Gli orologi di Fourier — 3. Somme infinite che si annullano

“Facciamo un riassunto di quanto detto finora? Tra orologi e figure tridimensionali ho perso un po' il filo”.

“Ok. Allora, combinando in sequenza alcune lancette abbiamo visto che è possibile disegnare figure molto complicate, persino Homer Simpson”.

“Me lo ricordo”.

“E abbiamo anche visto che le lancette che ruotano, al variare del tempo, possono disegnare una curva tridimensionale”.

“Ricordo anche questo: le tre dimensioni contengono tutto quello che ci interessa, poi se vogliamo possiamo anche considerare meno informazioni di quelle che sono disponibili”.

“Esatto”.

“Rimane da spiegare una cosa: come facciamo a sapere come costruire l'orologio che genera una figura, per esempio Homer?”.

“Benissimo: parliamo di questo. Quando abbiamo a che fare con tante lancette che ruotano, ognuna di esse dà un contributo alla creazione della figura finale. Noi vorremmo analizzare il risultato in modo da capire come è stato costruito l'orologio”.

“Ok”.

“Dobbiamo premettere un'ipotesi: le lancette non girano a qualunque velocità”.

“In che senso?”.

“Fissata la velocità della prima, le altre vanno a velocità doppia, tripla, quadrupla, eccetera. Ma non consideriamo lancette che girano a velocità diverse da queste”.

“Perché?”.

“Eh, la risposta è difficile da dare, senza entrare a fondo nella matematica. Diciamo che la risposta più semplice è: perché non ce n'è bisogno, con lancette che girano alle velocità che ti ho detto possiamo generare qualunque curva periodica”.

“Periodica?”.

“Sì, cioè che si ripete dopo un certo tempo, sempre uguale a sé stessa”.

“Homer Simpson non mi sembra mica tanto periodico, però”.

“Se riguardi il video, invece, noterai che il disegno della faccia di Homer corrisponde a un giro completo della lancetta più lenta: la curva, anche se complicata, è una curva chiusa”.

“Ah”.

“Bene, fissate queste condizioni, ecco come si fa a trovare quali lancette servono per disegnare una certa curva. Immagina, per semplicità, che ce ne siano soltanto due”.

“Ok”.

“Queste girano, una a una certa velocità, una a velocità doppia, e tu, soltanto osservando la curva disegnata da esse, vuoi scoprire… ah, già, cosa vuoi scoprire?”.

“Beh, come sono fatte queste lancette”.

“Più precisamente?”.

“Eh, come ruotano e quanto sono lunghe”.

“Ma lo sai già come ruotano, no?”.

“Oh. Sì, in effetti sì, mi hai detto che la velocità è fissata a priori”.

“Esatto. Quindi tu vuoi sapere soltanto la loro lunghezza”.

“Ok. Come faccio?”.

“Immagina di prendere l'orologio (del quale tu non puoi vedere le lancette, ma solo il risultato che produce) e di farlo ruotare in senso opposto rispetto alla rotazione della prima lancetta”.

“Uhm. Che succede?”.

“Succede che la prima lancetta rimane ferma, no?”.

“Ah, sì, è vero, lei vorrebbe girare in un senso e io la faccio girare nell'altro, rimane ferma mentre l'orologio le gira intorno”.

“Perfetto. L'altra lancetta, invece, continua a girare per i fatti suoi”.

“A velocità diversa, immagino”.

“Sì, ma non importa: ora vogliamo eliminare il contributo dato da questa lancetta che ruota”.

“E come si fa?”.

“Ora viene il difficile. Immagina di scattare tante fotografie a una lancetta che ruota, fino a che non ha fatto un giro completo”.

“Va bene”.

“Ti risulterà una cosa del genere:”.

“Ne conto dieci, però”.

“Sì, è un esempio, immagina di averne dieci, cento, quanti ne vuoi”.

“Ok”.

“Ora mettiamoli tutti uno dopo l'altro”.

“Come per fare la somma?”.

“Sì”.

“Ma non c'è bisogno, si vede già che la somma è nulla: per ogni vettore c'è quello opposto”.

“Eh, hai ragione, ma questo solo perché ne ho disegnati dieci. Se fossero undici?”.

“Ah”.

“E poi c'è un altro problema: stiamo guardando la fotografia di una sola lancetta che ruota, perché il nostro orologio era molto semplice”.

“Ah già, ne aveva solo due, di lancette”.

“Se ce ne fossero di più, la fotografia non sarebbe così bella simmetrica”.

“Mh”.

“Non importa, però, il procedimento che ti sto suggerendo è universale. Che succede se metti tutte le lancette una dietro l'altra?”.

“Immagino che salti fuori una figura molto grossa”.

“Questo è vero, e tra poco rimedieremo a questo problema. Ma guarda com'è fatta, questa figura:”.

“Ah, certo, è chiusa”.

“E quindi la somma di tutti quei vettori fa zero”.

“Ho capito. Ma come risolviamo il problema del fatto che all'aumentare del numero di vettori la figura diventa sempre più grande?”.

“Semplice: riscaliamo i vettori di un certo fattore”.

“Cioè li accorciamo?”.

“Esatto. Immagina di non averne dieci, ma di averne un numero infinito, di lunghezza infinitesima”.

“Otterrei un poligono di infiniti lati piccolissimi… come una circonferenza?”.

“Proprio così”.

“Ah, bello. Che comunque si chiude, e quindi la somma di quei vettori infinitesimi sarebbe sempre nulla”.

“Esatto”.

“E che succederebbe se ci fossero altre lancette che ruotano?”.

“Se le altre lancette ruotano a velocità doppia, tripla, eccetera, la somma di tutti i vettori farebbe due giri, o tre, o più, ma comunque si chiuderebbe”.

“Molto bene, quindi questo è il modo per eliminare tutti i contributi delle lancette che ancora ruotano, dopo che abbiamo staccato l'orologio dal muro e lo abbiamo fatto ruotare in senso opposto rispetto alla prima lancetta. Però dicevi che questo era il sistema per scoprire come è fatta, questa prima lancetta. Non ho capito come fare quest'ultimo calcolo”.

“Hai ragione, non l'abbiamo ancora detto. Siamo rimasti, quindi, con un sistema che mediante infinite somme fa sparire tutti i contributi tranne quello di una sola lancetta, che ora non ruota più. Pensiamo quindi a quello che succede quando sommiamo, con la tecnica utilizzata prima, i contributi forniti da questa singola lancetta ferma”.

“Questa volta sommiamo infinite volte lo stesso vettore, quindi otteniamo una… semiretta?”.

“Non esattamente: ricordati che non sommiamo il vettore così com'è, ma prima lo riduciamo, facendolo diventare molto piccolo”.

“Vabbè, allora il risultato dipende da quanto è piccolo”.

“Esatto. Partiamo con un esempio semplice, la figura di sopra. Dividiamo l'angolo giro in 10 parti, otteniamo quindi dieci vettori uguali, e li sommiamo: cosa otteniamo?”.

“Un vettore lungo 10 volte quello iniziale”.

“E se quindi vuoi sapere quanto è lungo quello iniziale, cosa devi fare?”.

“Dividere per 10”.

“Bene. Se invece di fotografie ne facessi 20, per riottenere il vettore iniziale dovresti sommare tutto e dividere per 20”.

“Sono d'accordo. Non capisco bene come fare se invece di 10 o 20 ne ho infiniti, di questi vettori”.

“Non capisci perché ancora non sai com'è il fattore di scala che usi per ridurre gli infiniti vettori”.

“Già. Come si trova questo fattore di scala?”.

“Si fa così: si parte dalla circonferenza. Quanto è lunga?”.

“Dipende dal raggio, no?”.

“Certo. Fissiamo, come fanno sempre i Veri Matematici, un raggio comodo, cioè un raggio uguale a uno”.

“Ok, allora in questo caso la circonferenza è lunga 2π”.

“Benissimo. Ora immagina di raddrizzarla facendola diventare un segmento”.

“Ok, sarà sempre lungo 2π”.

“Senza dubbio. Ora dividilo in N parti, e quello è il tuo fattore di scala”.

“Ah, quindi questo è il valore per cui moltiplico tutti i vettori?”.

“Esatto”.

“Quindi, quando faccio la mia somma, ho N copie dello stesso vettore, lunghe 2π/N volte la lunghezza iniziale”.

“Molto bene. Quando le sommi tutte, cosa ottieni?”.

“Ah, N si semplifica! Ottengo 2π volte la lunghezza iniziale”.

“E quindi, finalmente, hai capito come si trova la lunghezza iniziale di questo fantomatico vettore?”.

“Ho capito! Prendo il risultato di questa somma, e divido per 2π”.

“Perfetto. Quella che hai appena fatto si chiama analisi di Fourier, e ti permette di trovare le lunghezze di tutti i vettori rotanti che servono per costruire una curva periodica”.

“Ma queste somme di infiniti termini infinitesimi si fanno davvero, in matematica?”.

