Ancora nodi

Mezz'ora fa ero convinto che sarei andato a letto entro pochi minuti, poi sono arrivato su questo sito. Ora ho una scarpa davanti alla tastiera sulla quale sto facendo esperimenti. Lo Ian's fast shoelace knot è geniale, ma devo imparare bene lo Ian's secure shoelace knot perché i nodi che faccio normalmente mi si slacciano sempre (dice il sito che è colpa delle stringhe un po' troppo rigide e a sezione circolare).

La macchina per nodi probabilistica

Qualche mese fa avevo sistemato la mia molla da elettricista con tutte le cure possibili, eppure quando l'ho ripresa due giorni fa per stendere un cavo di rete l'ho ritrovata piena di nodi. È evidente che le strutture lunghe, sottili e sufficientemente flessibili hanno una tendenza spontanea ad annodarsi.

Ora l'evidenza è stata studiata scientificamente: due fisici della UC San Diego hanno pubblicato un articolo dal titolo “Spontaneous knotting of an agitated string”, nel quale studiano la formazione spontanea di nodi in una corda in movimento. Essendo fisici, hanno preferito un approccio sperimentale a uno studio teorico, e hanno costruito una macchina per nodi.

Hanno preso una scatola di plastica trasparente, di forma cubica, di lato 0.30 metri, e l'hanno fatta ruotare con la velocità di un giro completo al secondo per 10 secondi. Hanno utilizzato una corda del diametro di 3.2 millimetri, di densità pari a 0.04 grammi per centimetro e una rigidità alla flessione di 3.1×10⁴ dine·cm².

In altre parole, prosegue l'articolo, la corda ha il diametro di un cavetto da mouse e la rigidità di uno spaghetto mezzo cotto.

Dopo aver fatto 3415 prove (un numero di prove necessario per ottenere risultati statisticamente validi, dicono) i due ricercatori hanno visto che si formavano nodi circa una volta ogni due. Si sono poi fatti aiutare da un programma per computer per studiare le diverse forme dei nodi formatisi, calcolandone il polinomio di Jones (mica roba da ridere, nel 1990 Jones ha guadagnato una medaglia Fields per la scoperta del polinomio che porta il suo nome).

Le conclusioni sono state le seguenti. Per prima cosa, è necessaria una lunghezza minima per la formazione dei nodi: 18.124 pollici è il valore trovato dai due ricercatori (il motivo per cui si ostinano a rifiutare il sistema metrico decimale è ignoto, e dire che ci sono stati anche spiacevoli incidenti a causa di questo fatto). Poi, ci deve essere abbastanza spazio per permettere alla corda di muoversi. Infine, sono stati generati tutti i possibili nodi con sette incroci, e ne sono stati osservati anche alcuni con undici incroci. Detto in termini rigorosi: “long things get tangled”.

Alla fine, pare che ci siano anche applicazioni pratiche per questo studio (si vede che non è stato fatto da matematici): potrebbe essere usato per prevenire i casi di annodamento del cordone ombelicale, oppure per capire come mai ogni tanto il DNA all'interno di una cellula si annoda, creando problemi quando la cellula cerca di dividersi. Le cellule, però, hanno già sviluppato un meccanismo per risolvere la cosa: grazie ad alcuni enzimi riescono a “ridistendere” il filamento annodato.

Forse, conclude l'articolo, potremmo anche noi, un giorno, avere a disposizione degli enzimi che ci permettano di snodare la gomma per innaffiare il giardino, o la matassa delle luci da mettere sull'albero di Natale. It might happen someday. Or knot.

(via 360)

Behold the power of the pigeonhole principle

Potenza del principio della piccionaia (o principio dei cassetti, per gli italiani): esistono almeno due persone con lo stesso numero di capelli.

(via meep livejournal)

Progetto Eulero

Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.

Leggo da Stacktrace che esiste un sito, chiamato Project Euler, che propone problemi matematici che dovrebbero essere risolti mediante algoritmi per computer (anche se alcuni problemi semplici potrebbero essere risolti semplicemente con carta e penna). Non c'è limite di tempo per l'invio delle soluzioni, ma è richiesto un limite di tempo per l'esecuzione dei programmi risolutivi: su un computer medio il programma non dovrebbe impiegare più di un minuto.

I geek di Stacktrace si propongono di scrivere un articolo, a cadenza più o meno settimanale, che commenta e risolve uno dei problemi proposti. Oggi hanno pubblicato il primo.

Famous problems of geometry

Questo libro parla delle costruzioni con riga e compasso, categoria di problemi molto amata dagli antichi greci. Analizza, spiega e dimostra alcuni semplici problemi preliminari, fornisce un criterio analitico per la costruibilità mediante riga e compasso, parla dei numeri complessi, dimostra l'impossibilità di risolvere (sempre mediante riga e compasso, naturalmente) il problema di Delo, il problema della trisezione dell'angolo e quello della quadratura del cerchio.

Infine parla della costruibilità dei poligoni regolari, il tutto condito da dimostrazioni ed esercizi per casa (con le soluzioni in fondo al libro).

