lunedì 31 agosto 2009
Tuoni e fulmini!
Ho provato a fare un paio di foto a qualche fulmine. Erano fulmini tra nuvole, e quindi un po' nascosti, e il bagliore riflesso dalle nuvole non ha certo aiutato. Comunque, eccoli qua.
venerdì 28 agosto 2009
Sono una persona orribile
Quando sento qualcuno che si lamenta perché è appena stato punto da una zanzara io faccio sempre presente che le zanzare non mi pungono. Ci sono, pungono quelli che sono vicini a me, ma non me.
sabato 15 agosto 2009
Una inaspettata intersezione
L'intersezione tra gli insiemi:
(Via .mau. e friendfeed)
- ragazze saltatrici con l'asta a Berlino
- matematiche
- blogghers
(Via .mau. e friendfeed)
venerdì 14 agosto 2009
Il manifesto dei nerd
Di fatto, uno dei motivi per cui sono così attratta dai nerd è che sono tra le persone più intelligenti, stimolanti e piene di immaginazione che possa capitarvi di incontrare. Solo che in genere usano tutte queste qualità esclusivamente all'interno del loro habitat, e sono relativamente inadatti alla vita sociale.
Un anticipo di un libro che spiega perché quando ti innamori di un nerd non smetti più.
(via Kondor)
Il Male Assoluto
Forse non tutti sanno come funziona uno scrutinio di un triennio di scuola superiore.
Ci si ritrova intorno a un tavolone (o a tanti banchi messi uno accanto all'altro, in una simulazione povera di tavolone), si aspetta l'ultimo collega ritardatario, o l'ultima collega che è andata a fumarsi una sigaretta ma arriva subito, e si comincia a dare un'occhiata al tabellone dei voti. In molte scuole il tabellone è videoproiettato su uno schermo o su una parete, così tutti gli insegnanti possono vedere i voti e fare i loro commenti.
La prima occhiata è sfuocata: se ci sono molte righe rosse, allora la classe è scarsa; se le righe rosse sono poche, allora la classe è una buona classe. Qualche insegnante deve fare questa analisi ad alta voce, in modo da rompere il ghiaccio e dare l'avvio ufficiale allo scrutinio. Poi si comincia.
I vari consigli di classe possono adottare strategie diverse: fare prima gli studenti senza debiti, fare prima gli studenti sicuramente bocciati (riga molto rossa), procedere in ordine alfabetico: alla fine non cambia molto.
Prendiamo un caso facile: una riga senza insufficienze. Uno degli insegnanti legge ad alta voce i voti, gli altri controllano che non ci siano errori, si sistemano eventuali mezzi voti rimasti indecisi, si parla del voto di condotta, e poi si arriva alla discussione riguardante il credito scolastico.
Da qualche anno, infatti, sono cambiate un po' di cose. Prima di tutto, l'esame di maturità non si chiama più così: anche se i telegiornali continuano a parlare di esame di maturità, la definizione corretta è esame di stato (conclusivo del secondo ciclo scolastico). Poi, il voto massimo non è più sessanta; anzi, sessanta diventa il voto minimo, mentre il massimo è cento. Infine, quel voto comincia a prendere forma a partire dal terzo anno delle superiori. Si accumula, insomma, un punteggio che, alla fine della quinta, sarà aggiunto a un altro punteggio calcolato in sede di esame: la somma costituirà il voto finale. Il punteggio che si accumula durante il triennio si chiama credito scolastico.
Torniamo alla riga senza insufficienze: lo studente è stato bravo (che poi si dovrebbe dire che ha fatto il suo dovere, cioè essere promosso senza debiti, ma andiamo avanti), non deve recuperare niente, possiamo promuoverlo. Che media ha?
La media è il numero magico che determina il destino dello studente: a seconda della media, infatti, egli si posiziona all'interno di una banda di oscillazione (è qua: guardate la tabella A). Per esempio, uno studente che ha fatto la terza classe ed è stato promosso con una media del 6.5 si trova all'interno della banda 4-5: questo significa che il consiglio di classe può decidere se assegnarli 4 oppure 5 punti di credito scolastico. Su quali basi decide il consiglio?