“Sì, si chiamano integrali, e si indicano con un simbolo strano a forma di S allungata. Ecco come scrivono i Veri Matematici:”.

“Uh, abbastanza incomprensibile”.

“Ammetto che la prima volta che la vedi, potrebbe essere effettivamente poco chiara”.

“Eh”.

“Ma riassume tutto quello che abbiamo detto: f(x) è la curva che vogliamo decomporre con l'analisi di Fourier. La formula ti dice che se vuoi ottenere la lunghezza di uno dei vettori (indicato con c_n), devi prendere la curva f, farla ruotare in verso opposto rispetto a quello della rotazione del vettore che vuoi (e questo lo ottieni moltiplicando tutto per e^−inx), poi devi applicare il fattore di scala che riduce il risultato (e questo si ottiene moltiplicando tutto per dx), poi sommi tutto (l'integrale), e infine dividi il risultato per 2π. Ecco fatto”.

“Ma Fourier come faceva a fare queste cose senza GeoGebra?”.

“Era bravo”.

Gli orologi di Fourier — 2. Tre dimensioni

“Com'è quindi questa faccenda della lancette che girano al contrario?”.

“Prima di spiegartela più nel dettaglio, vorrei farti capire una cosa. Partiamo da questa domanda: quante informazioni contiene il grafico formato dalle lancette che abbiamo visto la volta scorsa?”.

“In che senso informazioni?”.

“Quante variabili, quanti numeri servono per descriverlo completamente?”.

“Uhm, uhm. È un grafico sul piano, no? Non sono due variabili?”.

“Sì, è vero, ma se lo pensi come punto che si muove, c'è una terza variabile nascosta: il tempo che passa. Il movimento della punta della matita sul grafico finale (il faccione di Homer Simpson, per dire) è descritto completamente da tre variabili: le coordinate del punto (due variabili) e l'istante di tempo in cui la punta della matita si trovava proprio in quel punto del foglio”.

“Ah, ok, una funzione in tre variabili, quindi?”.

“Non esattamente: una funzione lega il variare di alcune variabili all'interno di un insieme al variare di altre variabili all'interno di un altro insieme. In questo caso siamo interessati alla funzione che lega il tempo che passa alla punta della matita”.

“Quindi una variabile nell'insieme di partenza e due in quello di arrivo?”.

“Esatto. La sua rappresentazione completa ha bisogno di tre assi cartesiani: uno per il tempo che passa e altri due per le coordinate del punto che si muove”.

“Quindi, se ho capito bene, il grafico dovrebbe essere quello di una curva nello spazio?”.

“Proprio così. Per comodità di disegno possiamo poi fare come si faceva a scuola quando, invece di disegnare in prospettiva, si disegnavano le proiezioni ortogonali”.

“Uh, lontani ricordi…”.

“Se indichiamo le tre variabili con t per il tempo, x e y per la posizione del punto sul foglio, abbiamo tre disegni possibili. Possiamo disegnare soltanto x e y, in questo modo:”.

“E otteniamo la curva che avevamo già visto l'altra volta”.

“Oppure disegniamo t e x”.

“E che grafico salta fuori?”.

“Questo:”.

“Ah, una funzione normale…”.

“Ne esistono di anormali?”.

“Eh, diciamo che questa è una funzione che sono più abituato a vedere”.

“Hai ragione, in effetti è così. Anche quella nel piano t, y dovrebbe essere abbastanza normale, come dici tu:”.

“Sì, direi di sì”.

“Ma potresti anche disegnarle tutte e tre insieme”.

“Come proiezioni?”.

“Non solo: in fondo, le proiezioni le abbiamo già viste separate. Potremmo disegnarle come hai detto tu all'inizio: come curva nello spazio. Ecco qua, puoi orientarla come vuoi trascinando col mouse il grafico. Prova a riottenere le tre proiezioni viste prima”.

Carnevale della Matematica numero 97

Buongiorno e benvenuti al Carnevale della Matematica numero 97, il carnevale che rompe con le tradizioni. Tradizioni che vorrebbero, infatti, che la parte iniziale del Carnevale fosse dedicata alle proprietà del numero che caratterizza il carnevale stesso — ma, diciamocelo, vogliamo davvero un copia-incolla della voce presente in Wikipedia? Ebbene, no.

Quindi, celebriamo il più grande numero primo di due cifre (quando scritto in base 10) declamando il verso ad esso associato nella poesia gaussiana, e cioè sul pino, per poi passare direttamente ai contributi, tutti rigorosamente scritti avendo presente il tema di oggi, che è I Giochi.

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Sapevate che esiste una rivista di storia della scienza su Medium redatta da autori italiani? Ebbene, esiste. Si chiama Through the optic glass, ci scrive sopra anche Dioniso, che ci segnala una revisione, o una nuova edizione, dei primi articoli della sua serie sulla storia della matematica. Eccoli qua:

I primi passi del pensiero matematico

Talete

Pitagora I - La nascita e i viaggi

Pitagora II - Crotone e la scuola: matematici e acusmatici

Pitagora III - la famiglia, Muia, Teano e il ruolo delle donne nella scuola

Pitagora IV - Qual è la scoperta più importante dei pitagorici?

Pitagora V - Ippaso, l’incommensurabile e il crollo della scuola

Infine, Dioniso ha anche scritto Musica e numeri per Voltalacarta, una relazione sul legame tra musica e numeri fatta per l'associazione culturale Voltalacarta di Heidelberg.

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Nel 1878 il giovane matematico francese François Proth pubblicò una breve nota contenente quattro teoremi sui numeri primi: uno di questi è oggi conosciuto come teorema di Proth e riguarda numeri nella forma h × 2^k + 1. Come succede sempre in matematica, i teoremi che portano il nome di un matematico non sono stati dimostrati da quel matematico. O, meglio, in questo caso Proth scrisse di possedere la dimostrazione, ma non la pubblicò. Dato che si sta parlando di una dimostrazione che sta in meno di cinque righe, i Veri Matematici sono propensi a credergli, anche se la prima dimostrazione scritta sembra essere quella di Robinson, pubblicata nel 1957. Comunque siano andate le cose, il teorema di Proth può essere usato come test per trovare numeri primi grandi, e sappiamo bene quanto questi numeri piacciano ai matematici e ai crittografi. Dato che 3 × 2⁵ + 1 fa 97, possiamo dire che 97 è uno dei numeri primi di Proth. Il più grande di questi numeri ad oggi noto è 19249 · 2^13018586 + 1, che è composto da 3,918,990 cifre ed è il più grande numero primo noto non facente parte della categoria degli enormi numeri di Mersenne.

Annalisa Santi ha scritto, per Matetango, un post che parla di uno dei più antichi indovinelli matematici, e cioè il problema numero 79 del papiro di Rhind. Sarà un caso il fatto che il numero del problema si ottiene invertendo le cifre di 97?

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Ma parliamo ora di cose inutili (non che finora si sia fatto altro, ma non sottilizziamo). C'è un giochino matematico che funziona in questo modo: si parte dal numero 1, e poi si generano nuovi numeri seguendo questa regola: ogni nuovo numero che aggiungiamo deve essere tale per cui tutte le somme che si possono fare con i numeri che abbiamo scritto devono essere tutte distinte.

Per capirci: se ho un numero solo, e cioè 1, posso calcolare solo la somma di 1 con sé stesso, che è ovviamente unica. Se aggiungo il numero 2 alla lista si possono formare le seguenti somme: 1 + 1, 1 + 2, 2 + 2, che danno tre risultati distinti. Se ora provassi ad aggiungere 3 alla lista, scoprirei che due somme si ripetono: 1 + 3 = 2 + 2. Quindi 3 non può appartenere alla lista, mentre 4 invece funziona: le somme 1 + 1, 1 + 2, 1 + 4, 2 + 2, 2 + 4, 4 + 4 sono tutte distinte.

La successione prosegue con 8, 13, 21, eccetera, e ci pare bello notare il fatto che l'undicesimo termine sia 97.

Juhan ha analizzato, dal punto di vista dei linguaggi di programmazione, ma non solo, un giochino giapponese che è diventato famoso in breve tempo. In sostanza si tratta di capire se 3:1:3 e 3:1/3 siano o no la stessa espressione. Dopo averci pensato un po', andate a vedere cosa fanno alcuni software molto famosi.

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Tutti conoscono la dimostrazione di Euclide sull'infinità dei numeri primi, ma riprendiamola un momento per chi avesse un momentaneo lapsus. Supponiamo che i numeri primi siano in numero finito, dice Euclide, consideriamo il loro prodotto, e sommiamo 1. Il numero che otteniamo dovrebbe essere composto, dato che i numeri primi li abbiamo già usati tutti e non ce ne sono più, ma se fosse davvero composto per quale numero sarebbe divisibile? Non per il primo dei nostri numeri primi, dato che il resto della divisione sarebbe uguale a 1. Nemmeno per il secondo, anche in questo caso il resto sarebbe uguale a 1. Ma allora nemmeno per il terzo, il quarto, e così via. E dunque? Dunque il numero che abbiamo ottenuto dovrebbe essere un nuovo numero primo, ah, ma avevamo detto che non ce n'erano più, assurdo.

