giovedì 26 febbraio 2009

Considerazioni di similitudine

Alcuni problemi che sembrano difficili da risolvere hanno una soluzione facile se si fanno alcune considerazioni di similitudine e di dimensione.

Per esempio: gli animali di un deserto devono compiere grandi distanze tra le diverse sorgenti d'acqua. Come dipende il tempo massimo di corsa dalle dimensioni L dell'animale?

La riserva d'acqua è proporzionale al volume dell'animale (cioè a L3), la trasudazione alla sua superficie, cioè a L2. Quindi il tempo massimo di corsa da una sorgente d'acqua all'altra è proporzionale a L. In altre parole: gli animali grandi corrono per più tempo.

Altro esempio: come dipende la velocità di corsa dell'animale in un luogo pianeggiante e in montagna dalle dimensioni L dell'animale?

La potenza esercitata da un animale è proporzionale a L2; la resistenza dell'aria è proporzionale al quadrato della velocità e all'area della sezione trasversale — la potenza spesa per vincerla è proporzionale quindi a v2L2v. Quindi v3L2 deve essere proporzionale a L2, e allora v non dipende da L. In effetti la velocità di corsa in pianura per animali non più piccoli della lepre e non più grandi del cavallo non dipende praticamente dalle dimensioni.

Per correre in montagna è necessaria una potenza mgv proporzionale a L3v. Dato che la potenza esercitata è proporzionale a L2, troviamo che v è inversamente proporzionale a L. Un cane sale di corsa su un colle, un cavallo segna il passo.

Infine, come dipende dalle dimensioni dell'animale l'altezza che esso può raggiungere con un salto?

L'energia necessaria per un salto di altezza h è proporzionale a L3h, mentre il lavoro compiuto dalla forza muscolare F è proporzionale a FL. F è proporzionale a L2, dunque L3h deve essere proporzionale a L2L, e quindi h non dipende dalle dimensioni dell'animale. Effettivamente il topo delle piramidi e il canguro salto più o meno alla stessa altezza.

Tratto da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, che a sua volta ha tratto da J. Smith, Idee matematiche in biologia.

Compito per casa: dimostrare che King Kong non può esistere.

9 commenti:

Cassa ha detto...

Alcuni degli assunti che fa non mi sono per niente chiari. Ad esempio, giusto per dirne uno: perché la potenza esercitata dovrebbe essere proporzionale a L^2?
[P]=[ML^2T^-3] non è un motivo sufficiente, perché M è proporzionale a L^3 (altrimenti non si spiega il caso dell'energia potenziale gravitazionale)...

zar ha detto...

Hai ragione, infatti il libro spiega di più. Cito: il coefficiente d'azione utile dei muscoli è quasi costante, circa il 25%, il restante 75% dell'energia chimica va in calore; il rendimento termico è proporzionale alla superficie del corpo, cioè a L^2, quindi anche la potenza utile è proporzionale a L^2.

hronir ha detto...

Se non sbaglio storicamente era stato Galileo a fare per primo ragionamenti dimensionali. Famosi sono anche alcuni passi del libro "Crescita e forma" di D'Arcy Thompson e nella mia memoria insuperabile e' un articolo di S. J. Gould (di cui pero' non ricordo il titolo...)

(anch'io avevo avuto gli stessi dubbi di Cassa...)

Weissbach ha detto...

Sì, esatto, Galileo anche qui...
"Proporzione sesquialtera", fondamentale principio per la scalabilità delle strutture (però io l'ho imparato da James E. Gordon, non a scuola).

zar ha detto...

Qualcuno ha visto quei meravigliosi filmati della Esso Italia (credo), tradotti dall'inglese? Credo fossero del progetto PSSC, ma non sono sicuro. Erano filmati in bianco e nero - fantastico quello sulla relatività, dove due persone si incontrano, uno con i piedi per terra, uno con i piedi sul soffitto, e dopo un po' si scopre che quello con i piedi per terra è in realtà appeso al soffito, mentre è l'altro ad avere i piedi per terra.

hronir ha detto...

Sì, fantastico! Ne ho visto uno solo... ed è quello che citi! :)

(ma cosa c'entra con l'analisi dimensionale?)

zar ha detto...

Uno di quei filmati parlava appunto dell'analisi dimensionale. Dimostrava che King Kong non può esistere...

.mau. ha detto...

pensate che per me "sesquialtera" è stato per una vita semplicemente un registro dell'organo a canne.
(all'università un professore di fisica - forse il Radicati - usava l'analisi dimensionale portata alle estreme conseguenze, mettendo c e h tagliato pari a 1 adimensionale)

hronir ha detto...

be', non è peculiarità di un professore di fisica, ma la prassi comune in teorie di campo quantistiche...