Parla anche della scoperta, da parte di Gauss (anzi, Gauß), della costruzione dell'eptadecagono, e riporta anche l'aneddotto secondo il quale dopo la sua morte venne eretta in suo onore, a Göttingen, una statua di bronzo con il piedistallo avente la forma di un eptadecagono. Wikipedia aggiunge, però, che lo scalpellino rifiutò, dicendo che un poligono di 17 lati sarebbe stato indistinguibile da un cerchio. A questo punto bisogna andare a controllare...

Kenissuaq

Buon compleanno, Lungo Fucile.

La musica del Big Bang

Quando ero giovane, per un po' di tempo ho pensato di iscrivermi al corso di laurea in astronomia, poi ho scelto matematica. Dopo la laurea, per un brevissimo periodo ho pensato nuovamente di iscrivermi ad astronomia, poi sono tornato sulla terra.

Comunque la passione mi è rimasta, e ho sempre letto con curiosità i libri di divulgazione sull'argomento.

L'ultimo che ho letto è stato questo:

scritto da un italiano, che ha anche un blog (e non solo). Mi è piaciuto, mi ha introdotto ad argomenti che non conoscevo, come l'esistenza della materia oscura e dell'energia oscura, e mi ha aggiornato sugli ultimi sviluppi della cosmologia. Consigliato.

Associazioni

Nell'arco di dieci secondi quelli di quinta, partendo da questo libro, sono passati a parlare del problema del postino cinese, passando poi al problema della raccolta dei rifiuti in una grande città, per arrivare infine a Pac-Man.

60 anni di transistor

Il 16 dicembre 1947 William Shockley, John Bardeen e Walter Brattain costruirono il primo transistor. Per questo, nel 1956 ricevettero il premio Nobel, con la motivazione per le ricerche sui semiconduttori e per la scoperta dell'effetto transistor.

(Via Quinta's weblog)

Tangenti comuni a due circonferenze

Nel risolvere un quesito dell'ultimo Rudi Mathematici mi sono imbattuto in un problema carino: la ricerca delle tangenti comuni a due circonferenze. È un problema che si può risolvere con la geometria analitica, ma ero curioso di sapere se si potesse risolvere solo con riga e compasso, come facevano i greci di una volta.

Ho chiesto ai miei studenti di prima: loro sostenevano che si potesse fare, che il loro insegnante di tecnologia e disegno l'avesse spiegato, ma quando sono venuti alla lavagna a mostrarmi il procedimento ho capito che non sapevano bene quello che stavano disegnando...

Allora sono andato direttamente alla fonte (il collega), e mi sono fatto raccontare come si fa.

Ecco qua. Cominciamo da due circonferenze come in figura:



Scegliamo una direzione casuale, tracciamo due rette parallele passanti per i due centri e aventi la direzione scelta. Nella prima circonferenza scegliamo uno dei due punti di intersezione, nella seconda scegliamo quello che si trova dalla parte opposta rispetto alla retta congiungente i due centri.



Ora congiungiamo i due punti trovati e intersechiamo la nuova retta con la congiungente i due centri: identifichiamo così un nuovo punto. A questo punto non ci interessano più le rette tracciate in precedenza, ma ci interessano solo i tre punti sulla retta che congiunge i due centri.



Questi tre punti delimitano due segmenti: troviamo i loro punti medi (segnati in rosso).



Tracciamo le due circonferenze (rosse) aventi i centri nei due punti rossi, e passanti per il punto blu esterno alle due circonferenze date. Esse intersecano le circonferenze blu in quattro punti — ne mettiamo in evidenza solo due, in verde, da parti opposte rispetto alla congiungente i due centri. Questi sono i punti di tangenza.



Eccoci arrivati: la retta passante per i due punti verdi è una delle tangenti cercate.



Il lettore volonteroso saprà trovare anche l'altra tangente che passa tra le due circonferenze. Poi, con procedimento analogo, saprà anche trovare le altre due tangenti comuni (perché in tutto ce ne sono quattro, in effetti). Volendo, saprà anche dimostrare che il procedimento è corretto.

[Nota tecnica: le figure sono state fatte con kseg, un programma free per linux simile a Cabri (correzione: vedo che ci sono port per Mac e Windows)]

Stroncato

Quelli di fantascienza.com hanno stroncato senza pietà il primo (loro dicono e ultimo) film tratto da Queste Oscure Materie, La Bussola d'Oro.

150 anni di teoria delle matrici

Centocinquanta anni fa (più due giorni, sono in ritardo, ma sono ammalato, mi giustifico) Arthur Cayley inviò alla Royal Society di Londra un suo articolo sulle matrici, dal titolo A Memoir on the Theory of Matrices. Da allora il mondo si è riempito di autovalori e autovettori.

Con un po' di pazienza, qui si può trovare l'articolo completo (bisogna andare a pagina 475).

La duplicazione della pizza

Pizza e Platone: un post da non perdere di Dario Bressanini.

John Titor

In quarta va di moda la storia di John Titor, il viaggiatore nel tempo. Ora Attivissimo sta scrivendo un libro sull'argomento, e ne parla anche alla radio.