Proviamo: partiamo da 2, numero primo. Aggiungiamo 1, otteniamo 3, non è divisibile per 2, è un nuovo numero primo. Ora moltiplichiamo 2 per 3, aggiungiamo 1, otteniamo 7, altro numero primo. Andiamo avanti:

2 × 3 × 7 + 1 = 43, primo.

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807, ehi, non è primo, Euclide si è sbagliato! No, in effetti 1807 è uguale a 13 × 19, nessuno dei quali fa parte della nostra lista di numeri primi. Allora aggiungiamo il minore: 13.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 + 1 = 23479 = 53 × 443, aggiungiamo 53.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 + 1 = 1244335 = 5 × 248867, aggiungiamo 5.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 × 5 + 1 = 6221671, primo, aggiungiamolo.

E, insomma, avete capito, si va avanti così generando nuovi primi alla maniera di Euclide. Questa successione si chiama successione di Euclide-Mullin, di cui non si sa tanto. Per esempio, non si sa se contiene 41; si sa invece che al ventiseiesimo posto possiamo trovare il numero 97.

.mau. ha scritto come al solito una buona percentuale di tutto il Carnevale. Ecco allora, pubblicati sul Post, Ausilii per le moltiplicazioni, che racconta di quando non esistevano le calcolatrici e si faceva tutto a mano; e Quante cifre di pi greco ci servono davvero? Non tante, in realtà.

Sulle Notiziole ha invece questa notevole lista: Conferenze per matematici girelloni dove segnala due conferenze internazionali di matematica ricreativa; un ricordo di Solomon Golomb, l'uomo dei pentamini e dei regoli omonimi; una notiziola di povera matematica, "stimati con precisione". I quizzini della domenica sono Case gialle e case blu e Attraversare un fiume; le recensioni sono Leonardo's Mirror and Other Puzzles di Ivan Moskovich (recensione breve: molto colorato, alcuni giochi carini) e Uncommon Mathematical Excursion di Dan Kalman (recensione breve: a livello universitario, ma molto interessante per la prospettiva non standard sui temi di analisi trattati nel testo).

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Un tale di nome Martin Gardner — uno che di giochi ne sapeva un po' — scrisse, tempo fa, un libro intitolato Time Travel and Other Mathematical Bewilderments in cui presentava il seguente problema, intitolato Self Numbers. Il problema ha una presentazione, ovviamente. Eccola.

D. R. Kaprekar, dice Martin, è un matematico minuto, ma con un grande cervello e un grande cuore, che vive in India (o, meglio, viveva ai tempi in cui l'articolo è stato scritto, perché è morto nel 1986). Per più di quarant'anni ha scritto contributi originali nel campo della teoria dei numeri ricreativa (dice proprio così, chissà se esistono corsi universitari sulla teoria dei numeri ricreativa), ha pubblicato articoli su riviste specializzate indiane, e ha anche pubblicato un elevato numero di libretti scritti in inglese un po' traballante.

Kaprekar è conosciuto, fuori dall'India, sopratutto per la scoperta della cosiddetta costante di Kaprekar, che possiamo presentare in questo modo. Partiamo da un qualunque numero di quattro cifre in cui non tutte le cifre sono uguali. Riordiniamo le cifre in ordine decrescente, poi creiamo un nuovo numero invertendo le cifre appena scritte. Sottraiamo il nuovo numero dal primo numero, e ripetiamo il procedimento. In un massimo di otto passi si arriva a 6174, la costante di Kaprekar.

Per esempio, partiamo da 2111, creiamo 1112, sottraiamo 2111 − 1112 = 0999
Ora calcoliamo 9990 − 0999 = 8991
Proseguiamo: 9981 − 1899 = 8082
8820 − 0288 = 8532
8532 − 2358 = 6174
Ed ecco fatto: 7641 − 1467 = 6174.

Ma veniamo alla nuova scoperta di Kaprekar: i self-numbers, numeri che si fanno da sé, di cui si è parlato per la prima volta fuori dall'India nell'aprile del 1974, sul The American Mathematical Monthly (pagina 407). Per capire cosa siano questi numeri che si fanno da sé, è opportuno prima di tutto comprendere un procedimento detto digitadition (digitaddizione? addigitazione? fate voi). Funziona così: preso un qualunque intero positivo, lo si deve sommare alla somma delle sue cifre. Per esempio, a partire da 47 si deve calcolare 47+4+7=58. Il numero 58 viene detto generato da 47, e 47 è detto generatore. Il processo può poi essere ripetuto: 58+5+8 fa 71, 71+7+1 fa 79, eccetera. Non è ancora stata trovata una formula non ricorsiva che generi la successione dei numeri digitaggiunti.

Possiamo (ovviamente) porci alcune domande: possono esistere più generatori per uno stesso numero? La risposta è sì, ma non fino a che i numeri non superano 100: il primo numero con due generatori è 101, generato da 91 e 100. Esistono numeri non generati da nessun altro numero, cioè numeri che si fanno da sé? Ebbene, sì, ne esistono infiniti, e se li mettiamo in ordine crescente al tredicesimo posto troviamo 97.

Roberto Natalini ha mandato una serie quasi infinita di interventi, scritti da varie persone. Facciamo un po' di ordine:

Il nuovo Comics&Science: Lupo Alberto, materia oscura.
Il 12 maggio al Salone del libro di Torino (clic qui per l'evento) è stato presentato il nuovo albo Comics&Science, contenente tra l'altro un fumetto originale di Lupo Alberto, con testi di Francesco Artibani e disegni di Silver.

Anteprima Archimede: Matematica alla Maturità, raccolta dei temi assegnati all'esame di Stato di Liceo Scientifico (ndz: è la raccolta più completa che io abbia mai visto, sfogliatela).
Nel numero 2/2016 di Archimede, che uscirà alla fine del mese di giugno, ci sarà questo articolo di Luciano Battaia, che presenta una raccolta completa dei temi di matematica assegnati all'esame di stato dei Licei Scientifici a partire dal 1923 (sic!), curata dallo stesso Battaia e da Ercole Suppa. Viene pubblicato in anteprima esclusiva su MaddMaths!, sperando di fare cosa gradita a tutti gli studenti e insegnanti interessati.

Il problema non è la matematica, ma il modo in cui viene insegnata.
Alcuni critici, tra cui Simon Jenkins, pensano che la matematica (eccetto quella di base) non serva assolutamente a nulla. Questo è il risultato di curricula scolastici privi di fantasia. Un articolo della medaglia Fields Tim Gowers, comparso su The Guardian e tradotto da Elena Toscano.

La matematica e il Piano Nazionale della ricerca: un appello al ministro Giannini.
Maddmaths! pubblica una lettera dei presidenti di alcune tra le maggiori società matematiche italiane al Ministro Giannini a proposito del nuovo Piano Nazionale della Ricerca.

Documento di riflessione dell'Unione Matematica Italiana sui risultati OCSE-PISA 2012.
Il Consiglio Scientifico dell'Unione Matematica Italiana ha approvato un documento di riflessioni sui risultati degli studenti italiani nella parte matematica dei test OCSE-PISA. L’UMI ritiene infatti opportuno utilizzare questa occasione per una riflessione su quanto è emerso nella passata edizione che vada al di là di un’impressione, o di un titolo, più o meno allarmistici, con l’obiettivo di individuare indicazioni significative per l'importante dibattito sulla formazione matematica dei nostri studenti.

La matematica umida dell'evoluzione #9. "The Last Woman, volume I.
Benvenuto nel primo volume di un progetto a cui tengo molto, che mi rappresenta come madre, moglie e donna. Il mio nome è Mary Shelley… Uno spin-off de "La matematica umida dell'evoluzione", a cura di Davide Palmigiani.

Madd-Spot #2, 2016 - "Cellular Potts Model" e applicazioni biomediche.
Gli individual cell-based models (IBM) sono modelli matematici che riproducono individui biologici, caratterizzati dalle dimensioni tipiche di una cellula, che sono in grado di rivelare come comportamenti anomali di singole cellule possono portare a malformazioni di interi aggregati. Il Cellular Potts Model (CPM) è un metodo stocastico di tipo Monte Carlo, in cui l’evoluzione del sistema biologico in esame è guidata da un principio di minimizzazione di energia. Negli ultimi anni il CPM è stato applicato a specifici problemi biologici e biomedici, originati dalla collaborazione con centri sperimentali. In particolare, sono stati riprodotti esperimenti di tubulogenesi tumorale. Capiamone di più nel Madd-Spot firmato da Marco Scianna, ricercatore in Fisica Matematica presso il Dipartimento di Scienze Matematiche “G. L. Lagrange” del Politecnico di Torino. Una rubrica a cura di Emiliano Cristiani.

