Un numero infinito di matematici entra in un bar.
Il primo ordina una birra.
Il secondo ordina mezza birra.
Il terzo ordina un quarto di birra.
Il barista dice “siete degli idioti” e serve due birre.
(Via phonkmeister)
sabato 29 novembre 2008
giovedì 27 novembre 2008
I sette messaggeri
Avete mai letto “I sette messaggeri”, di Dino Buzzati? No? E cosa fate ancora qua? Andate a leggerlo, via.
“Fatto. Carino, un po' angosciante, eh”.
“Un pochino, in effetti”.
“Certo che tutti quei conti...”
“Cos'hanno?”.
“Insomma, Buzzati voleva un po' tirarsela, ecco”.
“Guarda che non sono mica conti messi a caso”.
“No? Cioè, vuoi dire che sono... giusti?”.
“Eh sì”.
“E come fai a saperlo?”.
“Bè, dico, son domande da fare queste?”.
“Naa, hai fatto i conti?”.
“Già”.
“Ma sei un nerd totale”.
“Preferirei essere considerato un Vero Matematico”.
“Come vuoi, contento tu”.
“E non sei curioso di vedere i calcoli?”.
“Mh. Un pochino, solo perché il racconto mi è piaciuto”.
“Pronti. Allora, la carovana del figlio del re procede a 40 leghe al giorno; invece i messaggeri viaggiano una volta e mezzo più veloci, cioè 60 leghe al giorno”.
“Ok, questo lo dice anche il racconto, quindi è vero”.
“Allora, supponiamo che in un certo istante un messaggero decida di partire. La carovana ha già percorso una certa distanza, che indichiamo con x”.
“Bene. Non sappiamo quanto è, e quindi la indichiamo con x? Non potremmo fare un esempio?”.
“Se lasciamo x troviamo una legge generale”.
“Va bene”.
“Quanto tempo è passato?”.
“E come faccio a saperlo, se non conosco x?”.
“Sapendo che la carovana fa 40 leghe al giorno, se ha percorso x leghe quanti giorni sono passati?”.
“Uhm, se non sbaglio vale la relazione spazio uguale velocità per tempo”.
“Esatto. Quindi, se indichiamo con t0 il tempo trascorso, possiamo scrivere x = 40t0”.
“Ho capito. E adesso?”.
“Ora ci chiediamo dopo quanti giorni tornerà il messaggero: dobbiamo uguagliare lo spazio percorso dalla carovana, che indichiamo con 40t, con lo spazio percorso dal messaggero, che indichiamo con 60t - 2x”.
“Perché devi togliere 2x?”.
“Perché prima il messaggero deve tornare indietro, percorrendo una lunghezza x. Poi deve tornare al punto da cui era partito, percorrendo nuovamente x. Finalmente può cominciare a percorrere della strada nuova, al ritmo di 60 leghe al giorno”.
“Ho capito: dobbiamo risolvere l'equazione 40t = 60t - 2x”.
“Sì, prova a ricavare t”.
“Risulta 20t = 2x, quindi t = x/10”.
“Ricordando che x è uguale a 40t0 cosa ottieni?”.
“Ottengo che t = 4t0”.
“E dunque possiamo dire che se il messaggero parte al tempo t0, tornerà dopo 4t0, e cioè tornerà al tempo 4t0 + t0 = 5t0”.
“Ah, ma è vero! Lo dice anche il testo: Ben presto constatai che bastava moltiplicare per cinque i giorni fin lì impiegati per sapere quando il messaggero ci avrebbe ripresi”.
“Visto? Buzzati non ha sbagliato i calcoli”.
“Ma poi ne fa anche degli altri. Per esempio, calcola il distacco tra due messaggeri”.
“Possiamo farlo anche noi, con la legge appena trovata. Il racconto ci dice che il primo messaggero parte il giorno 2, il secondo il giorno 3, e così via fino al settimo, che parte il giorno 8. Ora, utilizzando la formula che abbiamo appena trovato, dimmi quando torneranno i sette messaggeri”.
“La formula ci dice che devo moltiplicare per cinque i giorni impiegati, quindi il primo messaggero torna il giorno 5×2=10, il secondo torna il giorno 5×3=15, fino al settimo che torna il giorno 5×8=40. Ognuno riparte subito, giusto?”.
“Ecco, in effetti riparte la mattina dopo, dopo essersi riposato. Ma anche la carovana è stata ferma durante la notte, quindi dovremmo considerare, come giorno di partenza di ogni messaggero, lo stesso giorno di arrivo. La carovana si mette in moto dopo, per percorrere le sue 40 leghe giornaliere”.
“Allora se il primo messaggero riparte il giorno 5×2, tornerà il giorno 52×2”.
“Bravo, e il secondo tornerà il giorno 52×3, e cioè dopo 25 giorni”.
“Ah, anche il testo lo dice! Dopo cinquanta giorni di cammino, l'intervallo fra un arrivo e l'altro dei messaggeri cominciò a spaziarsi sensibilmente; mentre prima ne vedevo arrivare al campo uno ogni cinque giorni, questo intervallo divenne di venticinque”.
“Esatto. Anche qui possiamo ricavare una legge: prova a considerare la successione dei giorni di arrivo:”.
2, 3, ..., 8,
5×2, 5×3, ..., 5×8,
52×2, 52×3, ..., 52×8,
53×2, 53×3, ..., 53×8,
...
“Uhm, mi sembra difficile”.
“Ragioniamo in questo modo: indichiamo con n la posizione di un valore all'interno della successione. Cioè, per n uguale a 0 abbiamo il primo valore, che è 2. Per n uguale a 1 abbiamo il secondo, che è 3, eccetera”.
“Uff, questa mania dei Veri Matematici di cominciare a contare da zero. Va bene, e poi?”.
“Vedi che il valore dell'esponente del 5 cambia dopo 7 passi: da 0 a 6 l'esponente è zero, da 7 a 13 invece vale 1, poi 2, 3, e così via. Ci basta fare la divisione di n per 7 per trovare l'esponente del 5”.
“E come facciamo coi numeri con la virgola?”.
“No, niente virgola. Devi considerare la divisione con resto: per esempio, per trovare il valore che occupa la decima posizione devi calcolare 10/7, che fa 1 con il resto di 3”.
“Questo significa che l'esponente vale 1? Ah, sì, vedo che in effetti è così”.
“Esattamente. Se poi prendi il resto della divisione, e lo aumenti di 2, ottieni il fattore moltiplicativo. In pratica alla posizione 10 troverai 5×5”.
“Giusto anche questo. Un po' macchinoso, ma funziona. Provo a scrivere una formula generale: a(n) = 5n div 7(n mod 7 + 2)”.