Il dodo

In quarta:

“Allora, ecco il risultato, questo è il limite notevole del logaritmo”.

“Ma dai! Prof, ma quando mai ci capiterà di trovare un logaritmo proprio di 1+x?”.

“Eh, sì, prof, magari si poteva fare un limite con il logaritmo di x, ma di 1+x? Che senso ha?”.

“Prof, è più facile trovare un uovo di dodo che un logaritmo di 1+x”.

Ammetto che la battuta colta mi ha fatto sorridere. Poi uno studente ha aggiunto:

“Ma dai, cosa vai a pensare, le uova di un pokémon!”.

È intelligente, ma non si applica

Questa non è della mia scuola e quindi posso raccontarla senza timori...

La studentessa fa, dall'inizio dell'anno, la settimana corta. Va a scuola dal martedì al venerdì, mentre il lunedì e il sabato non si fa mai vedere. Passa settembre, passa ottobre, ci sono i consigli di classe, i ricevimenti dei genitori, la studentessa viene redarguita.

Poi non la si vede più a scuola. Cos'è successo?, domandano gli insegnanti. Sa, prof, la studentessa è in vacanza. Come in vacanza? Eh, sì, lei ha promesso che da ora in poi verrà a scuola anche il lunedì e il sabato, e i genitori le hanno dato un premio. Adesso è, per due settimane, alle Seychelles, poi torna.

Comunque sia, la studentessa ha finito le vacanze già da un po' di tempo, ma pare che ora faccia la settimana cortissima: a scuola non l'hanno più vista.

Il gioco del 15

Il gioco del 15 è famoso: si tratta di riordinare 15 caselle numerate da 1 a 15 disposte in una griglia 4×4. Anche l'immagine qua sopra è abbastanza famosa: è un enigma proposto da Sam Loyd relativo al gioco in questione. Riuscite a riordinare i numeri del gioco rappresentato in figura?

Se ancora non sapete la soluzione, non leggete oltre.

Se invece sapete già che la risposta è... (siamo sicuri che volete saperlo? bé, magari lo scrivo sotto, se sapete già la risposta è inutile che la ripeta proprio qua).

Comunque, se uno prova a cercare in giro la soluzione trova, su vari siti, che la risposta dipende da un problema di parità, ma la dimostrazione completa non la si trova quasi mai.

Ebbene, eccola qua. Una dimostrazione seria, come fanno i Veri Matematici.

Sia N il numero di coppie di numeri che non sono nel loro ordine naturale. Nell'esempio della figura N=1, perché la coppia (15,14) non è ordinata (mentre tutte le altre sono in ordine—occhio che bisogna considerare tutte le possibili coppie, cioè (1,2), (1,3), (1,4), ... , (2,3), (2,4), ... , (3,4), ... , (15,14). In sostanza, quando si parla di coppia si intende che si devono scegliere due numeri a caso, procedendo secondo il verso di lettura).

Invece di ragionare su spostamenti di caselle, conviene ragionare su spostamenti del buco.

Teorema dello spostamento orizzontale. Ogni spostamento del buco di uno spazio verso destra o verso sinistra lascia N costante.

Dimostrazione: uno spostamento a destra o a sinistra del buco non cambia l'ordine secondo cui sono disposte le caselle. CVD.

Teorema dello spostamento verticale. Ogni spostamento del buco di uno spazio verso l'alto o verso il basso fa aumentare o diminuire N di 3 unità.

Dimostrazione: uno spostamento del buco verso il basso cambia l'ordinamento della tessera spostata rispetto alle tre tessere precedenti. Viceversa, uno spostamento del buco verso l'alto cambia l'ordinamento rispetto alle tre tessere successive. CVD.

Teorema del ritorno. Qualunque movimento di tessere che riporti il buco nella posizione iniziale altera N di un numero pari di unità.

Dimostrazione: siccome il movimento orizzontale del buco è ininfluente, possiamo porre l'attenzione solo sui movimenti verticali. Perché il buco possa ritornare nella posizione di partenza, deve essere stato fatto un numero pari di movimenti verticali. Dunque N viene modificato secondo la formula



(dove a_n è uguale a 0 oppure a 1, a seconda di come viene cambiato l'ordinamento: abbiamo detto che N aumenta o diminuisce di 3, ma non sappiamo distinguere i due casi in generale, dipende dalle mosse che vengono fatte).

Anche se non sappiamo quanti sono gli a_n uguali a zero e quanti, invece, gli a_n uguali a uno, sappiamo però che questi sono sempre un numero pari. Possiamo pensare, allora, di accoppiare i valori di (-1)^a_n, cioè di sommarli due alla volta. Possono presentarsi solo quattro possibilità:
+1+1=2,
+1-1=0,
-1+1=0,
-1-1=-2,
e questi sono tutti numeri pari. CVD.

Allora possiamo dare una risposta al quesito iniziale: è possibile riordinare i numeri della figura? La disposizione iniziale ha N=1, quella richiesta ha N=0, e siccome N può variare soltanto di un numero pari di unità la disposizione iniziale non può essere riordinata come richiesto.