Di altalene, molle e vasche da bagno — risonanza

“Il bimbetto dell'altra volta, quello che voleva essere spinto sull'altalena, dopo un po' si è scocciato e ha cominciato a giocare con la terra e il fango”.

“Ottimo”.

“A un certo punto è ora di andare a casa, verso la quale lo trasciniamo perché naturalmente lui vorrebbe stare ancora in mezzo alla terra fino a che non è tutta finita”.

“Benissimo”.

“E, necessariamente, deve farsi il bagno”.

“Oh, finalmente parliamo di vasche da bagno. O lo mettiamo sotto la doccia?”.

“Eh, questa volta vasca”.

“Ottimo”.

“Mentre la vasca si riempie il bimbo si prepara per entrare, raccattando tutti i giochi che gli sono necessari per questa importante attività”.

“Certamente”.

“Poi mette una mano dentro l'acqua, e sente che è troppo calda”.

“Aggiungiamone di fredda, allora”.

“Lo facciamo, ma dopo un po' il bimbo ancora si lamenta perché, con la sua manina, sente ancora caldo nella zona lontana dal rubinetto”.

“Mescolala un po', santo cielo”.

“Hai pronunciato le parole magiche, e il bimbetto si mette a mescolare. Mescolando mescolando, si accorge che riesce a produrre delle belle onde che attraversano la vasca in tutta la sua lunghezza”.

“Oh oh”.

“Queste onde accarezzano la sua mano, che si fa trasportare avanti e indietro, avanti e indietro…”.

“Ahi”.

“Il bimbo, naturalmente, non se ne sta fermo, e anche lui accarezza le onde, a ritmo”.

“Disastro!”.

“Improvvisamente, dopo un ultimo leggero colpetto della mano innocente, si alza uno tsunami che vuota mezza vasca e allaga il pavimento”.

“È successo anche a me da piccolo, coff coff”.

“Credo che sia successo a tutti. Una esperienza divertente, se non fosse per le conseguenze”.

“Ehm”.

“La dura vita dello scienziato: a volte sperimenti senza sapere come andrà a finire”.

“Povero bimbo”.

“Ma proviamo a capire cosa è successo: il bimbo non ha tanta forza da vuotare mezza vasca con una sola manata”.

“Certamente no”.

“E quindi?”.

“Eh, mi sa che ha spinto al momento giusto: questa volta è riuscito ad andare a tempo”.

“Esattamente. Anche questo è un oscillatore forzato smorzato, con una grossa differenza: la frequenza con cui la forza esterna agisce sull'acqua è quella giusta. La piccola quantità di energia che il bimbo fornisce all'acqua contribuisce sempre a aumentare l'ampiezza delle onde della vasca. E a forza di piccoli trasferimenti…”.

“… arriva l'onda anomala”.

“Esatto. Nel caso più semplice di tutti, cioè quello dell'oscillatore senza attriti, non ci sono perdite di energia, mentre tutta l'energia proveniente dall'esterno contribuisce soltanto ad aumentare l'ampiezza delle oscillazioni. Quella modulazione che avevi notato prima ora è in sincronia con le oscillazioni proprie del sistema, che teoricamente potrebbero aumentare di ampiezza all'infinito. Questo è il fenomeno della risonanza”.

“Uh, aumenta sempre di più”.

“Sì, dopo una fase transitoria iniziale, l'oscillazione si stabilizza in frequenza e aumenta sempre di più in ampiezza”.

“Ho capito. Però in realtà non esistono oscillatori senza attriti, no?”.

“In realtà un po' di dispersione c'è sempre, infatti. In questo caso non si verificherà una risonanza pura come quella di questo esempio, in cui l'ampiezza cresce infinitamente: quello che si osserva, e che ha osservato anche il bambino, è che se si verificano opportune condizioni l'ampiezza aumenta molto”.

“Quanto?”.

“Eh, non si può dire a priori: dipende da quanto è l'attrito e quanto è la frequenza propria del sistema. In ogni caso: quanto basta per allagare un bagno”.

“Già”.

“Qui sotto puoi giocare con un oscillatore. Hai tre parametri che puoi modificare:

• k rappresenta la forza di attrito: se lo poni uguale a zero, hai un oscillatore senza attriti,
• a è l'ampiezza della forza esterna: se lo poni uguale a zero hai un oscillatore non forzato,
• b rappresenta invece la frequenza della forza esterna: se trovi il valore giusto puoi fare le onde nella vasca da bagno.