“Molto bene, vedo che hai usato un linguaggio da informatico: div sarebbe il quoziente della divisione, mentre con mod ottieni il resto. Bravo; ora puoi anche verificare l'affermazione che dice che dopo 50 giorni si vede arrivare un messaggero ogni 25 giorni”.
“E come faccio?”.
“Puoi provare a esprimere 50 nella forma 5n×m”.
“Bè, è facile, 50 è 52×2. Ah, ho capito: dopo avremo 52×3, e il distacco è di 25 giorni”.
“Giusto, in pratica dato un certo numero di giorni devi trasformarlo nella forma che meglio approssima 5n×m e guardare quanto vale l'esponente del 5”.
“Vediamo: il testo dice che dopo 6 mesi l'intervallo tra un messaggero e l'altro è di 4 mesi. Allora, 6 mesi sono 180 giorni...”.
“Anche un po' di più, qualche mese è di 31 giorni”.
“Giusto. Non posso però esprimere 180 come 5n×m”.
“Non importa: tieni presente che 180 è un valore poco preciso, e poi hai un certo periodo durante il quale i messaggeri arrivano sempre con la stessa cadenza. In pratica il settimo messaggero arriva il giorno 52×7 = 175, poi l'ottavo arriva il giorno 52×8 = 200, poi ritorna il primo il giorno 53×2=250. A questo punto comincia la cadenza di 125 giorni, che sono circa quattro mesi”.
“Ci sono, e provo ad andare avanti. Il testo dice che dopo 4 anni i messaggeri arrivano ogni 20 mesi. Quattro anni sono 1460 giorni (volendo fare i Veri Matematici, sono 1461): siamo nell'ordine di 54, cioè 625 giorni di intervallo. È giusto, sono circa 20 mesi”.
“Perfetto. Ora andiamo al finale: sono trascorsi otto anni e mezzo, cioè circa 3100 giorni. Il quarto messaggero, Domenico, è appena entrato nella tenda: i calcoli ci dicono che Domenico dovrebbe presentarsi il giorno 54×5, cioè 3125”.
“Praticamente perfetto”.
“Domenico era arrivato all'accampamento l'ultima volta sette anni fa”.
“Vediamo, la volta precedente era la numero 53×5, cioè 625. È stato 2500 giorni prima. Quasi sette anni, giusto”.
“Dovrebbe ritornare dopo 34 anni, quando chi scrive ne avrà 72”.
“Uh, qua possiamo fare un po' di considerazioni. Verifichiamo se è vero che tornerà tra 34 anni: dovrebbe tornare al giorno 55×5, cioè 15625. Passano 12500 giorni, fanno giusto 34 anni e rotti”.
“Bene. E quali altre considerazioni vuoi fare?”.
“Per prima cosa, l'età del figlio del re, quello che scrive. Se tra 34 anni ne avrà 72, ora ne ha 38; se sono trascorsi otto anni e mezzo da quando è partito, significa che quando è partito ne aveva circa 30”.
“E infatti il testo dice che è partito poco più che trentenne”.
“Bello. Chissà quanta strada ha fatto”.
“Puoi calcolare facilmente anche questo”.
“Ah, già. Percorrendo 40 leghe al giorno, la carovana ha fatto 124600 leghe circa. Quant'è, poi, una lega?”.
“Wikipedia dice circa 5 chilometri”.
“Allora sono 623000 chilometri”.
“E questo dimostra che il regno percorso in lungo e in largo dai sette messaggeri non si trova sulla nostra terra”.
“Fatto. Carino, un po' angosciante, eh”.
“Un pochino, in effetti”.
“Certo che tutti quei conti...”
“Cos'hanno?”.
“Insomma, Buzzati voleva un po' tirarsela, ecco”.
“Guarda che non sono mica conti messi a caso”.
“No? Cioè, vuoi dire che sono... giusti?”.
“Eh sì”.
“E come fai a saperlo?”.
“Bè, dico, son domande da fare queste?”.
“Naa, hai fatto i conti?”.
“Già”.
“Ma sei un nerd totale”.
“Preferirei essere considerato un Vero Matematico”.
“Come vuoi, contento tu”.
“E non sei curioso di vedere i calcoli?”.
“Mh. Un pochino, solo perché il racconto mi è piaciuto”.
“Pronti. Allora, la carovana del figlio del re procede a 40 leghe al giorno; invece i messaggeri viaggiano una volta e mezzo più veloci, cioè 60 leghe al giorno”.
“Ok, questo lo dice anche il racconto, quindi è vero”.
“Allora, supponiamo che in un certo istante un messaggero decida di partire. La carovana ha già percorso una certa distanza, che indichiamo con x”.
“Bene. Non sappiamo quanto è, e quindi la indichiamo con x? Non potremmo fare un esempio?”.
“Se lasciamo x troviamo una legge generale”.
“Va bene”.
“Quanto tempo è passato?”.
“E come faccio a saperlo, se non conosco x?”.
“Sapendo che la carovana fa 40 leghe al giorno, se ha percorso x leghe quanti giorni sono passati?”.
“Uhm, se non sbaglio vale la relazione spazio uguale velocità per tempo”.
“Esatto. Quindi, se indichiamo con t0 il tempo trascorso, possiamo scrivere x = 40t0”.
“Ho capito. E adesso?”.
“Ora ci chiediamo dopo quanti giorni tornerà il messaggero: dobbiamo uguagliare lo spazio percorso dalla carovana, che indichiamo con 40t, con lo spazio percorso dal messaggero, che indichiamo con 60t - 2x”.
“Perché devi togliere 2x?”.
“Perché prima il messaggero deve tornare indietro, percorrendo una lunghezza x. Poi deve tornare al punto da cui era partito, percorrendo nuovamente x. Finalmente può cominciare a percorrere della strada nuova, al ritmo di 60 leghe al giorno”.
“Ho capito: dobbiamo risolvere l'equazione 40t = 60t - 2x”.
“Sì, prova a ricavare t”.
“Risulta 20t = 2x, quindi t = x/10”.
“Ricordando che x è uguale a 40t0 cosa ottieni?”.
“Ottengo che t = 4t0”.
“E dunque possiamo dire che se il messaggero parte al tempo t0, tornerà dopo 4t0, e cioè tornerà al tempo 4t0 + t0 = 5t0”.
“Ah, ma è vero! Lo dice anche il testo: Ben presto constatai che bastava moltiplicare per cinque i giorni fin lì impiegati per sapere quando il messaggero ci avrebbe ripresi”.
“Visto? Buzzati non ha sbagliato i calcoli”.
“Ma poi ne fa anche degli altri. Per esempio, calcola il distacco tra due messaggeri”.
“Possiamo farlo anche noi, con la legge appena trovata. Il racconto ci dice che il primo messaggero parte il giorno 2, il secondo il giorno 3, e così via fino al settimo, che parte il giorno 8. Ora, utilizzando la formula che abbiamo appena trovato, dimmi quando torneranno i sette messaggeri”.