Nicola Ciccoli: I miei libri di matematica.
Leggere un libro di matematica non è come leggere un libro di letteratura. Non si inizia necessariamente da pagina uno, non si finisce necessariamente all’ultima pagina. Nicola Ciccoli ci conduce tra le sue letture giovanili di matematica. Qui la prima puntata e qui la seconda.

Sapiens vs Neanderthal: ne rimarrà solo uno.
Gli archeologi sostengono che l'estinzione dei Neanderthal a causa degli umani moderni fu legata alla competizione interspecifica per differenze nel livello culturale. Vediamo di capire meglio cosa può essere successo con un po’ di matematica, in base ad un articolo recentemente apparso su PNAS. Di Davide Palmigiani.

Infine, due articoli sulla quintessenza dei giochi matematici:

Olimpiadi di Matematica — Finali nazionali 2016.
Nello scorso fine settimana si è tenuto su MaddMaths! l'appuntamento con le finali delle Olimpiadi di matematica. Il primo appuntamento è stato con il liveblogging dei momenti salienti delle semifinali delle gare a squadre, venerdì 6 maggio a partire dalle 15, mentre sabato 7 maggio dalle 9 la finale a squadre è stata seguita minuto per minuto.

EGMO 2016: tre medaglie per l'Italia alle Olimpiadi Femminili Europee di Matematica.
Dal 10 al 16 aprile si è tenuta a Busteni, Romania, la quintaEuropean Girls' Mathematical Olympiad (EGMO). Hanno partecipato 147 concorrenti in rappresentanza di 39 nazioni (31 europee e 8 ospiti). La squadra italiana, accompagnata da Alessandra Caraceni e Giada Franz, si è fatta onore. Di Luigi Amedeo Bianchi.

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Doctor Who è una serie televisiva molto famosa che io non ho mai visto, ahimé, lo so, prima o poi dovrò porre rimedio alla cosa. Ho letto che nel 2007 andò in onda un episodio, intitolato 42 (già questo dovrebbe bastare) in cui una sequenza di numeri primi felici venne usata come codice per aprire una certa porta su un'astronave. Nessuno su quell'astronave, a parte il Dottore, sapeva cosa fossero questi fantomatici numeri felici, al che il nostro eroe si domandò se per caso non venisse più insegnata nelle scuole la materia matematica ricreativa. Ebbene, se non volete trovarvi a disagio davanti alla porta chiusa di un'astronave, forse dovreste sapere che un numero si dice felice quando il processo di prendere le sue cifre, elevarle al quadrato, sommarle, e ripetere tutto, converge al numero 1.

Per esempio, se partite da 2, ottenete 4, poi 16, poi 37 (uguale a 1² + 6²), poi 58 (3² + 7²), poi 89, 145, 42, 20, e si ricomincia. La successione non arriva mai a 1, e quindi il numero 2 si dice triste (già).

Se invece partite da 97, ecco quello che succede: 130, 10, 1. Quindi 97 è un numero felice.


Gianluigi Filippelli ha scritto Le partizioni cicliche del Cappellaio Matto: per la serie dei Rompicapi di Alice un metodo, tratto dal numero speciale dedicato a Martin Gardner del College Mathematical Journal del 2012, per calcolare alcune particolari partizioni che possono venire in mente durante un classico tea party.

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Il periodo decimale di 1/97 raggiunge il massimo della lunghezza, pari a 96. Alexander Aitken, un calcolatore fulmineo che era anche professore di matematica all'Università di Edimburgo, lo conosceva a memoria.

Certamente non lo aiutava granché il fatto che iniziasse con le potenze di 3 (in quanto 97 = 100 − 3):

1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567…


Annarita Ruberto in Math Mahjong Game: Gioca con le Quattro Operazioni ci racconta, invece, di una variante del Mahjong in cui, per progredire nel gioco, occorre eseguire alcune operazioni.

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L'Hebdarole (termine che probabilmente ha anche una traduzione in italiano, che io non conosco) è un oscillatore di periodo 7 che vive nella matrice di Life. Non sapete di cosa si stia parlando? Leggete le prossime righe, allora (non prima di aver contato il numero di celle di cui è composto l'Hebdarole stesso: sono 97).

Leonardo Petrillo ha scritto, sul Tamburo Riparato, un post che ci racconta gli aspetti fondamentali e molte curiosità sul Gioco della Vita, ideato da John Horton Conway nel 1970.

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“Perché mai Kurt Russell, che nell’originale si chiama Snake e che ha un colossale cobra tatuato, mostrando una inoppugnabile coerenza tra nome e tatuaggio, in italiano l’hanno chiamato Iena? Perché? Perché? Perché? Non lo saprò mai…” — Piotr, commentando un film che parla del '97.

E veniamo infine ai Rudi Mathematici, che mi hanno mandato il materiale poco meno di 24 ore fa, 'sti disgraziati.

L’enigma della Monaca: continua la serie dei Canterbury Puzzles.

Il compleanno del grande Kolmogorov.

Per la tradizionale soluzione al problema del mese ecco quel che è emerso in “L’egocentrismo di Teseo”.

Breve interludio puramente enigmistico: una crittografia (però del tutto irrisolvibile da un enigmista che non abbia almeno sfiorato le gioie del calcolo differenziale).

Per la lunga serie dei Paraphernalia, si procede ancora un po’ con la teoria dei giochi.

E chiudiamo in bellezza con la prestigiosa rivista di matematica ricreativa: RM208.

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Grazie a tutti, anche ai ritardatari; il Carnevale finisce qua, il prossimo sarà ospitato da .mau. sul Post e avrà, come tema, le curiosità.

Gli orologi di Fourier — 1. Homer Simpson destrutturato

“Guarda che bello!”.

“Ma cos'è?”.

“Un orologio…”.

“…con le lancette che vanno al contrario”.

“Eh, vabbé, è un orologio matematico. L'importante è che abbia almeno due lancette che si muovono a velocità diversa”.

“Almeno? Quante lancette vuoi?”.

“Un numero qualsiasi, basta che ruotino a velocità diverse”.

“Un orologio complicato”.

“Oh, sì, e lo complichiamo ulteriormente. Immagina di sommare, in un certo senso, le lancette”.

“E come si fa?”.

“Come se tu dovessi sommare dei vettori. In realtà quelle che tu chiami lancette dell'orologio sono vettori rotanti”.

“Ah. E come li sommo? Con la regola del parallelogramma?”.

“Quello è un modo, altrimenti potresti sommarli mettendoli in sequenza, la coda del secondo vettore parte dalla punta del primo. Quello che i fisici chiamano metodo punta-coda”.

“Vediamo: se li sommo con la regola del parallelogramma, otterrei una figura del genere”.



“Molto bene”.

“Non saprei come fare una figura in movimento col metodo punta coda, però”.

“Ecco qua:”.



“Ahh, ma è bellissimo! Epiciclo e deferente, vero?”.

“Esatto”.

“E adesso?”.

“E adesso sporchiamo un po' la figura: vediamo che traccia lascia la somma delle due lancette”.



“Molto bella”.

“E immagina i disegni che si possono fare con tre lancette, o quattro, o molte di più”.

“Chissà che complicazioni”.

“Guarda qua:”.



“!”.

“Bello, eh?”.

“Meraviglioso, ma come hanno fatto?”.

“Con una tecnica scoperta da Fourier”.

“E come funziona? Non saranno andati per tentativi, no?”.

“Eh, no, hanno preso l'immagine che volevano ottenere e hanno fatto andare le lancette al contrario”.

Il primo teorema di Euclide senza parole (e perfino animato)

(Il prossimo lo faccio con le pause, ora che ho imparato come si fa)

Dopo quanto spazio Achille riesce a raggiungere la signorina Tartaruga?

Ovvero: a quanto converge una serie geometrica convergente? Ecco una dimostrazione geometrica senza parole, che usa la similitudine dei triangoli.

Il metodo Cramer, infine

“E insomma, ormai è ora di capire perché funziona la magia del metodo di Cramer”.

“Oh, finalmente”.

“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.

“Ricordo”.

“Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.

“Ricordo anche questo”.

“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.

“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.

“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.

“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.

“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione^[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.

“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.

“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.

“E non moltiplichi u per y?”.

“Ancora no”.

“Ma così non ottieni la soluzione, però”.

“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.

“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.

“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.

“Viene moltiplicata pure lei per x”.

“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.

“Bene, ci sono”.

“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.

“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.

“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.

“Non riesco a vederlo…”.

“Ruota un po' la testa”.

“Ehm”.

“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.

“Il vettore v”.

“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.

“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.

“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.

“Uno è v, abbiamo detto”.

“Certo. E l'altro?”.

“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.

“Esatto, e quanto è lunga?”.

“Come faccio a saperlo?”.

“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.

“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.

“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.

“Perché?”.

“Beh, è il testo del sistema”.

“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.

“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.

“In questo caso la diagonale è (e,f)”.

“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.

“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.

“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.

“Certo, eccola:”.

“Ricava la x ed è fatta”.

“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.

“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.

“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.

“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.

“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.

“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.

