Giochi proiettivi — 7. Dobble (finalmente)

“E quindi possiamo creare un gioco di carte usando i piani proiettivi?”.

“Sì. E l'abbiamo già fatto, in una versione semplice”.

“Quella del piano proiettivo con sette punti?”.

“Proprio quella. Riguardiamo la figura”.

“Vedo che hai preso la figura duale rispetto alla prima che avevamo disegnato”.

“Solo perché in questa si leggono già le carte da gioco, ma le due versioni sono equivalenti”.

“Come si fa a leggere già le carte? Dove sono, queste carte?”.

“Le carte sono i punti di questa figura, ogni carta contiene tre simboli. Guarda, te le elenco:”.

123
145
167

“Queste hanno tutte il numero 1 in comune”.

“Mentre gli altri simboli sono tutti diversi: potremmo dire che sono tre punti appartenenti alla retta 1”.

“Sì, quello che abbiamo fatto la volta scorsa. Poi ci sono queste:”.

256
247

“Che, assieme a 123, formano la retta 2, e così via. Guardiamo l'elenco completo:”.

123
145
167
256
247
346
357


“Sette carte, sette simboli diversi, tre simboli per carta”.

“Esatto. E due carte qualsiasi hanno un solo simbolo in comune”.

“Perché per due punti passa una sola retta, vero?”.

“Esatto. O, anche, perché due rette si intersecano in un sol punto”.

“Ah, certo, sempre grazie alla dualità”.

“Già. Ora, per ogni piano proiettivo potresti costruire un mazzo di carte da gioco riportanti un certo numero di simboli, con la certezza che due carte qualsiasi hanno sempre un solo simbolo in comune”.

“Ed esistono giochi di questo tipo?”.

“Sì, ce n'è uno che si chiama Dobble, e che ha un mazzo con più di 50 carte”.

“Ah. Che piano proiettivo è stato usato?”.

“Il piano di ordine 7”.

“Oh. Secondo quanto abbiamo detto, ogni carta dovrebbe contenere 8 simboli”.

“Proprio così”.

“E ci dovrebbero essere 7² + 7 + 1 = 57 simboli diversi”.

“Giusto”.

“E anche 57 carte”.

“Purtroppo no”.

“Ma come?”.

“Eh, per motivi che non sono noti ci sono solo 55 carte”.

“Ma che senso ha?”.

“Qualcuno dice che sia per ragioni di stampa: 55 carte le puoi stampare su un foglio che ha 11 righe e 5 colonne, 57 invece potresti farlo solo con un foglio 19 × 3, e forse le macchine che vengono usate per la stampa non permettono di farlo”.

“Peccato, però”.

“Eh, sì. Guarda, questo sarebbe l'elenco completo di tutte le 57 carte, in cui i simboli sono i numeri che vanno da 0 a 56”.

0  1  2  3  4  5  6  7
0  8  9 10 11 12 13 14
0 15 26 27 28 29 30 31
0 16 21 32 41 42 43 44
0 17 22 36 40 50 54 56
0 18 23 33 37 46 51 55
0 19 24 34 38 45 49 53
0 20 25 35 39 47 48 52
1  8 15 16 17 18 19 20
1  9 26 32 33 34 35 36
1 10 22 27 41 45 46 47
1 11 21 31 39 50 53 55
1 12 23 28 38 43 52 54
1 13 25 29 37 42 49 56
1 14 24 30 40 44 48 51
2  8 27 32 37 38 39 40
3  8 23 26 41 48 49 50
4  8 21 30 34 46 52 56
5  8 22 29 35 43 51 53
6  8 24 28 36 42 47 55
7  8 25 31 33 44 45 54
2  9 15 21 22 23 24 25
2 11 17 26 42 45 51 52
2 12 18 29 34 44 47 50
2 10 16 30 35 49 54 55
2 14 20 28 33 41 53 56
2 13 19 31 36 43 46 48
4  9 18 27 42 48 53 54
5  9 17 28 39 44 46 49
3  9 16 31 38 47 51 56
7  9 19 29 40 41 52 55
6  9 20 30 37 43 45 50
5 12 15 32 45 48 55 56
4 11 15 33 40 43 47 49
3 10 15 36 37 44 52 53
7 14 15 35 38 42 46 50
6 13 15 34 39 41 51 54
5 13 16 24 27 33 50 52
3 14 17 25 27 34 43 55
6 11 19 23 27 35 44 56
7 12 20 21 27 36 49 51
4 13 20 22 26 38 44 55
5 14 19 21 26 37 47 54
6 12 16 25 26 40 46 53
7 10 18 24 26 39 43 56
4 10 19 25 28 32 50 51
3 11 20 24 29 32 46 54
7 13 17 23 30 32 47 53
6 14 18 22 31 32 49 52
4 12 17 24 31 35 37 41
4 14 16 23 29 36 39 45
5 11 18 25 30 36 38 41
5 10 20 23 31 34 40 42
3 12 19 22 30 33 39 42
3 13 18 21 28 35 40 45
7 11 16 22 28 34 37 48
6 10 17 21 29 33 38 48

“Uh, quanta roba. C'è un modo per disegnarlo?”.

“Eh, ci sarebbe, ma sarebbe poco comprensibile, con 57 rette. Guarda:”.

“Argh”.

“Bella roba, eh? Viene da Wolfram Alpha, ripreso da questo post che ha tante belle figure, compresa un'analisi delle carte di Dobble (che è stato pubblicato anche con un altro nome, Spot It!)”.

“Uh, che bellezza”.

“Io mi limito a mettere le carte in una griglia, ordinate in modo tale che si possano intuire le rette, un po' come abbiamo fatto quando abbiamo costruito il piano proiettivo di ordine 3 partendo dal piano affine e aggiungendo la retta impropria. I buchi vuoti, purtroppo, corrispondono alle due carte mancanti”.

“Oh, ecco tutte le carte. Come faccio a intuire le rette?”.

“Non sono ancora tutte le carte: mancano quelle che compongono la retta impropria, che ti mostro tra un po'. Adesso osserva, per esempio, la prima riga. Vedi che tutte le carte hanno in comune uno stesso simbolo?”.

“Sì, il clown”.

“Ecco, tutte le righe orizzontali, cioè le rette orizzontali, sono identificate da un simbolo”.

“Vedo: il punto interrogativo nella seconda riga, il fantasmino nella terza, e così via”.

“Sì. Ora pensa che tutte le rette orizzontali dovranno convergere verso un unico punto, un punto della retta impropria”.

“Che, quindi conterrà i sette simboli relativi alle sette rette”.

“Esatto. In più, conterrà un ottavo simbolo, quello della retta impropria”.

“E gli altri sette punti della retta impropria, come sono fatti?”.

“Ci sono tutte le rette verticali, per esempio, che si intersecano in uno di quei punti. Poi ci sono le diagonali, sia ascendenti che discendenti. Poi viene il difficile”.

“Benissimo”.

“Immagina una diagonale che parta dal primo vertice in alto a sinistra, e che poi prosegua spostandosi di due carte a destra e una sola in basso”.

“Ah, una diagonale non inclinata di 45 gradi”.

“Esatto. Poi immagina un'altra diagonale che si muova di tre carte a destra e una in basso, e così via, mettendo tutte le combinazioni possibili.”.

“Uh, ecco perché il disegno completo ha tante rette”.

“Eh, sì, le rette sono tante quante i punti: 57. Tieni presente che le diagonali possono uscire da un lato e rientrare dall'altro”.

“Uh? In che senso?”.

“Guarda, questa è una diagonale:”.

# . . . . . .
. . . . # . .
. # . . . . .
. . . . . # .
. . # . . . .
. . . . . . #
. . . # . . .

“Ah. Avanti di uno, giù di due. Quando esco da un lato, rientro dall'altro”.

“Proprio così”.

“E quindi, abbiamo otto punti per la retta impropria?”.

“Sì, eccoli:”.

“Vedo. Il loro simbolo è la bomba”.

“Esatto, e gli altri simboli invece corrispondono ai gruppi di rette parallele che si intersecano in quel particolare punto”.

“Capito. Beh, niente male per un giochetto di carte”.

“C'è tanta matematica sotto, già.”.

“Se volessi creare un gioco analogo con più carte, dovrei passare all'ordine 8, vero?”.

“Sì, con 73 carte. Mentre se tu ne volessi meno, dovresti passare all'ordine 5, perché l'ordine 6 non esiste”.

“Ah, già. Con l'ordine 5 avrei solo 31 carte. Beh, chi l'avrebbe mai detto che con la matematica si costruiscono giochi da tavolo?”.

“E questo non è l'unico”.

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Alcuni riferimenti:

Lo scettico — con l'elenco di tutte le carte e di tutti i simboli di Dobble.

Puzzlewocky — con delle meravigliose figure.

Ericmoorehouse — con tutto quello che sappiamo oggi sui piani proiettivi finiti.

Giochi proiettivi — 6. Dualità

“Ricordi che abbiamo parlato della dualità?”.

“Sì, varie volte”.

“Bene. Ne riparliamo ancora, ponendo l'accento su un particolare”.

“Quale?”.

“Finora avevamo ragionato sui postulati: abbiamo detto che se scambiamo la parola punto con la parola retta, otteniamo un altro postulato. Per esempio, il postulato che afferma che per due punti passa una sola retta diventa il postulato che afferma che due rette si intersecano in un solo punto”.

“Certo, ricordo”.

“Bene, ora ti mostro un'altra conseguenza di questa dualità: nei modelli di geometrie finite che abbiamo considerato, possiamo scambiare i punti con le rette e viceversa e otteniamo ancora modelli di geometrie finite”.

“Ma come facciamo a scambiare i punti con le rette? Sono diversi, non li possiamo mica disegnare allo stesso modo”.

“Eh, no, non li devi disegnare allo stesso modo. Ti faccio un esempio, prendendo un piano proiettivo con pochi punti, per comodità. Ricordi il primo esempio che abbiamo visto? Il piano con con sette punti e sette rette?”.

“Sì, quello a triangolo”.

“Quello. Lo ridisegno, cambiando un po' i nomi dei punti: metto dei numeri”.