Naturalmente il consiglio deve stabilire dei criteri, non basta il buon senso. All'ultimo collegio docenti a cui ho partecipato era stata proposta una griglia con quattro o cinque voci (non ricordo bene), ognuna delle quali aveva qualcosa come sei indicatori (molto bene, bene, insomma, così così, malino, tremendo): secondo quella griglia, quindi, esisterebbero ben 64 oppure 65 diverse sfumature di giudizio. Tutto ciò per assegnare un solo punto, eh (va bene, l'idea è che il consiglio di classe deve essere tutelato nel caso in cui un insegnante pazzo arrivi e decida di stravolgere tutto: se abbiamo invece i criteri scritti nero su bianco anche un primate bene addestrato non può sbagliarsi — ma non è questo il punto, quindi andiamo avanti).
Bene, siamo arrivati al nostro ragazzo promosso con una certa media: se essa è vicina all'estremo superiore della fascia (cioè, se è un 6.9, per esempio), allora si assegna il punteggio più alto e non ci si pensa più. Ma se invece la media è un 6.1? Eh, allora vediamo se il ragazzo ha presentato dei crediti formativi, così ci risolviamo il problema.
I crediti formativi sono il Male Assoluto.
I crediti formativi sono punteggi derivati da attività extrascolastiche svolte dallo studente. Quali attività? Potrebbero essere di volontariato, per esempio, oppure di lavoro estivo, oppure, attenzione, attività sportive.
Lo studente ha lavorato per due mesi d'estate, naturalmente in regola, con tutti i documenti a posto? Bene, accettiamo il credito. Lui si posizionerebbe nella parte bassa della fascia, si meriterebbe solo 4 punti per la media, e noi gli diamo un punto in più e lo portiamo a 5 perché ha questo credito formativo. Non si può uscire dalla fascia, anche se ha quarantadue crediti noi non possiamo dargli quarantadue punti: solo uno.
Lo studente ha fatto volontariato? Ha assistito gli anziani una volta alla settimana per tutto l'anno? Benissimo. Ha fatto catechismo in parrocchia durante tutto l'anno? Bravo. Ha cominciato a donare il sangue (se è maggiorenne)? Ottimo. Un punto.
Lo studente ha fatto sport? Per un anno ha frequentato gli allenamenti della squadra di calcio tutti i pomeriggi dalle 15 alle 20? Tornando a casa stanco e senza voglia di studiare? È stato assente tutti i sabati da ottobre a maggio perché aveva la partita? Bene, bravo, un punto. Come? No? Invece sì, credito formativo per attività sportive. Capite la faccenda del Male Assoluto?
Veniamo invece allo studente che ha una media del 6.1 ma che, pollo, non ha presentato nessun credito. È un salame, e solo per questo fatto si meriterebbe il minimo della fascia. Però, dai, è uno dei pochi che non ha debiti, è sempre stato buono in classe, gli abbiamo dato anche dieci in condotta, potremmo premiarlo. Va bene, ma come si fa? Non basta dargli il punto in più e farla finita? Eh, in un mondo dove vige il buon senso, certamente sì. Ma nel mondo della scuola, in cui tutto deve essere verbalizzato, motivato, incasellato, qua siamo fuori dalla regola. E se qualcuno fa ricorso?
Ma come, qualcuno fa ricorso perché gli è stato dato un punto in più? Impossibile, no? Eppure qualcuno che sostiene che sarebbe comunque meglio inserire una motivazione salta sempre fuori. Va bene, che motivazione, però? Non ne troviamo una a prova di ricorso, come facciamo? Diciamo solo che è stato buono? Possiamo rafforzare questa affermazione con qualcos'altro?
Alza la mano l'insegnante di religione: se volete, potete anche mettere che durante l'ora di religione ha partecipato attivamente. Ah, va bene, vai, adesso abbiamo una motivazione a prova di ricorso.
Ecco, in questi giorni si sta discutendo su questo: se la motivazione dell'insegnante di religione può essere messa a verbale oppure no. Perché, per il resto, quel maledetto punticino in più non viene assegnato da un solo insegnante, ma da tutto il consiglio di classe.
I giornali che titolano “Insegnanti di religione esclusi dagli scrutini” non hanno mica ben capito come funziona. Il problema non è se gli insegnanti di religione (e quelli della materia alternativa alla religione) possano o meno partecipare a una eventuale votazione riguardante l'attribuzione del credito formativo: il problema è che l'idea stessa di credito formativo deve essere cancellata dall'esistenza.