“Naturalmente”.

“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.




“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.

E quindi, Cramer?

“Cramer! Chi era costui? — ruminava tra sé il Vero Matematico seduto sul suo seggiolone, in una stanza del piano superiore, con un libricciolo aperto davanti…”.

“Ma cosa stai dicendo?”.

“Avevi iniziato a parlare dei determinanti, pensavo che prima o poi mi avresti raccontato anche del misterioso metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi”.

“Hai ragione, rimedio subito! Cosa significa risolvere un sistema?”.

“Eh, significa trovare i valori delle incognite che rendono vere entrambe le equazioni, se non mi sbaglio”.

“Giusto, è così. Ma adesso vorrei mostrarti la cosa da un altro punto di vista”.

“Capirai, fai sempre così!”.

“Guarda che è questo il bello della matematica, vedere le cose da diversi punti di vista, riconoscere analogie, creare collegamenti, ed essere felici per questo”.

“…”.

“Comunque, ti propongo un nuovo punto di vista sui sistemi, e lo faccio con un esempio, così abbiamo dei numeri con cui giocare. Eccoti il testo di un esercizio:”.

“Ok, non mi sembra difficile, fammi fare un po' di conti… mi pare che risulti x = 2 e y = 3”.

“Bene, fin qua ci siamo. Adesso permettimi di scrivere il sistema in un modo leggermente diverso, ecco:”.

“Uh? Ma che roba è”.

“Possiamo vederla come una scrittura in forma vettoriale del sistema di prima: quei numeri scritti tra le parentesi sono le componenti dei vettori”.

“Quindi, per capire, all'inizio sto moltiplicando x per il vettore avente componenti 2 e 1?”.

“Esatto. Per dirla in un altro modo, stiamo considerando la prima riga del sistema come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ascisse di certi vettori, e la seconda riga, invece, come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ordinate”.

“Ma le ascisse sono le x, che compaiono sia nella prima che nella seconda riga. E anche le ordinate, eh”.

“Non fare confusione, le x e le y che vedi nel sistema non c'entrano con le ascisse e le ordinate di cui ti sto parlando. Tu hai un vettore, che ha componenti 2 e 1…”.

“Ascissa 2 e ordinata 1”.

“Esatto. Lo moltiplichi per x, cioè ne vari la lunghezza, e ottieni un altro vettore…”.

“Di ascissa 2x e ordinata x?”.

“Proprio così. Poi hai un secondo vettore, di componenti 1 e 3. Questo lo moltiplichi per y”.

“E ottengo un vettore di componenti y e 3y”.

“Sì. Adesso li sommi: ti ricordi come si fa la somma tra due vettori?”.

“Si fa componente per componente. Il risultato dovrebbe essere il vettore di ascissa 2x + y e di ordinata x + 3y”.

“E queste sono le due righe del sistema. Cioè, le due parti a sinistra dell'uguale”.

“Ah, ho capito. E il sistema quindi ci domanda quanto devono valere x e y perché il vettore risultante sia quello di componenti 7 e 11?”.

“Ottimo, hai detto bene: traducendo in linguaggio geometrico, il sistema ci domanda di quanto devo allungare i due vettori (2,1) e (1,3) perché il risultato sia il vettore (7,11)”.

“E quindi potrei fare anche un disegnino, con questi vettori? Giusto per vedere meglio le cose”.

“Naturalmente. Puoi giocare con la figura qua sotto: in rosso sono indicati i vettori u e v, che sono i vettori (2,1) e (1,3). Puoi trascinare il punto viola dove vuoi, e osservare come devono essere modificati i due vettori dati perché la loro somma dia il vettore che termina sul punto viola”.



“Mh, carino, ma il punto rosso cosa sarebbe?”.

“È il punto di coordinate (7,11), cioè il punto dove tu vorresti fare andare la punta del vettore”.

“Beh, posso trascinarcela sopra, no?”.

“Certo. Se lo fai, puoi vedere come devono essere modificati i vettori u e v in modo tale che la loro somma finisca proprio su (7,11)”.

“Provo… a occhio mi sembra che il vettore u raddoppi…”.

“Eh eh”.

“Cosa c'è da ridere?”.

“Magari ti sembra anche che il vettore v triplichi?”.

“Mh, non riesco a vederlo bene a occhio, ma potrebbe essere. Continuo a non capire perché ridacchi, però”.

“Perché hai già risolto il sistema prima! Non avevi trovato x = 2 e y = 3?”.

“Sì, ma cosa c'entra… Ah! Ma certo! Il fatto che x sia uguale a 2 significa che devo moltiplicare il vettore u per 2, e il fatto che y sia uguale a 3 significa che devo moltiplicare v per 3, e il risultato è proprio (7,11). Ma guarda un po', non avevo mai visto un sistema risolto in questo modo”.

“Bello, vero? In pratica abbiamo interpretato il sistema come un'equazione vettoriale. Se diamo un nome anche al vettore risultante, cioè (7,11)…”.

“A questo punto chiamiamolo w”.

“Bene, se poniamo allora w = (7,11), il sistema che abbiamo scritto prima può essere riscritto così:”.

xu + yv = w.

“Molto semplice”.

“E però non possiamo mica sempre trovare x e y a occhio, no?”.

“Eh, no. Ma questa visualizzazione ci aiuterà molto nella ricerca di un metodo risolutivo”.

“Il famoso metodo di Cramer?”.

“Proprio lui”.

Il determinante di una matrice, che rimane sempre un concetto misterioso

Tempo fa avevo scritto del determinante visto come volume orientato, e di come la sua definizione fosse necessariamente complicata (cioè: se vuoi una formula che funzioni in un certo modo, con determinate proprietà, allora deve essere fatta così).

Possiamo affrontare il problema anche in un altro modo: invece di elencare le proprietà e vedere come va a finire, facciamo il conto una volta per tutte. Lo facciamo in un caso particolare, quello bidimensionale, che riusciamo a visualizzare bene, perché spesso un disegnino spiega più di mille parole (se non sarà una dimostrazione generale da Veri Matematici, pazienza).

Quindi: cosa vogliamo fare? Vogliamo calcolare l'area di un parallelogramma conoscendo i due vettori che lo generano.

Ecco, questa immagine è una dimostrazione senza parole (quasi, via) del fatto che il determinante di una matrice quadrata rappresenta l'area di un parallelogramma generato dai due vettori (a,b) e (c,d), che nel disegno sono scritti in verticale così come si fa di solito in algebra lineare/geometria.

Ecco la spiegazione:

• Il rettangolo blu ha il lato orizzontale lungo a e quello verticale lungo d, quindi la sua area vale ad.
• Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti a e b (quello con il tratteggio arancione) in alto.
• Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti c e d (quello con il tratteggio viola) a destra.
• Osservo che in questo modo copro tutto il parallelogramma e anche qualcosa in più, e più precisamente il rettangolino in alto a destra, di dimensioni c e b, e quindi di area bc.
• Concludo quindi che l'area del parallelogramma si ottiene sottraendo l'area del rettangolino bc dall'area del rettangolone ad, cioè ad − bc.
• (Noto che devo sottrarre tutto il rettangolino bc e non solo la parte esterna al parallelogramma, perché la parte interna viene contata due volte (e infatti presenta un doppio tratteggio), mentre devo contarla una volta sola)
• Concludo che va tutto bene, quindi l'area del parallelogramma è proprio uguale al determinante della matrice.

Questo disegnino serve anche per capire perché funziona la misteriosa regola di Cramer per risolvere i sistemi lineari, ma questa è un'altra storia.

P.S. Questo è il millesimo post di questo blog. Incredibile.

Uso privato di blog privato

Qualche giorno fa ho partecipato alla Quinta Giornata Nazionale di Analisi Non Standard (sì, c'è gente strana al mondo) e, siccome non sono mica abituato a parlare in pubblico — a gente che ascolta davvero, voglio dire — ero molto nervoso e per questo alla fine del mio intervento ero così provato che, quando una persona è venuta da me a dirmi complimenti professore tirando fuori il mio libro e chiedendomi di firmarglielo, io l'ho fatto quasi meccanicamente, un po' drogato dal fatto che avevo finito di parlare senza aver fatto errori clamorosi e anche dal fatto che qualcuno mi era venuto a cercare col mio libro. Poi, alla fine di tutto, quando ci si saluta e ognuno se ne torna a casa, quella persona è tornata e molto educatamente ha salutato, e io credo di aver detto grazie e arrivederci, ma insomma, non le ho nemmeno chiesto il nome, chi fosse, come mai avesse deciso di partecipare a questa roba non standard.

Ecco, allora, grazie ancora, gentile sconosciuto, e se volesse palesarsi nei commenti mi farebbe molto piacere.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 4. Cosa c'è da dire ancora?

“Non so immaginare cosa ci sia ancora da dire, però fammi vedere qualche altra terna pitagorica oltre a (3,4,5)”.

“Certo. Ti ricordo il teorema:”.

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

“Ricordo”.