“Vedo. Ma come facciamo a dire che quei punti diventano rette, e quelle rette diventano punti? Non capisco”.

“Non è difficile, una volta capito il meccanismo. Prendiamo per esempio i tre punti etichettati con 1, 2 e 3”.

“Quelli rossi che stanno sulla retta di sinistra”.

“Esatto. Allora trasformo quella retta in un punto, che chiamo 123. Lo disegno in blu, per ricordare la sua precedente natura di retta”.

“Ah”.

“In questo piano proiettivo tutte le rette contengono tre punti, giusto?”.

“Vero”.

“E allora per ogni terna di punti abbiamo una retta a cui assegniamo un nome formato dai nomi dei tre punti”.

“Mh. Ma come li disegno questi punti? Sono collegati da rette?”.

“Certo: prendi per esempio il punto 1, che dovrà diventare una retta. A quali rette appartiene?”.

“Uhm, il punto 1 sta su tre rette: quella che passa per 1, naturalmente, e poi per 2 e per 3; quella che passa per 1, 4 e 5, e quella che passa per 1, 6 e 7”.

“Bene, per dualità allora la retta 1 contiene tre punti: 123, 145 e 167”.

“Ahh, quindi nel mio disegno collego quei punti con una retta. Questa dovrebbe essere la retta che si chiama 1”.

“Esatto”.

“Ora credo di aver capito: i punti vengono etichettati con tre numeri, e le rette con un numero solo”.

“Proprio così. Se prima potevamo dire che per il punto 1 passano tre rette, e cioè la 123, la 145 e la 167, ora possiamo dire che la retta 1 contiene tre punti, e cioè 123, 145 e 167”.

“Bellissimo, ecco il disegno completo”.

“Ottimo, ora hai capito”.

“E cosa ce ne facciamo di questa dualità?”.

“Ci serve per capire meglio un gioco di carte”.

“Oh, finalmente un gioco”.

“Esiste un gioco da tavolo, che si chiama Dobble, formato da un mazzo di carte contenenti vari simboli, con questa caratteristica: comunque prendi due carte, queste hanno sempre un solo simbolo in comune”.

“Uh? È possibile? Saranno due o tre carte e, boh, pochi simboli, no?”.

“No, no, sono tante, e anche i simboli sono tanti”.

“Ma com'è possibile? Sempre un solo simbolo in comune? Non succede mai che ce ne siano due o che non ce ne sia nemmeno uno?”.

“Mai”.

“Mi sembra incredibile”.

“Eppure ci hai lavorato fino a poco fa”.

“Eh?”.

“Certo: guarda qua”.

• Due rette si intersecano in un unico punto

• Per due punti passa una sola retta

• Due carte hanno un unico simbolo in comune

“Oh”.

“Eh”.

Giochi proiettivi — 5. Quali piani proiettivi finiti esistono?

“Quindi non esistono piani proiettivi finiti di ogni ordine, ho capito bene?”.

“Hai capito bene”.

“Che strano. E quali ordini vanno bene, allora?”.

“Se vuoi sapere una regola, ti dico subito che ancora non è stata trovata. Cioè, si sa che esistono piani proiettivi di ordine n, se n è una potenza di un numero primo. Per altri valori di n non si sa quasi nulla”.

“Eh? Stai dicendo che da dei postulati così semplici possono nascere teorie che ancora sono oggetto di studio?”.

“Esatto. Gli ordini dal 2 al 5 sono stati studiati, esiste un unico piano proiettivo per ognuno di quegli ordini”.

“In che senso uno? Potrebbero essercene di più?”.

“Sì, con strutture diverse, ma servono più punti”.

“Però un piano di ordine 5 ha già 5² + 5 + 1, cioè 31 punti”.

“Sì, ma sono ancora troppo pochi. Dell'ordine 6 abbiamo già detto”.

“Sì: non esiste”.

“Anche quelli di ordine 7 e 8 sono unici. Per l'ordine 9, invece, ne esistono quattro tipi diversi”.

“Addirittura”.

“Già. Poi se ne conosce uno di ordine 11, qualcun altro di ordine superiore, per esempio ce ne sono 193 di ordine 25, ma non si conosce una regola generale, e per ora la storia finisce qua”.

“Basta? E l'ordine 10? L'hai saltato”.

“L'ordine 10 ha messo a dura prova i matematici. La ricerca di un piano proiettivo di ordine 10 ha avuto inizio nel 1980 e, dopo circa duemila ore di tempo macchina su un Cray e più di duecento giorni su vari VAX, si è conclusa il 29 novembre 1988”.

“E l'hanno trovato?”.

“No”.

“Ma allora!”.

“Mi ricordo che ci raccontarono della scoperta mentre eravamo a lezione, all'università. Hanno dimostrato che non esistono piani proiettivi di ordine 10, ammesso di poter usare il verbo dimostrare per una situazione come questa”.

“Perché?”.

“Perché nessuno controlla i calcoli del computer e, prima che tu dica che è impossibile che un computer sbagli, ti dirò che hanno calcolato anche quale fosse la probabilità di errore”.

“Perché, i computer sbagliano?”.

“Ecco quello c'è scritto nel lavoro che annuncia la fine della cosiddetta dimostrazione:”.

There is, moreover, the possibility of an undetected hardware failure. A common error of this type is the random changing of bits in a computer memory, which could mean the loss of a branch of the search tree. This is the worst kind of hardware error, because we might lose solutions without realizing it. The CRAY-1A is reported to have such errors at the rate of about one per one thousand hours of computing. At this rate, we expect to encounter two to three errors! We did discover one such error by chance. After a hardware problem, Patterson reran the 1,000 A2's just before the failure and the statistics have changed for the A2 processed just prior to the malfunction. How should one receive a "proof" that is almost guaranteed to contain several random errors?

“Un errore ogni mille ore? Non è mica tanto trascurabile, no?”.

“No, infatti. Facendo poi alcuni controlli incrociati, gli autori hanno concluso che la probabilità di aver perso dei dati che avrebbero potuto portare, forse, alla scoperta di un piano di ordine 10, è minore di 10^-5”.

“Insomma, è molto piccola, ma non è zero”.

“No, non lo è. D'altra parte, se la dimostrazione fosse scritta su carta e contenesse un errore, quale sarebbe la probabilità che, leggendola, qualcuno se ne accorga?”.

“Dici che non è certo che, prima o poi, qualcuno si accorga di un errore?”.

“Eh, chissà”.

Giochi proiettivi — 4. Il problema dei 36 ufficiali di Eulero

“Finalmente un gioco?”.

“Sì, ma non quello di cui ti parlerò fra un po', per il quale abbiamo fatto questo studio sui piani proiettivi finiti”.

“Ah”.

“Ricordi che l'altra volta abbiamo calcolato il numero di punti e di rette di un piano proiettivo di ordine n?”.

“Sì, sono n² + n + 1”.

“Ammesso che esista, questo piano”.

“Non capisco come faccia a non esistere”.

“Per questo ti propongo un giochino: ci sono 36 ufficiali che appartengono a 6 reggimenti. Un'immagine (presa dal sito dell'AMS) ci mostra la situazione: i reggimenti sono identificati dai colori, i gradi degli ufficiali da una pedina degli scacchi”.

“Ok”.

“Il gioco consiste nel riallineare i 36 ufficiali in modo tale che ogni riga e ogni colonna contenga ufficiali di reggimenti diversi e di rango diverso”.

“Ah, una specie di doppio sudoku?”.

“Più o meno l'idea è quella. Per esempio, se gli ufficiali e i reggimenti fossero solo cinque, questa sarebbe una soluzione:”.

“Ok, chiaro”.

“Se invece fossero sette, ecco come si potrebbe fare:”.

“Bene. Provo con sei, allora?”.

“Puoi provare, ma non ce la farai”.

“Ma come?”.

“Eh, non ci si riesce”.

“Ma se ci si riesce con cinque, con sei si avranno più possibilità, no?”.

“E invece, non si può”.

“Mah. E Eulero l'ha dimostrato?”.

“No, Eulero ha congetturato che non si potesse, ma non è riuscito a dimostrarlo”.

“Ah! Ma allora è certamente un problema difficile”.

“Sì, e anche la dimostrazione è molto difficile. Il primo a dimostrare l'impossibilità è stato Tarry, nel 1900”.

“Tarry? Non l'ho mai sentito nominare”.

“Infatti non era un matematico. O, meglio, non era un matematico professionista: è famoso fondamentalmente per questa dimostrazione”.

“Ma pensa. Quindi non vediamo la dimostrazione, vero?”.

“No. Tarry ha fatto una serie di calcoli lunghi e laboriosi, poi ci sono stati tentativi successivi di semplificare la dimostrazione, qualcuno anche sbagliato”.

“Andiamo bene”.

“Nel 1936 è stata addirittura pubblicata una lista completa di tutti questi sudoku, come li chiami tu, e che in realtà si chiamano quadrati latini, e si è potuto verificare che nessuno di questi soddisfaceva la doppia condizione del problema: colori diversi e simboli diversi su ogni riga”.

“Un doppio quadrato latino?”.

“Sì, che viene chiamato quadrato greco-latino. Nel 1960 è arrivata una dimostrazione definitiva”.

“Ehi, il 1960 non è tanto tempo fa”.

“Eh, no”.

“E perché la chiami dimostrazione definitiva?”.

“Perché, utilizzando un sacco di matematica che serve per fare tutt'altro, per esempio la teoria dei codici, è stato finalmente dimostrato che esistono quadrati greco-latini di ogni ordine superiore al 2, tranne che per l'ordine 6”.

“Ah! Quindi Eulero aveva visto lontano”.

“Come al solito, direi. Ora, grazie all'uso dei computer, puoi andare su internet e trovare una lista con tutti i quadrati greco-latini fino all'ordine 8, assieme a tanti altri tipi di quadrati latini”.

“Si è persa un po' la magia, però”.

“Oppure no, se questo ci fa rendere conto di quali abilità possedessero quelli nati in un mondo senza computer”.

“Eh, vero. Ma non ho ancora capito cosa c'entri questo problema con gli spazi proiettivi”.

