“Tutti”.
“Oh, insomma, tanti… Mai visto uno schema del genere?”.
“Mh, sì, l'ho visto. Ogni numero si ottiene sommando i due numeri che si trovano sopra di lui”.
“Esatto. Sul contorno si mettono degli 1, e poi si segue la regola che dici tu. Questo schema si chiama triangolo di Tartaglia e ha un sacco di proprietà. Oggi ci concentriamo su una di queste: l'identità del bastone da hockey”.
“Bel nome. Cosa c'entra poi l'hockey?”.
“Assolutamente niente”.
“Benissimo”.
“Ma vedrai cosa c'entra il bastone da hockey tra un po'. Scegli una casella del triangolo, abbastanza in basso”.
“Ok, scelgo 126”.
“Ora, il numero che hai scelto è uguale alla somma dei due numeri che gli stanno sopra”.
“Vero, 126 = 56 + 70”.
“Bene, ecco una figura: la somma dei due numeri azzurri è uguale al numero rosso”.
“Fin qua ci sono”.
“A loro volta, i due numeri che hai indicato sono ottenuti dalla somma di altri numeri: concentriamoci sul 56”.
“56 è la somma di 21 + 35”.
“Bene. A questo punto possiamo dire che il tuo 126 è uguale alla somma di 70 + 21 + 35. Riassumo questo risultato con un'altra figura: la somma dei numeri nelle caselle azzurre è uguale al numero scritto nella casella rossa”.
“Ah, certo”.
“E ora continua con lo stesso procedimento: il 21 a cosa è uguale?”.
“Alla somma di 6 + 15”.
“Ecco la figura aggiornata:”.
“Uh, capisco dove vuoi arrivare. Ogni numero a sinistra viene scomposto nella somma dei due numeri che gli stanno sopra”.
“Proprio così, fino a che non arrivo alla fine”.
“Vedo. E adesso?”.
“Bé, faccio un ultimo passo: invece di evidenziare quel numero 1 che sta a sinistra di 5, evidenzio quello più in alto”.
“Ok”.
“Ed ecco il bastone da hockey”.
“L'insieme delle caselle evidenziate?”.
“Certo, vedi come assomiglia a un bastone da hockey?”.
“Roba da matti”.
“Ma come, non apprezzi la capacità dei Veri Matematici di dare nomi divertenti alle cose?”.
“Ah, guarda, divertentissimi”.
“Almeno serve a qualcosa, questo bastone da hockey?”.
“Direi di no, se non a fare giochi matematici”.
“Benissimo. Sai cosa ti dico?”.
“Cosa?”.
“Che nel dare nomi divertenti alle cose, quelli imbattibili sono i fisici”.
2 commenti:
L'identità del bastone da hockey ha un semplice significato combinatorio. Basta ricordare che il numero del triangolo che si trova nella riga n (n=0,1,2...) e posto k (k=0,1,..,n), e che indico con C(n,k) rappresenta il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi.
Nell'esempio l'identità diventa C(9,4)=C(8,4)+C(7,3)+C(6,2)+C(5,1)+C(4,0), che si può generalizzare in modo ovvio.
Come la si può ricavare senza fare neanche un calcolo, ma ragionando in termini cimbinatori?
Ecco come. Immagino di avere numerato da 1 a 9 gli oggetti di un insieme A. Quanti sono i suoi sotto insiemi di 4 elementi? Risposta: C(9,4). Ma posso contarli in un altro modo. Divido l'insieme in due parti disgiunte: quella che non contiene l'oggetto 1 e quella che lo contiene. La prima ha C(8,4) oggetti, i sottoinsiemi di 4 elementi dell'insieme A senza l'oggetto 1. Riguardo alla seconda, posso a sua volta dividerla in due parti disglinte: quella che contiene l'oggetto 1 ma non il 2 e quella che non contiene nessuno dei due. Il primo insieme ha C(7,3) oggetti essendo formato da tutti gli insiemi dei 3 oggetto oltre all'1 scelti tra i 9 oggetti meno l'1 e il 2. La seconda parte posso a sua volta dividerla in due parti disgiunte: quella che contiene gli oggetti 1 2, ma non il 3 e quella che non contiene nessuno dei tre. La prima ha C(6,2) oggetti pechè è formata dagli insiemi dei due oggetti da aggiungere all'1 e al 2 scelti tra i 9 oggetti meno l'1 il 2 e il 3...
Queste sì che sono persone che contano! :-)
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