se un qualche pazzo ci avesse portato un bel grizzly?
Non è specificato quindi la soluzione non è certa.
Altri posti oltre alla terra con orsi?
Che io non ne conosca altri non è detto che in tutto l'universo non ne esistano.
Borioso lo sarei se pretendessi di sapere con certezza questo, di conoscere e decretare per tutto l'universo. :)
Sonny&Me dice tutto, è quello che volevo proprio far passare: metologia didattica, scritta bene, con tutti i carismi (e forse neanche) ma pur sempre un comune approfondimento, non sicuramente rivelazione sbalorditiva.
Un Bravo Risolutore Di Problemi avrebbe forse fatto le tue obiezioni sul colore dell'orso, ma avrebbe colto il senso del problema (che non è ancora stato risolto completamente, ma ci siamo quasi). Quindi vai a studiare che appena ti vedo ti faccio delle domande difficili.
Teoricamente intorno al polo Sud se prendo una circonferenza lunga 1 Km e mi colloco a distanza di un Km da questa circonferenza, seguendo le istruzioni date dal problema mi ritrovo al punto di partenza. È questa l'altra infinità di punti...
Vorrei porvi un problema sul quale ci ho perso un bel po' la testa.
Ho un dado normale a 6 facce, con un solo lancio devo sorteggiare 1 persona su 8, ognuna delle 8 persone da sorteggiare deve avere la certezza di avere 1 possibilità su 8 di uscire, ovviamente, spiegatemi come faccio.
P.s. vale anche per 1 su 12 un metodo simile.
Questa soluzione era già stata proposta da obi, no?
Per il problema del dado: era stato proposto tempo fa su un Rudi Mathematici. Dunque so la soluzione :-)
Prof, no non credo che uno studente possa trarne giovamento senza un "filtro" del docente. Quando usa gli esempi tratti dai libri di Eulero, per far vedere come un ragionamento euristico possa essere utili, se non c'è un docente che inquadra il problema, temo che i tuoi studenti darebbero fuori di matto :D
ciao Dario
mi era (s)fuggito il commento di obi.
ma alla fine della fiera esiste un metodo?
non sarebbe meglio dimostrare che non esiste un metodo?
Un metodo per risolvere tutti i problemi? Certo che no, altrimenti che gusto ci sarebbe? :-)
Se lo volete, potete prendere il libro in pdf da qui:
http://mihd.net/atbupx
Ehi ci ho pensato su, teoricamente intorno al polo sud vale per le circonferenze di raggio 1/n Km.
Giusto: i sono infinite circonferenze intorno al polo sud che soddisfano il problema.
"controllare," does this mean "check?" If so, it does not do justice to "look back"
(I apologize for not reading the comments closely - it is quite hard for me)
This last stage can involve far more than just a verification of the answer.
We can pose a new problem. We can generalize. We can investigate other methods of solution.
It is the most neglected phase of problem solving for young students, and deserves more emphasis.
In Hungarian they place the family name first: Pólya György.
Jonathan
Thank you, jd2718. You are right: "check" is different from "look back". I accept suggestions in order to improve my translation...
Some comments (written by students) say that Polya's method isn't revolutionary, in fact they say that it's quite obvious. Other comments say that it's dedicated to teachers, not to students.
I believe that Polya recorded the habits of good problem solvers, but that he did not invent or discover them.
Jonathan
Posta un commento