Carnevale della Matematica #41

Un milione di dollari.

Questo è il premio per chi riesce a risolvere il problema dei numeri primi. In realtà il premio riguarda la soluzione della cosiddetta ipotesi di Riemann, che parla delle strane proprietà di una particolare serie di funzioni complesse. Proprietà strettamente legate ai numeri primi, per i quali ancora non si conosce una legge che governa la loro distribuzione. Cioè, conosciamo leggi asintotiche, sappiamo che i numeri primi si comportano in un certo modo, ma ancora non sappiamo rispondere velocemente a domande apparentemente semplici, come qual è il milionesimo numero primo? L'unico modo che abbiamo per rispondere a questa domanda è quello di fare un elenco dei numeri primi e contare fino a un milione.

Ci piacerebbe tanto, invece, avere una formula che li calcola in modo automatico e rapido.

Uno dei primi a studiare il problema fu, manco a dirlo, Eulero. Il quale scoprì una formula molto semplice che produce solo numeri primi. Almeno per un po'…

Ad esempio: n²-n+2 produce solo numeri primi per n = 0 e 1. Ok, sto barando, la formula produce un solo numero primo, che è 2. Già per n = 2 il risultato è un numero composto, 4.

Facciamo un altro esempio: n²-n+3. Per n = 0 risulta 3, che è un numero primo. Per n = 1 risulta ancora 3, che… va bene, l'esempio con n = 0 non lo faccio più, coincide sempre con n = 1 perché n²-n si annulla sia in 0 che in 1. Andiamo avanti: per n = 2 risulta 5, che è un nuovo numero primo. Poi basta, perché se mettiamo n = 3 si può dividere tutto per 3 e quindi il risultato non è certamente primo. Siamo andati avanti un po' di più, ma possiamo fare di meglio.

Proviamo con n²-n+5. Per n = 0 (e anche n = 1) abbiamo 5, per n = 2 abbiamo 7, per n = 3 abbiamo 11 e per n = 4 abbiamo 17. Così va meglio, ma si può fare di più.

Vediamo che succede con n²-n+11. L'elenco dei numeri primi prodotti per n che va da 1 fino a 10 è questo: 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101.

Andiamo avanti: n²-n+17 produce questa sequenza: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257.

Ancora un altro esempio: n²-n+41. Questo polinomio produce la bellezza di 40 numeri primi: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.

Bene, prima che la noia ci uccida: si può andare avanti? Si possono trovare altri polinomi di questo tipo, che generano sempre più numeri primi? Possiamo trovare polinomi che generano milioni di numeri primi, miliardi, infiniti magari?

La risposta è no, ci sono solo questi numeri. Il maggiore è 41, poi non ce ne sono più. I numeri che godono di questa particolare proprietà, numeri in grado di creare polinomi generatori di numeri primi (almeno per un po'), sono solo questi: 2, 3, 5, 11, 17, 41.

E allora, sotto gli auspici di Eulero e del maggiore dei suoi numeri fortunati, andiamo a incominciare il quarantunesimo Carnevale della Matematica, dedicato al tema dell'impossibilità.

E cominciamo con chi non ha mai partecipato al Carnevale:


Hard Theorems

Massimo Lauria ha scritto un post (che al momento è l'unico, e cioè è il primo, e quindi bisogna festeggiare) intitolato Garantire l'impossibile. Un esempio è sufficiente per convincere le persone ragionevoli che una cosa è possibile, ma come si fa a convincere ed a convincersi che una è impossibile? La differenza fondamentale tra questi due concetti è proprio legata alla possibilità di "certificare" l'uno e non l'altro. In casi particolari si possono certificare entrambe le cose ed allora ne nascono potenti strumenti matematici ed algoritmici. Tuttavia la logica e l'informatica ci dicono che non sempre si può "garantire l'impossibile".


Natura & Matematica

Chris Sorrentino ci parla delle antinomie nella musica, post nel quale potrete leggere di John Cage, e potrete ascoltare (ehm) la sua famosa Composition 4'33".



E proseguiamo poi con chi è già pratico di Carnevali, in rigoroso ordine di ricezione.



dropsea

Gianluigi Filipelli ci parla di Pierre de Fermat e del suo teorema impossibile: in onore di Pierre de Fermat e di Andrew Wiles un piccolo post in cui si racconta brevemente del famoso Ultimo teorema di Fermat e della sua dimostrazione.

L'isola dei paradossi: ritorna la serie dei Rompicapi di Alice con un paradossale viaggio tra logica e letteratura all'interno del famoso poema di Carroll Caccia allo snaulo, condito con un po' di fantasy e fantascienza.


Gravità Zero

Consideriamo un disco rotante, sul cui bordo sia presente il punto A. Posizioniamo una freccia con la punta rivolta verso il disco. Facciamo girare il disco: quanto vale la probabilità che il punto A si fermi esattamente davanti al disco?