“La formula ci dice che devo moltiplicare per cinque i giorni impiegati, quindi il primo messaggero torna il giorno 5×2=10, il secondo torna il giorno 5×3=15, fino al settimo che torna il giorno 5×8=40. Ognuno riparte subito, giusto?”.
“Ecco, in effetti riparte la mattina dopo, dopo essersi riposato. Ma anche la carovana è stata ferma durante la notte, quindi dovremmo considerare, come giorno di partenza di ogni messaggero, lo stesso giorno di arrivo. La carovana si mette in moto dopo, per percorrere le sue 40 leghe giornaliere”.
“Allora se il primo messaggero riparte il giorno 5×2, tornerà il giorno 52×2”.
“Bravo, e il secondo tornerà il giorno 52×3, e cioè dopo 25 giorni”.
“Ah, anche il testo lo dice! Dopo cinquanta giorni di cammino, l'intervallo fra un arrivo e l'altro dei messaggeri cominciò a spaziarsi sensibilmente; mentre prima ne vedevo arrivare al campo uno ogni cinque giorni, questo intervallo divenne di venticinque”.
“Esatto. Anche qui possiamo ricavare una legge: prova a considerare la successione dei giorni di arrivo:”.
2, 3, ..., 8,
5×2, 5×3, ..., 5×8,
52×2, 52×3, ..., 52×8,
53×2, 53×3, ..., 53×8,
...
“Uhm, mi sembra difficile”.
“Ragioniamo in questo modo: indichiamo con n la posizione di un valore all'interno della successione. Cioè, per n uguale a 0 abbiamo il primo valore, che è 2. Per n uguale a 1 abbiamo il secondo, che è 3, eccetera”.
“Uff, questa mania dei Veri Matematici di cominciare a contare da zero. Va bene, e poi?”.
“Vedi che il valore dell'esponente del 5 cambia dopo 7 passi: da 0 a 6 l'esponente è zero, da 7 a 13 invece vale 1, poi 2, 3, e così via. Ci basta fare la divisione di n per 7 per trovare l'esponente del 5”.
“E come facciamo coi numeri con la virgola?”.
“No, niente virgola. Devi considerare la divisione con resto: per esempio, per trovare il valore che occupa la decima posizione devi calcolare 10/7, che fa 1 con il resto di 3”.
“Questo significa che l'esponente vale 1? Ah, sì, vedo che in effetti è così”.
“Esattamente. Se poi prendi il resto della divisione, e lo aumenti di 2, ottieni il fattore moltiplicativo. In pratica alla posizione 10 troverai 5×5”.
“Giusto anche questo. Un po' macchinoso, ma funziona. Provo a scrivere una formula generale: a(n) = 5n div 7(n mod 7 + 2)”.
“Molto bene, vedo che hai usato un linguaggio da informatico: div sarebbe il quoziente della divisione, mentre con mod ottieni il resto. Bravo; ora puoi anche verificare l'affermazione che dice che dopo 50 giorni si vede arrivare un messaggero ogni 25 giorni”.
“E come faccio?”.
“Puoi provare a esprimere 50 nella forma 5n×m”.
“Bè, è facile, 50 è 52×2. Ah, ho capito: dopo avremo 52×3, e il distacco è di 25 giorni”.
“Giusto, in pratica dato un certo numero di giorni devi trasformarlo nella forma che meglio approssima 5n×m e guardare quanto vale l'esponente del 5”.
“Vediamo: il testo dice che dopo 6 mesi l'intervallo tra un messaggero e l'altro è di 4 mesi. Allora, 6 mesi sono 180 giorni...”.
“Anche un po' di più, qualche mese è di 31 giorni”.
“Giusto. Non posso però esprimere 180 come 5n×m”.
“Non importa: tieni presente che 180 è un valore poco preciso, e poi hai un certo periodo durante il quale i messaggeri arrivano sempre con la stessa cadenza. In pratica il settimo messaggero arriva il giorno 52×7 = 175, poi l'ottavo arriva il giorno 52×8 = 200, poi ritorna il primo il giorno 53×2=250. A questo punto comincia la cadenza di 125 giorni, che sono circa quattro mesi”.
“Ci sono, e provo ad andare avanti. Il testo dice che dopo 4 anni i messaggeri arrivano ogni 20 mesi. Quattro anni sono 1460 giorni (volendo fare i Veri Matematici, sono 1461): siamo nell'ordine di 54, cioè 625 giorni di intervallo. È giusto, sono circa 20 mesi”.
“Perfetto. Ora andiamo al finale: sono trascorsi otto anni e mezzo, cioè circa 3100 giorni. Il quarto messaggero, Domenico, è appena entrato nella tenda: i calcoli ci dicono che Domenico dovrebbe presentarsi il giorno 54×5, cioè 3125”.
“Praticamente perfetto”.
“Domenico era arrivato all'accampamento l'ultima volta sette anni fa”.
“Vediamo, la volta precedente era la numero 53×5, cioè 625. È stato 2500 giorni prima. Quasi sette anni, giusto”.
“Dovrebbe ritornare dopo 34 anni, quando chi scrive ne avrà 72”.
“Uh, qua possiamo fare un po' di considerazioni. Verifichiamo se è vero che tornerà tra 34 anni: dovrebbe tornare al giorno 55×5, cioè 15625. Passano 12500 giorni, fanno giusto 34 anni e rotti”.
“Bene. E quali altre considerazioni vuoi fare?”.
“Per prima cosa, l'età del figlio del re, quello che scrive. Se tra 34 anni ne avrà 72, ora ne ha 38; se sono trascorsi otto anni e mezzo da quando è partito, significa che quando è partito ne aveva circa 30”.
“E infatti il testo dice che è partito poco più che trentenne”.
“Bello. Chissà quanta strada ha fatto”.
“Puoi calcolare facilmente anche questo”.
“Ah, già. Percorrendo 40 leghe al giorno, la carovana ha fatto 124600 leghe circa. Quant'è, poi, una lega?”.
“Wikipedia dice circa 5 chilometri”.
“Allora sono 623000 chilometri”.
“E questo dimostra che il regno percorso in lungo e in largo dai sette messaggeri non si trova sulla nostra terra”.
sabato 22 novembre 2008
Nerditudine allo stato puro
Si chiamano rep-tiles quei poligoni che possono essere suddivisi in un certo numero di poligoni aventi la stessa forma. Ecco qualche esempio:
Quattro è un numero naturale per questo tipo di suddivisioni: è il numero di pezzi che servono per crearne uno grande il doppio di quello di partenza (raddoppiando le dimensioni, infatti, si quadruplicano le aree).
Ci sono anche esempi classificati come noiosi: per esempio, un quadrato può essere diviso in quattro quadrati più piccoli (o nove, o sedici, eccetera), ma quelli sono meno interessanti.
