sabato 26 gennaio 2008

Il problema di Steiner

Quattro città, situate su un piano ai vertici di un quadrato, devono essere connesse tra loro mediante strade, utilizzando il percorso totale più breve possibile.



Come deve procedere l'Accorto Pianificatore Stradale? Potrebbe connettere le quattro città con una ics:



Oppure potrebbe connetterle con una acca:



Quale delle due è la scelta migliore? Si può fare di meglio?

In effetti, si può fare di meglio. L'idea è quella di accorciare un pochino la linea orizzontale che crea la lettera acca, ma non troppo. Si osserva che, man mano che il segmento orizzontale si accorcia, diminuisce anche la lunghezza totale delle strade, fino ad un valore minimo. Dopodiché la lunghezza totale torna ad aumentare.

La posizione ottimale è quella disegnata in blu nella figura qua sotto, nella quale tutti i segmenti si intersecano formando angoli di 120 gradi:



La dimostrazione del fatto che la figura in blu è quella di minima lunghezza richiede un po' di conoscenze di analisi (derivate, studio dell'andamento di una funzione); esiste però anche una seconda via, meno rigorosa ma più creativa: quella delle bolle di sapone.

Se prendiamo due lastre di plastica trasparente, separate da quattro piccoli pioli (che rappresentano le quattro città), le immergiamo in una soluzione di acqua saponata e, poi, le estraiamo delicatamente, possiamo osservare che si formano delle pellicole di sapone che si dispongono proprio formando angoli di 120 gradi, come nella figura qui sopra. Il bello è che questo procedimento analogico può essere esteso a qualunque numero di punti, mentre il calcolo esatto diventa presto proibitivo.



(L'ultima immagine proviene dal sito di una bella mostra sulla matematica delle bolle di sapone che, qualche anno fa, passò anche da Modena)

16 commenti:

Anonimo ha detto...

Domanda poco matematica ma le api sapevano le derivate per risolvere sto problemino? perchè a me ricorda tanto la struttura delle cellette di un alveare....o mi sbaglio?

professore ha detto...

Ebbene sì, le api sanno più di quanto ci facciano credere...

.mau. ha detto...

mi sono sempre chiesto come mai nei grafi steineriani escano fuori gli angoli di 120 gradi. Forse la storia delle api mi ha dato un'idea :-)

professore ha detto...

Ha a che fare col fatto che tre vettori nel piano sono in equilibrio se formano tre angoli di 120 gradi.

giovanna ha detto...

salve Professore,
...non so più come sono capitata qui:-)
béh, il post era interessante e poi le api....
Se interessa, segnalo un recente post in proposito, nel mio blog (un contributo di un amico).
http://matematicamedie.blogspot.com/2007/12/contributi-le-api-formidabili-esperte.html
Prof, tornerò a trovarla e... grazie per avemi fatto "conoscere" anche .mau. ! Come non interessarmi ai suoi articoli e curiosità matematiche?
g.

professore ha detto...

@giovanna: grazie per la visita. Ma... la vignetta di Don Rosa! È meravigliosa! Dove l'hai trovata?

giovanna ha detto...

l'ho trovata in rete, cercando "matematica" su Google-immagini:
http://images.google.it/images?svnum
=10&um=1&hl=it&client=firefox-a&rls
=com.google%3Ait%3Aofficial&q
=matematica+&btnG=Cerca+immagini

tutto su una riga.
E' stata quella che ho preferito anche io!
Inserita appena messo su il blog, l'ho salvata sul mio HD, piuttosto inesperta... perché poi ho imparato a linkare direttamente alla fonte!:-)
quindi probabilmente sono stata anche scorretta!:-(
saluti!
g.

elvi3nto ha detto...

ahahahahah
Ciao Prof :)
ho aperto il blog e l ultima immagine che hai pubblicato in questo post mi ha fatto venire i brividi ....
...
Ho fatto l'operatore per la mostra di matematica MateTrentino e facevo anche i laboratori bolle :)
Le legge di Plateau sui 120 gradi è anche un bel ricordo, ma 20 ragazzi delle superiori (di quarta mi pare) che corrono in giro facendo le bolle un po meno :) :)P

"Le api sono furbe usano gli esagoni per stare vicine vicine senza far buchini nella loro casa " (questo era quello che dicevo ai bimbi per spiegare la tassellazione del piano con gli esagoni :P)


Ciao ciao
Roberto

professore ha detto...

Ma dai! Eri a Trento? Quella mostra mi è piaciuta molto.

Anonimo ha detto...

Forse non è difficile spiegare la comparsa degli angoli di 120°, in modo elementare e geometrico (evitando inutili derivate :-) ).
Concentriamoci su un nodo P della nostra rete minima, e supponiamo che su P convergano tre lati della rete (che formino a due a due angoli ottusi). Si può allora costruire un triangolo isoscele acutangolo che contiene P al suo interno, e i cui vertici sono sui tre lati uscenti da P.
Il problema si riduce allora a questo:
"dato un triangolo isoscele acutangolo ABC, un punto al suo interno P, quando è minima la somma delle distanze AP+BP+CP?"
Risposta: quando gli angoli APB BPC e CPA sono uguali a 120°.
Dimostr. (abbozzo)
Se AB è la base e H il suo punto medio, P deve stare su CH.
(Altrimenti -intersecando con CH la parallela ad AB per P- si troverebbe un P' in CH con CP' minore di CP, e AP'+BP' minore di AP+BP)
A questo punto resta da vedere che l'angolo APB deve essere di 120°, ovvero che APH è di 60°.
Supponiamo che lo sia, e mostriamo che per ogni altro punto su CH la somma delle sue distanze da A, B e C è maggiore di AP+BP+CP.
Se prendiamo un punto Q sul segmento HP, si vede abbastanza facilmente che AQ+(1/2)PQ è maggiore di PA (da cui segue che AP+BP è minore di AQ+BQ+QP)
D'altra parte, se prendiamo un punto R su PC, si vede che AP + (1/2)RP è minore di RA (che equivale a: AP+BP+PR minore di AR+BR).

(Facendo il disegnino "si vede" tutto molto meglio...)

Silvano

professore ha detto...

Bello. Una parte che non mi pare di ovvia dimostrazione è questa:


(Altrimenti -intersecando con CH la parallela ad AB per P- si troverebbe un P' in CH con CP' minore di CP, e AP'+BP' minore di AP+BP)

Anonimo ha detto...

Beh, che P'C sia più corto di PC è chiaro.
Per quanto riguarda l'altra disuguaglianza, si può considerare l'ellisse E di fuochi A e B e passante per P': allora P si trova all'esterno di E, in quanto sta sulla sua tangente per P'. Ora, dato un punto esterno a un ellisse, la somma delle sue distanze dai fuochi è maggiore che per ogni punto dell'ellisse...

Ora che mi ricordo, anche nel libro "Che cos'è la matematica" di Courant e Robbins (una miniera!) c'è un capitolo sui massimi e minimi: non mi ricordo come tratta il problema di Steiner, ma c'è di sicuro.

Ciao,
Silvano

isettina ha detto...

Sìsì, la mostra delle bolle di sapone passò da Modena mi pare 4 anni fa ma io non sono andata a vederla XD
PS: Piacere di conoscerti

professore ha detto...

Ciao, modenese anche tu?

isettina ha detto...

No, abito a Mantova ma sto finendo la laurea lì a Modena!

professore ha detto...

Bene, bene, divertiti :-)