“Ed eccoti una tabella, con s minore o uguale di 10”.

  s  t     x   y   z
 -------------------
  2  1 |   4   3   5
  3  2 |  12   5  13
  4  1 |   8  15  17
  4  3 |  24   7  25
  5  2 |  20  21  29
  5  4 |  40   9  41
  6  1 |  12  35  37
  6  3 |  36  27  45
  6  5 |  60  11  61
  7  2 |  28  45  53
  7  4 |  56  33  65
  7  6 |  84  13  85
  8  1 |  16  63  65
  8  3 |  48  55  73
  8  5 |  80  39  89
  8  7 | 112  15 113
  9  2 |  36  77  85
  9  4 |  72  65  97
  9  6 | 108  45 117
  9  8 | 144  17 145
 10  1 |  20  99 101
 10  3 |  60  91 109
 10  5 | 100  75 125
 10  7 | 140  51 149
 10  9 | 180  19 181

“Uh, la prima è proprio (3,4,5)”.

“Sì, ordinata in modo diverso perché abbiamo deciso di chiamare con x il cateto pari”.

“Vero”.

“Ora, avendo scritto un po' di numeri con cui poter giocare, ecco un paio di proprietà. Prima: x è divisibile per 3, oppure y è divisibile per 3”.

“Fammi controllare… sembra vero”.

“Lo è. Però facciamo una dimostrazione, non un controllo su un esiguo numero di terne”.

“Che sono infinite, no?”.

“Appunto, quindi controllarne solo alcune non dimostra nulla”.

“Ok. Come lo dimostriamo?”.

“Se 3 divide x, siamo già a posto, fine del problema”.

“Bé, ma che dimostrazione è?”.

“È un pezzo di dimostrazione, porta pazienza. Primo caso: se 3 divide x, il teorema è già dimostrato e siamo a posto”.

“Ma non è detto che 3 divida x, no?”.

“No, infatti, e questo è il secondo caso: se 3 non divide x vuole dire che non divide né s né t, dato che x = 2st”.

“Ah, ho capito, stai analizzando separatamente i due casi. Il primo è ovvio, il secondo invece mi sembra meno semplice”.

“Certo. Se 3 non divide s e non divide t, come possiamo scriverli in modo tale da mettere in evidenza questa proprietà?”.

“Possiamo dire che s = 3h + 1, per esempio”.

“Molto bene, ma non è l'unica possibilità”.

“Giusto, s potrebbe anche essere uguale a 3h + 2”.

“Certo, ci sono tre possibilità: o un numero è divisibile per 3 (e quindi lo possiamo scrivere come 3h), o ha resto 1 nella divisione per 3 (e lo possiamo scrivere come 3h + 1), o ha resto 2 (e lo scriviamo come 3h + 2). Non ci sono altri casi”.

“Ok. Stessa cosa per t: potrebbe essere 3k + 1 oppure 3k + 2”.

“Giusto. A questo punto calcola s²”.

“In entrambi i casi?”.

“Sì”.

“Allora, nel primo caso, quello in cui s = 3h + 1, se elevo al quadrato ottengo s² = 9h² + 6h + 1”.

“Cosa puoi dire per quanto riguarda la divisione per 3?”.

“Che questo è ancora un numero del tipo 3H + 1, cioè dà ancora resto 1”.

“Perfetto. Controlla l'altro caso”.

“Darà come resto 2”.

“Controlla bene”.

“Mh. Allora, se s = 3h + 2, si ha che s² = 9h² + 12h + 4, quindi è del tipo 3H + 4. No, 4 è troppo, come faccio?”.

“Ricordati che 4 è uguale a 3 più 1”.

“Ah, ma certo, s² = 3H + 4 = 3H + 3 + 1 = 3(H + 1) + 1, cioè 3K+1. È ancora dello stesso tipo!”.

“Già. Hai scoperto che i quadrati di numeri non divisibili per 3 hanno sempre resto 1 nella divisione per 3”.

“Non lo sapevo”.

“Eh, ora possiamo concludere: dato che y è uguale a s² - t², quanto sarà il resto della divisione di y per 3?”.

“Bé, si può scrivere y = (3H + 1) - (3K + 1), quindi y = 3H - 3K. Ehi, y è divisibile per 3”.

“Ecco dimostrata la proprietà: o x è divisibile per 3, oppure lo è y”.

“Bello. Avevi parlato di un paio di proprietà?”.

“Sì, eccone un'altra: in una terna pitagorica primitiva almeno uno tra gli interi x, y e z è divisibile per 5”.

“Ah. Si ragiona allo stesso modo?”.

“Più o meno, sì. Se un numero non è divisibile per 5 puoi scriverlo in quattro modi diversi, a seconda del resto della sua divisione per 5”.

“Esattamente come prima. Se il numero… lo chiamo a, non è divisibile per 5, posso scriverlo così:”.

a = 5h + 1
a = 5h + 2
a = 5h + 3
a = 5h + 4

“Giusto. Ora eleva al quadrato, ma non stare a fare tutti i calcoli. Tieni presente che quando svolgi i calcoli del quadrato di binomio, il quadrato del primo termine contiene 25, mentre il doppio prodotto contiene 5”.

“Ah, vero! Allora la somma dei primi due termini è sempre divisibile per 5, mi rimane da controllare cosa succede al quadrato del secondo termine”.

“Esatto. Scrivi l'elenco dei quadrati dei secondi termini”.

“Sarebbe questo:”.

1
4
9
16

“Giusto. Come si comportano questi numeri nella divisione per 5?”.

“Vediamo… 1 dà resto 1, naturalmente, 4 dà resto 4, 9 dà resto ancora 4, e 16 dà resto 1”.

“Riassunto: il quadrato di un numero non divisibile per 5 dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5”.

“Ok, e adesso?”.

“E adesso abbiamo, come prima, due casi. O z è divisibile per 5…”.

“E abbiamo già dimostrato quello che vogliamo dimostrare”.

“Oppure non lo è. In questo caso il suo quadrato dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5. Se non fossero divisibili per 5 nemmeno x e y, anche i loro quadrati darebbero resto 1 oppure 4”.

“Bene”.

“Ma la somma di x² + y² che resto darebbe?”.

“Ci sono vari casi, non so”.

“Prova a elencarli, non sono tanti. Fai direttamente le somme con i resti”.

“Ho queste possibilità”.

1 + 1
1 + 4
4 + 1
4 + 4

“Giusto. Il primo caso dà un resto di 2, il secondo un resto di 0…”.

“Di cinque! Uno più quattro fa cinque”.

“Ma no, in una divisione per 5 non puoi avere resto 5: il fatto che venga 5 significa semplicemente che il numero è divisibile per 5, cioè il resto è 0”.

“Ah già”.

“Il terzo caso dà ancora 0, e il quarto caso…”.

“Non 8, ma 3”.

“Giusto, 8 - 5 = 3. Quindi la somma dei quadrati di x e y darebbe resto 0, oppure 2, oppure 3 nella divisione per 5, mentre il quadrato di z può solo dare 1 oppure 4”.

“Allora è impossibile che sia x che y e z non siano divisibili per 5, uno almeno deve esserlo”.

“Proprio così”.

“Abbiamo finito?”.

“Sì. Ti faccio solo notare un'ultima proprietà: l'unica terna pitagorica formata da tre numeri consecutivi è la tua amica (3,4,5)”.

“Ah. Dimostriamo anche questo?”.

“No, te lo lascio per esercizio. Basta svolgere i calcoli”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 3. Come sono fatte?

“Allora, oggi mi dici come sono fatte le terne pitagoriche primitive?”.

“Sì. Vediamo di costruirle pian piano. Abbiamo detto che se vale l'equazione x² + y² = z² allora x è pari, y è dispari, z è dispari”.

“A meno di uno scambio tra x e y”.

“Esatto, è solo una questione di nomi. Il triangolo rettangolo ha due cateti, uno pari e uno dispari. Quello pari si chiama x”.

“Perfetto”.

“Inoltre, in una terna primitiva non ci sono fattori comuni tra x, y e z”.

“Nemmeno se li si prende a due a due”.

“Vero anche questo. Infine, possiamo anche sottolineare il fatto che z è maggiore di y”.

“Certamente, è l'ipotenusa”.

“Quindi z - y è una quantità positiva”.

“Vero anche questo, ma perché me lo dici?”.

“Perché ci serve saperlo tra un attimo. Dato che x² è uguale a z²-y², utilizzando la formuletta della differenza tra due quadrati possiamo scrivere:”.

x² = (z - y)(z + y)

“Ok, ci sono”.

“(z - y) è una quantità positiva, perché z è maggiore di y, come abbiamo detto poco fa”.

“Ah, ecco perché me l'hai fatto notare”.

“E naturalmente anche (z + y) è positiva”.

“Certo”.

“Sono anche entrambe quantità pari”.

“Questo perché…”.

“La somma e la differenza di due numeri dispari danno un numero pari”.

“Giusto”.

“Quindi possiamo indicare (z - y) con 2u e (z + y) con 2v”.