Ebbene, tanti anni fa un amico matematico ci fece un'avventura di D&D con una mappa basata su questo:
E per fortuna si è fermato qua. I Veri Matematici si sono invece chiesti se esistono rep-tiles composti da un numero qualunque di pezzi. Scopro oggi che esistono solo quattro tipi di rep-tiles non noiosi che possono essere suddivisi in due parti aventi la stessa forma: si chiamano Levy dragon, Twindragon, Heighway dragon e Tame twindragon. Dite voi se il titolo di questo post non è azzeccato...
(Le figure provengono da un post del 44-esimo carnevale della matematica in lingua inglese, dove potete anche trovare le immagini dei quattro draghi suddivisibili in due parti)
Quattro è un numero naturale per questo tipo di suddivisioni: è il numero di pezzi che servono per crearne uno grande il doppio di quello di partenza (raddoppiando le dimensioni, infatti, si quadruplicano le aree).
Ci sono anche esempi classificati come noiosi: per esempio, un quadrato può essere diviso in quattro quadrati più piccoli (o nove, o sedici, eccetera), ma quelli sono meno interessanti.
Ebbene, tanti anni fa un amico matematico ci fece un'avventura di D&D con una mappa basata su questo:
E per fortuna si è fermato qua. I Veri Matematici si sono invece chiesti se esistono rep-tiles composti da un numero qualunque di pezzi. Scopro oggi che esistono solo quattro tipi di rep-tiles non noiosi che possono essere suddivisi in due parti aventi la stessa forma: si chiamano Levy dragon, Twindragon, Heighway dragon e Tame twindragon. Dite voi se il titolo di questo post non è azzeccato...
(Le figure provengono da un post del 44-esimo carnevale della matematica in lingua inglese, dove potete anche trovare le immagini dei quattro draghi suddivisibili in due parti)
venerdì 21 novembre 2008
La fine dell'eternità
L'ho letto tanti anni fa e ne ho un vago ricordo, l'impressione che mi è rimasta è stata “ecco un bel modo di risolvere il paradosso dei viaggi nel tempo”. Devo rileggerlo prima che lo distruggano con un film.
mercoledì 19 novembre 2008
Snumeratezza
“Prof, ha detto che questa formula si può applicare solo se qua viene un quadrato perfetto. A me viene 2232, non è un quadrato, come faccio?”.
venerdì 14 novembre 2008
Carnevale della matematica 7
Ci siamo, anche per questo mese: marcellosblog celebra il settimo carnevale della matematica. Accorrete numerosi!
mercoledì 12 novembre 2008
Solidi platonici
Vediamo di utilizzare la formula di Eulero, che non si dica che le cose che fanno i matematici non servono mai a niente.
“Uh, è la prima volta che sento un matematico preoccuparsi dell'utilità della matematica”.
“No, in realtà volevo darmi un po' di tono. In effetti i Veri Matematici non si preoccupano affatto delle applicazioni che possono avere le loro scoperte”.
“Ah, ecco, mi sembrava. E per cosa, allora, vorresti usare la formula di Eulero?”.
“Per analizzare i poliedri convessi regolari, cioè i poliedri convessi che hanno le facce tutte congruenti tra loro. Inoltre, le facce devono essere poligoni regolari”.
“Ah, ok, quindi diciamo che sono i solidi più regolari che ci siano”.
“Già. Ti avverto che dobbiamo usare un po' di formule, ma sono formule semplici”.
“Va bene, sono pronto”.
“Per prima cosa, indichiamo con n il numero di spigoli per ciascuna faccia. Quindi, se le facce saranno tutte dei triangoli equilateri, avremo n = 3; se saranno quadrati, avremo n = 4, e così via”.
“Quanto si può andare avanti?”.
“Poco. Lo vediamo tra un momento”.
“Bene. Poi?”.
“Poi indichiamo con m il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice. Data la regolarità della figura, m deve essere costante per ogni vertice”.
“Giusto”.
“Ora cominciamo con qualche calcolo. Con nF abbiamo indicato il numero di spigoli per ciascuna faccia, moltiplicato per il totale delle facce. Siccome due facce si incontrano sempre in uno spigolo, questa moltiplicazione ci darà il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.
“Ok, ogni spigolo viene contato 2 volte perché compare sempre in due facce che si toccano”.
“Perfetto. Ora, con mV indichiamo la moltiplicazione del numero di spigoli incidenti in ciascun vertice per il totale dei vertici. Anche qui ogni spigolo viene contato due volte, perché ogni spigolo ha due estremi: dunque anche con questa moltiplicazione otteniamo il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.
“Va bene. Direi che possiamo riassumere il tutto con la seguente uguaglianza:”.
nF = 2S = mV.
“Giusto. Quindi V è uguale a nF/m e S invece è uguale a nF/2”.
“Fin qua ci sono”.
“Ora ci ricordiamo di fatti vedere sabato alle 2”.
“Ok, quindi F + V - S = 2. Cosa devo fare?”.
“Devi sostituire al posto di V e S le due espressioni che hai trovato prima”.
“Bene: viene F + nF/m - nF/2 = 2”.
“Ora togliamo i denominatori, moltiplicando a destra e a sinistra per 2m”.
“Per ora è facile, viene 2mF + 2nF - mnF = 4m”.
“Ora, per semplicità, raccogliamo a fattore comune F”.
“Ecco: F(2m + 2n - mn) = 4m”.
“Benissimo. Naturalmente 4m è un numero positivo, giusto?”.
“Certamente: m è il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice”.
“Molto bene. Anche F è positivo, perché rappresenta il numero di facce”.
“Certo. Ah, ho capito dove vuoi arrivare: l'espressione tra parentesi, cioè (2m + 2n - mn), è positiva pure lei”.
“Bravo. Aggiungiamo il fatto che n deve essere maggiore o uguale di 3, sei d'accordo anche su questo?”.
“Certo, una faccia deve essere almeno un triangolo, quindi almeno tre lati deve averli”.
“Allora cominciamo con un po' di passaggi”.
2m + 2n - mn > 0,
2m > mn -2n = n(m - 2)
“Fin qua ci sono: hai portato dall'altra parte l'espressione mn - 2n e hai raccolto a fattore comune n”.
“Bene. Ora, ricordandoci che n deve essere maggiore o uguale di 3, possiamo andare avanti così”.
2m > n(m - 2) ≥ 3(m - 2) = 3m - 6,
cioè
2m > 3m - 6
e quindi
m < 6.
“Ah, ci sono. Abbiamo trovato una limitazione per m, bello”.
“Sì, e poi ce n'è un'altra: m deve essere come minimo uguale 3, perché in ogni vertice devono congiungersi almeno 3 spigoli, altrimenti non ottieni un solido. In pratica abbiamo 4 casi da provare: m = 3, 4, 5, 6”.
