György Pólya (per gli amici americani George Polya) ha scritto un libro che insegna a risolvere i problemi.
Quella che leggete qua sotto è una traduzione delle prime pagine del libro, nelle quale l'autore schematizza il suo metodo (il resto del libro è dedicato all'approfondimento del metodo, invece). Sono bene accetti suggerimenti aventi lo scopo di migliorarla.
(È tutto legale: l'autore permette di pubblicare, fotocopiare, tradurre, diffondere il suo schema. Basta cercare con google il titolo del libro per trovare l'originale in giro per la rete, per esempio qui.)
[Edit: il documento, eventualmente modificato e corretto, sta anche qua]
Capire il problema
Cosa si deve trovare? Quali sono i dati? Quali sono le condizioni?
È possibile soddisfare le condizioni? Le condizioni sono sufficienti per determinare ciò che si deve trovare? Oppure sono insufficienti? O ridondanti? O contraddittorie?
Disegna una figura. Introduci una notazione appropriata.
Separa le varie parti delle condizioni. Puoi scriverle secondo la notazione scelta?
Elaborare una strategia
Hai già visto in precedenza questo problema? Oppure hai visto lo stesso problema presentato in una forma leggermente diversa?Conosci un problema simile? Conosci un teorema che potrebbe essere utile?
Guarda le incognite! E prova a pensare a un problema che conosci già che ha le stesse incognite, o incognite simili.
Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza. Puoi utilizzarlo? Puoi usare i suoi risultati? Puoi usare il suo metodo di risoluzione? Potresti introdurre alcuni elementi ausiliari per rendere possibile l'uso di quel problema?
Puoi riformulare il problema? Puoi riformularlo una seconda volta in un modo ancora diverso?
Se non riesci a risolvere il problema dato, prova prima a risolvere un problema simile al tuo. Puoi pensare a un problema analogo più semplice? A un problema più generale? A un problema più specifico? A un problema analogo? Puoi risolvere una parte del problema? Prova a tenere solo una parte delle condizioni, lasciando perdere il resto; quanto differisce il risultato che riesci a trovare da quello richiesto dal problema? Come può variare? Puoi ricavare qualcosa di utile dai dati? Puoi pensare ad altri dati utili per determinare ciò che devi trovare? Puoi cambiare le incognite, oppure i dati, o entrambi se necessario, in modo tale che le nuove incognite e i nuovi dati siano più vicini tra loro?
Hai usato tutti i dati? Hai usato tutte le condizioni? Hai preso in considerazione tutte le nozioni essenziali coinvolte nel problema?
Mettere in pratica la strategia
Nello svolgimento della strategia, controlla ogni passaggio. Riesci a riconoscere in modo chiaro che il passaggio è corretto? Puoi dimostrare che è corretto?Controllare
Puoi controllare il risultato? Puoi controllare le tue deduzioni?Puoi ricavare il risultato in modo diverso? Puoi trovarlo con un'occhiata?
Puoi usare il risultato, o il metodo di risoluzione, per qualche altro problema?
53 commenti:
Tanto di cappello, ma non mi sembra niente di eclatante.
Almeno queste prime due pagine.
Quello che enuncia è un procedimento generico che non dico si impari a scuola, ma che con molto esercizio e un po' di furbizia e attenzione uno può facilmente ricordare, o pensandoci ancor con di più, elencare, per farne un libro.
E un po' come se io scrivessi un megatrattato su "come svoltare a destra in Italia" e riempissi pagine di:
"Hai guardato a destra e a sinistra?
hai il piede sulla frizione? La marcia ingranata?"
E via dicendo.
Ripeto, sicuramente sono io l'ignorante superficiale, ma non mi sembra la fine del mondo.
Un metodo per imparare un metodo di risoluzione non l'hanno ancora scritto?
Non tutto è ovvio come svoltare a destra (e comunque ai bambini insegni a guardare anche dall'altra parte, quando fanno una curva).
Risolvere i problemi non è una cosa così ovvia, pensa a quelli di geometria euclidea che facevi al biennio.
Altro esempio, classico e che, forse, conosci già, preso da questo libro:
Un orso, partendo da un punto P, cammina per un chilometro verso sud. Poi cambia direzione e cammina un chilometro verso est. Poi volta ancora a sinistra e cammina per un chilometro verso nord, arrivando esattamente sul punto P dal quale era partito. Di che colore è l'orso?