“Va bene, così è evidente che sono numeri pari”.

“E dunque x² = (z - y)(z + y) = 4uv”.

“Fin qua ci sono”.

“Allora (x/2)² sarà uguale a uv.”.

“Va bene, anche se mi piace poco quella frazione”.

“Ma in realtà non è una frazione, perché abbiamo detto che x è pari, quindi stiamo sempre lavorando con numeri interi”.

“Ah, giusto! Ci sono, allora, andiamo avanti”.

“Ragioniamo un momento su questi due numeri u e v. Voglio dimostrare che sono primi tra loro”.

“E come fai?”.

“Intanto ti faccio notare che si possono esprimere in funzione di y e z. Cosa si può ricavare, infatti, da queste due relazioni?”.

z + y = 2v
z - y = 2u

“Cosa si può ricavare?”.

“Se le sommi, ottieni che 2z = 2(v + u), no?”.

“Vero. Quindi z = v + u”.

“E se le sottrai?”.

“Se faccio la prima meno la seconda ottengo 2y = 2(v - u). Quindi y = v - u. Ah, allora z e y si possono esprimere facilmente in funzione di u e v:”.

z = v + u
y = v - u

“Molto bene. Allora possiamo dimostrare quello che abbiamo detto un momento fa: u e v sono primi tra loro perché, se avessero un fattore comune, questo sarebbe comune anche a v + u e a v - u, e di conseguenza sarebbe comune a z e y”.

“Che però devono essere primi tra loro”.

“Esattamente, l'abbiamo dimostrato l'altra volta, è quella che abbiamo chiamato proprietà 3.”.

“E adesso?”.

“Adesso torniamo all'uguaglianza (x/2)² = uv. Abbiamo un prodotto di due numeri primi tra loro che dà come risultato un quadrato, quindi…”.

“Quindi, applicando la proprietà 4, possiamo dire che quei due numeri sono due quadrati!”.

“Perfetto, quindi possiamo indicare u con t² e v con s²”.

“Molto bene”.

“Dato che v - u è uguale a y, numero positivo, questo significa che v è maggiore di u, e quindi che s è maggiore di t”.

“Giusto anche questo”.

“E allora abbiamo finito, ecco come sono fatte le terne pitagoriche:”.

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

“Ah, ecco. Un momento, la prima uguaglianza da dove viene?”.

“Bè, avevamo detto che x² = 4uv, cioè 4s²t²”.

“Ah, ok, facciamo la radice. Ma possiamo assegnare a s e t tutti i valori che vogliamo?”.

“No. Abbiamo già detto che s deve essere maggiore di t, perché y deve risultare positivo”.

“Vero”.

“Inoltre s e t devono essere uno pari e uno dispari”.

“Provo a capire perché, ormai ci ho preso la mano… Allora, se fossero entrambi pari, vediamo, la loro somma e la loro differenza sarebbero pari, ma allora y e z sarebbero entrambi pari, e non va bene”.

“Stessa cosa se fossero entrambi dispari, no?”.

“Ah, certo, la somma e la differenza di due numeri dispari sono pari, quindi si fa esattamente lo stesso ragionamento”.

“Infine: è possibile che s e t abbiano fattori comuni?”.

“No, questo è facile: se li avessero li avrebbero anche x, y e z”.

“Benissimo. Questo è il teorema, che non è ancora completo però”.

“Cosa manca?”.

“Il viceversa. Cioè adesso abbiamo detto che se abbiamo una terna pitagorica allora la si può scrivere in funzione di s e t come detto poco fa. Viceversa, dati s e t con le caratteristiche dette sopra, è sempre vero che generano una terna pitagorica?”.

“Ah. Boh, e come si fa a saperlo?”.

“Qui è facile, si fa il calcolo. È vero che x² + y² = z²? Prova a calcolarlo”.

“Allora, x² sarebbe 4s²t², mentre y² sarebbe s⁴ - 2s²t² + t⁴. Se li sommo ottengo s⁴ + 2s²t² + t⁴”.

“Che, guarda un po', è proprio il quadrato di z”.

“Ah, bene, allora abbiamo finito”.

“Quasi”.

“Ma come? Cosa c'è ancora?”.

“Eh, quella che hai ottenuto è effettivamente una terna pitagorica, l'hai appena dimostrato. Ma è anche primitiva?”.

“Uffa. Allora, vediamo, se x, y e z avessero un fattore comune…”.

“Chiamalo p, e supponi che sia primo”.

“Se avessero un fattore comune avrebbero anche un fattore primo comune, lo chiamo p, ok”.

“Questo p dovrebbe dividere anche z + y”.

“Certo”.

“E z + y è uguale a 2s²”.

“Fammi controllare… ok, giusto, basta sommarli”.

“E ragionando allo stesso modo, p dovrebbe dividere anche z - y”.

“Giusto. Ti anticipo dicendo che z - y è uguale a 2t²”.

“Perfetto. E osserva anche il fatto che p non è uguale a 2”.

“Uh, allora, p non è 2 perché…”.

“Perché divide x e anche y, ma uno è pari e uno è dispari”.

“Giusto”.

“Quindi p divide 2s², p divide 2t², p non è 2”.

“E allora p dividerà s² e t²”.

“E dunque, siamo alla fine, p divide s e anche t. Ma s e t erano…”.

“Primi tra loro! Impossibile! Ah, finalmente, abbiamo dimostrato che quella è davvero la formula per ottenere tutte e sole le terne pitagoriche”.

“Te la riassumo qua sotto:”.

---

Tutte e sole le terne pitagoriche primitive con x pari sono date dalle formule seguenti:

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

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“Uff. Finito?”.

“Sì. Bé, la prossima volta concludiamo con qualche proprietà poco nota, e poi magari scriviamo anche qualche terna diversa dalla solita (3,4,5)”.

“Molto bene”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 2. Che proprietà hanno?

“Allora, mi hai detto che in una terna pitagorica i due cateti sono uno pari e uno dispari”.

“Esatto. Da adesso in poi diciamo che quello pari sia quello che abbiamo indicato con x, e quindi quello dispari è y”.

“E z?”.

“Proviamo a capire se c'è anche qualche proprietà che riguarda z. Può essere pari?”.

“Eh, boh, devo provare”.

“Prova. Ricordati che l'equazione x² + y² = z² può anche essere scritta come y² = z² - x²”.

“Ah, allora se sia x che z sono pari, dovrebbe esserlo anche y”.

“Che invece è dispari”.

“Allora è impossibile che z sia pari, quindi deve essere sempre dispari”.

“Benissimo, ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 2: in una terna pitagorica primitiva, x è pari, y è dispari, z è dispari (a meno di uno scambio tra x e y)

“Molto bene”.

“Ora, è possibile che i due termini y e z abbiano fattori in comune?”.

“Se ce li hanno, devono essere dispari”.

“Giusto. Inoltre, se ce li hanno, li possiamo scomporre e possiamo così affermare che esiste un numero primo p che li divide entrambi”.

“Certo”.

“E quindi p divide anche i loro quadrati”.

“Senza dubbio”.

“E allora p deve dividere anche il quadrato di x, perché x² = z² - y²”.

“Ma allora p li dividerebbe tutti e tre, e questo è impossibile, perché abbiamo a che fare con terne primitive”.

“Forse x e y potrebbero avere qualche fattore comune, allora?”.

“Mah, mi sembra che si possa ripetere il ragionamento appena fatto. Non serviva sapere che y e z fossero dispari”.

“Esatto. Quindi nemmeno x e z possono avere fattori comuni, giusto?”.

“Giusto. Ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 3: in una terna pitagorica primitiva, MCD(x,y) = MCD(x,z) = MCD(y,z) = 1

“Che è un modo complicato per dire che nemmeno presi a coppie x, y e z hanno fattori comuni”.

“Proprio così. Ora vediamo un'ultima proprietà, che è abbastanza semplice da raccontare, ma un po' noiosa da dimostrare alla maniera dei Veri Matematici”.

“Uhh”.

“Eccola:”.

Proprietà 4: Se il prodotto di due numeri primi tra loro è un quadrato, allora i due numeri sono due quadrati

“Mh”.

“Il prodotto di due numeri primi tra loro è 36, che è un quadrato. Quali sono questi due numeri?”.

“Sei e sei. Sei per sei fa trentasei. Ma sei non è un quadrato, qualcosa non va”.

“Certo che qualcosa non va: sei e sei non sono primi tra loro”.

“Ah, ehm, vero”.

“I due numeri corretti sono 4 e 9, che sono due quadrati”.

“Già”.

“Questo vale sempre”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è noioso perché devi sempre pensare alle scomposizioni in fattori primi dei numeri, e allora le formule da scrivere sono lunghe perché non sai mai a priori in quanti fattori sia scomponibile un numero. Comunque, vediamo un'idea di dimostrazione. Indichiamo con a e b i due numeri che, moltiplicati, danno un quadrato, che indichiamo con c²”.

“Ok, ab = c²”.

