sabato 3 dicembre 2011

Il professor Apotema insegna: il calcolo delle differenze e il calcolo differenziale

Avevo già parlato dell'approccio assiomatico ai numeri iperreali e di come alcuni (pochi) insegnanti lo usino per spiegare l'analisi matematica.

Qualche giorno fa alcuni di questi insegnanti si sono ritrovati a Venezia, al liceo Foscarini, per una giornata di studio e confronto sull'analisi infinitesimale; tra questi c'era anche Giorgio Goldoni, in arte professor Apotema, di cui ho già recensito il primo libro su questo argomento.

Come aveva promesso ha continuato a scrivere e, dopo il volume in cui presenta i numeri iperreali, ora ne ha concluso uno nuovo, dedicato al calcolo delle differenze e al calcolo differenziale.

In 425 pagine vengono presentati, utilizzando l'approccio iperreale, argomenti molto noti, come le derivate, lo studio di funzione e i problemi di massimo e minimo, e anche argomenti poco noti (io, almeno, non li conoscevo), come il calcolo delle differenze, che sarebbe l'analogo discreto del calcolo differenziale. Esistono, ad esempio, formule sulle differenze discrete analoghe a quelle sulle derivate, esiste una versione discreta delle regole di de l'Hôpital, ed esiste persino una versione discreta del polinomio di Taylor, detto polinomio di Gregory-Newton. Il tutto è sempre presentato sotto forma di dialogo tra il professor Apotema e i suoi studenti.

Insomma, anche questo è un testo consigliatissimo.



Giorgio Goldoni, Il professor Apotema insegna: il calcolo delle differenze e il calcolo differenziale, ilmiolibro.it, 20€.

8 commenti:

Juhan ha detto...

Per Natale li voglio tutti due!

zar ha detto...

Bravo :-) A me piacciono molto, mi sto convertendo agli iperreali anche a scuola...

Enrico Maletti ha detto...

Apotema aveva detto che probabilmente entro fine anno sarebbe riuscito a finira anche suello sul calcolo integrale, dato che il libro sugli iperreali mi è piaciuto moltissimo, aspetto e me li prendo entrambi :)

zar ha detto...

In questi giorni dovrebbe iniziare a scrivere quello sugli integrali, in effetti.

myfault ha detto...

Sono uno studente al terzo anno di Fisica e devo ammettere che se l'analisi alle superiori mi fosse stata insegnata così, o se nei corsi di analisi 1 e 2, si fosse accennato anche solo brevemente a queste cose, la mia vita sarebbe stata (e sarebbe tutt'ora) molto più facile.

Mi pare veramente assurdo insegnare l'analisi alla Weierstrass e poi in quasi la totalità dei corsi di fisica lavorare con "incrementi infinitesimi" (fare cose come trovare il dx e il dy separatamente e fare la ottenere la derivata facendo il rapporto delle due quantità trovate, cosa che farebbe rabbrividire il prof che invece ti ha insegnato cosa sono le derivate).

Quindi penso che questa sia la direzione giusta per l'insegnamento e la comprensione... Penso proprio che comprerò questi libri, purtroppo non ne avrò il tempo ma mi piacerebbe approfondire l'argomento anche con testi accademici.

Una curiosità, ma alla fine con l'analisi non standard si riesce ad ottenere qualche risultato "in più" rispetto all'analisi standard, o sono soltanto prospettive differenti, ma con gli stessi risultati?


Francesco.

zar ha detto...

Da un lato è vero che in tutte le materie scientifiche si usano gli infinitesimi e gli infiniti (anche in analisi stessa esistono i principi di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti). E per uno studente delle superiori io credo che questo sia un metodo molto efficace.

D'altra parte, però, all'università un aspetto puramente assiomatico e, magari, anche un po' addolcito, può non essere sufficiente. E se si vogliono costruire, questi iperreali, allora le cose diventano difficili. Serve un corso approfondito di teoria dei numeri e di logica. Sotto questo aspetto l'opera di Weierstrass diventa più facile.

Per rispondere alla tua ultima domanda: con l'analisi non standard non si fanno cose in più, semplicemente si usano basi diverse (e, si spera, più comprensibili per uno studente) per analizzare, poi, gli stessi problemi.

myfault ha detto...

Sono d'accordo che all'università le cose vadano viste dal punto di vista assiomatico, ma almeno andrebbe spiegato a mio parere il "collegamento" con il metodo utilizzato per fare i conti, forse è stata sfortuna, ma mi sono spesso ritrovato con il mal di pancia guardando professori difisica fare giochetti con gli infinitesimi dopo aver passato 6 mesi di fuoco a studiare definizioni a suon di limiti... :D
Comunque sì hai ragione e penso che la strada presa dal prof Apotema sia quella giusta, insegnare queste cose alle superiori più intuitivamente e vedere solo in seguito, se necessario, una sistemazione formale... i tuoi studenti saranno fortunati se anche tu userai questo metodo (anche se sono già fortunati per il fatto di avere un prof di matematica veramente in gamba :) )

zar ha detto...

Ho iniziato con questo metodo con una mia classe, quest'anno. Per ora sono contento.

In fondo, quando facciamo gli esercizi sui limiti, mica pensiamo agli epsilon e ai delta. Pensiamo a cose "proibite", come 1 diviso infinito uguale zero. Con gli iperreali si spiega proprio questo modo di ragionare: 1 diviso un infinito diventa un infinitesimo.

(Una nota: il metodo assiomatico è quello che viene usato da Apotema per introdurre gli iperreali. Quello costruttivo, che ti fa capire "come sono fatti", è invece quello difficile)