Ci si ritrova intorno a un tavolone (o a tanti banchi messi uno accanto all'altro, in una simulazione povera di tavolone), si aspetta l'ultimo collega ritardatario, o l'ultima collega che è andata a fumarsi una sigaretta ma arriva subito, e si comincia a dare un'occhiata al tabellone dei voti. In molte scuole il tabellone è videoproiettato su uno schermo o su una parete, così tutti gli insegnanti possono vedere i voti e fare i loro commenti.
La prima occhiata è sfuocata: se ci sono molte righe rosse, allora la classe è scarsa; se le righe rosse sono poche, allora la classe è una buona classe. Qualche insegnante deve fare questa analisi ad alta voce, in modo da rompere il ghiaccio e dare l'avvio ufficiale allo scrutinio. Poi si comincia.
I vari consigli di classe possono adottare strategie diverse: fare prima gli studenti senza debiti, fare prima gli studenti sicuramente bocciati (riga molto rossa), procedere in ordine alfabetico: alla fine non cambia molto.
Prendiamo un caso facile: una riga senza insufficienze. Uno degli insegnanti legge ad alta voce i voti, gli altri controllano che non ci siano errori, si sistemano eventuali mezzi voti rimasti indecisi, si parla del voto di condotta, e poi si arriva alla discussione riguardante il credito scolastico.
Da qualche anno, infatti, sono cambiate un po' di cose. Prima di tutto, l'esame di maturità non si chiama più così: anche se i telegiornali continuano a parlare di esame di maturità, la definizione corretta è esame di stato (conclusivo del secondo ciclo scolastico). Poi, il voto massimo non è più sessanta; anzi, sessanta diventa il voto minimo, mentre il massimo è cento. Infine, quel voto comincia a prendere forma a partire dal terzo anno delle superiori. Si accumula, insomma, un punteggio che, alla fine della quinta, sarà aggiunto a un altro punteggio calcolato in sede di esame: la somma costituirà il voto finale. Il punteggio che si accumula durante il triennio si chiama credito scolastico.
Torniamo alla riga senza insufficienze: lo studente è stato bravo (che poi si dovrebbe dire che ha fatto il suo dovere, cioè essere promosso senza debiti, ma andiamo avanti), non deve recuperare niente, possiamo promuoverlo. Che media ha?
La media è il numero magico che determina il destino dello studente: a seconda della media, infatti, egli si posiziona all'interno di una banda di oscillazione (è qua: guardate la tabella A). Per esempio, uno studente che ha fatto la terza classe ed è stato promosso con una media del 6.5 si trova all'interno della banda 4-5: questo significa che il consiglio di classe può decidere se assegnarli 4 oppure 5 punti di credito scolastico. Su quali basi decide il consiglio?
Naturalmente il consiglio deve stabilire dei criteri, non basta il buon senso. All'ultimo collegio docenti a cui ho partecipato era stata proposta una griglia con quattro o cinque voci (non ricordo bene), ognuna delle quali aveva qualcosa come sei indicatori (molto bene, bene, insomma, così così, malino, tremendo): secondo quella griglia, quindi, esisterebbero ben 64 oppure 65 diverse sfumature di giudizio. Tutto ciò per assegnare un solo punto, eh (va bene, l'idea è che il consiglio di classe deve essere tutelato nel caso in cui un insegnante pazzo arrivi e decida di stravolgere tutto: se abbiamo invece i criteri scritti nero su bianco anche un primate bene addestrato non può sbagliarsi — ma non è questo il punto, quindi andiamo avanti).
Bene, siamo arrivati al nostro ragazzo promosso con una certa media: se essa è vicina all'estremo superiore della fascia (cioè, se è un 6.9, per esempio), allora si assegna il punteggio più alto e non ci si pensa più. Ma se invece la media è un 6.1? Eh, allora vediamo se il ragazzo ha presentato dei crediti formativi, così ci risolviamo il problema.
I crediti formativi sono il Male Assoluto.
I crediti formativi sono punteggi derivati da attività extrascolastiche svolte dallo studente. Quali attività? Potrebbero essere di volontariato, per esempio, oppure di lavoro estivo, oppure, attenzione, attività sportive.