Prova a risolverlo (motivando), poi mi dici.
Risolvere problemi non è cosa ovvia, ma come tentare di farlo sì.
Bisogna analizzare le incognite, i dati in possesso, gli esempi precedenti... tutta roba trita e ritrita.
L'esempio dell'orso poi mi sfugge, non ci vuole un genio per capire che il problema è impossibile da risolvere senza ulteriori dati.
Qui ti sbagli, non è tutto ovvio. Il problema dell'orso si risolve - anzi, è molto interessante. Prova.
@Ronkas: Hai un Prof. in gambissima, ma tu tieni duro, non mollare!
è bianco, perchè l'unico posto dove puoi spostarti come fa l'orso e tornare al punto P è il polo nord...( poi potrebbe essere un orso bruno marsicano che si è perso, ma questo è un'altro discorso)
p.s. che bello, non mi sento del tutto stupido nonostante i vari 3 e 4 !
Per Obi:
se per "unico punto" intendi proprio il Polo Nord (lat.90°, long. quellachetipare), allora bisognerebbe correggere un po' quell'aggettivo "unico".
Il tutto, però, senza cambiare colore all'orso...:-)
Già già. Come mai il punto non è unico? Quanti ce ne sono ancora? Ci sono orsi bianchi al polo sud?
già già... il punto non è unico! :-)
ci sono altri punti sulla terra dove è possibile ritrovarsi dopo aver compiuto un chilometro verso sud, uno verso est e uno verso nord. Si trovano però tutti intorno al polo sud. Ma al polo sud, NO orsi banchi!
Ho letto però con interesse il tema sulla risoluzione dei problemi.
Già alla scuola media è un tema "cruciale". Tanti ragazzi trovano difficoltà, anzi sempre più ragazzi trovano difficoltà!
ahimé...!
Trovo nella traduzione degli spunti interessanti...
Io guido alla risoluzione dei problemi di geometria, partendo dalla domanda finale:
1) qual è la richiesta?
2) rispondi alla domanda senza preoccuparti di altro.. (naturalmente il ragazzo deve possedere la conoscenza delle formule e/o proprietà...)
3) analizza uno per uno i parametri presenti nella formula scritta.
Es: b lo conosco? Se sì, sostituisci nella formula alla lettera il dato numerico. SE no... me lo vado a preparare!
4)Come si trova b?
a questo punto può presentarsi la soluzione con altra formula conosciuta oppure può essere necessario "utilizzare i dati".
5) infatti: un problema si risolve con i dati che ho!
E qui il ragazzo è portato a considerare con attenzione i dati e pian piano a utilizzarli, elaborarli.... a porsi domande: "cosa posso fare con tale dato ...", utilizzare informazioni ecc...
Utilizzo questo metodo con chi trova difficoltà, lascio naturalmente libera scelta all'alunno che segue diverse procedure, discutendo con la classe le diverse soluzioni...
Bello il problema dell'orso!
Peccato che Obi l'abbia rovinato così... senza dare tempo per pensare XD
si..in effetti potrebbe andare anche un qualsiasi punto che, dopo un chilometro verso sud ti porti in un altro punto ( P') in cui girare intorno al polo sud comporti un percorso di esattamente un chilometro (verso est) per poi tornare a P' e poi a P puntando nuovamente a sud.
Ma resta il fatto che a sud non ci sono orsi...
ops, intendevo *puntando poi verso nord*...
Alla faccia del modo preciso, analitico e matematico di risolvere i problemi!
Passate direttamente dallo scoprire il punto esatto in cui i dati sono verificati a definire con certezza il colore dell'orso!
Fino al punto posso essere d'accordo, ma il resto è tutta "spannometria" (come direbbe una nostra vecchia conoscenza).
E per giunta, a voler fare i pignoli, non è nemmeno specificato che la superficie in cui ci si muove è la terra.
Perciò, scusate se rompo le uova nel paniere, ma mi risulta un esempio un po' infelice, che si avvicina di più a un concetto di indovinello per bambini, più che un problema.
Spero che nel libro sia valutato questo aspetto, se no sarebbe una doppia delusione.