Matem@ticaMente

Annarita ha inviato quattro contributi:

Conversando Con Renato: una sentita quanto improbabile conversazione sognata con il grande Caccioppoli.

Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa - Capitolo 8: riprende la pubblicazione di "Storie di numeri di tanto tempo fa", con l'ottavo capitolo, tradotto per Matem@ticaMente, dal libretto originale di David Eugene Smith "Number Stories Of Long Ago", dalla specialista Anna Cascone.

Il triangolo di Curry: è possibile creare spazio dal nulla semplicemente spostando qualche poligono?

Il paradosso del cuneo o dell'area scomparsa: come nel caso del triangolo di Curry, da dove salta fuori lo spazio in più?





.mau. su il Post

Per Ferragosto, .mau. ha pubblicato una serie di problemi da risolvere sotto l'ombrellone. E ha fornito anche le soluzioni. Poi abbiamo Gira la carta: una specie di gioco di prestigio matematico: l'asso galleggia sempre e si porta all'inizio del mazzetto di carte…

La sua serie sui numeri è composta da

• I numeri negativi. Vi siete mai accorti che chiamare un numero negativo significa già dargli una connotazione, beh, negativa?
• Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti. I numeri più naturali dopo i naturali sono i razionali. Lo dice la parola stessa, no?
• I numeri immaginari e complessi. Già chiamare dei numeri "immaginari" fa capire che i matematici non erano poi così convinti che esistessero davvero. Però ne avevano bisogno, e quindi non si facevano troppi problemi.

Infine, abbiamo Prima di Gödel. I teoremi di incompletezza di Gödel hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. Cosa è successo prima che arrivasse lui?



Le notiziole di .mau.

Qui abbiamo molte recensioni:

• Per la scienza, per la patria — Carlo Matteucci, dalla fisica all'impegno politico risorgimentale
• The Stanford Mathematics Problem Book — i problemi per i futuri genietti matematici di Stanford
• I giochi matematici di Fra' Luca Pacioli — matematica e filologia rinascimentali
• Quando le rette diventano curve — tanta geometria di tutti i tipi
• Breve corso di ginnastica per il cervello — dai problemi matematici al kakuro
• Infinitesimal Calculus — Analisi non standard

e un post della categoria povera matematica: le meraviglie della virgola. Crederete mica che il sistema decimale e lo zero posizionale siano ormai accettati da tutti?


Maddmaths!

Madd-poll n.3: Il vostro libro di divulgazione preferito.
Un nuovo sondaggio di Maddmaths! Quale libro di divulgazione matematica preferite (tra quelli usciti tra agosto 2010 e agosto 2011)? Aiutateci a districarci tra le varie proposte. [E se andate a vedere, tra le proposte ci sono due partecipanti a questo Carnevale e un terzo incomodo. Vedete voi]

Mentre cuociono gli spaghetti… di Antonio Fasano
Molti conosceranno il libro “La Matematica in Cucina” di Enrico Giusti, nel quale l’autore ci invita a guardarci intorno per scoprire quanta matematica suggeriscano gli oggetti che normalmente si trovano
in cucina. Se proviamo a fare un passo oltre e accendiamo i fornelli per guardare con occhio matematico i processi di cottura, allora andiamo incontro a sfide tanto ardue quanto affascinanti…

Giovani Matematici Crescono: Laurent Gosse
Laurent Gosse ha 42 anni, si è formato in Francia e dal 1999 lavora in Italia, ed è dal 2002, ricercatore presso l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr. Per i suoi articoli è nel top 1% mondiale per le citazioni dei suoi lavori in campo matematico.

Fantamatematica: La breve vita di Évariste Galois… di Stefano Pisani
A ottobre, ricorrerà il bicentenario dalla nascita di Évariste Galois, genio matematico di importanza fondamentale per l'algebra e la soluzione delle equazioni. Il tutto senza riuscire mai a farsi capire
da nessuno…

Bisogna essere un genio per fare matematica?
Direttamente dal blog di Terence Tao, uno dei migliori matematici viventi, medaglia Fields nel 2006, un'opinione interessante e articolata su di un problema che spesso allontana le persone dal fare
matematica…

L'alfabeto: C come Convessità… di Corrado Mascia
Tutto parte dalle linee dritte. Un tronco di un albero, le dita delle mani… Persino quando si impara a scrivere, si inizia dalle linee dritte. Ma con una singola linea dritta non si conclude molto, e arriva il momento in cui si sente il bisogno di chiudere il cerchio…


Dueallamenouno, La matematica è un'opinione.

