venerdì 20 marzo 2009

Gara a squadre

Questo pomeriggio ho accompagnato alcuni studenti a una gara a squadre di matematica. I testi dei problemi erano tutti sulla falsariga di questo (che è il primo quesito):

1. La luce sulla cima
Il robot paranoico Marvin è sul bordo del cornicione della torre A della Megadodo Publications, la casa editrice della Guida Galattica per AutoStoppisti (G2AS) a 78 metri di altezza, ha appena terminato la discussione esistenziale con il Frogstar Robot Tank e guarda verso la vetta dell'unica collina di Ursa Minor B. In effetti, guarda proprio la luce in cima dell'antenna sulla vetta della collina: per farlo, alza la testa di 30 gradi. Sapendo che la collina è alta 856 m, l'antenna è alta 6 m e gli occhi di Marvin sono a 2 m dal cornicione, qual è la distanza in metri tra gli occhi di Marvin e la cima dell'antenna?

18 commenti:

L.A.Bachevskij ha detto...

Dove l'avete fatta, questa gara? Io ero in giuria a Parma. Trovo che l'ambientazione sia bellissima, ma solo pochi degli studenti presenti sembravano conoscere il libro.

zar ha detto...

Eravamo a Modena (sbaglio, o i quesiti sono stati ideati proprio lì a Parma?).

Io non ho indagato molto, ma i pochi studenti a cui ho chiesto non sapevano nulla del libro.

Marcello ha detto...

Beh... Passate il verbo!

C'è da dire che una volta all'università capita che molte più persone lo conoscano. Sarà che è citato sulle porte degli uffici o nelle tesi...

Comunque credo che valga la pena ogni tanto buttare qualche citazione qua e la in classe, metti caso a qualcuno venga voglia di andarselo a leggere. Ho visto che dopo averlo consigliato ai miei fratelli anche parecchi dei loro amici hanno provato a leggerlo. Certo, non che sia piaciuto a tutti... ma non si può chiedere a tutti di capire il binario ;)

Marcello ha detto...

Comunque è carino il problema. Mi spiegate come funziona questa coppa Hilbert? Come fanno le scuole ad iscriversi ed organizzarsi in tempo? Mi piacerebbe proporlo a Macerata, dove sono andato a scuola io.

zar ha detto...

Dunque, i quesiti provengono dal comitato che si occupa delle Olimpiadi della Matematica. Per quanto riguarda l'organizzazione, da noi a Modena (dove la coppa si chiama "Coppa Ruffini" e non Hilbert, perché siamo campanilisti :-) ) il tutto è gestito dall'università. Quest'anno c'erano 27 squadre, eravamo al vecchio palazzetto dello sport, avevamo videoproiettori che proiettavano la classifica aggiornata in tempo quasi reale, una sciccheria...

Ci sarà poi una finale a Cesenatico, in concomitanza con la finale delle Olimpiadi (cioè la gara individuale).

Se trovi qualcuno disponibile a gestire la cosa, penso che non ci siano problemi ad organizzare tutto per il prossimo anno. Non so se c'è abbastanza tempo per fare tutto quest'anno: servirebbero quesiti nuovi, e non so nemmeno se l'organizzazione abbia previsto qualche posto in più a Cesenatico.

Naturalmente nulla vieta di fare la gara in autonomia, senza accesso alle finali, così "per prova". Di solito è un tipo di competizione molto gradito, i ragazzi si divertono in squadra ed è anche bello vedere i punteggi che salgono e scendono, i ragazzi che esultano, un po' di tifo che applaude, cose così.

L.A.Bachevskij ha detto...

@zar: I problemi sono stati preparati (prevalentemente) a Genova, poi c'è stata un'opera di correzione-miglioramento dei testi che ha coinvolto diverse Università (più o meno quelle in cui ci sono professori membri della Commissione Olimpiadi).

@Marcello: Penso che si possano trovare un po' di informazioni sul sito delle Olimpiadi: http://olimpiadi.dm.unibo.it oppure si può provare a chiedere lumi sul forum Oliforum, sul medesimo sito.

Daniele ha detto...

Salve a tutti. Ieri ero alle gare della Coppa Ruffini a Modena come alunno del Liceo Corso. I problemi erano complessi ma davvero interessanti (l'unica cosa che ha dato un minimo fastidio è che erano pieni di dati inutili e informazioni che distraevano). Siamo stati davvero sfortunatissimi perchè siamo arrivati sesti ma fino a due minuti dalla fine eravamo qualificati per Cesenatico. Purtroppo poi in un problema che chiedeva il diametro di una sfera (non ricordo precisamente quale fosse) abbiamo trovato il raggio (veniva giusto) ma abbiamo scordato di moltiplicare per 2. Peccato perchè è ancora più deludente non riuscirsi a qualificare per un errore del genere, altrimenti ce l'avremmo fatta.

zar ha detto...