Attento a non allagare”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni forzate

“Aggiungiamo alla nostra altalena uno che spinge”.

“Oh, bene”.

“Come sai, se non spingi l'altalena nel modo giusto non ti diverti”.

“Eh, sì. I bimbi piccoli chiedono sempre di essere spinti perché non sono capaci di tenere il tempo”.

“Tenere il tempo è proprio l'espressione giusta, infatti. Il fatto è che un'altalena, e più in generale un oscillatore, ha una sua frequenza di oscillazione”.

“In che senso?”.

“Nel senso che non puoi decidere tu il modo in cui oscilla”.

“Ma io posso decidere se andare più forte o più lentamente!”.

“Certo, ma non puoi decidere la durata di ogni oscillazione. Questo fenomeno si chiama isocronismo del pendolo, una scoperta fatta da Galileo”.

“Ah”.

“In realtà è una legge che vale se le oscillazioni sono abbastanza piccole, se sono troppo grandi non è più vera, ma se lasciamo perdere questo piccolo particolare possiamo dire che tutti gli oscillatori si comportano in questo modo: la frequenza delle oscillazioni non è legata alla loro ampiezza. Vale anche per le corde della chitarra, per esempio”.

“Uh?”.

“Ogni corda emette, oscillando, una nota. Se tu pizzichi la corda con più o meno forza, ottieni solo un cambiamento nel volume della nota, cioè nell'ampiezza dell'oscillazione. Ma la nota rimane sempre quella”.

“Ah, giusto. Ma quindi tu mi stai dicendo che se metto un bambino su un'altalena, oppure se ci salgo io, entrambi andiamo alla stessa velocità?”.

“Non velocità: frequenza. Entrambi battete il tempo allo stesso modo: se tu spingi più forte significa che vai più in alto, con maggiore velocità. Le due cose si compensano: sei più veloce ma devi fare più strada; del resto, gli orologi a pendolo si basano su questo principio.”.

“Pure!”.

“Pure loro, sì. Il pendolo batte sempre il tempo alla stessa frequenza, sia che oscilli molto sia che oscilli poco. In realtà lo si fa oscillare poco perché, come dicevamo prima, per i pendoli questa legge non è del tutto esatta. Se l'angolo di oscillazione cresce molto, non è più vera”.

“E quindi come si fa a regolare un orologio a pendolo?”.

“Si cambia la lunghezza: gli orologi a pendolo hanno un contrappeso in fondo che può essere spostato verso l'alto o verso il basso. In questo modo modifichi la posizione del baricentro e, sostanzialmente, ottieni un pendolo più o meno lungo. Le oscillazioni dipendono solo dalla lunghezza del pendolo”.

“Ah”.

“In realtà dipendono anche dal valore dell'accelerazione di gravità del pianeta su cui il pendolo oscilla, ma direi che possiamo pensare di stare con i piedi per terra”.

“Sono d'accordo”.

“Torniamo allora alla nostra altalena, spinta da qualcuno che non conosce la frequenza di oscillazione”.

“Ma nessuno conosce la frequenza di oscillazione delle altalene!”.

“Vero, ma appena ci sali sopra, o ti metti a spingerla, ti accorgi del modo giusto di farlo, se hai fatto un po' di pratica da bambino”.

“Ah, questo è vero”.

“Ecco, supponiamo che qualcuno che non ha mai visto un'altalena voglia spingerla con una certa frequenza decisa da lui, che non è quella giusta. Che succede?”.

“Boh? Immagino che chi spinge faccia molta fatica a farlo”.

“Sicuramente, perché si troverà spesso fuori sincrono con le oscillazioni, per cui a volte spinge mentre l'altalena va indietro”.

“Deve stare attento a non farsi del male”.

“Pensa a quello che fa un bambino piccolo le prime volte in cui sale su un'altalena: si siede e comincia a muovere all'impazzata le gambe avanti e indietro. Che succede all'altalena?”.

“Niente”.

“Bé, non proprio niente”.

“Sì, va bene, un pochino si muove”.

“Esatto: un pochino oscilla avanti e indietro, seguendo il moto dato dal bimbo, ma senza quelle belle oscillazioni che il bimbo vorrebbe”.

