La formula del piccolo Gauss senza parole

“Uh, bello, hai fatto l'albero di Natale?”.

“…”.

“Ah, non volevi fare l'albero di Natale”.

“Vedi tu”.

“Allora cos'è?”.

“È una dimostrazione senza parole della formula del piccolo Gauss”.

“Oh, mamma, ancora con questa storia, ma la sanno già tutti!”.

“Ti ricordi anche cosa dice?”.

“Ehm, dice che per calcolare la somma dei primi numeri naturali mi basta moltiplicare l'ultimo numero per il successivo e dividere tutto per due”.

“Sai anche perché?”.

“Mh, ecco, forse no”.

“Una dimostrazione semplice è questa: se vogliamo provare a calcolare la somma dei numeri da 1 a 100, possiamo scriverli due volte in fila, una sopra all'altra; nella prima fila mettiamo i numeri in ordine crescente, nella seconda in ordine decrescente, così:”.

  1 +  2 + 3  + ... + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ... +  3 +  2 +   1

“E perché facciamo così?”.

“Prova a sommare le varie colonne”.

“Allora, dalla prima risulta 1 + 100 che fa 101, dalla seconda 2 + 99 che fa ancora 101… ehi, risulta sempre 101!”.

“Esatto. E quante colonne hai?”.

“Sono 100”.

“E quindi la somma totale è uguale a 100×101”.

“Ah! E siccome ho contato tutto due volte, la somma dei numeri da 1 a 100 è uguale alla metà di 100×101, cioè 5050”.

“Esatto. E se invece di arrivare fino a 100 vuoi arrivare fino a n?”.

“In questo caso ho n colonne la cui somma è n + 1. Quindi la somma dei numeri che stanno in una singola fila è uguale a n(n + 1)/2”.

“E questa è la famosa formula del piccolo Gauss.”.

“E quindi? Cosa c'entra la figura con l'albero di Natale?”.

“Ora te la spiego. Osserva i cerchi gialli: nella prima fila ne hai uno solo”.

“Nella seconda fila ce ne sono due”.

“Nella terza tre”.

“Eh, va bene, in ogni fila ce n'è uno in più”.

“Ok, tu vuoi sommarli”.

“Ah! La somma dei primi numeri interi vista sotto forma di triangolo”.

“Proprio così, infatti i numeri come 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, eccetera, vengono proprio chiamati numeri triangolari”.

“Ah. E i dischi che si accendono? E i collegamenti con l'ultima fila?”.

“Dimmi se sei d'accordo su questa affermazione: a ogni disco giallo è associata un'unica coppia di dischi blu e, viceversa, a ogni coppia di dischi blu è associato un unico disco giallo”.

“Fammi vedere bene la figura, uhm. Ah, ora capisco perché vengono evidenziati quei collegamenti, servono per mostrare la tua affermazione!”.

“Infatti. Da ogni disco giallo puoi tracciare due collegamenti, uno che va verso sinistra e un altro che va verso destra: entrambi finiscono su due dischi blu. L'accoppiamento disco giallo-coppia di dischi blu è unico”.

“È come se io associassi un sistema di coordinate ai dischi gialli?”.

“Benissimo! È esattamente così: puoi numerare i dischi blu con i numeri da 1 a 7, e ogni disco giallo è caratterizzato da una coppia di quei numeri. Per esempio, il disco più in alto corrisponde a (1,7).”.

“Vediamo se ho capito: i dischi della seconda fila sono (1,6) e (2,7), quelli della terza sono (1,5), (2,6) e (3,7),  giusto?”.

“Esatto. L'unica differenza, rispetto ai sistemi di coordinate a cui siamo abituati, è che qui non conta l'ordine in cui disponi le due coordinate. Per esempio, le coppie di dischi blu (1,5) e (5,1) identificano lo stesso disco giallo”.

“Giusto, sono d'accordo. Non ho capito però cosa abbiamo dimostrato?”.

“Che la somma dei dischi gialli corrisponde al numero degli accoppiamenti dei dischi blu”.

“Ah. E quanti sono?”.

“Hai 7 dischi, ne vuoi scegliere 2. In quanti modi puoi farlo?”.

“Mi sembra semplice: ho 7 scelte per il primo disco e 6 per il secondo, totale 6×7 = 42, che è sempre un bel numero”.

“Però, così facendo, li conti due volte”.

“Perché?”.

“Perché, appunto, non distingui tra (1,5) e (5,1). In generale, non distingui tra (a,b) e (b,a)”.

“E quindi devo dividere per due il mio calcolo. Ci sono quindi 21 modi di accoppiare due dischi blu”.

“E quindi ci sono 21 dischi gialli”.

“Vediamo, la formula per la somma dei numeri da 1 a 6 dice che devo fare 6×7/2… ehi, è lo stesso calcolo fatto adesso con gli accoppiamenti”.

“Eh, certo.”.

“Ehm, già, sennò non sarebbe una dimostrazione”.

“Eh. Ora, generalizza: vuoi sommare n file di dischi”.

“Quindi voglio calcolare la somma dei numeri da 1 a n”.

“Quanti dischi blu ti servono?”.

“Uno in più, cioè n + 1”.

“E quanti accoppiamenti puoi fare?”.

“Ho n + 1 scelte per il primo disco blu, n per il secondo, però devo dividere tutto per 2 perché non conta l'ordine con cui li prendo”.

“Quanto viene?”.

“(n + 1)n/2”.

“Ed ecco la formula del piccolo Gauss”.

“Fatta con l'albero di Natale”.

“Santo cielo”.