Daniele, lo "sprint finale" è stato divertente da osservare, dall'esterno :-)

Daniele ha detto...

Sapete dirmi dove posso trovare tutti i punteggi della gara, almeno di quelli arrivati prima e dopo di noi?

zar ha detto...

Mh, non so, provo a chiedere.

Daniele ha detto...

ho trovato le soluzioni dei testi ma non riesco a capire come si possa affermare con una disinvoltura tale che nel problema 24 i numeri primi con 2009 sono 840. Dopo la procedura che ho seguito io è diversa perchè ho usato le combinazioni:
840=((x!)/(x-2)!)-x/2 ma dalla risoluzione del calcolo ottengo sempre x=42. Mi potreste quindi spiegare da dove si trova il numero delle partite giocate?
la soluzione è postata qui ma non è chiara:http://130.251.167.241/fermat/CF2009-soluzioni.pdf

zar ha detto...

Ancora niente, per quanto riguarda i risultati.

Per quanto riguarda i numeri primi con 2009, li avranno contati "a mano"?

Cristian ++ ha detto...

Ciao Daniele,
io ti propongo questa soluzione. (nota: ho letto la soluzione PRIMA ;) )
Premesso che se le squadre sono s le partite possibiki sono: s*(s-1-1)/2 ossia 1/2*s*(s-2) dove il primo "-1" deriva dal fatto che una squadra non può giocare contro sè stessa e il secondo "-1" è dato dal fatto chenon può giocare contro l'altra squadra del suo paese.
La richiesta che i due punteggi abbiano come MCD 1 porta a dire che i due numeri n e 2009-n devono essere primi tra loro (naturale). Il fatto che n e 2009 debbano essere quindi primi tra loro si può dimostrare così: se 2009 e n NON sono primi tra loro allora n e 2009-n e n NON sono primi tra loro, questa cosa è ovvia (l'implicazione diretta un po' meno... almeno per me...). Infine, quanti sono i numeri primi con 2009 compresi tra 1 e 2008? Cioè quante sono le partite? Allora, scompongo 2009 in fattori primi 2009 = 7*7*41, tutti i numeri che contengono 7 o 41 nel loro sviluppo in fattori primi non vanno bene, quanti sono? Anch'io non ho capito molto bene la soluzione nel pdf che hai linkato , però ti propongo questo. Ho 2008 numeri disponibili (da 1 a 2008) tolgo tutti i divisori di 7 minori di 2009 che sono 286 = (2009/7-1) dove il "-1" si mette per non contare il 2009 in alternativa puoi prendere la parte intera di [2008/7]=286 ,no? Analogamente elimino tutti i divisori di 41 che sono 48 = (2009/41-1). Attenzione però! Ci sono alcuni numeri che sono stati tolti 2 volte e sono quelli divisibili per 7 *e* 41 più piccoli di 2009! Quanti sono 6 = 2009/(7*41)-1.
Ergo le partite (che sono metà dei numeri disponibili perchè ogni partita usa 2 numeri e i punteggi "invertiti" non si contano) sono:

1/2*(2008 - 286 - 48 + 6) = 840. Le squadre sono s=42.

Enjoy!

P.s.: Peccato aver trovato un sistema per contare i numeri primi con 2009 e non i numeri primi (e basta) minori di 2009 che non sia il conteggio a mano altrimenti in questo momento sarei il dominatore dell'universo. :P

Cristian ++ ha detto...

I più attenti avranno anche notato che la risposta all'*ultimo* problema è 42 ;). Eheheheheh.
Ciao

Cristian

zar ha detto...

Cristian, non avevo notato il 42 finale :-)

.mau. ha detto...

effettivamente se non conosci φ(n) non è banalissimo calcolare i numeri primi con 2009. È anche vero che (aspetta che fattorizzo) 2009=7*7*41 e quindi puoi anche fare finta di nulla e dire "ci sono 2009/7 multipli di 7, 2009/41 multipli di 41, e abbiamo contato doppi 2009/(7*41) multipli di 7*41.

Cristian ++ ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
daniele ha detto...

grazie per le risposte. ora ho capito tutto. avevo calcolato il numero di partite senza ricordarmi di considerare dei multipli di 287.
poi con 840 la formula
840=(x!/(2!*(x-2)!))-x/2 restituisce x=42
grazie mille.
sono sempre Daniele