Il tacchino atomico
L'affermazione corrente che la matematica è una e immutabile, in realtà non è così semplice e scontata come ci viene spesso fatto credere . Certo, dato un certo insieme di ipotesi, è probabile che una struttura cerebrale comune alla razza umana ci porti a dare le stesse…


Odiare la matematica
La scuola sta per ricominciare. In questi ultimi giorni di vacanze, quando al mare c'è poca gente e i bagnini sono già impegnati a riporre sdraio e ombrelloni per la prossima stagione, ho visto bambini e ragazzi di tutte le età, ai tavoli del mio stabilimento balneare, intenti a…

La strana matematica di David Foster Wallace
Tre anni fa si toglieva la vita lo scrittore David Foster Wallace, uno che aveva un'incredibile passione per la matematica dell'infinito.


Pitagora e dintorni

Sarebbe un nuovo blog, e quindi questo paragrafo andrebbe all'inizio. Ma l'autore è Dioniso, che è già comparso sulle pagine di vari Carnevali e che ha traslocato la parte matematica del suo blogghetto a un nuovo indirizzo. Dal quale ci propone Muia, che ci parla, bé, di Pitagora. E della sua famiglia.


Scienza e musica

Questo mese Leonardo Petrillo ci parla di due termini celebri della matematica: indeterminato e impossibile. Una equazione impossibile da risolvere all'interno di un certo insieme potrebbe diventare possibile, se allarghiamo l'insieme. Da questa considerazione il passo verso i numeri immaginari, complessi, quaternioni, ottetti e addirittura sedenioni è breve.


Il piccolo Friedrich

Cristina Sperlari tiene un blog dedicato ad esperienze didattiche matematiche e scientifiche per bambini della scuola primaria (e non solo...). Con Costruire figure impossibili! ci mostra come poter costruire, in maniera molto semplice, delle figure impossibili (in teoria realizzabili solo bidimensionalmente attraverso un disegno) nelle tre dimensioni, senza sfidare le leggi della fisica, ma divertendosi e imparando a conoscere le stranezze della nostra mente, che si lascia spesso confondere da prospettive visive illusorie. Esperienza estremamente semplice e sfruttabile anche a scuola.


Rudi Matematici

In ritardissimo i nostri segnalano:

Il problema classico di Agosto: Addaveni' Bonifacio Ottavo.

Il Quick&Dirty degli orologi che ha divertito moltissimo e stimolato diversi modi di viaggiare nel tempo e perdere comunque il treno.

Il PM di questo mese, che parte da lontano per introdurre un argomento che comparirà solo al secondo capitolo: roba da islandesi.

La soluzione del problema del mese che questa volta ha stimolato un'interessante discussione.

E, naturalmente, Rudi Mathematici, che è uscito per qualche miracolo e quindi non lo si può dimenticare (pare che il miracolo si chiami Alice, dicono).


Mr. Palomar

Paolo Alessandrini arriva in tempo per rubare la maglia del ritardatario ai Rudi Mathematici, e ci segnala due contributi:

Meraviglie possibili e impossibili con il cubo Soma: una breve digressione sull'appassionante cubo Soma inventato da Piet Hein e sulle interessanti dimostrazioni di impossibilità legate alla costruzione di forme con i pezzi del rompicapo;

Mozart gioca a dadi: conoscevate il Musikalisches Würfelspiel, o Gioco di dadi musicale, realizzato da Mozart e pubblicato postumo nel 1793? È una specie di generatore automatico di minuetti che permetteva a chiunque di comporre musica assemblando aleatoriamente battute scritte dal grande Amadeus. Sabato scorso Paolo ha raccontato la storia del gioco di Mozart alla trasmissione Moebius su Radio 24: se volete riascoltarla, ecco qua la puntata e l'intervista fuori onda.


Mariano Tomatis

A poche ore dalla pubblicazione del Carnevale arriva l'ultimo contributo. Il nostro prestigiatore Mariano Tomatis ci ricorda che ogni spettacolo magico si basa su una curiosa dicotomia: devi sapere che qualcosa è impossibile, e al contempo i tuoi sensi devono dirti che ciò sta accadendo davvero. È giocando su questo confine che, nel 1975, Martin Gardner annunciò due scoperte sensazionali. Questo mese Mariano ci offre un breve resoconto dell'incursione di Gardner nel concetto di "impossibilità" in matematica.


Ecco, poi ci sarebbero i miei contributi. Questa estate ho letto due libri di argomento più o meno matematico (gli altri invece erano solo cronache di ghiaccio e di fuoco), Longitudine e Il buio oltre le stelle. In entrambi la matematica ha lo scopo di capire meglio come funziona il mondo. Entrando in ambito più scolastico, invece, ho segnalato due libri del professor Apotema: le funzioni lineari, esponenziali, logaritmiche e potenze e i numeri iperreali.

E ho completato la serie sulle costruzioni con riga e compasso dei greci, che possiamo riassumere in questo singolo link. Poi ho iniziato a studiare i logaritmi, ma siccome non ho ancora finito rimando tutte le segnalazioni alla prossima volta.

Il Carnevale finisce qui. L'appuntamento è per il prossimo mese, da .mau.

(Ah, il milionesimo numero primo è 15485863)