giovedì 27 novembre 2008

I sette messaggeri

Avete mai letto “I sette messaggeri”, di Dino Buzzati? No? E cosa fate ancora qua? Andate a leggerlo, via.



“Fatto. Carino, un po' angosciante, eh”.

“Un pochino, in effetti”.

“Certo che tutti quei conti...”

“Cos'hanno?”.

“Insomma, Buzzati voleva un po' tirarsela, ecco”.

“Guarda che non sono mica conti messi a caso”.

“No? Cioè, vuoi dire che sono... giusti?”.

“Eh sì”.

“E come fai a saperlo?”.

“Bè, dico, son domande da fare queste?”.

“Naa, hai fatto i conti?”.

“Già”.

“Ma sei un nerd totale”.

“Preferirei essere considerato un Vero Matematico”.

“Come vuoi, contento tu”.

“E non sei curioso di vedere i calcoli?”.

“Mh. Un pochino, solo perché il racconto mi è piaciuto”.

“Pronti. Allora, la carovana del figlio del re procede a 40 leghe al giorno; invece i messaggeri viaggiano una volta e mezzo più veloci, cioè 60 leghe al giorno”.

“Ok, questo lo dice anche il racconto, quindi è vero”.

“Allora, supponiamo che in un certo istante un messaggero decida di partire. La carovana ha già percorso una certa distanza, che indichiamo con x”.

“Bene. Non sappiamo quanto è, e quindi la indichiamo con x? Non potremmo fare un esempio?”.

“Se lasciamo x troviamo una legge generale”.

“Va bene”.

“Quanto tempo è passato?”.

“E come faccio a saperlo, se non conosco x?”.

“Sapendo che la carovana fa 40 leghe al giorno, se ha percorso x leghe quanti giorni sono passati?”.

“Uhm, se non sbaglio vale la relazione spazio uguale velocità per tempo”.

“Esatto. Quindi, se indichiamo con t0 il tempo trascorso, possiamo scrivere x = 40t0”.

“Ho capito. E adesso?”.

“Ora ci chiediamo dopo quanti giorni tornerà il messaggero: dobbiamo uguagliare lo spazio percorso dalla carovana, che indichiamo con 40t, con lo spazio percorso dal messaggero, che indichiamo con 60t - 2x”.

“Perché devi togliere 2x?”.

“Perché prima il messaggero deve tornare indietro, percorrendo una lunghezza x. Poi deve tornare al punto da cui era partito, percorrendo nuovamente x. Finalmente può cominciare a percorrere della strada nuova, al ritmo di 60 leghe al giorno”.

“Ho capito: dobbiamo risolvere l'equazione 40t = 60t - 2x”.

“Sì, prova a ricavare t”.

“Risulta 20t = 2x, quindi t = x/10”.

“Ricordando che x è uguale a 40t0 cosa ottieni?”.

“Ottengo che t = 4t0”.

“E dunque possiamo dire che se il messaggero parte al tempo t0, tornerà dopo 4t0, e cioè tornerà al tempo 4t0 + t0 = 5t0”.

“Ah, ma è vero! Lo dice anche il testo: Ben presto constatai che bastava moltiplicare per cinque i giorni fin lì impiegati per sapere quando il messaggero ci avrebbe ripresi”.

“Visto? Buzzati non ha sbagliato i calcoli”.

“Ma poi ne fa anche degli altri. Per esempio, calcola il distacco tra due messaggeri”.

“Possiamo farlo anche noi, con la legge appena trovata. Il racconto ci dice che il primo messaggero parte il giorno 2, il secondo il giorno 3, e così via fino al settimo, che parte il giorno 8. Ora, utilizzando la formula che abbiamo appena trovato, dimmi quando torneranno i sette messaggeri”.

“La formula ci dice che devo moltiplicare per cinque i giorni impiegati, quindi il primo messaggero torna il giorno 5×2=10, il secondo torna il giorno 5×3=15, fino al settimo che torna il giorno 5×8=40. Ognuno riparte subito, giusto?”.

“Ecco, in effetti riparte la mattina dopo, dopo essersi riposato. Ma anche la carovana è stata ferma durante la notte, quindi dovremmo considerare, come giorno di partenza di ogni messaggero, lo stesso giorno di arrivo. La carovana si mette in moto dopo, per percorrere le sue 40 leghe giornaliere”.

“Allora se il primo messaggero riparte il giorno 5×2, tornerà il giorno 52×2”.

“Bravo, e il secondo tornerà il giorno 52×3, e cioè dopo 25 giorni”.

“Ah, anche il testo lo dice! Dopo cinquanta giorni di cammino, l'intervallo fra un arrivo e l'altro dei messaggeri cominciò a spaziarsi sensibilmente; mentre prima ne vedevo arrivare al campo uno ogni cinque giorni, questo intervallo divenne di venticinque”.

“Esatto. Anche qui possiamo ricavare una legge: prova a considerare la successione dei giorni di arrivo:”.

2, 3, ..., 8,
5×2, 5×3, ..., 5×8,
52×2, 52×3, ..., 52×8,
53×2, 53×3, ..., 53×8,
...

“Uhm, mi sembra difficile”.

“Ragioniamo in questo modo: indichiamo con n la posizione di un valore all'interno della successione. Cioè, per n uguale a 0 abbiamo il primo valore, che è 2. Per n uguale a 1 abbiamo il secondo, che è 3, eccetera”.