“La dimostrazione si basa su questo fatto: esiste un piano proiettivo di ordine n se e solo se esiste un insieme di n − 1 quadrati latini di ordine n che, a due a due, possono essere combinati per fare un quadrato greco-latino. Tutto questo a partire da n = 3, però”.

“Santo cielo”.

“Non mi addentro troppo nella dimostrazione, ti mostro solo un esempio con il caso più piccolo, il piano proiettivo di ordine 3. Ripartiamo da qui:”.

“Una vecchia conoscenza”.

“Già. Scegliamo una riga, per esempio quella verde, e scegliamo due punti su di essa, per esempio quello più in alto e quello più in basso, che chiameremo X_∞ e Y_∞”.

“Ok”.

“Avevamo n + 1 punti sulla retta verde, due li abbiamo usati, ne rimangono n − 1”.

“Sì, nel nostro caso 2”.

“Li chiameremo Q₁ e Q₂”.

“Bene”.

“Le rette che escono dai due punti X_∞ e Y_∞ le numeriamo da 1 fino a n (escludiamo quindi la retta verde, quella da cui siamo partiti con la costruzione)”.

“Bene”.

“Mentre le rette che escono dai vari punti Q_i le etichettiamo con A, B e C”.

“Ok”.

“In tutto avevamo n² + n + 1 punti, abbiamo già dato un nome a n + 1, ne rimangono n²”.

“Giusto”.

“Questi li etichettiamo con una coppia di numeri. Ognuno di essi, infatti, si trova su una retta che passa per X_∞ e su una seconda retta che passa per Y_∞”.

“Sì, perché comunque scelgo due punti c'è una retta che passa per essi”.

“Bene. Allora ognuno di questi punti viene etichettato con il numero corrispondente alle due rette che passano per X_∞ e Y_∞”.

“Ah, ecco perché si chiamano così: servono per darci delle coordinate”.

“Esattamente. Ora la situazione è questa:”.

“Vedo”.

“Ogni punto Q_i ci permette di creare un quadrato latino: quindi potremo avere n − 1 quadrati latini”.

“In che modo?”.

“Prendiamo per esempio il punto Q₂: da esso escono tre rette, che si chiamano A, B e C, che passano per tutti i nove punti con la coppia di coordinate. Per esempio, la retta A passa per (2,3), (1,2) e (3,1)”.

“Sì, vero”.

“Allora noi creiamo una tabella 3 × 3, e nelle caselle di coordinate (2,3), (1,2) e (3,1) scriviamo A”.

“Ahh! Così?”.

+---+---+---+
|   | A |   |
+---+---+---+
|   |   | A |
+---+---+---+
| A |   |   |
+---+---+---+

“Esatto. Poi facciamo la stessa cosa con la riga B, che passa per (3,3), (2,2) e (1,1), e infine con la riga C, che passa per (1,3), (3,2) e (2,1)”.

“Mi viene un quadrato fatto così:”.

+---+---+---+
| B | A | C |
+---+---+---+
| C | B | A |
+---+---+---+
| A | C | B |
+---+---+---+

“Che, come vedi, è un quadrato latino: ogni simbolo si ripete una sola volta su ogni riga e su ogni colonna”.

“Giusto. Poi si potrà fare la stessa cosa anche con Q₁, vero?”.

“Sì. Basta osservare la figura e vedere quali punti attraversano le tre righe etichettate con A, B e C. Risulta un quadrato fatto così:”.

+---+---+---+
| C | A | B |
+---+---+---+
| A | B | C |
+---+---+---+
| B | C | A |
+---+---+---+

“Confermo. Ma il quadrato greco-latino dov'è?”.

“Basta combinare i due quadrati che abbiamo trovato:”.

+----+----+----+
| BC | AA | CB |
+----+----+----+
| CA | BB | AC |
+----+----+----+
| AB | CC | BA |
+----+----+----+

“Ahh, bellissimo!”.

“Vedi che ci sono tutte le possibili coppie: ogni lettera in prima posizione si trova una volta sola su ogni riga e su ogni colonna, e la stessa cosa fanno le lettere in seconda posizione”.

“E questo metodo funziona sempre?”.

“Se hai un piano proiettivo riesci sempre a costruire un quadrato associato al punto Q_i, perché ogni retta che lo contiene interseca una sola volta le due rette X_∞ e Y_∞. Quindi ogni riga e ogni colonna del quadrato latino avranno esattamente ogni simbolo una sola volta. Inoltre, comunque tu prenda due di questi quadrati latini, potrai sempre costruire un quadrato greco-latino combinandoli insieme perché ogni retta che esce da uno dei Q_i interseca ogni altra retta che esce da un altro Q_j in un solo punto: quindi nel quadrato otterrai tutte le possibili coppie”.

“Che bello”.

“E funziona anche all'inverso: se hai n − 1 quadrati latini che, a due a due, possono formare un quadrato greco-latino, facendo questa costruzione al contrario potrai sempre costruire un piano proiettivo”.

“Molto bene”.

“Ora, il fatto che si sia riusciti a dimostrare che il problema degli ufficiali di Eulero non ha soluzione, significa che non è possibile avere un piano proiettivo di ordine 6: niente quadrati greco-latini, niente piani proiettivi”.

“Oh”.

“Quindi sappiamo che, se un piano proiettivo esiste, ha certamente n² + n + 1 punti, e altrettante rette. Ma non è detto che esista: per esempio, quello di ordine 6 non esiste”.

“E gli altri ordini?”.

“Mah”.

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N.B. Per saperne di più sul legame tra quadrati magici e piani proiettivi, qui c'è un bell'articolo.

Qui, invece, l'esempio fatto anche in questo post, ma con più colori.

Intermezzo autoreferenziale

Questa frase scritta da Roberto Zanasi contiene diciannove A, due B, nove C, tredici D, ventitré E, due F, una G, una H, diciannove I, una J, una K, una L, una M, ventidue N, undici O, una P, due Q, sette R, otto S, sedici T, diciotto U, sei V, una W, una X, una Y e due Z.

Giochi proiettivi — 3. Qualche calcolo

“Ora facciamo un po' di conti”.

“Con gli spazi proiettivi?”.

“Sì, proviamo a contare i punti, le rette, e proviamo a capire se c'è qualche relazione interessante”.

“Bene”.

“Supponiamo quindi di avere un piano proiettivo che contiene almeno una retta”.

“Giusto, non vogliamo strutture degeneri”.

“Esatto. E supponiamo che esista una retta che contiene n + 1 punti”.

“Perché n + 1 e non semplicemente n?”.

“Perché è più comodo”.

“Allora non discuto”.

“Con n almeno 2, per evitare i casi degeneri”.

“Bene. Quindi questa retta ha almeno tre punti”.

“Esatto, come nel primo esempio che abbiamo visto”.

“Quello a triangolo: ricordo”.

“Ricordi anche che abbiamo inserito un postulato che evita i casi degeneri?”.

“Sì, quello che dice che esistono almeno 4 punti distinti, a 3 a 3 non allineati”.

“Che si può esprimere anche in forma duale: esistono almeno 4 rette distinte, che a 3 a 3 non passano per lo stesso punto”.

“Giusto”.

“Quindi, oltre alla nostra retta che contiene n + 1 punti, ci sono altre rette e altri punti fuori da essa”.

“Ancora giusto”.

“Consideriamo un qualsiasi punto al di fuori della nostra retta, e chiamiamolo P”.

“Ok”.

“Ora possiamo considerare tutte le rette che passano per uno dei punti della nostra retta e per P”.

“Sono n + 1, dato che abbiamo n + 1 punti, giusto?”.

“Dimmi tu: sono davvero tutte diverse, oppure qualcuna di queste è sempre la stessa?”.

“Uh. Mi sembra che non sia possibile che due di queste rette siano la stessa retta”.

“Prova a spiegare”.

“Provo: indico con r la retta data, quella che non contiene P, e chiamo A e B due suoi punti. Poi considero le due rette PA e PB”.

“Quindi la domanda diventa: è possibile che PA e PB siano la stessa retta? I postulati ce lo consentono?”.

“Il primo dice che per due punti distinti passa una sola retta”.

“Giusto”.

“Quindi se PA e PB fossero la stessa retta, essa dovrebbe contenere i tre punti P, A e B. Ah, ho capito! La retta che passa per A e per B è proprio r, quindi anche questa retta dovrebbe essere r”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché dovrebbe contenere quindi anche P, ma abbiamo detto all'inizio che P è un punto esterno”.

“Ottimo. Quindi, riassumendo: abbiamo la retta r che contiene n + 1 punti, abbiamo un punto P esterno, e abbiamo n + 1 rette che passano per P e intersecano r in n + 1 punti diversi”.

“Ci sono”.

“Ora facciamo un disegno che ci faccia vedere le cose:”.

“Oh, benissimo”.

“Ora, l'ultimo postulato dice che esistono quattro rette distinte che a tre a tre non passano per uno stesso punto”.

“In questo disegno di rette ce ne sono anche di più di quattro”.

“Però non rispettano il postulato”.

“Ma come?”.

“Se ne prendi quattro che passano per P, evidentemente passano tutte per lo stesso punto e quindi il postulato è falso”.

“E fin qua ci siamo”.

“Se ne prendi solo tre che passano per P, e come quarta retta prendi quella viola, le tre che passano per P non rispettano il postulato”.

“Ah, già. E allora? C'è qualcosa di sbagliato?”.

“No, semplicemente il disegno non è completo: deve esistere un'altra retta, che non passa per P”.

“Ah-ha!”.

“E dovrà passare per uno dei punti della retta viola”.

“Perché non esistono rette parallele: due rette si intersecano sempre in un punto: ho capito. Facciamo il disegno, però”.

“Sì, immagino che questa nuova retta passi per A:”.

“Vedo. Ma cosa sono quei punti arancioni?”.

“Beh, se la nuova retta disegnata passa per A, non può passare per gli altri punti della prima retta”.

“Giusto, altrimenti sarebbe coincidente con essa”.

“E, però, deve intersecare le altre rette”.

“Perché non esistono parallele, giusto?”.

“Sì. Quindi devono esistere altri punti di intersezione, quelli che ho segnato in arancione”.

“Ok, ci sono”.