@Giovanna: sì, la risoluzione dei problemi è un problema... Sembrano cose ovvie, dopo che le si è lette. Ma quando ti trovi di fronte a un problema da risolvere, non sempre le ricordi tutte.
@obi: bravo, hai trovato un'infinità di altri punti, ma ce ne sono altre ancora...
@ronkas: sei una borsa! Un orso al polo nord è certamente bianco, non c'è nessun tipo di spannometria. E il senso del problema non è quello, comunque. E, come vedi, sembrava una cosa banale ma non è ancora stato risolto completamente (e poi, oltre alla terra conosci altri luoghi abitati da orsi?).
Io il libro l'ho comprato 15 anni fa e mi era piaciuto molto. Ho comprato anche Mathematics and plausible reasonings e un terzo di cui mi sfugge il titolo, sempre di Polya e sempre sullo stesso tema del "problem solving".
Sono più utili ad un insegnante che ad uno studente pero'.
ciao Dario
Dici che uno studente non potrebbe trovare spunti interessanti (a parte quel borioso di Ronkas :-))?
Ad essere sincero non trovo punti deboli nel ragionamento di Ronkas.
Ed è risaputo, come dice Bressanini, che il problem solving sia soprattutto una metodologia didattica.
Certamente bianco?
E se un qualche pazzo ci avesse portato un bel grizzly?
Non è specificato quindi la soluzione non è certa.
Altri posti oltre alla terra con orsi?
Che io non ne conosca altri non è detto che in tutto l'universo non ne esistano.
Borioso lo sarei se pretendessi di sapere con certezza questo, di conoscere e decretare per tutto l'universo. :)
Sonny&Me dice tutto, è quello che volevo proprio far passare: metologia didattica, scritta bene, con tutti i carismi (e forse neanche) ma pur sempre un comune approfondimento, non sicuramente rivelazione sbalorditiva.
Un Bravo Risolutore Di Problemi avrebbe forse fatto le tue obiezioni sul colore dell'orso, ma avrebbe colto il senso del problema (che non è ancora stato risolto completamente, ma ci siamo quasi). Quindi vai a studiare che appena ti vedo ti faccio delle domande difficili.
Teoricamente intorno al polo Sud se prendo una circonferenza lunga 1 Km e mi colloco a distanza di un Km da questa circonferenza, seguendo le istruzioni date dal problema mi ritrovo al punto di partenza. È questa l'altra infinità di punti...
Vorrei porvi un problema sul quale ci ho perso un bel po' la testa.
Ho un dado normale a 6 facce, con un solo lancio devo sorteggiare 1 persona su 8, ognuna delle 8 persone da sorteggiare deve avere la certezza di avere 1 possibilità su 8 di uscire, ovviamente, spiegatemi come faccio.
P.s. vale anche per 1 su 12 un metodo simile.
Questa soluzione era già stata proposta da obi, no?
Per il problema del dado: era stato proposto tempo fa su un Rudi Mathematici. Dunque so la soluzione :-)
Prof, no non credo che uno studente possa trarne giovamento senza un "filtro" del docente. Quando usa gli esempi tratti dai libri di Eulero, per far vedere come un ragionamento euristico possa essere utili, se non c'è un docente che inquadra il problema, temo che i tuoi studenti darebbero fuori di matto :D
ciao Dario
mi era (s)fuggito il commento di obi.
ma alla fine della fiera esiste un metodo?
non sarebbe meglio dimostrare che non esiste un metodo?
Un metodo per risolvere tutti i problemi? Certo che no, altrimenti che gusto ci sarebbe? :-)
Se lo volete, potete prendere il libro in pdf da qui:
http://mihd.net/atbupx
Ehi ci ho pensato su, teoricamente intorno al polo sud vale per le circonferenze di raggio 1/n Km.
Giusto: i sono infinite circonferenze intorno al polo sud che soddisfano il problema.
"controllare," does this mean "check?" If so, it does not do justice to "look back"
(I apologize for not reading the comments closely - it is quite hard for me)
This last stage can involve far more than just a verification of the answer.
We can pose a new problem. We can generalize. We can investigate other methods of solution.
It is the most neglected phase of problem solving for young students, and deserves more emphasis.
In Hungarian they place the family name first: Pólya György.
Jonathan
Thank you, jd2718. You are right: "check" is different from "look back". I accept suggestions in order to improve my translation...