“Già”.

“E che succede se tu gli dai una spinta, all'inizio, e poi lo lasci andare?”.

“Eh, succede che l'altalena oscilla un pochino, e pian piano si smorza”.

“Bene, hai descritto perfettamente il comportamento di un oscillatore forzato e smorzato”.

“Forzato?”.

“Sì, con uno che spinge, insomma. C'è una forza esterna che imprime una oscillazione”.

“Ah. Ma non ho ben capito cosa ho descritto…”.

“Hai descritto questo: l'oscillatore ha una sua frequenza di oscillazione, che pian piano si smorza a causa dell'attrito. Quello che rimane è dovuto soltanto alla forza esterna, che oscilla a una frequenza che non è quella giusta e che, quindi, provoca soltanto piccoli movimenti”.

“Ma la forza esterna c'è anche all'inizio, quando l'oscillatore è ancora in grado di oscillare secondo la sua frequenza propria, no?”.

“Certo: i due tipi di oscillazione sono sempre presenti; all'inizio, però, prevale l'oscillazione propria (cioè prevale la grossa spinta che dai all'altalena in modo da fare divertire il bimbo che non è capace di spingersi), e in seguito prevale l'oscillazione forzata (cioè il bimbo che sgambetta e fa oscillare di poco l'altalena). Eccoti un disegno di esempio”.

“Ah, ecco, sembra una modulazione”.

“Lo è! L'oscillazione smorzata dell'altalena viene modulata dalle piccole oscillazioni impresse dal bimbo. Alla fine rimangono solo quelle e il bimbo si scoccia”.

“Bello. Questo comportamento si verifica anche nel caso dell'altalena arrugginita?”.

“Quello della modulazione? Sì. Naturalmente nel caso dell'altalena arrugginita non c'è nemmeno una qualche oscillazione iniziale e quindi il bimbo si scoccia subito”.

“E quand'è che insegniamo al bimbo ad andare in altalena?”.

“La prossima volta”.

“Con anche la vasca da bagno?”.

“Con anche la vasca da bagno”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni

“Parliamo di altalene meno arrugginite, oggi?”.

“Sì. Tutto è come prima, ma c'è meno attrito. Tu sali sull'altalena, ti lasci andare, man mano che scendi vieni sottoposto a una forza sempre più piccola, come succedeva prima, con una importante differenza”.

“La forza è sempre più piccola, ma non troppo piccola”.

“Esatto. La forza ti permette di arrivare in un tempo finito alla posizione più bassa dell'altalena, e con ancora abbastanza velocità da poter salire dall'altra parte”.

“Un po' meno in alto rispetto alla quota dalla quale ero partito, però”.

“Esatto, perché l'attrito ti fa perdere un po' di energia. Però, dato che riesci a risalire dall'altra parte, poi puoi tornare indietro, e di nuovo passi dalla posizione più bassa con ancora abbastanza velocità da poter risalire dall'altra parte”.

“E così via”.

“E così via. E questo, in matematica, significa che oscillerai per sempre, con ampiezza sempre più piccola”.

“Ma in pratica dopo un po' mi fermerò, no?”.

“Sì, nel mondo fisico a un certo punto non apprezzi più nessuna oscillazione, mentre dal punto di vista matematico puoi pensare a oscillazioni di ampiezza sempre più piccola, ma non nulla”.

“Ok”.

“Ti faccio vedere il grafico anche di questo secondo caso, eccolo”.

“Bello, oscillazioni sempre più piccole”.

“Questo viene detto moto oscillatorio smorzato, o sottosmorzato”.

“Perché è smorzato troppo poco, giusto? Mentre l'altalena arrugginita era sovrasmorzata”.

“Esatto”.

“E il terzo caso, quindi? Sarebbe una via di mezzo tra il moto sottosmorzato e quello sovrasmorzato?”.

“Proprio così, lo smorzamento del caso rimanente si chiama smorzamento critico. Sarebbe quello di un'altalena che ha la giusta quantità di attrito per non farti oltrepassare lo zero, ma non di più. Non ti frena troppo, ma neanche troppo poco”.

“Mi frena il giusto, insomma”.