“Allora quanti punti avrà la nuova retta?”.

“Dunque, contiene A, e contiene i punti arancioni… i punti arancioni sono uno in meno rispetto alle rette che avevamo, cioè n… ah, certo! La nuova retta contiene n + 1 punti”.

“Allora abbiamo dimostrato un teorema importante: se in un piano proiettivo c'è una retta che contiene n + 1 punti, allora tutte le rette contengono n + 1 punti”.

“Ah, ecco”.

“E, grazie alla magia del principio di dualità, possiamo immediatamente dire, senza fare altre figure o considerazioni, che per tutti i punti passano n + 1 rette”.

“Bello”.

“Ora contiamo tutti i punti del piano”.

“Oh. Proviamo”.

“Fissiamone uno, e chiamiamolo P”.

“Fin qua è facile, uno l'abbiamo contato”.

“Ora, per esso e per ognuno di tutti gli altri punti passa una e una sola retta: ce lo assicurano i postulati”.

“Giusto”.

“Ci sono n + 1 rette che passano per P, e ognuna di esse contiene n punti diversi da P”.

“Vero. Quindi in tutto ci sono n(n + 1) punti?”.

“No: hai dimenticato di contare P”.

“Giusto: allora possiamo dire che ci sono n(n + 1) + 1 punti”.

“O, anche, n² + n + 1 punti”.

“Ok, è la stessa cosa. Ehi, possiamo usare la dualità anche qui, vero?”.

“Certo”.

“Allora ci sono anche n² + n + 1 rette!”.

“Certo”.

“Quindi ci siamo riusciti: un piano proiettivo di ordine n contiene n² + n + 1 punti e n² + n + 1 rette”.

“Se esiste”.

“Come se esiste?”.

“Eh”.

Giochi proiettivi — 2. Convergenze parallele

“C'è una cosa che non mi convince in quello strano esempio di geometria finita che mi hai fatto vedere l'altra volta”.

“Questo?”.

“Sì, questo. Non mi convince quell'arco: rovina la simmetria”.

“Avresti preferito una circonferenza?”.

“Sarebbe stato molto più bello e simmetrico, sì”.

“In effetti, la voce su Wikipedia relativa a questo modello, che si chiama Piano di Fano, mostra la figura che piace a te”.

“E perché tu l'hai disegnata così?”.

“Per non dare l'idea che la retta che contiene i punti D, E e F sia diversa dalle altre. Se disegnassi una circonferenza, questa retta sembrerebbe chiusa, mentre le altre no”.

“E non è così?”.

“No: le sette rette sono tutte fatte allo stesso modo, cioè sono tutte insiemi che contengono tre punti: se disegnassimo chiusa quella centrale, cosa che potremmo anche fare, dovremmo chiudere anche le altre sei, e il disegno risulterebbe inutilmente complicato”.

“Ah. Quindi la chiusura avrebbe un senso? Potrei percorrere le rette in cerchio, per così dire? Potrei camminare da A verso D, poi verso C, poi di nuovo verso A?”.

“Sì, nulla lo vieterebbe”.

“Che strana geometria”.

“Possiamo farla diventare una geometria un po' meno strana, forse, dando un ruolo speciale a una delle rette. Potremmo fare come si fa nei disegni in prospettiva: la retta all'orizzonte è una retta diversa dalle altre”.

“Nel senso che non esiste?”.

“Eh, quando si parla di esistenza in questo ambito i filosofi diventano matti. La retta all'orizzonte è una retta, è addirittura una delle prime rette che vengono disegnate quando si disegna a mano. Eppure è una retta fittizia, perché nella realtà (quale realtà, poi? non quella del disegno) non c'è”.

“Argh”.

“Per esempio, immaginiamo che la retta ad arco sia la retta all'orizzonte, quella che i Veri Matematici chiamano retta impropria”.

“Ok”.

“Togliamola dal disegno, allora. E togliamo quindi anche i tre punti da cui è composta: in effetti, la retta è l'insieme di quei tre punti”.

“Va bene, mi viene un disegno del genere:”.

“Benissimo. Ora hai anche delle rette parallele”.

“Cosa? Ma come? Dove?”.

“Per esempio le rette {A, C} e {B, G}”.

“Ah. Effettivamente non si incontrano”.

“Mentre prima si incontravano in D, un punto all'orizzonte”.

“Che strano”.

“Poi anche {A, G} e {B, C} sono parallele”.

“Vero: prima si incontravano in F. Infine {C, G} e {A, B} sono ancora parallele, e prima si incontravano in E”.

“Ottimo. Ora la figura è bella simmetrica come piace a te, anche se abbiamo perso qualcosa”.

“Che cosa?”.

“La dualità non funziona più: ora ci sono 6 rette, ma solo 4 punti”.

“Ah, già”.

“Questo è quello che si chiama piano affine, dove esiste ancora il parallelismo. Se completiamo ogni retta di un piano affine con un nuovo punto, un punto improprio, che è il punto di intersezione all'infinito di due rette parallele, otteniamo il piano proiettivo, quello da cui siamo partiti”.

“E i punti impropri che aggiungiamo costituiscono poi la retta impropria, giusto?”.

“Giustissimo.”.

“Bene, credo di aver capito, anche se questa faccenda della retta all'infinito mi pare ancora molto nebulosa”.

“Dopo ti faccio un altro esempio. Prima, però, una definizione: chiamiamo piano proiettivo di ordine n una geometria che soddisfa gli assiomi per un piano proiettivo finito e che ha almeno una retta con esattamente n + 1 punti distinti incidenti con essa, con n maggiore di 1”.

“Fammi capire: cos'è cambiato rispetto a prima?”.

“Prima abbiamo dato una definizione generica, adesso aggiungiamo il concetto di ordine. Insomma, cominciamo a contare le cose”.

“Mh. Quindi l'esempio che abbiamo visto, che contiene rette con tre punti, va bene, perché se n + 1 è uguale a 3 allora n è uguale a 2, e 2 è maggiore di 1”.

“Esatto. Quello che abbiamo visto è l'esempio di piano proiettivo più piccolo che possiamo fare”.

“Niente ordine 1?”.

“No, abbiamo scartato i casi degeneri l'altra volta, ricordi?”.

“Giusto. Esiste anche un esempio di piano proiettivo di ordine 3?”.

“Sì, ma te lo faccio vedere a partire dal piano affine di ordine 3. Prima di mostro alcune rette, poi ti faccio vedere come aggiungere la retta impropria”.

“Proviamo”.

“Cominciamo da qua”.

“Aiuto”.

“Allora, cominciamo dai punti: ce ne sono nove”.

“Benissimo”.

“Poi, per capire come sono fatte le rette, inizio col dirti che ogni retta contiene tre punti”.

“Ok”.

“Le rette facili sono quelle disegnate in nero: tre orizzontali, tre verticali e due in diagonale ”.

“Ok, una diagonale ascendente e una discendente”.

“Esatto. Ora, per capire come sono fatte le altre, ho usato dei colori. La retta rossa, per esempio, contiene i tre punti A, H e F”.

“Vedo: sono sempre tre punti. Però non mi piace quell'arco”.

“Capisco, credo che questo non sia il modo più naturale di disegnare questo piano. Dovremmo immaginarci tre diagonali ascendenti, e non una, così come tre diagonali discendenti”.

“E come facciamo?”.

“Possiamo farlo in due modi. Il primo è pensare che ci troviamo su una carta geografica”.

“In che senso?”.

“Dobbiamo pensare che se usciamo da destra, nella carta geografica, rientriamo da sinistra, e viceversa”.

“Ah”.

“Così, per esempio, se parti da H, scendi verso sinistra e incontri D, poi continui ancora a sinistra e incontri C”.

“Uh, vedo. Vale per tutti i punti: è come se le diagonali più corte andassero a capo dall'altra parte”.

“Esatto. L'altro modo è quello di mettere i nove punti sulla superficie laterale di un cilindro, in modo da non avere una colonna di destra, una colonna di centro e una colonna di sinistra, ma tre colonne in posizioni indistinguibili. In questo modo ci sono tre diagonali discendenti e tre diagonali ascendenti, senza dover andare a capo”.

“Uh, bello questo metodo”.

“Ho provato a fare un disegnino con le tre diagonali discendenti: le figure tridimensionali non sono sempre belle, ma forse si capisce qualcosa: le rette sono tutte uguali. Non ho fatto le altre rette per non complicare troppo la figura”.

“Ah, ecco, vedo. Molto bene!”.

“Ora direi di riprendere il modello sul piano, per semplicità di disegno. Hai visto che ci sono tante rette parallele: in tutto dodici”.

“Sì, che hanno direzioni diverse”.

“Bene: a ognuna di esse aggiungiamo un punto all'infinito”.

“E come?”.

“Le prolunghiamo, e le facciamo incontrare. Ci sono tre rette che vanno in direzione nord-sud, tre rette in direzione est-ovest, tre che vanno da sud-ovest a nord-est, e tre che vanno da nord-ovest a sud-est.”.

“Quindi le prolunghiamo e le incurviamo un pochino?”.

“Sì, così:”.

“Santo cielo”.

“Ho dovuto rinunciare a un po' di simmetrie: come vedi, ho spostato tutti gli archi colorati da una parte, per non intralciare i prolungamenti”.

“Ah, gulp, vedo. Ma c'è molta roba in più rispetto a prima”.

“Sì, ci sono dodici prolungamenti: tre per le rette orizzontali, tre per le rette verticali, tre per quelle ascendenti verso destra, tre per quelle discendenti verso destra”.

“E ognuno dei quattro gruppi si interseca in un punto rosso”.

“Esatto, e quindi abbiamo quattro nuovi punti”.

“Che, aggiunti ai precedenti nove punti, danno un totale di tredici punti”.

“Ok”.

“Poi ci sono le rette: ne avevamo dodici, e abbiamo aggiunto quella all'infinito, quella verde”.

“Totale: tredici”.

“Ed ecco ripristinata la dualità: tredici rette, tredici punti. Ogni retta contiene quattro punti, per ogni punto passano quattro rette”.

“Devo ammettere che questa dualità è elegante. Ma questo numero di rette e punti, è un caso che sia 13?”.