“Va bene. Cominciamo da m = 3?”.
“Sì. Teniamo sempre in mente l'uguaglianza F(2m + 2n - mn) = 4m”.
“Ok. Se provo a sostituire m = 3, risulta F(6 + 2n - 3n) = 12”.
“Semplificando, F(6 - n) = 12. Ora proviamo a sostituire i possibili valori di n e vediamo che succede”.
“Se provo con n = 3, ottengo 3F = 12, quindi F = 4”.
“Giusto, hai trovato un caso accettabile. Quanto risulta V?”.
“Avevamo detto che V = nF/m, quindi viene V = 4”.
“E quanto risulta S?”.
“Dalla formula S = nF/2 ottengo S = 6”.
“Giusto. Quindi il primo solido che abbiamo trovato ha 4 facce triangolari, 4 vertici, 6 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama tetraedro”.
“Wow. Ora devo provare con n = 4?”.
“Sì”.
“Vediamo: da F(6 - n) = 12 ottengo, questa volta, 2F = 12, quindi F = 6. Allora V = 8 e S = 12”.
“Bene, ecco il secondo solido: ha 6 facce quadrate, 8 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Questo è facile: è un cubo (o anche esaedro, se vogliamo mantenere la nomenclatura in -edro)”.
“Giusto. Vado avanti, provo con n = 5, che è anche l'ultimo valore accettabile, perché con n = 6 la parentesi (6 - n) diventa 0”.
“Benissimo, vai”.
“Questa volta da F(6 - n) = 12 ricavo F = 12. Dunque V = 20 e S = 30”.
“Si tratta di un solido con 12 facce pentagonali, 20 vertici e 30 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama dodecaedro”.
“Bene, ora abbiamo finito?”.
“Abbiamo finito il caso m = 3. Ora dovresti provare m = 4”.
“Ok, riparto dalla formula iniziale: F(2m + 2n -mn) = 4m. Con m = 4 viene F(8 + 2n - 4n) = 16, cioè F(8 - 2n) = 16”.
“Puoi semplificare tutto per 2”.
“Ah, giusto, allora viene F(4 - n) = 8. Uh, posso provare solo n = 3, perché già con n = 4 si azzera la parentesi, e poi aumentando n ottengo numeri negativi”.
“Bene. Vai avanti”.
“Allora, con n = 3 risulta F = 8. Quindi V = 6 e S = 12”.
“Bene, questo è un solido con 8 facce triangolari, 6 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 4 a 4 sui vertici. Si chiama ottaedro”.
“A questo punto devo già passare a m = 5, mi sa”.
“Sì, non hai altri casi per m = 4”.
“Allora vado. Questa volta la formula F(2m + 2n - mn) = 4m diventa F(10 + 2n - 5n) = 20, cioè F(10 - 3n) = 20”.
“Giusto”.
“Allora anche qua posso provare solo il valore di n = 3”.
“Vero. Vai pure”.
“Mi viene F = 20, quindi V = 12 e S = 30”.
“Bene, un solido con 20 facce triangolari, 12 vertici, 30 spigoli che si incontrano 5 a 5 sui vertici. Si chiama icosaedro”.
“Rimane... ehi, non rimane più niente, abbiamo provato tutti i possibili valori di m!”.
“Giusto, quindi non ci sono altri solidi, sono tutti qua, sono solo questi cinque”.
“E l'utilità pratica di questa classificazione?”.
“Eccola qua”.
“Uh, è la prima volta che sento un matematico preoccuparsi dell'utilità della matematica”.
“No, in realtà volevo darmi un po' di tono. In effetti i Veri Matematici non si preoccupano affatto delle applicazioni che possono avere le loro scoperte”.
“Ah, ecco, mi sembrava. E per cosa, allora, vorresti usare la formula di Eulero?”.
“Per analizzare i poliedri convessi regolari, cioè i poliedri convessi che hanno le facce tutte congruenti tra loro. Inoltre, le facce devono essere poligoni regolari”.
“Ah, ok, quindi diciamo che sono i solidi più regolari che ci siano”.
“Già. Ti avverto che dobbiamo usare un po' di formule, ma sono formule semplici”.
“Va bene, sono pronto”.
“Per prima cosa, indichiamo con n il numero di spigoli per ciascuna faccia. Quindi, se le facce saranno tutte dei triangoli equilateri, avremo n = 3; se saranno quadrati, avremo n = 4, e così via”.
“Quanto si può andare avanti?”.
“Poco. Lo vediamo tra un momento”.
“Bene. Poi?”.
“Poi indichiamo con m il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice. Data la regolarità della figura, m deve essere costante per ogni vertice”.
“Giusto”.
“Ora cominciamo con qualche calcolo. Con nF abbiamo indicato il numero di spigoli per ciascuna faccia, moltiplicato per il totale delle facce. Siccome due facce si incontrano sempre in uno spigolo, questa moltiplicazione ci darà il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.
“Ok, ogni spigolo viene contato 2 volte perché compare sempre in due facce che si toccano”.
“Perfetto. Ora, con mV indichiamo la moltiplicazione del numero di spigoli incidenti in ciascun vertice per il totale dei vertici. Anche qui ogni spigolo viene contato due volte, perché ogni spigolo ha due estremi: dunque anche con questa moltiplicazione otteniamo il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.
“Va bene. Direi che possiamo riassumere il tutto con la seguente uguaglianza:”.
nF = 2S = mV.
“Giusto. Quindi V è uguale a nF/m e S invece è uguale a nF/2”.
“Fin qua ci sono”.
“Ora ci ricordiamo di fatti vedere sabato alle 2”.
“Ok, quindi F + V - S = 2. Cosa devo fare?”.
“Devi sostituire al posto di V e S le due espressioni che hai trovato prima”.
“Bene: viene F + nF/m - nF/2 = 2”.
“Ora togliamo i denominatori, moltiplicando a destra e a sinistra per 2m”.
“Per ora è facile, viene 2mF + 2nF - mnF = 4m”.
“Ora, per semplicità, raccogliamo a fattore comune F”.
“Ecco: F(2m + 2n - mn) = 4m”.
“Benissimo. Naturalmente 4m è un numero positivo, giusto?”.
“Certamente: m è il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice”.
“Molto bene. Anche F è positivo, perché rappresenta il numero di facce”.
“Certo. Ah, ho capito dove vuoi arrivare: l'espressione tra parentesi, cioè (2m + 2n - mn), è positiva pure lei”.
“Bravo. Aggiungiamo il fatto che n deve essere maggiore o uguale di 3, sei d'accordo anche su questo?”.
“Certo, una faccia deve essere almeno un triangolo, quindi almeno tre lati deve averli”.