“Succede che a sarà scomponibile in fattori, così come b”.

“Certo”.

“Dato che a e b sono primi tra loro, i fattori della scomposizione di a saranno diversi da quelli della scomposizione di b”.

“Ok”.

“E quindi i fattori di ab saranno tutti quelli di a assieme a tutti quelli di b”.

“Giusto”.

“Ma tutto questo è uguale a c², che sarà pure lui scomponibile in fattori. Ma è un quadrato…”.

“Quindi nella sua scomposizione ci saranno tanti fattori al quadrato”.

“Questo è il punto. Dato che il teorema fondamentale dell'aritmetica ci dice che la scomposizione in fattori primi è unica, la scomposizione in fattori di ab deve essere uguale a quella di c²”.

“Ah, allora ci saranno quadrati anche nella scomposizione di a e b”.

“Ed ecco fatto: anche a e b sono quadrati. Te lo faccio capire meglio con un esempio: il prodotto ab = 8100, che è il quadrato di 90. Prova a scomporlo:”.

“Dunque, 8100 è 2²3⁴5². Come faccio a sapere chi sono a e b?”.

“Fai i vari casi, ma ricordati che devono essere primi tra loro”.

“Allora, potrei avere a = 2² e b = 3⁴5²”.

“E sia a che b sarebbero due quadrati”.

“Vero. Oppure potrei avere a = 2²3⁴ e b = 5²”.

“E anche in questo caso hai due quadrati”.

“Ah, ma ho capito, si hanno sempre quadrati. L'unico modo per non averli sarebbe quello di spezzare le potenze distribuendole un po' su a e un po' su b”.

“Ma non si può, perché a e b devono essere primi tra loro”.

“Ok, ho capito. E adesso?”.

“Adesso costruiamo queste benedette terne”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 1. Cosa sono?

“Ahh, i bei tempi in cui si poteva giocare”.

“Eh?”.

“Ma sì, me lo vedo Pitagora, nei pomeriggi di Natale, intorno alla tavola assieme ai suoi soci, con il nonno che estraeva i numeri, tre!, quattordici!, quindici!, e Pitagora che urlava terna!, e Ippaso invece tombola!, e Pitagora si arrabbiava sempre, e poi si sa che fine ha fatto Ippaso…”.

“…”.

“E allora Pitagora voleva cambiare gioco, dai mettiamoci a suonare un po' la lira, sentite come vibrano bene queste corde, Ippaso smettila che sei stonato, e gli altri basta Pitagora ci hai rotto con le tue corde che suonano, ma una bella batteria quando la mettiamo su, che noia questa musica, e se sei sfortunato alla tombola non è mica colpa nostra…”.

“ALLORA”.

“Ehm”.

“NO, DICO”.

“Erano altre terne quelle di cui volevi parlare, vero?”.

“Già”.

“Forse quelle del teorema di Pitagora, vero?”.

“Eh”.

“Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

“Così andiamo meglio. Se vogliamo tradurre in formule, x² + y² = z²”.

“Dove x e y sono i cateti e z invece è l'ipotenusa, vero?”.

“Certo. Per terna pitagorica si intende una terna di numeri naturali che soddisfa quell'equazione”.

“La famosa terna 3, 4 e 5. Mi ricordo solo quella…”.

“Quella è un esempio, ma ce ne sono altre. Tante altre. Naturalmente se trovi una terna di numeri interi che va bene, puoi anche cambiare qualche segno e quello che ottieni soddisfa ancora l'equazione, perché tanto elevi tutto al quadrato e i segni si perdono”.

“Anche se non ha significato geometrico”.

“Infatti. Noi ragioniamo sui numeri positivi per non avere problemi di segno”.

“Ok”.

“Allora, la domanda è: come sono fatte queste terne? Che proprietà hanno? Come si trovano?”.

“Boh?”.

“Una prima proprietà che possiamo notare subito (e che conoscono anche gli studenti delle medie, quando risolvono problemi che si basano sulle terne pitagoriche) è questa: data una terna che soddisfa l'equazione x² + y² = z², ne possiamo trovare infinite altre moltiplicando tutti i termini della terna per un fattore comune”.

“Cioè mi stai dicendo che se va bene la terna (3,4,5) allora va bene anche la terna (6,8,10)? Mh, sì, in effetti è vero, il fattore comune viene elevato al quadrato e lo si può semplificare”.

“Esattamente, se (x,y,z) soddisfa all'equazione del teorema di Pitagora, allora lo fa anche la terna (dx,dy,dz), perché risulta d²x² + d²y² = d²z²”. Dividendo tutto per d² ritrovi l'equazione iniziale.

“Ok, chiaro. Quindi in sostanza ci interessano le terne non semplificabili”.

“Sì, che vengono dette terne pitagoriche primitive, e sono tali per cui il massimo comun divisore tra x, y e z è uguale a 1”.

“Cioè sono non semplificabili, come ho detto io”.

“Io ho usato il linguaggio che usano i Veri Matematici”.

“Che sono abituati a complicare le cose semplici”.

“Ma no, sono solo precisi”.

“Ma smettila… Allora dobbiamo capire come sono fatte queste terne primitive?”.

“Sì, vediamo una prima proprietà. Diamo sempre per scontato che x e y siano le lunghezze dei due cateti, mentre z è l'ipotenusa. Domanda: x e y possono essere entrambi numeri pari?”.

“Boh? No, hai detto che devono essere primi tra loro”.

“No. L'affermazione che hai appena detto tu è diversa: io ho detto che x, y e z devono essere primi tra loro, ma è possibile che x e y abbiano fattori comuni. In realtà vedremo dopo che non è così, ma adesso non lo sappiamo ancora”.

“Ah, ok. Come faccio allora a sapere se x e y possono essere entrambi pari?”.

“Prova: se sono entrambi pari come saranno i loro quadrati?”.

“Pari pure loro”.

“Puoi dire di più: sono divisibili per il quadrato di 2, cioè sono multipli di 4”.

“Giusto”.

“E dall'equazione x² + y² = z² puoi immediatamente dedurre che anche il quadrato di z deve essere divisibile per 4…”.

“E quindi z deve essere pari, ma questo non è possibile, perché stiamo studiando le terne primitive! In questo caso invece avremmo tre numeri pari, e non va bene”.

“Molto bene. Possono essere entrambi dispari?”.

“Eh, uhm, qui non so mica rispondere, se sono dispari non vuole dire che abbiano un fattore comune”.

“Vero. Se sono dispari li puoi scrivere in questo modo: x = 2h + 1, y = 2k + 1”.

“D'accordo, i numeri dispari si possono scrivere così. È come dire che sono uguali a un numero pari più uno”.

“O, se vuoi usare l'aritmetica modulare, è come dire che sono congruenti a 1 modulo 2. Insomma, il resto della divisione per 2 è uguale a 1. Quando elevi al quadrato, il resto della divisione per 2 sarà ancora 1”.

“Che è un modo complicato per dire che il quadrato di un numero dispari è dispari. Se non c'era un fattore 2 prima di elevare al quadrato, non c'è nemmeno dopo”.

“Perfetto. Cosa mi dici allora della somma dei due quadrati dispari?”.

“Dispari più dispari fa pari”.

“Bene, ma rispetto alla divisione per 4? Quanto vale il resto della divisione per 4 di un dispari più un altro dispari?”.

“Boh?”.

“Dobbiamo fare il calcolo. Eleva al quadrato (2h + 1)”.

“Col quadrato del binomio?”.

“Certo”.

“Viene 4h² + 4h + 1… ah, forse ho capito. È un numero che si può scrivere come 4H + 1”.

“Molto bene”.

“Quindi il quadrato di un numero dispari dà resto 1 nella divisione per 4. Bello”.

“E se sommi due quadrati di dispari, cioè due numeri del tipo 4H + 1 e 4K + 1?”.

“Ottengo 4(H + K) + 2, quindi z² dovrebbe essere un numero che, nella divisione per 4, mi dà resto 2”.

“E questo è impossibile”.

“Perché?”.

“Perché l'abbiamo appena visto: se un numero è pari, il suo quadrato è divisibile per 4, e quindi il resto della divisione per 4 è 0. Se è dispari, il resto è 1. Non ci sono altre possibilità, è impossibile che un quadrato abbia resto 2 nella divisione per 4”.

“Ahh. Ma allora se x e y non possono essere entrambi pari o entrambi dispari, vorrà dire che saranno uno pari e uno dispari”.

“Certo, è rimasta solo questa possibilità. E almeno una volta è verificata, la terna (3,4,5) esiste”.

“Bello”.

“Ok, riassumiamo quindi quello che abbiamo stabilito:”.

Proprietà 1: in una terna pitagorica primitiva x e y sono uno pari e uno dispari.

“Bene”.

“E, come bonus, abbiamo anche scoperto che il quadrato di un numero è sempre congruente a 0 oppure a 1 modulo 4”.

Poi uno chiede perché a scuola ci si ferma al secondo grado

(Via smoot)