“Naturalmente no”.

“Naturalmente”.

Giochi proiettivi — 1. Geometrie

“Giochi proiettivi?”.

“Già”.

“Ma proprio giochi veri? O giochi che piacciono solo ai matematici?”.

“Giochi veri, di quelli che si comprano in negozio”.

“Ah. Proiettivi”.

“Proiettivi”.

“Nel senso geometrico del termine?”.

“Esatto. Avrai sentito certamente parlare di geometria proiettiva”.

“Sicuro”.

“Guarda che ne avevamo già parlato”.

“Ah, ecco, non ho ripassato, ehm”.

“Beh, non è che dobbiamo ripetere tutto: ci basta ricordare che cosa sia una geometria”.

“Una?”.

“Sì, una perché ne esistono tante, a seconda di quello che vuoi conservare e quello che può invece variare.”.

“Ah, ora che rileggo, mi viene in mente qualcosa: una geometria è lo studio delle proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni”.

“Sì. Tanto per fare un esempio, ricorderai che a scuola si potevano studiare le proprietà delle figure congruenti, oppure le proprietà delle figure simili. In un caso ti interessano le dimensioni delle figure, nell'altro solo le forme: tutto dipende da quello che vuoi analizzare”.

“Sì, sì, capisco. Ma per i giochi che geometria ci interessa?”.

“Quella proiettiva”.

“Capirai, la più complicata”.

“Per la precisione: la geometria proiettiva finita”.

“Finita? Capisco sempre di meno”.

“Facciamo un passo alla volta. Non abbiamo nemmeno bisogno di ripetere tutto il discorso fatto quando abbiamo parlato del programma di Erlangen: ci basta ripartire dai postulati di Euclide”.

“Ah, proprio dalle basi”.

“Sì, e ce ne bastano proprio pochi”.

“Sarà. Mai fidarsi dei Veri Matematici quando fanno le cose facili”.

“Capisco. Come al solito, le cose possono complicarsi molto in fretta, ma noi rimaniamo sul semplice. Prima di tutto, una teoria ha bisogno di alcuni termini primitivi”.

“Quelli che non si possono spiegare ulteriormente, vero?”.

“Esatto. Quelli la cui natura, se così si può dire, verrà spiegata dalle regole del gioco”.

“Stiamo già giocando?”.

“In un certo senso sì: la geometria, e in generale le teorie matematiche, sono come un gioco. Tu apri la scatola, trovi degli oggetti, e ti chiedi cosa siano. Poi apri il manuale, e leggi che quell'affarino di plastica che hai in mano è un carro armato, che soddisfa a certe regole, che può muoversi solo in un certo modo, che può attaccare solo in un certo momento e seguendo certe altre regole, che può essere ucciso. Ma naturalmente non è un vero carro armato”.

“Decisamente no”.

“Quindi io ti dirò che gli oggetti del nostro gioco si chiamano punti e rette, ma non ti dirò che cosa sono, perché non posso andare più a fondo. Posso però dirti quali sono le regole che essi devono rispettare”.

“Va bene; quindi punti e rette sono gli unici enti primitivi della geometria?”.

“C'è anche un terzo oggetto: il concetto di incidenza”.

“Che sarebbe?”.

“Sarebbe una relazione tra punti e rette. Dato che è un concetto primitivo, non posso spiegartelo ulteriormente, però comunque cercherò di dirti qualcosa per farti capire da dove nasce. Del resto, anche se non ti ho detto che cosa sia un punto, tu un'idea mentale te la sei fatta”.

“Certo, so bene cos'è un punto”.

“Permettimi di dubitare. Anzi, vedrai tra un po' che quello che chiameremo punto non sarà per niente un oggetto che assomiglia ai punti a cui siamo abituati. Le rette, poi, lo saranno ancora meno”.

“Non saranno dritte?”.

“Non si potrà nemmeno parlare del concetto di essere dritto. Del resto, essere dritto significa stare su una retta, quindi c'è poco da spiegare”.

“Andiamo bene”.

“Dunque, stavamo parlando del concetto di incidenza. Quando parliamo normalmente, diciamo che un punto appartiene a una retta, no?”.

“Esatto”.

“Oppure che una retta passa per un punto, o che contiene un punto”.

“Ancora esatto”.

“Quindi esiste una relazione tra una retta e un punto, se il punto sta sulla retta o se, viceversa, la retta passa per un punto”.

“Sì”.

“Questa relazione la chiamiamo incidenza. Invece di dire che un punto sta su una retta, diremo che un punto è incidente alla retta. E invece di dire che una retta contiene un punto, diremo che la retta è incidente al punto”.

“E perché questo linguaggio orripilante?”.

“Per poter usare un solo termine invece di due diversi. Ci piace la simmetria: dato che il concetto è lo stesso, usiamo la stessa parola”.

“È bruttissimo”.

“Concordo. Infatti nel linguaggio comune continueremo a usare i vecchi termini. Però è importante sapere che si può unificare il concetto, rendendolo simmetrico, anche nel linguaggio”.

“Non capisco l'importanza”.

“Perché non ricordi più il concetto di dualità. Ma ne riparleremo”.

“Meno male. Ora diciamo le regole?”.

“Prima una definizione, che ci permette di scrivere in modo leggermente più carino le regole”.

“Ok”.

“Diciamo che punti incidenti a una stessa retta si dicono collineari”.

“Va bene”.

“Ora, le regole, cioè i postulati di Euclide, formulati secondo il linguaggio che abbiamo deciso di usare. Per ora ti dico i primi due, poi vediamo gli altri. Eccoli qua:”.

P1. Per ogni coppia di punti distinti esiste un'unica retta incidente a entrambi i punti.
P2. Per ogni coppia di rette distinte esiste un unico punto incidente a entrambe le rette.

“Mi sembrano condivisibili, mi pare che siano i soliti, a parte quel brutto incidente”.

“Ora cerco di spiegarti la bellezza di questo modo di procedere. Prendi il primo postulato, e scambia punti con rette”.

“In che senso?”.

“Cancella punti e scrivi rette, cancella retta e scrivi punto”.

“Ah, ma diventano uguali. Certo, dobbiamo sistemare un apostrofo e il genere degli aggettivi”.

“Questo passamelo. O preferisci che invece delle parole usi le formule? Con le formule non ci sono più problemi di apostrofi, di plurali e singolari, di maschili e femminili”.

“Ok, ok, va benissimo così. Se faccio quella sostituzione, il primo postulato diventa uguale al secondo”.

“O, se fai la sostituzione nel secondo, è quello che diventa uguale al primo”.

“Esatto”.

“Quindi, a questo livello, le regole non fanno differenza tra punti e rette. Se due persone aprono la scatola del gioco e uno crede che le pedine rosse siano le rette e le blu i punti, e l'altro invece crede il contrario, fino a questo momento le regole non dicono chi abbia ragione. Se avessimo usato il verbo appartenere per i punti e contenere per le rette, allora avremmo fatto una differenza. Con il verbo incidere manteniamo una perfetta simmetria. Anzi, il termine usato per questo tipo di simmetria dai Veri Matematici è dualità”.

“Va bene, allora”.

“Ora, in un mondo perfetto sarebbe bellissimo fermarsi qui: due soli postulati, uno che si può confondere con l'altro, e basta”.

“E non possiamo farlo?”.

“Eh, no. Introduciamo un postulato che ci permetta di escludere casi degeneri, coi quali non vogliamo avere a che fare perché porterebbero a introdurre un sacco di eccezioni nei teoremi che poi scriveremo”.

“Casi degeneri? In che senso?”.

“Pensa a una scatola con una pedina sola, per esempio”.

“E che gioco è, un gioco con una pedina sola?”.

“Appunto”.

“E poi, sarà un punto o una retta?”.

“Potrebbe essere sia un punto che una retta: sono entrambi casi degeneri che non vogliamo. Ancora peggio: pensa a una scatola vuota”.

“Bella fregatura! Ma le regole non proibiscono situazioni di questo tipo?”.

“Sai che in questo caso entrano in gioco le meravigliose proprietà dell'insieme vuoto”.

“Oh no”.

“Eh sì. Una scatola vuota è compatibile, per esempio, con la regola che dice che due rette devono intersecarsi in un punto: dato che di rette non ce ne sono, è impossibile che la situazione contemplata dalla regola non si verifichi”.

“Vabbé, il delirio dei Veri Matematici con l'insieme vuoto è proverbiale. Escludiamo pure questi casi degeneri”.

“Benissimo, ecco qua:”.

P3. Esistono almeno quattro punti distinti a tre a tre non collineari.

“Uhm, fammi capire. Così escludiamo strutture con pochi punti: ne servono almeno 4”.

“Bene. Questi quattro non stanno tutti sulla stessa retta. Anzi, se ne prendi tre, come preferisci, nemmeno quei tre stanno sulla stessa retta”.

“Quindi posso immaginarmi una cosa del genere?”.

“Puoi certamente farlo, ma sappi che non è l'unico modo per immaginarsi questa situazione”.

“Va bene, anche se ancora non capisco”.

“Porta pazienza: capirai”.

“Ok. Ma l'introduzione di questo postulato non porta una asimmetria nella dualità che tanto ti piaceva?”.

“Ah, ottima domanda! No, non lo fa: prova a enunciare il postulato duale”.

“Oh, allora, scambiando rette con punti mi verrebbe da dire una cosa del genere:”.

P4. Esistono almeno 4 rette distinte che a tre a tre non incidono sullo stesso punto.

“Ottimo, hai anche usato il verbo incidere”.

“E non dovremmo aggiungere questo postulato, per mantenere la dualità?”.

“No, se prendi i quattro punti del postulato 3, e consideri tutte le rette che passano per due di quei punti, il tuo postulato 4 è automatico”.

“Ah, ma lo vedo anche dal disegno!”.

“Esatto”.

“Bene, e adesso?”.

“E adesso preparati a una sorpresa: questi postulati non definiscono solo la geometria alla quale siamo abituati, ma definiscono anche altri tipi strani di geometrie. Anzi, a dir la verità mi aspettavo un'obiezione”.

“Quale?”.