Lo studente ha lavorato per due mesi d'estate, naturalmente in regola, con tutti i documenti a posto? Bene, accettiamo il credito. Lui si posizionerebbe nella parte bassa della fascia, si meriterebbe solo 4 punti per la media, e noi gli diamo un punto in più e lo portiamo a 5 perché ha questo credito formativo. Non si può uscire dalla fascia, anche se ha quarantadue crediti noi non possiamo dargli quarantadue punti: solo uno.
Lo studente ha fatto volontariato? Ha assistito gli anziani una volta alla settimana per tutto l'anno? Benissimo. Ha fatto catechismo in parrocchia durante tutto l'anno? Bravo. Ha cominciato a donare il sangue (se è maggiorenne)? Ottimo. Un punto.
Lo studente ha fatto sport? Per un anno ha frequentato gli allenamenti della squadra di calcio tutti i pomeriggi dalle 15 alle 20? Tornando a casa stanco e senza voglia di studiare? È stato assente tutti i sabati da ottobre a maggio perché aveva la partita? Bene, bravo, un punto. Come? No? Invece sì, credito formativo per attività sportive. Capite la faccenda del Male Assoluto?
Veniamo invece allo studente che ha una media del 6.1 ma che, pollo, non ha presentato nessun credito. È un salame, e solo per questo fatto si meriterebbe il minimo della fascia. Però, dai, è uno dei pochi che non ha debiti, è sempre stato buono in classe, gli abbiamo dato anche dieci in condotta, potremmo premiarlo. Va bene, ma come si fa? Non basta dargli il punto in più e farla finita? Eh, in un mondo dove vige il buon senso, certamente sì. Ma nel mondo della scuola, in cui tutto deve essere verbalizzato, motivato, incasellato, qua siamo fuori dalla regola. E se qualcuno fa ricorso?
Ma come, qualcuno fa ricorso perché gli è stato dato un punto in più? Impossibile, no? Eppure qualcuno che sostiene che sarebbe comunque meglio inserire una motivazione salta sempre fuori. Va bene, che motivazione, però? Non ne troviamo una a prova di ricorso, come facciamo? Diciamo solo che è stato buono? Possiamo rafforzare questa affermazione con qualcos'altro?
Alza la mano l'insegnante di religione: se volete, potete anche mettere che durante l'ora di religione ha partecipato attivamente. Ah, va bene, vai, adesso abbiamo una motivazione a prova di ricorso.
Ecco, in questi giorni si sta discutendo su questo: se la motivazione dell'insegnante di religione può essere messa a verbale oppure no. Perché, per il resto, quel maledetto punticino in più non viene assegnato da un solo insegnante, ma da tutto il consiglio di classe.
I giornali che titolano “Insegnanti di religione esclusi dagli scrutini” non hanno mica ben capito come funziona. Il problema non è se gli insegnanti di religione (e quelli della materia alternativa alla religione) possano o meno partecipare a una eventuale votazione riguardante l'attribuzione del credito formativo: il problema è che l'idea stessa di credito formativo deve essere cancellata dall'esistenza.
sabato 8 agosto 2009
Su un particolare insieme numerico - la somma
x + y = {xL + y, x + yL | xR + y, x + yR}
“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.
“Esattamente”.
“Vedo che si basa su sé stessa”.
“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.
“Lapalissiano”.
“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.
“Facciamo una prova?”.
“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.
“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.
“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.
“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.
“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.
“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.
“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.
“Cioè che x+0 = x?”.
“Sì. Prova a calcolare x+0 = {xL|xR} + {|}”.
“Viene {xL+0|xR+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare xR+0 e xL+0, prima”.
“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? xL e xR sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che xL+0 = xR, e xR+0 = xR”.
“E quindi x+0 = x”.
“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.
“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.
“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.
“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.
“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.
“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.
“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.
“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.
“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.
“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.
“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.
“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.
“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.
“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.
“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.
“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.
“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.
“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.
“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.
“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.
“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.
“Esattamente”.
“Vedo che si basa su sé stessa”.
“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.
“Lapalissiano”.
“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.
“Facciamo una prova?”.
“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.
“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.
“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.
“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.
“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.
“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.
“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.
“Cioè che x+0 = x?”.
“Sì. Prova a calcolare x+0 = {xL|xR} + {|}”.