Some comments (written by students) say that Polya's method isn't revolutionary, in fact they say that it's quite obvious. Other comments say that it's dedicated to teachers, not to students.
I believe that Polya recorded the habits of good problem solvers, but that he did not invent or discover them.
Jonathan
non so se ho capito bene pero siccome l`orso percorre 3 camini ritornando allo stesso punto di partenza. per me l`aspetto interessante del problema e che mette in evidenza alcune delle notevoli differenze tra la superficie piana euclidea e la superficie sferica. infatti possiamo immaginare come l`orso nel suo cammino si sposta lungo 3 rette distinte, percorrendo una traiettoria chiusa. le direzioni citate pero sono solo 2 : nord-sud(primo cammino), ovest-est(secondo cammino) e di nuovo nord-sud cambiando solo il verso di percorrenza. quindi l`orso esegue il primo e il secondo cammino lungo due rette che su una superficie piana sarebbero parallele in quanto hanno la stessa direzione. di conseguenza non potrebbero avere mai un punto in comune come invece accade per le rette lungo le quali si muove il nostro orso. tutto e possibile grazie al fatto che la superficie terrestre e sferica per cui non esistono rette parallele. inoltre si puo dimostrare che la traiettoria dell`orso forma sulla superficie sferica un triangolo equilatero (tutti i lati lunghi 1 km) con tutti gli angoli retti(la relazione di perpendicolarita tra le direzioni nord-sud e ovest-est si mantiene per cui gli angoli alla base sono retti ed essendo il triangolo equilatero segue che anche il terzo angolo e retto) per cui la somma degli angoli interni di tale triangolo e 90+90+90=270 e cosi scopriamo un`altra differenza tra la geometria sferica e quella euclidea.
inoltre secondo me si potrebbe dimostrare con un semplice esperimento mentale che tutti i punti della terra soddisfano richieste simili. non capisco perche avete pensato solo al polo nord. immaginando di ruotare la terra facendo in modo che il polo nord coincida con l`ecuatore o con un qualunque altro punto il problema ha comunque soluzione
per quanto riguarda i problemi penso che ci sono alcuni proprio interessanti come ad esempio:
- come determinare quando un problema si puo risolvere o meno con i dati a disposizione
- quali sono i dati necessari e sufficienti per risolvere un dato problema
laurentiu, non tutti i punti vanno bene, se devi rispettare i vincoli del problema (un km verso sud, uno verso est, uno verso nord).
si zar hai regione ma io non mi riferivo necessariamente alle direzioni citate nel problema ma piutosto alle relazioni tra queste direzioni, ad un percorso generico. infatti si puo partire percorrendo 1 km verso ovest poi 1 km verso nord e pio 1 km verso est, tornando al punto di partenza. su una superficie sferica questo e possibile.inoltre ricorda che i punti cardinali sono tali perche noi tutti siamo d`accordo con questo ma nulla ci impedisce di chiamare la direzione nord-sud con il nome di ovest-est. il problema non cambia. i punti cardinali sono usati nel problema solo per permetterci di farci un`idea del cammino seguito dall`orso che diventa un`invariante rispetto alle nostre convenzioni su come descriverlo. naturalmente si deve prendere in considerazione un altro parametro importante e cioe le dimensioni della sfera su cui si esegue l`esperimento(1km su una sfera delle dimensioni della terra e poco significativo). ma ai fini di questo problema si puo anche trascurare questo parametro.
Hai ragione sul fatto che i poli, su una sfera, sono punti convenzionali. Ma non è vero che se parti da un qualunque punto di una sfera, fai 1 km verso ovest, poi 1 km verso nord e poi 1 km verso est torni al punto di partenza. Ti trovi su un parallelo diverso, il triangolo non si chiude.