“Questi tre postulati non prevedono le rette parallele, che nella geometria a cui pensiamo sempre esistono”.

“Ah, hai ragione. Anzi, il postulato 2 le vieta proprio, le rette parallele!”.

“Esattamente. In questo tipo di geometria le rette parallele non esistono. Per questo viene chiamata geometria proiettiva”.

“È quella dei disegni in prospettiva?”.

“Esatto: nei disegni in prospettiva le rette parallele non esistono: quelle che nella realtà sono parallele, in prospettiva si intersecano sulla linea d'orizzonte”.

“Va bene. Qual è, invece, la sorpresa a cui mi devo preparare?”.

“Eccola qua: quanti punti sono necessari per lavorare con questa geometria?”.

“Beh, infiniti, no? Devo sempre poter disegnare le rette”.

“E chi ha detto che le rette sono composte da infiniti punti?”.

“Eh, se sono rette devono per forza… No, mi fermo subito, non succede niente per forza”.

“Bene”.

“I postulati non parlano mai di infiniti punti”.

“Bene”.

“E mi pare che da nessuna parte sia sottinteso il concetto di infinito. Nella geometria euclidea c'erano dei postulati apposta che ci permettevano di capire che una retta contiene infiniti punti”.

“Benissimo. Qua invece no: quindi è lecito che nella nostra scatola che contiene le pedine di questo gioco ci sia un numero finito di oggetti”.

“Che strano”.

“Ecco una configurazione di punti e rette che rispetta i postulati”.

“Cosa sto guardando? Una figura?”.

“No, l'universo di questa geometria. È composto da 7 punti: A, B, C, D, E , F, G”.

“Questi li vedo”.

“Poi ci sono delle rette. Tieni presente che, anche se sono disegnate come segmenti, in realtà non sono composte da infiniti punti. I segmenti ci servono solo per vedere meglio la struttura ma, tanto per fare un esempio, la retta che passa per A, E e B non contiene altri punti”.

“È una retta composta da soli tre punti?”.

“Esatto”.

“Che roba”.

“E quell'arco?”.

“È una retta anche lui”.

“Ma come? Non è drit… oh”.

“Già”.

“Non c'è scritto da nessuna parte che una retta è dritta”.

“Già. Inoltre, l'arco non esiste nemmeno, è solo un ausilio per raggruppare i punti”.

“Ah, va bene, che roba”.

“Avrei anche potuto descrivere gli oggetti senza l'ausilio di un disegno, ma sarebbe stato più brutto e meno comprensibile”.

“Come?”.

“Così: ti ho già fatto l'elenco dei punti, mi basta fare anche quello delle rette”.

Elenco delle rette:
{A, E, B}
{A, G, F}
{A, D, C}
{D, E, F}
{B, G, D}
{B, F, C}
{C, G, E}

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Puoi verificare che i tre postulati sono validi: se scegli due punti qualsiasi, c'è una sola retta che passa per entrambi. Se scegli due rette, queste si intersecano in un solo punto. Infine, esistono quattro punti a tre a tre non allineati, per esempio A, E, G, D”.

“Ed esistono anche quattro rette che non passano per uno stesso punto. Anzi, per ogni punto passano esattamente tre rette”.

“E allora sarà vera anche la proposizione duale: riesci a vederla?”.

“Dovrebbe essere: ogni retta contiene esattamente tre punti. Ed è vero!”.

“Benissimo”.

“Che strano, una geometria con sette punti e sette rette. Ma è un caso che il numero di punti e il numero di rette siano uguali?”.

“Hai già dimenticato la dualità?”.

“No ma… Ah! Se devo poter scambiare punti con rette, il numero dei punti deve essere uguale a quello delle rette, altrimenti non ce la faccio”.

“Proprio così”.

“E adesso?”.

“Adesso, facciamo qualche altro esempio, ragioniamo un po' su quello che succede, poi giochiamo”.

“Ottimo!”.

Nodi di carta

“Cos'è un nodo?”.

“Un nodo… un nodo è… un nodo è un nodo!”.

“Certo. Un Vero Matematico non sarebbe molto contento di questa definizione”.

“I Veri Matematici non sono mai contenti di nulla. Come lo definiscono un nodo, loro?”.

“Direbbero che un nodo è una curva semplice chiusa nello spazio”.

“Ah”.

“Ma se vai nel dettaglio, la definizione potrebbe risultare leggermente più incomprensibile”.

“Naturalmente”.

“Per esempio, se vai a vedere la voce sulla Wikipedia in italiano, trovi una frase che afferma che sarebbe sbagliato definire un nodo come l'immagine di una funzione continua dalla circonferenza nello spazio, perché così tutti i nodi risulterebbero equivalenti”.

“Interessante”.

“Se vai sulla analoga voce in inglese, invece, trovi scritto: a knot is an embedding of a circle in 3-dimensional Euclidean space, considered up to continuos deformations”.

“Eh? Ma è esattamente quello che la voce in italiano segnala come sbagliato”.

“Appunto”.

“Roba da matti”.

“Insomma, dato che non dobbiamo fare teoria dei nodi, a noi basta sapere che un nodo è una cosa di questo tipo. Questo si chiama nodo trifoglio”.

“Ok”.

“Mentre questo non è un nodo”.

“E perché no?”.

“Perché non è una curva chiusa. Un finto nodo come questo puoi sempre scioglierlo, mentre un nodo vero come quello della prima immagine non può essere sciolto, in modo da formare una circonferenza non annodata. Devi tagliarlo”.

“Ah, ecco. Ammesso che gli estremi non siano collegati in qualche modo, questo puoi scioglierlo, e farlo diventare un segmento”.

“Proprio così. Ricordi che abbiamo lavorato con una striscia di carta, un po' di tempo fa?”.

“Ricordo”.

“Ora proviamo a annodarla con un nodo semplice, ma non incolliamo gli estremi”.

“Insomma, proviamo a fare una cosa che tutte le persone appartenenti al mondo normale, eccetto quindi i Veri Matematici, chiamano nodo”.

“Esatto. Ecco una simulazione di nodo, con la quale puoi giocare”.



“Ah, vedo. Mi aspettavo qualcosa di curvo, mentre vedo dei segmenti”.

“Se tu prendi una vera striscia di carta e provi a annodarla, è vero che la incurvi. Ma a un certo punto puoi decidere di schiacciare tutta la carta su un piano, formando delle pieghe. La sostanza del nodo non cambia”.

“Ah, va bene. Vedo che posso cambiare dei parametri, ma non capisco quello che sto facendo”.

“Puoi cambiare lo spessore della carta, e puoi anche cambiare gli angoli secondo i quali pieghi la carta”.

“Ah, ecco, vedo che posso fare nodi magrolini e nodi più pieni”.

“Sì. Puoi pensare di annodare una striscia sottile lasciando spazio intorno alle anse del nodo, oppure puoi pensare di stringere il nodo più che puoi. In questa simulazione, invece di stringere il nodo allarghiamo la striscia di carta”.

“Capisco: è la stessa cosa. Come se guardassimo il nodo con uno zoom regolabile, in modo da tenere costante la dimensione del nodo”.

“Proprio così. Ora, una domanda: qual è la figura più simmetrica che puoi ottenere?”.

“Fammi provare… Il foglio di carta si piega tre volte, devo cercare di fare in modo che i tre angoli siano uguali, uhm”.

“Gioca un po' con i parametri che puoi regolare”.

“Ah, ecco! Se impongo che i due angoli siano di 36 gradi, salta fuori una bella figura simmetrica”.

“Bene, ora allarga più che puoi lo spessore del foglio di carta”.

“Ok… Bello! Se allargo al massimo si vede che riesco a riempire un pentagono”.

“Un pentagono regolare, esatto”.

“Perché?”.

“Gli angoli con i quali hai giocato, e che ora misurano 36 gradi, sono gli angoli secondo i quali è stata piegata la carta. Se osservi bene la figura, noterai che il lato della striscia, prima di essere piegato, è parallelo a un lato del pentagono; dopo la piega, è ancora parallelo a un altro lato”.

“Ah, vedo: la striscia è parallela a un lato, si piega su un secondo lato, adiacente al primo, e dopo la piega è parallela al lato adiacente al secondo”.

“E questa è proprio una caratteristica del pentagono: gli angoli interni di un pentagono regolare misurano 108 gradi, e l'angolo formato da due lati non consecutivi è proprio di 36 gradi”.

“Davvero?”.

“Guarda questa figura”.

“Ah, ok, vedo”.

“Quindi se tu prendi una striscia di carta e l'annodi, in modo da non lasciare spazi vuoti intorno alle pieghe, la figura che ottieni è un pentagono regolare”.

“E questo, però, non è un vero nodo matematico”.

“No, perché i capi del nodo sono liberi, e puoi sempre scioglierlo. Però, se i capi sono molto lunghi, puoi continuare a piegarli intorno al pentagono con regolarità”.

“Uhm, in che modo?”.

“Un capo parallelo a un lato del pentagono, dopo la piega, sarà parallelo a un altro lato del pentagono: puoi continuare a piegare seguendo i lati. Ogni piega segue un lato, e puoi continuare finché hai carta”.

“In modo da fare un blocchetto pentagonale”.

“Esatto. Questo è quello che fanno in Giappone, per esempio, quando piegano le cinture”.

“Ehh?”.

“Guarda qua”.

Strisce

“Oh, cos'è?”.

“Mi sto divertendo a piegare fogli di carta”.

“Ah, fai degli origami?”.

“Mh, no, niente di complicato. Mi stavo chiedendo come funziona la piegatura di una strisciolina di carta”.

“Non ti basta semplicemente piegarla, vero?”.

“Eh eh, sì, mi basterebbe anche. Però, vedi, se cominci a piegarla più volte saltano fuori delle belle forme, e allora uno vorrebbe provare a capire cosa c'è sotto”.

“Capirai”.

“Non è facile vedere le cose in tre dimensioni, e questo è un bell'esercizio”.

“Ah, vedo. Quindi, cos'hai scoperto?”.

“Beh, per prima cosa una striscia di carta è definita dai suoi due bordi”.

“E fin qua ci siamo”.