“Sì, ti fa arrivare in fretta alla posizione più bassa, ma non troppo in fretta. Mh, in realtà non sono stato preciso: anche in questo caso alla posizione di riposo ci arrivi in un tempo infinito, però scendi più velocemente rispetto a quello che facevi prima. Ma se scendessi con una velocità ancora superiore, anche se di pochissimo, passeresti dall'altra parte e cominceresti a oscillare. Ecco il disegno”.

“Mi sembra uguale al primo caso”.

“No, in realtà questo moto scende più velocemente. Guarda, te li sovrappongo sulla stessa figura”.

“Ah, ecco, ora è chiaro”.

“Il mio prof di fisica diceva che, quando devi tarare gli ammortizzatori di un'automobile, devi cercare lo smorzamento critico. Se le molle sono troppo dure, sei nel caso sovrasmorzato e l'auto si adatta male alle buche, e chi è a bordo sente troppi contraccolpi. Viceversa, nel caso sottosmorzato l'auto comincia a oscillare e a chi è a bordo viene il mal di mare”.

“Bello, ho capito. Mi manca un'ultima cosa, però”.

“Cosa?”.

“La vasca da bagno”.

“Porta pazienza”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — attriti

“Vasche da bagno?”.

“E altalene, e molle”.

“E cosa c'entrano con la matematica?”.

“A parte il fatto che, volendo, tutto c'entra con la matematica, in questo caso parliamo di un fenomeno preciso: le oscillazioni”.

“Quindi parliamo di fisica”.

“Eh, dipende dal punto di vista: la matematica fa da modello per i fenomeni fisici, oppure è l'alfabeto nel quale Dio ha fcritto l'univerfo?”.

“…”.

“Ma non addentriamoci in queste questioni filosofiche”.

“Ecco, meglio”.

“Parliamo di equazioni matematiche che vengono usate in fisica per studiare le oscillazioni, e lo facciamo ponendo l'accento sulla parte matematica, senza però tralasciare riferimenti alla vita quotidiana”.

“Come la vasca da bagno”.

“Esatto”.

“Cosa c'entra, poi, la vasca da bagno?”.

“Vedrai, vedrai. Ma partiamo dall'inizio: in fisica esistono fenomeni oscillatori di tanti tipi, da quelli generati dai circuiti elettrici che vengono usati, tanto per fare un esempio, in tutti i nostri dispositivi wi-fi alle oscillazioni prodotte da una massa collegata a una molla, o quelle di un pendolo, o di un'altalena”.

“Ok”.

“E il bello è che le equazioni che descrivono questi fenomeni sono sempre le stesse: cambiano certamente le grandezze in gioco e le unità di misura, ma la forma dell'equazione è quella. Che siano elettroni che si muovono lungo un conduttore, o masse sottoposte alla forza di gravità, o a forze elastiche, si ha sempre a che fare con lo stesso tipo di equazione”.

“Che sarebbe?”.

“Eh, purtroppo è un'equazione complicata: i Veri Matematici la chiamano equazione differenziale”.

“Roba di cui non ho assolutamente idea”.

“E che non cerco di spiegarti adesso: servono troppe conoscenze matematiche per farti vedere come si può risolvere. Posso però cercare di darti un'idea intuitiva”.

“Proviamo”.

“In questo tipo di equazioni l'incognita non è un numero, ma una funzione”.

“Uhm”.

“La funzione che ti dà la posizione, istante per istante, del pendolo, o dell'altalena, o della massa attaccata alla molla, o della quantità di carica elettrica che attraversa un filo conduttore”.

“Ah”.

“Inoltre, questo tipo di equazioni contiene informazioni sul modo in cui varia la funzione incognita, e questo è il difficile”.

“Infatti non ho capito niente”.

“Pensa a una molla fissata in terra, e a te che ci sali sopra”.

“Bene, come un tappeto elastico”.

“Esattamente. L'incognita è la posizione dell'estremo della molla che si muove”.

“Quello attaccato a me, insomma?”.

“Esatto”.

“E perché è una funzione?”.

“Perché la posizione non è fissa, ma dipende dal tempo”.

“Ah, ok”.

“Ora pensa a quello che succede: se tu sali sulla molla, questa si comprime”.

“Giusto”.

“Ma comprimendosi esercita una forza verso l'alto, cioè verso di te”.

“Anche questo è vero”.