un attimo, un attimo. stai trascurare un detaglio importante. il fatto che un parallelo non e una geodetica(ossia l`equivalente della retta nel piano euclideo) sulla superficie sferica, bensi una curva per cui un qualcosa che si muove sulla superficie terrestre perpendicolarmente ad essa percorre una linea di circonferenza massima ossia una geodetica e non un parallelo. altrimenti il triangolo sarebbe l`equivalente(nel piano euclideo) di un triangolo la cui base e un arco di circonferenza e non un segmento di retta. tuttavia l`unico parallelo terrestre che e anche una retta e quello che passa per l`ecuatore, per cui prendendo in considerazione i dati del problema e passando al caso reale si potrebbe dire che questo cammino sarebbe possibile su una sfera la cui lunghezza della circonferenza e uguale a 4km. infatti l`orso dovrebbe partire dal polo nord ad esempio su una linea retta(meridiano che in questo e una geodetica) fino ad incontrare il parallelo che passa per l`ecuatore (cioe percorre un quarto della circonferenza terrestre in un solo km :) ) per poi spostarsi lungo questo parallelo un altro km e da li dovrebbe tornare al punto di partenza lungo un altro meridiano. in questa situazione tutte le ipotesi sono soddisfate:
- l`orso si sposta lungo delle geodetiche
-percorre distanze uguali
-si sposta lungo i punti cardinali esattamente come citato nel problema
-torna al punto di partenza
adesso bisogna fissare le idee. e possibile che fissato un sistema di riferimento con l`origine nel centro della sfera il punto corrispondente al polo nord sia l`unico punto da dove e possibile partire e seguire un percorso che rispetti esattamente tutte le richieste del problema. ma se trascuriamo la terza ipotesi quella dei punti cardinali si puo dire che esistono infiniti punti da dove partire e seguire un percorso simile (infatti esistono al meno tre e sono i vertici del triangolo)
a e zar, mi potresti dire a che pagina del libro di polya si trova questo problema ? :D
Lo so che i paralleli non sono geodetiche, ma il problema è formulato in questo modo, facendo muovere l'esploratore lungo meridiani e paralleli. Altrimenti hai ragione, si possono fare vari triangoli con tre angoli retti, e il polo nord è un punto come un altro. (Non so a che pagina sia il problema dell'orso, a dir la verità non ricordo nemmeno se l'ho preso da quel libro: è un problema noto e mi serviva come esempio in questi commenti)
ma ZAR e PROFESSORE sono la stessa persona???
Sì, all'inizio ero "in incognito" :-)
aaa quindi lei e un professore... per caso di matematica??
eh, sì
sono sempre lieto di conoscere e di parlare con un prof di matematica, io non sono ancora un professore ma cerco di diventare. ah e una domanda prof, quando lei andava a scuola, prendeva sempre 10 in matematica?? :)
Ai miei tempi non si dava il dieci, ma sono molto orgoglioso di vari nove che ho preso...
qual`e la sua branca preferita della matematica??
Mi è piaciuto studiare analisi, mi piaceva meccanica razionale, mi è piaciuto fare la tesi in matematica applicata (caos), e ho scritto un libro sugli infiniti di Cantor. Quindi, alla fine, mi piace un po' tutto :-)
anche io da quest`anno iniziero l`analisi e non vedo l`ora, anche a me mi piace molto(so di che cosa si tratta anche se non l`ho studiata ancora). e aproposito, ho trovato un libro molto interessante che tratta di "Analisi Non-Standard". la differenza tra analisi standard e analisi non standard e che quest`ultima non usa il concetto di limite bensi di infinitesimo, introducendo i numeri iperreali. la cosa bella e che e molto piu semplificata rispetto all`analisi standard pur mantenendo il rigore. il concetto di infinitesimo e stato introdotto da leibniz ma la sua teoria era poco rigorosa ed e stata abbandonata a causa delle critiche, e il calcolo infinitesimale e stato riformulato da Cauchy e Weierstrass basandosi sul concetto di limite. tuttavia nel 1966 se mi ricordo bene un matematico e logico di nome Robinson pubblica l`analisi non standard riprendendo questo concetto di numero infinitesimo o iperreale. alcuni matematici sostenevano che l`analisi non standard doveva essere l`analisi del futuro ma purtroppo non e stato cosi...
Eh, conosco, ne ho parlato ultimamente, quest'anno vorrei usare quell'approccio a scuola.
ah, sarebbe decisamente meglio, i suoi allunni capiranno molto meglio le basi dell`analisi in questo modo. e capire meglio significa essere piu bravo quindi...
e complimenti per il libro, quando mi mettero a studiare per bene la teoria degli insiemi approfondiro anche quel argomento. :)
anche io sono atratto dalla meccanica razionale, non lo so perche solo che mi mancano delle conoscenze matematiche in particolare l`analisi :). l`algebra lineare la sto studiando adesso
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