“Poi, vedi che per piegare la striscia si deve effettuare una rotazione intorno alla piega”.

“Sì. Io faccio però fatica a capire cosa si può fare e cosa non si può fare, quando si piega della carta”.

“Cioè?”.

“Il problema è che la carta non è rigida, ma non è nemmeno gomma. Quindi ci sono movimenti che sono permessi, e movimenti che invece non sono permessi”.

“Esatto, puoi piegarla ma non puoi allungarla o accorciarla. Puoi fare rotazioni, ma le lunghezze dei segmenti devono rimanere invariate”.

“Sì, la teoria è abbastanza semplice. Il difficile qua è vedere quello che succede. Per esempio, di quanto risulta inclinata la striscia dopo la piega?”.

“Ah, ottima domanda. Come faresti per rispondere?”.

“Eh, qui sta il punto. Io prenderei in mano una striscia vera e proverei”.

“Ottimo inizio: c'è chi si diverte a fare geometria senza figure, ma noi non siamo tra questi”.

“Meno male. Però, dopo aver giocato con la carta, non saprei andare avanti”.

“Bisognerebbe riuscire a passare dalla figura tridimensionale a una figura bidimensionale, così le cose diventerebbero molto più semplici”.

“Ah, certo. Però, ora che ci penso, se faccio una piega completa arrivo a una figura bidimensionale…”.

“Vai avanti”.

“Il foglio iniziale è piano, no? Poi lo piego, e non rimango più su un piano. Ma se la piega compie una rotazione di 180 gradi…”.

“Ottimo, concludi”.

“Se la piega consiste in una rotazione di 180 gradi, il risultato finale è ancora un piano. Schiaccio il foglio su sé stesso.”.

“Giusto”.

“Ora dovrei capire come risulta la figura finale, però”.

“Hai già capito molto: hai detto che ruoti di 180 gradi intorno a un asse”.

“Sì”.

“E questo è come dire che stai facendo una simmetria assiale”.

“Mh, suppongo di sì, sì. A dir la verità, non mi risulta facile nemmeno vedere come funziona una simmetria di una retta rispetto a un'altra retta”.

“Beh, questo è molto semplice: l'angolo formato tra le due rette non cambia”.

“Ah, già, vedo. La retta blu viene trasformata nella retta rossa, vero? I due angoli formati dalle due rette con l'asse di simmetria non cambiano”.

“Sì. Naturalmente puoi anche dire che è la retta rossa che viene trasformata nella retta blu”.

“Giusto, certo. Posso piegare il foglio da sopra a sotto o da sotto a sopra, non importa”.

“Ok. Ora ti mostro l'applicazione di questa semplice regola a una striscia di carta”.

“Oh, quanti colori”.

“Sì, potevo fare ricorso a una maggiore sobrietà. Però così si distinguono tutte le parti”.

“Ok, vedo la striscia verticale”.

“Esatto”.

“Che poi viene piegata lungo la linea tratteggiata. Riconosco anche gli angoli uguali come mi hai fatto vedere prima, sono quelli verdi”.

“Molto bene”.

“Poi ci sono altri angoli, però”.

“Sì, qui ho fatto un passo avanti. Se la piega fosse perpendicolare ai bordi della striscia, si avrebbe una figura poco interessante: la striscia si ripiegherebbe completamente su sé stessa, e tanti saluti allo studio degli angoli”.

“Ok”.

“Allora la domanda è: se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, di un certo angolo…”.

“Quello evidenziato di rosso, giusto?”.

“Proprio quello. Se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, dell'angolo colorato di rosso, di quanto risulta inclinata la striscia?”.

“Non è una risposta facile, mi pare”.

“Diventa facile se osservi una sola cosa: l'angolo rosso e l'angolo verde sono legati da una certa relazione”.

“Uhm. Vedo un triangolo che li contiene entrambi”.

“Esatto”.

“Ah! Un triangolo rettangolo! Quindi l'angolo rosso e quello verde sono complementari”.

“Giusto, e adesso tutti gli angoli segnati in figura dovrebbero essere evidenti”.

“Lo sono, sì. Hai tracciato, in grigio, la perpendicolare all'asse di simmetria, quindi ecco un altro angolo retto, ed ecco i due angoli complementari”.

“Ecco fatto, quindi”.

“Mi pare, allora, che l'angolo con cui la striscia viene deviata, per così dire, sia il doppio dell'angolo rosso”.

“Ed è così”.

“E adesso?”.

“Adesso facciamo un nodo”.

Il bello della matematica

Da qualche anno sono il coordinatore distrettuale, per la mia zona, del progetto Olimpiadi della Matematica. Uno dei miei compiti è organizzare la gara di secondo livello, selezionare gli studenti e, ahimé, incontrare qualche giornalista locale che viene a fare un giro all'università per vedere che facce hanno quelli a cui piace la matematica. Purtroppo i giornalisti fanno domande.

Questa volta mi hanno chiesto: ma perché questi ragazzi vengono qua a fare matematica? Cosa ci trovano di bello?

Io ho farfugliato qualcosa che ho immediatamente cancellato dalla memoria, però adesso potrei spiegare cosa ci trovo io di bello.

Parto da un problema assegnato proprio alla gara provinciale: c'è una calcolatrice a 5 cifre che non funziona tanto bene, perché solo due tasti hanno ancora qualche effetto. C'è un tasto che permette di moltiplicare per 3 ciò che appare sul display (più precisamente: quando premo quel tasto, automaticamente il numero sul display viene triplicato) e un tasto che permette di aggiungere 1. Quest'ultimo, però, non può mai essere premuto due volte consecutivamente, altrimenti la calcolatrice esplode. La domanda è: quanti diversi numeri si possono ottenere sul display senza fare esplodere la calcolatrice?

Un abile risolutore, che si è allenato su quesiti di questo tipo, vede subito la soluzione e buonanotte. Ma non tutti sono abituati e risolvono problemi di questo tipo tutti i giorni, e io sono tra questi.

Ho provato quindi a risolvere questo esercizio facendo un po' di prove. Ho cominciato a riempire fogli con numeri, freccette, cercando di costruire un albero delle soluzioni per cercare di capirci qualcosa. Poi mi sono anche consultato con una collega, coordinatrice di un'altra zona (ai coordinatori il testo della gara viene consegnato in anticipo, in segreto, in modo da lasciare un po' di tempo per preparare le fotocopie delle prove), perché avevamo inizialmente interpretato male il testo e non ci tornavano i conti. Anche lei aveva fatto uno schema con le freccette.

Poi, dato che i conti non mi dicevano molto, ho aperto un foglio elettronico e ho cominciato a riempirlo di numeri. Se parto da 0, e uso solo il tasto che moltiplica per 3, rimango su 0, e fin qua è facile. Se schiaccio il tasto +1 una volta, e poi continuo a schiacciare il tasto ×3, ottengo tutte le potenze di 3. Bene, poi?

Ho cominciato a riempire le righe del mio foglio elettronico con le moltiplicazioni per 3, e ogni volta che selezionavo il tasto +1 iniziavo una nuova riga. Però i numeri calcolati dal foglio mi dicevano poco, e allora ho ricominciato a scrivere dei numeri a mano senza però svolgere i calcoli. Ho ottenuto righe come queste:

1, 3, 3², 3³, …
3+1, (3+1)×3, (3+1)×3², …
(3+1)×3+1, ((3+1)×3+1)×3,((3+1)×3+1)×3², …

Le formule cominciavano a diventare interessanti, anche se ancora mi sfuggiva qualcosa. Per essere sicuro che l'idea che mi stava venendo in mente fosse giusta, ho scritto i calcoli in un altro modo, svolgendoli. Per esempio, la seconda riga sarebbe diventata questa:

3+1, 3²+3, 3³+3², …

E la terza, questa:

3²+3+1, 3³+3²+3, 3⁴+3³+3², …

Ah-ha! Somme di potenze di 3: la scrittura in base 3! Ogni volta che moltiplico per 3 aggiungo uno 0 in fondo. E cosa significa che non si può usare il tasto +1 due volte di seguito? Significa che la cifra delle unità può passare da 0 a 1, ma non da 1 a 2. Anzi, non si potrà mai avere la cifra 2 in nessuna delle formule possibili, perché il 2 si può ottenere soltanto con due +1 consecutivi, ma questo è vietato.

Ed ecco che tutto va a posto, e un problema che sembrava bruttissimo si risolve improvvisamente in maniera elegante e immediata. Si tratta ora di capire quanti numeri di cinque cifre (decimali) si possono ottenere: come si fa? Scriviamoli in base 3, tenendo presente che non possiamo mai usare la cifra 2. Vediamo un elenco di potenze di 3 sufficientemente grandi

3⁴ = 9×9 = 81, e questo si sa a memoria,
3⁸ = 81² = 6561,
3⁹ = 19683,
3¹⁰ = 59049,
3¹¹ = 177147.

Ok, l'ultimo numero, che in forma ternaria si scrive come 100000000000, è troppo alto. Vediamo il precedente, che è 11111111111 (ricordiamo che non si possono usare le cifre 2). A quanto è uguale?

Sono 11 cifre 1 consecutive, e la formula della somma dei termini di una progressione geometrica ci permette di calcolarlo velocemente, perché è uguale a (3¹¹−1)/2, cioè 177146/2 = 88573, che è composto da cinque cifre, e quindi va bene. Così come vanno bene tutti i numeri composti da al massimo undici cifre 0 oppure 1.

Ora abbiamo la risposta: il numero dei valori ottenibili con la calcolatrice è uguale al numero di modi che si hanno di riempire undici caselle con la cifra 0 o 1, cioè 2¹¹ = 2048.

A quel punto ero soddisfattissimo, e ho voluto rendere la collega partecipe di questa scoperta. E ho fatto quello che fanno i Veri Matematici quando risolvono un problema: ho sistemato la dimostrazione, ho buttato via tutti i conti e le schifezze che avevo scritto, ho chiuso il foglio elettronico che era ancora aperto per cancellare le tracce degli orrori che avevo commesso, e ho scritto questo messaggio (era quasi mezzanotte):

Dopo aver trappolato con un po' di numeri e giocato con excel, 

ho trovato la soluzione bella.