“Uff, questa mania dei Veri Matematici di cominciare a contare da zero. Va bene, e poi?”.

“Vedi che il valore dell'esponente del 5 cambia dopo 7 passi: da 0 a 6 l'esponente è zero, da 7 a 13 invece vale 1, poi 2, 3, e così via. Ci basta fare la divisione di n per 7 per trovare l'esponente del 5”.

“E come facciamo coi numeri con la virgola?”.

“No, niente virgola. Devi considerare la divisione con resto: per esempio, per trovare il valore che occupa la decima posizione devi calcolare 10/7, che fa 1 con il resto di 3”.

“Questo significa che l'esponente vale 1? Ah, sì, vedo che in effetti è così”.

“Esattamente. Se poi prendi il resto della divisione, e lo aumenti di 2, ottieni il fattore moltiplicativo. In pratica alla posizione 10 troverai 5×5”.

“Giusto anche questo. Un po' macchinoso, ma funziona. Provo a scrivere una formula generale: a(n) = 5n div 7(n mod 7 + 2)”.

“Molto bene, vedo che hai usato un linguaggio da informatico: div sarebbe il quoziente della divisione, mentre con mod ottieni il resto. Bravo; ora puoi anche verificare l'affermazione che dice che dopo 50 giorni si vede arrivare un messaggero ogni 25 giorni”.

“E come faccio?”.

“Puoi provare a esprimere 50 nella forma 5n×m”.

“Bè, è facile, 50 è 52×2. Ah, ho capito: dopo avremo 52×3, e il distacco è di 25 giorni”.

“Giusto, in pratica dato un certo numero di giorni devi trasformarlo nella forma che meglio approssima 5n×m e guardare quanto vale l'esponente del 5”.

“Vediamo: il testo dice che dopo 6 mesi l'intervallo tra un messaggero e l'altro è di 4 mesi. Allora, 6 mesi sono 180 giorni...”.

“Anche un po' di più, qualche mese è di 31 giorni”.

“Giusto. Non posso però esprimere 180 come 5n×m”.

“Non importa: tieni presente che 180 è un valore poco preciso, e poi hai un certo periodo durante il quale i messaggeri arrivano sempre con la stessa cadenza. In pratica il settimo messaggero arriva il giorno 52×7 = 175, poi l'ottavo arriva il giorno 52×8 = 200, poi ritorna il primo il giorno 53×2=250. A questo punto comincia la cadenza di 125 giorni, che sono circa quattro mesi”.

“Ci sono, e provo ad andare avanti. Il testo dice che dopo 4 anni i messaggeri arrivano ogni 20 mesi. Quattro anni sono 1460 giorni (volendo fare i Veri Matematici, sono 1461): siamo nell'ordine di 54, cioè 625 giorni di intervallo. È giusto, sono circa 20 mesi”.

“Perfetto. Ora andiamo al finale: sono trascorsi otto anni e mezzo, cioè circa 3100 giorni. Il quarto messaggero, Domenico, è appena entrato nella tenda: i calcoli ci dicono che Domenico dovrebbe presentarsi il giorno 54×5, cioè 3125”.

“Praticamente perfetto”.

“Domenico era arrivato all'accampamento l'ultima volta sette anni fa”.

“Vediamo, la volta precedente era la numero 53×5, cioè 625. È stato 2500 giorni prima. Quasi sette anni, giusto”.

“Dovrebbe ritornare dopo 34 anni, quando chi scrive ne avrà 72”.

“Uh, qua possiamo fare un po' di considerazioni. Verifichiamo se è vero che tornerà tra 34 anni: dovrebbe tornare al giorno 55×5, cioè 15625. Passano 12500 giorni, fanno giusto 34 anni e rotti”.

“Bene. E quali altre considerazioni vuoi fare?”.

“Per prima cosa, l'età del figlio del re, quello che scrive. Se tra 34 anni ne avrà 72, ora ne ha 38; se sono trascorsi otto anni e mezzo da quando è partito, significa che quando è partito ne aveva circa 30”.

“E infatti il testo dice che è partito poco più che trentenne”.

“Bello. Chissà quanta strada ha fatto”.

“Puoi calcolare facilmente anche questo”.

“Ah, già. Percorrendo 40 leghe al giorno, la carovana ha fatto 124600 leghe circa. Quant'è, poi, una lega?”.

“Wikipedia dice circa 5 chilometri”.

“Allora sono 623000 chilometri”.

“E questo dimostra che il regno percorso in lungo e in largo dai sette messaggeri non si trova sulla nostra terra”.

5 commenti:

Piotr ha detto...

Eheheheheh...

... qualche tempo fa, noi di RM avevamo una rubrica su Coelum Astronomia...

http://www.coelum.com/index.php?goto=mathematici&p=arc&rm_an=2007&rm_id=17&rm_mese=3

zar ha detto...

Argh! Ma è bellissimo! Il grafo logistico, pure...

rositaelredalt ha detto...

SOSPETTI & DISPETTI
A forza di "leggere" questi sdoppiamenti di personalità mi sorge un pensiero: quali dei due ho sposato, quello che pone i problemi o quello che avanza i dubbi?
Questo "sdoppiamento", questa didattica dialogica, la userai solo in matematica vero? Giura!!
:-)

zar ha detto...

Tu hai sposato uno dei due, ma non è dato di sapere quale.

zar ha detto...

Update, l'articolo dei Rudi si trova qua: http://www.coelum.com/articoli/rudi-mathematici/il-cavaliere-che-non-torna/2