“Allora cominciamo con un po' di passaggi”.
2m + 2n - mn > 0,
2m > mn -2n = n(m - 2)
“Fin qua ci sono: hai portato dall'altra parte l'espressione mn - 2n e hai raccolto a fattore comune n”.
“Bene. Ora, ricordandoci che n deve essere maggiore o uguale di 3, possiamo andare avanti così”.
2m > n(m - 2) ≥ 3(m - 2) = 3m - 6,
cioè
2m > 3m - 6
e quindi
m < 6.
“Ah, ci sono. Abbiamo trovato una limitazione per m, bello”.
“Sì, e poi ce n'è un'altra: m deve essere come minimo uguale 3, perché in ogni vertice devono congiungersi almeno 3 spigoli, altrimenti non ottieni un solido. In pratica abbiamo 4 casi da provare: m = 3, 4, 5, 6”.
“Va bene. Cominciamo da m = 3?”.
“Sì. Teniamo sempre in mente l'uguaglianza F(2m + 2n - mn) = 4m”.
“Ok. Se provo a sostituire m = 3, risulta F(6 + 2n - 3n) = 12”.
“Semplificando, F(6 - n) = 12. Ora proviamo a sostituire i possibili valori di n e vediamo che succede”.
“Se provo con n = 3, ottengo 3F = 12, quindi F = 4”.
“Giusto, hai trovato un caso accettabile. Quanto risulta V?”.
“Avevamo detto che V = nF/m, quindi viene V = 4”.
“E quanto risulta S?”.
“Dalla formula S = nF/2 ottengo S = 6”.
“Giusto. Quindi il primo solido che abbiamo trovato ha 4 facce triangolari, 4 vertici, 6 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama tetraedro”.
“Wow. Ora devo provare con n = 4?”.
“Sì”.
“Vediamo: da F(6 - n) = 12 ottengo, questa volta, 2F = 12, quindi F = 6. Allora V = 8 e S = 12”.
“Bene, ecco il secondo solido: ha 6 facce quadrate, 8 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Questo è facile: è un cubo (o anche esaedro, se vogliamo mantenere la nomenclatura in -edro)”.
“Giusto. Vado avanti, provo con n = 5, che è anche l'ultimo valore accettabile, perché con n = 6 la parentesi (6 - n) diventa 0”.
“Benissimo, vai”.
“Questa volta da F(6 - n) = 12 ricavo F = 12. Dunque V = 20 e S = 30”.
“Si tratta di un solido con 12 facce pentagonali, 20 vertici e 30 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama dodecaedro”.
“Bene, ora abbiamo finito?”.
“Abbiamo finito il caso m = 3. Ora dovresti provare m = 4”.
“Ok, riparto dalla formula iniziale: F(2m + 2n -mn) = 4m. Con m = 4 viene F(8 + 2n - 4n) = 16, cioè F(8 - 2n) = 16”.
“Puoi semplificare tutto per 2”.
“Ah, giusto, allora viene F(4 - n) = 8. Uh, posso provare solo n = 3, perché già con n = 4 si azzera la parentesi, e poi aumentando n ottengo numeri negativi”.
“Bene. Vai avanti”.
“Allora, con n = 3 risulta F = 8. Quindi V = 6 e S = 12”.
“Bene, questo è un solido con 8 facce triangolari, 6 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 4 a 4 sui vertici. Si chiama ottaedro”.
“A questo punto devo già passare a m = 5, mi sa”.
“Sì, non hai altri casi per m = 4”.
“Allora vado. Questa volta la formula F(2m + 2n - mn) = 4m diventa F(10 + 2n - 5n) = 20, cioè F(10 - 3n) = 20”.
“Giusto”.
“Allora anche qua posso provare solo il valore di n = 3”.
“Vero. Vai pure”.
“Mi viene F = 20, quindi V = 12 e S = 30”.
“Bene, un solido con 20 facce triangolari, 12 vertici, 30 spigoli che si incontrano 5 a 5 sui vertici. Si chiama icosaedro”.
“Rimane... ehi, non rimane più niente, abbiamo provato tutti i possibili valori di m!”.
“Giusto, quindi non ci sono altri solidi, sono tutti qua, sono solo questi cinque”.
| Poliedro | Vertici | Spigoli | Facce | n | m |
|---|---|---|---|---|---|
| tetraedro | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 |
| cubo | 8 | 12 | 6 | 4 | 3 |
| ottaedro | 6 | 12 | 8 | 3 | 4 |
| dodecaedro | 20 | 30 | 12 | 5 | 3 |
| icosaedro | 12 | 30 | 20 | 3 | 5 |
“Eccola qua”.
lunedì 10 novembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - la raccolta
Loro dicono che ho generosamente accettato di veder pubblicato sulle loro pagine la saga Verso l'infinito, ma con calma, in realtà sono stati loro ad essere generosi e ad aver accolto la mia richiesta di pubblicazione sulla prestigiosa rivista di matematica ricreativa.
Comunque sia, è tutto raccolto in un unico pdf, con tanto di appendice inedita.
Comunque sia, è tutto raccolto in un unico pdf, con tanto di appendice inedita.
domenica 9 novembre 2008
La seconda più bella formula della matematica
Della più bella formula della matematica non ne parliamo nemmeno. La seconda, invece, è questa:
“Uh, sì, bella formula davvero”.
“È solo un sistema mnemonico che i matematici usano per ricordarsi la formula giusta”.
“Ah, avevo dimenticato lo humor da Vero Matematico. La formula, allora quale sarebbe?”.
“Questa: F + V = S + 2”.
“È decisamente meglio la frase, in effetti”.
“Se tu hai un poliedro semplice con F facce, V vertici e S spigoli, allora vale quella formula, che si chiama formula di Eulero, o relazione di Eulero”.
“Carina. Cosa sarebbe un poliedro semplice?”.
“Un poliedro senza buchi, cioè una figura come questa”.
“Essere senza buchi è una definizione matematica?”.
“Sì, anche se i Veri Matematici lo dicono in un modo un po' diverso. Dicono che la figura può essere deformata con continuità, cioè senza tagli o strappi, in una sfera”.
“Come se fosse un oggetto di gomma?”.
“Esattamente. Per ogni poliedro vale la formula di Eulero, indipendentemente dal numero di facce e dal numero di lati per faccia. È una formula assolutamente generica”.
“E, data la sua genericità, avrà una dimostrazione complicatissima”.
“No, anzi, la dimostrazione è semplice ed è anche istruttiva, perché spiega un concetto molto importante utilizzato in matematica, il concetto di invariante”.
“E cosa sarebbe?”.
“Te lo spiego subito. Partiamo dall'inizio, esprimendo la formula di Eulero in questo modo: F + V - S = 2”.
“Va bene, hai portato a sinistra la S, è semplice”.