Spero che tu abbia il cellulare silenzioso, 

altrimenti ti sto svegliando la casa.
🙂

Se scriviamo i numeri in base 3, il tasto +1 della calcolatrice 

corrisponde a mettere un 1 nell'ultima cifra, perché essa può 

solo essere 0 (partiamo da 0 e aggiungiamo +1 una sola volta 

alla volta) (magari posso dirlo meglio in italiano domani)

Il tasto x3 invece corrisponde a aggiungere uno 0 

in fondo al numero.

Il massimo numero che possiamo costruire è 11111111111 

(11 cifre 1 consecutive), che corrisponde a (3^11-1)/2=88573.

Il numero successivo costruibile è 100000000000 = 3^11 che è 

composto da 6 cifre, quindi è da scartare.

Il problema si traduce quindi in questa domanda: 

quanti numeri composti solo da cifre 1 e 0 lunghi 

11 cifre posso formare? La risposta è 2^11 = 2048

Ed ecco una dimostrazione elegante, breve, semplice, senza troppi calcoli, alla portata di tutti. Ed ecco, anche, la risposta alla domanda del giornalista:

Si dice che Dio abbia un libro che contiene tutte le Dimostrazioni Belle. La più grande soddisfazione del matematico è trovarne una.

Il piccolo Fermat e i braccialetti

“Braccialetti?”.

“Braccialetti”.

“Cosa c'entrano i braccialetti con la matematica?”.

“I nostri braccialetti sono formati da perline colorate”.

“Ah, va bene. Quindi?”.

“Più precisamente: da un numero primo di perline colorate”.

“Uhm”.

“Chiamiamolo p, e per fare un esempio supponiamo che p sia uguale a 3”.

“Braccialetti con tre perline: una miseria”.

“Lo so, ma vorrei fare qualche disegnino, se aumentiamo il numero non finiamo più”.

“Ok, allora facciamo questi braccialetti con tre perline colorate. Ah, come le coloriamo?”.

“Con un certo numero di colori diversi, diciamo n colori diversi”.

“E anche in questo caso fissiamo un n di esempio?”.

“Sì, facciamo tre colori”.

“Uhm, non è che ci confondiamo tra n e p?”.

“Direi di no, perché faremo qualche schema: se indichiamo i colori con i numeri 1, 2 e 3, ci basta scrivere tre numeri per avere un braccialetto. Si dovrebbe distinguere bene tra il numero di cifre scritte e il fatto che le cifre vanno da 1 a 3”.

“Vediamo”.

“Allora, prima di rappresentare i braccialetti, risolviamo un problema più semplice: calcoliamo il numero di stringhe che si possono creare con tre perline colorate. Insomma, rispetto ai braccialetti qui abbiamo delle posizioni predefinite: una perlina può essere messa al primo posto, al secondo o al terzo. Nel caso dei braccialetti, invece, non esistono un primo, un secondo e un terzo posto, perché ogni posizione in cui compare la perlina è indistinguibile dalle altre”.

“A meno che non indichiamo anche dove si mette la fibbia di chiusura”.

“Esatto. Quella la nascondiamo, fabbrichiamo un braccialetto senza fibbia. Prima, però, le stringhe”.

“Forse riesco a calcolare le possibilità: ci sono tre posizioni, e in ogni posizione posso mettere uno dei tre colori. Quindi dovrei avere 3 possibilità per la prima posizione, 3 per la seconda e 3 anche per la terza. Totale: 27”.

“O, meglio, 3³”.

“Va bene”.

“Eccole qua:”.

123
312
231

132
213
321

133
313
331

122
212
221

112
211
121

223
322
232

113
311
131

332
233
323

111
222
333

“Vedo”.

“Ora, le tre stringhe monocolori le mettiamo da parte”.

“Sono le ultime tre: perché le mettiamo da parte?”.

“Perché per loro servono conteggi diversi: dopo le recuperiamo. Per ora ragioniamo sulle prime 24”.

“Ok”.

“Trasformiamo ogni stringa in un braccialetto: ogni stringa può essere ruotata in tutti i modi possibili, e quindi ogni braccialetto può essere generato da più stringhe diverse”.

“Fammi capire meglio”.

“Le tre stringhe 123, 312 e 231 generano lo stesso braccialetto, perché non importa quale sia il punto di partenza”.

“Ah, hai ragione, l'importante è che 1 sia seguito da 2, 2 da 3 e 3 di nuovo da 1”.

“Esatto. Ora si tratta di contare i braccialetti”.

“Beh, è facile, li hai già raggruppati quando li hai elencati”.

“Sì, in questo esempio. Vorrei trovare una formula generale”.

“Ah”.

“Allora: noi possiamo prendere l'ultima perlina di una stringa, sfilarla dalla sua posizione e reinserirla all'inizio. Così facendo otteniamo una stringa diversa ma lo stesso braccialetto, giusto?”.

“Giusto”.

“Quante di queste alterazioni si possono fare prima che la stringa torni a essere uguale a com'era all'inizio?”.

“Direi 3, no? A parte le stringhe monocolore”.

“Non fissare le idee su questo esempio, che è solo un esempio. Come funziona in generale? Il numero di alterazioni possibili sarà sempre uguale al numero di palline?”.

“Pensavo di sì, dici di no?”.

“Guarda questo braccialetto composto da 6 perline:”.

121212

“Ah. Dopo il primo movimento diventa 212121 e dopo il secondo torna come prima”.

“Esattamente”.

“E allora come facciamo a calcolare questo numero di spostamenti?”.

“Bisogna pensare a qualche formuletta”.

“Era quello che temevo”.

“Non sarà difficile. Chiamiamo k il minimo numero di spostamenti di perline da fare perché il braccialetto torni uguale a com'era all'inizio”.

“Va bene. Ah, è per questo che hai messo da parte le stringhe monocromatiche?”.

“Molto bene! Per quelle k vale 1, naturalmente, perché sono sempre uguali a sé stesse.”.

“Ho capito, anche se avrei detto che per esse k dovrebbe essere 0 ”.

“Beh, 0 allora va bene per tutte, no? Tutte quante con 0 mosse diventano uguali a sé stesse”.

“Già, hai ragione. Quindi k deve essere positivo”.

“Bene. E, escludendo le stringhe monocromatiche, k deve essere maggiore di 1”.

“Giusto”.

“Ora, supponi di aver trovato un valore di k che funziona per una certa stringa: se essa diventa uguale a sé stessa dopo k mosse, lo farà anche dopo 2k mosse, dopo 3k mosse, e così via”.

“Mi pare ovvio”.

“Allora, facciamo questo calcolo: dividiamo il numero p di perline per k”.

“Non so quanto possa risultare”.

“Beh, vogliamo una formula, non un risultato esatto. Cosa significa che p diviso k dà quoziente h e resto r?”.

“Non ne ho assolutamente idea”.

“Ma sì, lo sai dalle elementari. La maestra non ti faceva fare la prova?”.

“Ah, sì, dovevo moltiplicare il quoziente per il divisore e aggiungere il resto”.

“Esatto: vale la formula p = hk + r”.

“Vabbé. Questo mi aiuta?”.

“Certo. Cosa mi dici di r?”.

“So che è il resto”.

“E il resto, in una divisione, può essere grande quanto si vuole?”.

“Eh, no, il resto è sempre più piccolo del divisore”.

“Perfetto: quindi r è un numero compreso tra 0 e k”.

“Però non può essere uguale a k, solo a 0, no?”.

“Certo. Ora, se prendiamo una stringa di lunghezza p e facciamo p spostamenti di perline, la stringa torna a essere uguale a sé stessa indipendentemente dal valore di p, sei d'accordo”.

“Ah, certo, sposto tutte le perline fino a che non tornano nella posizione iniziale”.

“Benissimo. E anche se faccio hk spostamenti la stringa torna a essere uguale a sé stessa”.

“Perché?”.

“L'abbiamo detto prima: k è proprio quel numero di spostamenti da fare perché la stringa non cambi, e se ne puoi fare k ne puoi anche fare 2k, 3k, eccetera. Anche hk”.

“Ah, ok.”.

“Ora riprendiamo l'uguaglianza che definisce la divisione: p = hk + r. Questa ci dice che se prendiamo una stringa e facciamo hk spostamenti, questa diventa uguale a com'era all'inizio. Se poi ne facciamo altri r, in tutto ne abbiamo fatti hk + r, cioè p. Questo significa che di nuovo la stringa ritorna com'era all'inizio”.

“Giusto”.

“Mica tanto giusto, perché questo significherebbe che ci bastano r spostamenti per riportare la stringa alla posizione iniziale”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché il resto di una divisione è minore del divisore: r è minore di k”.

“Vabbé, r sarà minore di k, qual è il problema?”.

“Il problema è che k dovrebbe essere il numero minimo di spostamenti da fare, e invece così facendo avremmo trovato un numero ancora più piccolo”.

“Ah. Allora c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento?”.

“No, c'è un'unica conclusione coerente con tutto quanto abbiamo detto: r deve essere 0”.

“Ah! Allora p è multiplo di k, e tutto torna”.

“Giusto. E cosa potremmo dire se p fosse un numero primo?”.

“O k è uguale a 1…”.

“Questo vorrebbe dire che le stringhe sono monocromatiche”.

“Giusto, e noi l'abbiamo escluso. Allora k e p devono essere uguali”.

“Ottimo. Riassumendo: avevamo p perline di n colori diversi, con le quali abbiamo costruito n^p stringhe diverse”.

“Poi abbiamo tolto tutte le stringhe monocolori, che sono tante quante i colori, cioè n”.

“E quindi sono rimaste n^p − n stringhe. E ci siamo chiesti quante di queste generano braccialetti uguali”.

“Uhm, abbiamo detto che potevamo raggrupparle k alla volta. Ah, k è p, quindi possiamo raggrupparle a gruppi di p”.

“Ed ecco il risultato, quindi: il numero di stringhe, escluse quelle monocromatiche, è divisibile per p”.

“Questo è un teorema? n^p − n è divisibile per p?”.

“Sì, si chiama piccolo teorema di Fermat, e ne avevamo già parlato, in altri termini”.