“Viene {xL+0|xR+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare xR+0 e xL+0, prima”.
“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? xL e xR sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che xL+0 = xR, e xR+0 = xR”.
“E quindi x+0 = x”.
“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.
“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.
“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.
“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.
“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.
“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.
“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.
“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.
“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.
“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.
“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.
“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.
“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.
“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.
“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.
“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.
“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.
“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.
“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.
“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.
martedì 4 agosto 2009
Su un particolare insieme numerico - semplifichiamo
“Grazie all'induzione, di cui abbiamo parlato la volta scorsa, possiamo dimostrare qualche semplice proprietà:”.
Per ogni gioco, si ha che:
Per ogni numero, si ha che:
“Perché dici gioco?”.
“Perché sono proprietà che valgono in generale per tutti i giochi, cioè non fanno uso del fatto che xL non è maggiore o uguale di xR”.
“Ah. E le dimostriamo?”.
“Pensavo di lasciarle come esercizio al lettore volonteroso: si basano sul concetto di induzione”.
“Ok”.
“Ora invece vediamo di rispondere a un'altra domanda: quand'è che un numero x = {xL|xR} è uguale a un numero X = {y, xL|xR}?”.
“Eh?”.
“Traducendo: quand'è che possiamo aggiungere un numero a sinistra senza cambiare il valore di x?”.
“Ah, ora ho capito. Avevamo dimostrato che {0,1|} e {1|} sono uguali, per esempio. Quindi quello 0 a sinistra era inutile”.
“Esatto: ora troviamo una regola generale. Consideriamo i due numeri x e X che abbiamo appena definito e chiediamoci quando x ≤ X”.
“Uhm, dovrei saperlo dire, ormai. Vediamo: x è minore o uguale di X a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra di x, cioè xL, non sia maggiore o uguale di X (no, è impossibile, perché ogni xL è anche un XL, che non può essere maggiore o uguale di X), oppure a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero, cioè XR, non sia minore o uguale di x (no, impossibile, perché ogni XR è anche un xR)”.
“Perfetto, ottima analisi. Dunque x ≤ X. Puoi fare la stessa analisi anche per X ≤ x?”.
“Ormai non mi ferma più nessuno. Allora, X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero, cioè {y, xL}, sia maggiore o uguale di x — uhm, tutti gli xL non sono maggiori o uguali di x, ma di y non so niente. Quindi devo imporre che anche y non sia maggiore o uguale di x”.
“Perfetto, vai avanti, manca la seconda condizione”.
“Ah, già. La seconda condizione dice che X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero non sia minore o uguale di X — questo non può succedere perché ogni xR è anche un XR. Quindi siamo a posto, l'unica condizione che devo imporre è quella su y”.
“Ottimo. Riassumendo, {y, xL|xR} = {xL|xR} purché y non sia maggiore o uguale di x”.
“Ah, finalmente un bel risultato. A questo punto possiamo accorciare quella lista di venti numeri che avevamo fatto tempo fa?”.
“Sì, prova a semplificarla, ricordandoti che puoi eliminare un numero dalla parte sinistra dell'insieme se, sempre nella parte sinistra, ne esiste un altro maggiore di quello”.
“Eh, però mi piacerebbe sapere come fare a semplificare quei numeri che hanno più elementi nella parte destra”.
“Hai ragione: puoi usare evidenti ragioni di simmetria per dedurre che, nella parte destra, puoi eliminare un numero se ne esiste un altro minore di quello”.
“Uhm, non faccio commenti sulle ragioni di simmetria... Quindi posso dire che ogni numero x è uguale a quel numero che si ottiene prendendo il più grande elemento di xL e il più piccolo elemento di xR?”.
“Esatto, ammesso che, naturalmente, esista il più grande elemento dell'insieme di sinistra o il più piccolo di quello di destra”.
“Naturalmente”.
“Questa proprietà è valida per i nostri venti numeri, quindi possiamo andare avanti tranquilli”.
“Ok, allora, vediamo. L'elenco dei nuovi numeri dovrebbe ridursi così:”.
{|} = 0
{-1|}
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|}
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1}
{|0,1} = {|0} = -1
{|1}
{-1|0,1} = {-1|0}
{-1|1}
{-1,0|1} = {0|1}
“Giusto. Per ora ci fermiamo qua, poi vedremo come ridurlo ancora”.