“Adesso ci concentriamo sull'espressione F + V - S”.
“Va bene. Che dobbiamo fare?”.
“Prendiamo il nostro poliedro generico, per esempio quello della figura di prima, e ne togliamo una faccia, per esempio quella che nella figura è indicata con AGF”.
“Ok, quella che nella figura è dietro”.
“Dobbiamo immaginare il nostro poliedro come se fosse vuoto”.
“Ok, togliendo una faccia possiamo vedere il suo interno, come se fosse una scatola con un buco”.
“Ottimo. Ora immaginiamo che questa scatola sia fatta di gomma. La possiamo deformare e stendere su un piano”.
“Va bene, ma non cambiano le cose?”.
“Guarda, deformando e stendendo su un piano si ottiene questa figura. Il numero di facce, di vertici oppure di spigoli è cambiato?”.
“Uhm, sembra di no. No, in effetti no, i segmenti che vedevo prima ci sono ancora tutti”.
“Molto bene. Quindi l'espressione F + V - S, rispetto a prima, non è cambiata”.
“No, è sempre la stessa”.
“Bene. Adesso osserviamo che nella nostra figura non tutti i poligoni che si vedono sono triangoli”.
“Ah, no. La figura iniziale era un poliedro, non avevi specificato che le facce dovevano essere triangolari”.
“Infatti. Allora facciamo in questo modo: tracciamo vari segmenti fino a che non otteniamo solo triangoli. Possiamo farlo come vogliamo, per esempio così”.
“Ok, ora ci sono solo triangoli, ma la figura è diversa”.
“È vero che è diversa, ma concentrati su F + V - S. Ogni volta che tracciamo un segmento, cosa succede alla figura?”
“Bè, abbiamo un segmento in più, quindi S aumenta di 1”.
“Certo. Ma tracciando un segmento in più, abbiamo anche una faccia in più, quindi anche F aumenta di 1. Mentre non cambiamo il numero di vertici”.
“Uhm, quindi passiamo da F + V - S a (F + 1) + V - (S + 1). Ehi, rimane uguale!”.
“Bravo. I Veri Matematici dicono che l'espressione F + V - S è un invariante: tracciando i segmenti che servono per ottenere solo triangoli il suo valore non cambia”.
“Bello! E adesso che facciamo?”.
“Adesso cominciamo a cancellare qualche triangolo, seguendo alcune regole. Per prima cosa, osserviamo che i triangoli presenti nella figura possono avere un solo lato oppure due verso l'esterno”.
“Bè, no. In questa figura tutti i triangoli che formano il bordo esterno hanno un solo lato che sta sul bordo”.
“Hai detto bene: in questa figura. In generale però non è detto che sia così, dobbiamo tener presente anche l'altra possibilità”.
“Ah, va bene”.
“A questo punto, cancelliamo un triangolo togliendo un lato che si affaccia all'esterno. Per esempio, cancelliamo il lato AG. Ecco la figura”.
“Allora, provo a fare i conti. Abbiamo perso un lato, quindi S diminuisce di 1. Ma abbiamo anche perso una faccia, quindi F diminuisce di 1. Il tuo invariante diventa (F - 1) + V - (S - 1). Ehi, non è cambiato nemmeno questa volta”.
“Già. Ora vado avanti un altro po' per mostrarti un triangolo con due lati affacciato sul bordo: cancello prima il lato DG poi il lato DE. Ecco qua”.
“Ah, ecco come si fa ad avere triangoli che hanno sul bordo due lati! E adesso come facciamo a eliminarlo?”.
“Nel caso di triangoli con due lati sul bordo, dobbiamo eliminare entrambi i lati”.
“Va bene. In questo caso allora perdiamo una faccia e due lati, quindi F diminuisce di 1 mentre S dimiuisce di 2”.
“Non ti dimenticare del punto D”.
“Ah, giusto. Perdiamo anche un punto. Quindi abbiamo (F - 1) + (V - 1) - (S - 2)... anche in questo caso rimane uguale a F + V - S. La figura dovrebbe essere questa”.
“Esatto. Ora possiamo andare avanti, eliminando triangoli su triangoli. In questo procedimento perderemo spigoli, facce e vertici, ma il valore di F + V - S non cambierà mai”.
“E fino a che punto andiamo avanti?”.
“Fino a che non rimarrà un solo triangolo. A questo punto, quanto vale l'espressione F + V - S?”.
“Bè, un triangolo ha una faccia, tre vertici e tre spigoli, quindi F + V - S = 1+3-3 = 1. Il tuo invariante vale 1”.
“E quindi valeva uno anche all'inizio”.
“Ma allora la formula che mi hai detto è sbagliata. Dicevi che doveva risultare 2!”.
“Hai dimenticato il primo triangolo, quello che abbiamo tolto per poter schiacciare la figura su un piano. Il poliedro iniziale ha una faccia in più”.
“Uh, è vero. Inizialmente allora F + V - S valeva 2. Quindi la formula è giusta”.
“Già. C.V.D.”.
“C'è una battuta sulla sigla C.V.D.”.
“Ah sì? Non la conosco”.
“Sai cosa significa per un ingegnere C.V.D.?”.
“Cosa?”.
“Cazzo, Viene Diverso!”.
(questa deve essere la prima parolaccia che scrivo sul blog: sono un po' turbato)
Fatti vedere sabato alle 2.
“Uh, sì, bella formula davvero”.
“È solo un sistema mnemonico che i matematici usano per ricordarsi la formula giusta”.
“Ah, avevo dimenticato lo humor da Vero Matematico. La formula, allora quale sarebbe?”.
“Questa: F + V = S + 2”.
“È decisamente meglio la frase, in effetti”.
“Se tu hai un poliedro semplice con F facce, V vertici e S spigoli, allora vale quella formula, che si chiama formula di Eulero, o relazione di Eulero”.
“Carina. Cosa sarebbe un poliedro semplice?”.
“Un poliedro senza buchi, cioè una figura come questa”.
“Essere senza buchi è una definizione matematica?”.
“Sì, anche se i Veri Matematici lo dicono in un modo un po' diverso. Dicono che la figura può essere deformata con continuità, cioè senza tagli o strappi, in una sfera”.
“Come se fosse un oggetto di gomma?”.
“Esattamente. Per ogni poliedro vale la formula di Eulero, indipendentemente dal numero di facce e dal numero di lati per faccia. È una formula assolutamente generica”.
“E, data la sua genericità, avrà una dimostrazione complicatissima”.
“No, anzi, la dimostrazione è semplice ed è anche istruttiva, perché spiega un concetto molto importante utilizzato in matematica, il concetto di invariante”.
“E cosa sarebbe?”.
“Te lo spiego subito. Partiamo dall'inizio, esprimendo la formula di Eulero in questo modo: F + V - S = 2”.
