Il cubo di Rubik

Il cubo di Rubik è composto da 27 cubetti: 8 ai vertici (cubetti con tre facce colorate), 12 di spigolo (cubetti con due facce colorate), 6 centrali (una sola faccia colorata), e uno interno (che in realtà non esiste, dato che all'interno si trova il meccanismo che permette alle facce di girare e ai cubetti di mescolarsi).

Se lo smontiamo e lo rimontiamo, abbiamo a disposizione 8! modi per rimontare i cubetti ai vertici, inoltre ogni cubetto può essere ruotato in 3 modi diversi, per un totale di

8!×3⁸ = 264539520.

Possiamo poi rimontare i cubetti di spigolo in 12! modi diversi, e ogni cubetto può essere ruotato in 2 modi diversi, per un totale di

12!×2¹² = 1961990553600.

I sei cubetti centrali, invece, sono fissi: non possiamo muoverli da dove si trovano. Quindi il totale di possibili modi in cui si può ricomporre un cubo di Rubik è il prodotto dei due valori precedenti, e cioè

519.024.039.293.878.272.000

(ho separato le cifre giusto per poter contare meglio). Però, quando il cubo è montato, non è possibile passare da una posizione ad ogni altra posizione. Per esempio, non è possibile eseguire un movimento che ruota un solo cubetto di vertice e lascia fermi tutti gli altri, oppure non è possibile invertire le facce di un solo cubetto di spigolo, lasciando fermi tutti gli altri.

Bisogna poi tenere conto anche di un'altra particolarità: un movimento di rotazione di una faccia del cubo di Rubik non può invertire la parità della sequenza di vertici senza invertire anche quella degli spigoli, e viceversa. Quindi vertici e spigoli o si trovano in una configurazione pari, o in una configurazione dispari.

Alla fine, l'impossibilità di ruotare un cubetto al vertice riduce il numero di posizioni di un fattore 3, l'impossibilità di invertire le facce di un cubetto di spigolo riduce il tutto di un fattore 2, e l'impossibilità di invertire la parità solo degli spigoli o solo dei vertici riduce il numero di posizioni di un altro fattore 2. Ci sono quindi 12 possibili insiemi di configurazioni di facce, e non si può passare da un insieme all'altro, se non smontando e rimontando il cubo. E solo uno di questi 12 insiemi è quello che contiene il cubo "risolto". Quindi attenzione: se si smonta il cubo di Rubik occorre poi rimontarlo correttamente, altrimenti potrebbe essere irrisolvibile.

Dato quindi un cubo montato correttamente, è possibile "mescolarlo" in un enorme numero di modi diversi:

43.252.003.274.489.856.000.

Per fare un po' di sensazionalismo: quanto è grande questo numero? Se mettessimo quel numero di cubi di Rubik uno di fianco all'altro, supereremmo i 200 anni luce (stima spannometrica fatta senza un cubo di Rubik sotto da poter misurare, e a meno dei soliti errori di calcolo che fanno i matematici).

(elaborato da The Unapologetic Mathematician e da Wikipedia)