I logaritmi come li fanno i computer — parte 8

Dopo aver calcolato seno e coseno (e quindi tangente), abbiamo visto come usare il ventaglio all'indietro per calcolare l'arcotangente. Ora che sappiamo calcolare seno e coseno iperbolici (e quindi la tangente iperbolica), siamo anche in grado di calcolare l'arcotangente iperbolica.

L'algoritmo è questo:

Z₀ = 0,
S₀ = C₀T,
Z_m+1 = Z_m-D_mB_m,
C_m+1 = C_m+E_mD_mS_m,
S_m+1 = S_m+E_mD_mC_m.

D è uguale a +1 oppure a -1, in modo tale che DC e S abbiano segno opposto. In questo modo, detto T il valore di ingresso, l'algoritmo calcola l'arcotangente iperbolica di T, che viene memorizzato come S₀/C₀. Ecco un programmino:

from math import atanh,cosh,sinh

angoh=[]
indici=[1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,11,11,12,13,14,14,15,16,16,17,18,18]

for i in indici:
 angoh+=[atanh(1./2**i)]


def arcotanh(x):
 z0=0
 c0=1.
 s0=c0*x

 for i,b in enumerate(angoh):
  if c0*s0<0:
   d=1
  else:
   d=-1

  z1 = z0-d*b
  c1 = c0+d*s0/2**indici[i]
  s1 = s0+d*c0/2**indici[i]

  z0,c0,s0 = z1,c1,s1

 return z0

v1=arcotanh(1./3)
v2=atanh(1./3)
print v1,v2,abs(v1-v2)

Ed ecco il solito output:

0.346576305126 0.34657359028 2.71484642883e-06

Ora manca solo la formula finale:

E quindi, grazie all'arcotangente iperbolica, finalmente siamo in grado di calcolare il logaritmo.

Bene, ci sarebbero anche altre cose da dire: per esempio, un sottoprodotto di questo algoritmo è il calcolo della radice quadrata. Se poi modifichiamo leggermente l'algoritmo, sostituendo la riga che calcola i valori di C con un'altra riga che lascia C invariato durante tutto il calcolo, otteniamo come risultato un metodo per fare la divisione tra due numeri.

Tutte queste belle cose sono spiegate qui. Qui, poi, c'è un articolo del 1971, scritto da un signore della Hewlett-Packard, che spiega l'implementazione del CORDIC sulle calcolatrici HP. Infine, qui c'è un intero libro dedicato agli aspetti più tecnici di questa roba: un libro, dice la prefazione, per computazionalisti. Per quanto mi riguarda, posso ritenermi soddisfatto.