“E allora l'effetto della tua salita sulla molla sarà un po' mitigato da questa forza contraria”.

“Giusto”.

“E quindi la tua azione di compressione sarà meno efficace, e la molla farà sempre più fatica a accorciarsi”.

“Sì, è così, infatti non la posso comprimere all'infinito, a un certo punto mi bilancerà”.

“Benissimo. Il fatto interessante è che questa azione di bilanciamento non si manifesta all'improvviso: man mano che comprimi la molla senti una forza contraria sempre più grande che ti impedisce di comprimerla con la stessa intensità. Insomma, la velocità con cui la molla si comprime varia nel tempo, fino a che non si arriva alla massima compressione. Anzi, può succedere che tu venga poi spinto via, cioè verso l'alto”.

“Come succede effettivamente nei tappeti elastici”.

“Certo. L'equazione che descrive questo comportamento tiene conto di tutto: cioè tiene conto della tua posizione e del fatto che più comprimi, maggiore è la forza esercitata dalla molla su di te. Forza che a sua volta produce una variazione nella tua velocità”.

“Uh, complicato”.

“Eh, sì. Si dice che un'equazione differenziale dà una descrizione locale di un fenomeno”.

“Locale?”.

“Locale in senso matematico, cioè in questo caso circoscritta a un istante di tempo. In sostanza ti dice: guarda che adesso le leggi che governano il tuo moto sono queste, ma tra un po' saranno diverse perché la molla non sarà più nella stessa posizione e quindi eserciterà una forza diversa su di te”.

“Una roba del tipo adesso la molla spinge poco, tra un po' spingerà di più, e così via?”.

“Più o meno… Quello che ti dice l'equazione è ciò che succede istante per istante, quello che devi fare tu per risolverla è ricostruire il comportamento globale. È come se tu fossi all'interno di un'automobile con i vetri oscurati, assieme a un navigatore che ti dice, istante per istante, che strada devi prendere. Tu, oltre a fidarti delle indicazioni, devi ricostruire il percorso”.

“Ah, bello, così ho quasi capito”.

“Bene, mi fa piacere. Allora, risolvendo l'equazione si possono verificare tre casi, che adesso provo a descriverti”.

“Vai”.

“Il primo caso è quello senza oscillazioni”.

“Ma come?”.

“Eh, ricordi che ti ho parlato di altalene?”.

“Certo, quelle oscillano”.

“Non sempre: immaginati un'altalena molto arrugginita”.

“…”.

“Dico sul serio: immagina che ci sia una grande forza di attrito. Puoi immaginarti un'altalena arrugginita, oppure una molla che fa strisciare un corpo molto rugoso e pesante sul pavimento”.

“Uhm”.

“A fatica sollevi il seggiolino dell'altalena, ti ci siedi sopra, e ti lasci andare. Con un grande cigolio di cardini pian piano scendi verso il basso, ma sempre più lentamente”.

“Prima o poi arrivo in fondo”.

“Dal punto di vista fisico, in una situazione reale, prima o poi ci arrivi. Nel nostro modello matematico la tua velocità diminuisce sempre di più man mano che scendi, in modo tale che ti ci vorrebbe un tempo infinito per arrivare in basso”.

“Ah”.

“Ora provo a farti vedere un disegno: sull'asse orizzontale metto il tempo, sull'asse verticale invece metto l'angolo che l'altalena forma con una immaginaria retta verticale che rappresenta la condizione di riposo”.

“Uh, tutto qua?”.

“Eh, sì, un'altalena arrugginita non è tanto divertente”.

“Cosa rappresentano i numeri sugli assi?”.

“Niente di speciale, immagina delle unità di misura arbitrarie, scelte per comodità. Quello che conta è che la posizione dell'altalena si avvicina molto lentamente allo zero”.

“E più si avvicina, più è lenta, giusto?”.

“Esatto, è proprio così, questo è quello che dice l'equazione differenziale. Più sei vicino alla posizione verticale, più sei lento negli spostamenti”.

“Ho capito. Ma questo è uno solo dei tre casi, vero?”.

“Sì, è quello che viene detto moto aperiodico smorzato, o sovrasmorzato”.

“In pratica, c'è troppo attrito, niente oscillazioni”.

“Esatto”.

“E gli altri due casi?”.

“Li vediamo la prossima volta”.