“Va bene, hai portato a sinistra la S, è semplice”.
“Adesso ci concentriamo sull'espressione F + V - S”.
“Va bene. Che dobbiamo fare?”.
“Prendiamo il nostro poliedro generico, per esempio quello della figura di prima, e ne togliamo una faccia, per esempio quella che nella figura è indicata con AGF”.
“Ok, quella che nella figura è dietro”.
“Dobbiamo immaginare il nostro poliedro come se fosse vuoto”.
“Ok, togliendo una faccia possiamo vedere il suo interno, come se fosse una scatola con un buco”.
“Ottimo. Ora immaginiamo che questa scatola sia fatta di gomma. La possiamo deformare e stendere su un piano”.
“Va bene, ma non cambiano le cose?”.
“Guarda, deformando e stendendo su un piano si ottiene questa figura. Il numero di facce, di vertici oppure di spigoli è cambiato?”.
“Uhm, sembra di no. No, in effetti no, i segmenti che vedevo prima ci sono ancora tutti”.
“Molto bene. Quindi l'espressione F + V - S, rispetto a prima, non è cambiata”.
“No, è sempre la stessa”.
“Bene. Adesso osserviamo che nella nostra figura non tutti i poligoni che si vedono sono triangoli”.
“Ah, no. La figura iniziale era un poliedro, non avevi specificato che le facce dovevano essere triangolari”.
“Infatti. Allora facciamo in questo modo: tracciamo vari segmenti fino a che non otteniamo solo triangoli. Possiamo farlo come vogliamo, per esempio così”.
“Ok, ora ci sono solo triangoli, ma la figura è diversa”.
“È vero che è diversa, ma concentrati su F + V - S. Ogni volta che tracciamo un segmento, cosa succede alla figura?”
“Bè, abbiamo un segmento in più, quindi S aumenta di 1”.
“Certo. Ma tracciando un segmento in più, abbiamo anche una faccia in più, quindi anche F aumenta di 1. Mentre non cambiamo il numero di vertici”.
“Uhm, quindi passiamo da F + V - S a (F + 1) + V - (S + 1). Ehi, rimane uguale!”.
“Bravo. I Veri Matematici dicono che l'espressione F + V - S è un invariante: tracciando i segmenti che servono per ottenere solo triangoli il suo valore non cambia”.
“Bello! E adesso che facciamo?”.
“Adesso cominciamo a cancellare qualche triangolo, seguendo alcune regole. Per prima cosa, osserviamo che i triangoli presenti nella figura possono avere un solo lato oppure due verso l'esterno”.
“Bè, no. In questa figura tutti i triangoli che formano il bordo esterno hanno un solo lato che sta sul bordo”.
“Hai detto bene: in questa figura. In generale però non è detto che sia così, dobbiamo tener presente anche l'altra possibilità”.
“Ah, va bene”.
“A questo punto, cancelliamo un triangolo togliendo un lato che si affaccia all'esterno. Per esempio, cancelliamo il lato AG. Ecco la figura”.
“Allora, provo a fare i conti. Abbiamo perso un lato, quindi S diminuisce di 1. Ma abbiamo anche perso una faccia, quindi F diminuisce di 1. Il tuo invariante diventa (F - 1) + V - (S - 1). Ehi, non è cambiato nemmeno questa volta”.
“Già. Ora vado avanti un altro po' per mostrarti un triangolo con due lati affacciato sul bordo: cancello prima il lato DG poi il lato DE. Ecco qua”.
“Ah, ecco come si fa ad avere triangoli che hanno sul bordo due lati! E adesso come facciamo a eliminarlo?”.
“Nel caso di triangoli con due lati sul bordo, dobbiamo eliminare entrambi i lati”.
“Va bene. In questo caso allora perdiamo una faccia e due lati, quindi F diminuisce di 1 mentre S dimiuisce di 2”.
“Non ti dimenticare del punto D”.
“Ah, giusto. Perdiamo anche un punto. Quindi abbiamo (F - 1) + (V - 1) - (S - 2)... anche in questo caso rimane uguale a F + V - S. La figura dovrebbe essere questa”.
“Esatto. Ora possiamo andare avanti, eliminando triangoli su triangoli. In questo procedimento perderemo spigoli, facce e vertici, ma il valore di F + V - S non cambierà mai”.
“E fino a che punto andiamo avanti?”.
“Fino a che non rimarrà un solo triangolo. A questo punto, quanto vale l'espressione F + V - S?”.
“Bè, un triangolo ha una faccia, tre vertici e tre spigoli, quindi F + V - S = 1+3-3 = 1. Il tuo invariante vale 1”.
“E quindi valeva uno anche all'inizio”.
“Ma allora la formula che mi hai detto è sbagliata. Dicevi che doveva risultare 2!”.
“Hai dimenticato il primo triangolo, quello che abbiamo tolto per poter schiacciare la figura su un piano. Il poliedro iniziale ha una faccia in più”.
“Uh, è vero. Inizialmente allora F + V - S valeva 2. Quindi la formula è giusta”.
“Già. C.V.D.”.
“C'è una battuta sulla sigla C.V.D.”.
“Ah sì? Non la conosco”.
“Sai cosa significa per un ingegnere C.V.D.?”.
“Cosa?”.
“Cazzo, Viene Diverso!”.
(questa deve essere la prima parolaccia che scrivo sul blog: sono un po' turbato)
sabato 8 novembre 2008
Il dubbio, il dubbio
Se, dopo aver finito di leggere un romanzo, ti domandi: “e se capitasse a me, che farei?”, allora il romanzo smette di essere una semplice storia e diventa un Romanzo.
Soprattutto se te l'ha regalato tua moglie per il tuo compleanno. E non sei più un picciotto vintino.
martedì 4 novembre 2008
Io e Obama
Diciamo le stesse cose:
“Vietare le braghe calate sarebbe una sciocchezza, abbiamo cose più importanti di cui occuparci. Detto questo, ragazzi: tiratevi su i calzoni. State camminando al fianco di vostra madre, di vostra nonna, e vi si vedono le mutande. Voi dite, che c’è di male? Dai, per favore. Ci sono questioni che non si regolano per legge, ma c’è anche una questione di rispetto per quelli che non vogliono vedere le vostre mutande. E io sono uno di quelli”.
(via Wittgenstein)
“Vietare le braghe calate sarebbe una sciocchezza, abbiamo cose più importanti di cui occuparci. Detto questo, ragazzi: tiratevi su i calzoni. State camminando al fianco di vostra madre, di vostra nonna, e vi si vedono le mutande. Voi dite, che c’è di male? Dai, per favore. Ci sono questioni che non si regolano per legge, ma c’è anche una questione di rispetto per quelli che non vogliono vedere le vostre mutande. E io sono uno di quelli”.
(via Wittgenstein)
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