Per ogni gioco, si ha che:
- x non è maggiore o uguale di xR
- x non è minore o uguale di xL
- x ≤ x
- x = x
- se x ≥ y e y ≥ z, allora x ≥ z (proprietà transitiva)
Per ogni numero, si ha che:
- xL < x < xR
- x ≤ y oppure y ≤ x (l'ordinamento è totale)
“Perché dici gioco?”.
“Perché sono proprietà che valgono in generale per tutti i giochi, cioè non fanno uso del fatto che xL non è maggiore o uguale di xR”.
“Ah. E le dimostriamo?”.
“Pensavo di lasciarle come esercizio al lettore volonteroso: si basano sul concetto di induzione”.
“Ok”.
“Ora invece vediamo di rispondere a un'altra domanda: quand'è che un numero x = {xL|xR} è uguale a un numero X = {y, xL|xR}?”.
“Eh?”.
“Traducendo: quand'è che possiamo aggiungere un numero a sinistra senza cambiare il valore di x?”.
“Ah, ora ho capito. Avevamo dimostrato che {0,1|} e {1|} sono uguali, per esempio. Quindi quello 0 a sinistra era inutile”.
“Esatto: ora troviamo una regola generale. Consideriamo i due numeri x e X che abbiamo appena definito e chiediamoci quando x ≤ X”.
“Uhm, dovrei saperlo dire, ormai. Vediamo: x è minore o uguale di X a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra di x, cioè xL, non sia maggiore o uguale di X (no, è impossibile, perché ogni xL è anche un XL, che non può essere maggiore o uguale di X), oppure a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero, cioè XR, non sia minore o uguale di x (no, impossibile, perché ogni XR è anche un xR)”.
“Perfetto, ottima analisi. Dunque x ≤ X. Puoi fare la stessa analisi anche per X ≤ x?”.
“Ormai non mi ferma più nessuno. Allora, X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero, cioè {y, xL}, sia maggiore o uguale di x — uhm, tutti gli xL non sono maggiori o uguali di x, ma di y non so niente. Quindi devo imporre che anche y non sia maggiore o uguale di x”.
“Perfetto, vai avanti, manca la seconda condizione”.
“Ah, già. La seconda condizione dice che X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero non sia minore o uguale di X — questo non può succedere perché ogni xR è anche un XR. Quindi siamo a posto, l'unica condizione che devo imporre è quella su y”.
“Ottimo. Riassumendo, {y, xL|xR} = {xL|xR} purché y non sia maggiore o uguale di x”.
“Ah, finalmente un bel risultato. A questo punto possiamo accorciare quella lista di venti numeri che avevamo fatto tempo fa?”.
“Sì, prova a semplificarla, ricordandoti che puoi eliminare un numero dalla parte sinistra dell'insieme se, sempre nella parte sinistra, ne esiste un altro maggiore di quello”.
“Eh, però mi piacerebbe sapere come fare a semplificare quei numeri che hanno più elementi nella parte destra”.
“Hai ragione: puoi usare evidenti ragioni di simmetria per dedurre che, nella parte destra, puoi eliminare un numero se ne esiste un altro minore di quello”.
“Uhm, non faccio commenti sulle ragioni di simmetria... Quindi posso dire che ogni numero x è uguale a quel numero che si ottiene prendendo il più grande elemento di xL e il più piccolo elemento di xR?”.
“Esatto, ammesso che, naturalmente, esista il più grande elemento dell'insieme di sinistra o il più piccolo di quello di destra”.
“Naturalmente”.
“Questa proprietà è valida per i nostri venti numeri, quindi possiamo andare avanti tranquilli”.
“Ok, allora, vediamo. L'elenco dei nuovi numeri dovrebbe ridursi così:”.
{|} = 0
{-1|}
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|}
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1}
{|0,1} = {|0} = -1
{|1}
{-1|0,1} = {-1|0}
{-1|1}
{-1,0|1} = {0|1}
“Giusto. Per ora ci fermiamo qua, poi vedremo come ridurlo ancora”.
sabato 1 agosto 2009
Naturale
Non ho assolutamente idea di cosa sia la scala pentatonica, ma questo video mi ha affascinato.
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