martedì 14 febbraio 2012

Quanto sono grandi i buchi piccoli quanto si vuole, ovvero: dell'utilità dell'ultimo teorema di Fermat

Sul quarto di circonferenza di raggio unitario che giace nel primo quadrante ci sono infiniti punti a coordinate razionali.

«Eeh?».

«Dai, circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine…».

«Ok».

«Prendo il quarto che sta nel primo quadrante».

«Eh».

«Bene: lì sopra ci stanno infiniti punti con coordinate razionali».

«E perché?».

«Sai cosa sono le terne pitagoriche?».

«Uffa, sì, lo so. Sono terne di numeri naturali che soddisfano il teorema di Pitagora».

«Esempio?».

«Per esempio, 3,4 e 5. La somma dei quadrati costruiti sui cateti 3 e 4, cioè 9 e 16, dà come risultato il quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè 25».

«Bene. Diciamo quindi che le terne pitagoriche soddisfano all'equazione x+ y= z2».

«Giusto».

«O, anche, all'equazione (x/z)+ (y/z)= 1».

«Ecco che complichi».

«Ma no, era solo per dire che (3/5)+ (4/5)= 1».

«Ok, ma perché la scrivi così? Perché ti piace avere un 1 a destra dell'uguale?».

«Perché l'equazione x+ y= 1 è l'equazione della circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine».

«Ah, ora ci sono: prendiamo il quarto di circonferenza nel primo quadrante perché usiamo numeri naturali, che sono lati di triangoli rettangoli».

«E quindi, dato che esistono infinite terne pitagoriche, ecco che esistono infiniti punti a coordinate razionali sull'arco di circonferenza in blu che ti disegno qua sotto».



«E tutte quelle curve verdi cosa sono?».

«Sono alcune delle infinite curve di equazione xn + yn = 1. Se le disegnassimo tutte, vedremmo l'angolo in alto a destra del quadrato completamente pieno».

«Anche loro conterranno infiniti punti a coordinate razionali, suppongo».

«Supponi male».

«Ma come?».

«Rifacendo il ragionamento di prima all'indietro, se esistessero punti a coordinate razionali che stanno sulle curve verdi, esisterebbero terne di numeri naturali che soddisfano all'equazione xn + yn = zn».

«Uh, l'ultimo teorema di Fermat».

«Eh, già».

«Ma allora, nell'angolo in alto a destra del quadrato non ci sono punti a coordinate razionali?».

«Certo che ce ne sono, infiniti».

«Ma se ci sono infinite curve verdi, senza punti a coordinate razionali!».

«Adesso hai capito il titolo di questo post?».



Da una discussione sulla lista Cabrinews.

12 commenti:

.mau. ha detto...

stai barando :-)

zar ha detto...

Dici?

Roberto Natalini ha detto...

A me questa cosa mi ha sempre fatto impazzire (ma è il modo migliore di capire la complessità del problema).

.mau. ha detto...

per quanto mi riguarda, o prendi esponenti non interi (e allora Fermat non vale) oppure stai parlando del limite delle curve (che non è una curva). Oppure non ho capito che intendi.

Juhan ha detto...

"Se le disegnassimo tutte, [...]" Tutte-tutte, proprio tutte? Abbiamo tempo?
OK, volevo solo dire che mi è piaciuto tantissimissimo. Se l'invenzione della macchina del tempo arriva in fretta torno giovane e faccio Mate, promesso.

zar ha detto...

@.mau. prendo esponenti naturali, nella figura sono disegnate infatti le curve per i primi n naturali. Ognuna di quelle curve verdi non contiene punti razionali (e già questo mi pare controintuitivo), e inoltre queste curve si accumulano verso l'angolo in alto a destra, diventando sempre più fitte e lasciando sempre meno spazio ai punti con coordinate razionali. Quindi i buchi sono proprio piccoli.

@Juhan: le disegniamo tutte in un colpo :-)

Juhan ha detto...

@ zar barando?

zar ha detto...

Con uno sforzo del pensiero...

agapetòs ha detto...

Pongo una domanda. Se facciamo variare n tra i numeri reali in [2,+\infty[, l'insieme degli n per cui la curva non ha punti con coordinate razionali (a parte le soluzioni banali) è numerabile o no?
Pensiamoci su! :-)

agapetòs ha detto...

Beh, pensandoci, non è numerabile.

Giuseppe Perelli ha detto...

Limite puntuale, limite uniforme. Ricordo che con un ragionamento simile una volta mi hanno "dimostrato" che in un triangolo rettangolo la somma dei cateti è uguale all'ipotenusa (non i quadrati dei lati ma proprio i lati!).

Bel post!

Gianluigi Filippelli ha detto...

All'inizio sarei stato d'accordo con .mau., ma una seconda lettura mi ha reso più chiaro il ragionamento dello zar.
Direi che questo è uno di quei post che si devono leggere con calma, nonostante l'apparente brevità.