mercoledì 31 dicembre 2014

Caccia al tesoro

“Ora siamo pronti per risolvere il problema del tesoro nascosto”.

“Oh, finalmente!”.

“Ti ricordo il quesito: parti dalla forca, vai verso l'albero A contando i passi, gira a sinistra, percorri lo stesso numero di passi e trova il punto C. Torna alla forca, vai verso l'albero B contando i passi, gira a destra, percorri lo stesso numero di passi e trova il punto D. Il tesoro è a metà tra C e D”.

“Ma non sappiamo dove sia la forca”.

“Esatto”.

“Come facciamo?”.

“Facciamo come fanno i Veri Matematici: mettiamo la forca in un generico punto del piano”.

“Ma se non sappiamo dov'è?”.

“Per questo è generico, no?”.

“Uhm”.

“Usando i numeri complessi, la posizione della forca è identificata dal numero complesso Γ”.

“Perché proprio una gamma maiuscola?”.

“Perché ha la forma di una forca”.

“…”.

“Non mi puntinare[1], anche Gamow nel suo libro fa così”.

“Spiritosissimo”.

“Vedo che non cogli l'umorismo da Vero Matematico. Comunque, eccoti un disegno in cui la forca è messa in un punto scelto assolutamente a caso del piano”.



“E quindi anche l'origine è in un punto casuale, no?”.

“Certo. Fissata l'origine, automaticamente i punti A e B diventano numeri complessi”.

“E adesso?”.

“Adesso usiamo un altro aspetto dei numeri complessi, quello vettoriale. Camminare verso l'albero A significa sommare un determinato vettore”.

“Sommare a cosa?”.

“Al vettore che corrisponde alla forca, naturalmente”.

“Quindi anche Γ viene visto in due modi diversi: punto e vettore?”.

“Esattamente. Ora la domanda: come possiamo indicare il vettore che va dalla forca all'albero A?”.

“Boh, è importante il nome che gli diamo?”.

“Non ti stavo chiedendo di scegliere un nome: il fatto è che in base ai dati che già abbiamo, quel vettore è univocamente determinato”.

“Ah sì? E quanto vale?”.

“Vale semplicemente − Γ”.

“La differenza tra i due? E perché?”.

“Pensaci un attimo: se parti dall'origine, sommi Γ e poi sommi − Γ, cosa ottieni?”.

“Se faccio i conti algebricamente, Γ si semplifica e rimane A”.

“Perfetto, geometricamente è la stessa cosa, eccoti un disegnino”.



“Ah, ora è chiaro! Però ancora non vedo la soluzione”.

“Aspetta… adesso dobbiamo voltare a sinistra di 90 gradi”.

“Come facciamo?”.

“Utilizziamo il terzo aspetto dei numeri complessi, quello legato alle rotazioni e alle dilatazioni dei vettori”.

“Ehm, so che ruotare e dilatare significa moltiplicare per un numero complesso, ma come si fa qui?”.

“Prova a descrivere il vettore che va dall'albero A al punto C”.

“È uguale a quello che va dalla forca verso A”.

“No, attenzione: è uguale solo come lunghezza”.

“Ah, vero. È anche ruotato a sinistra di 90 gradi”.

“Ricordi come si fa a ruotare di 90 gradi un vettore senza cambiarne la lunghezza?”.

“Lo si moltiplica per il numero i”.

“Perfetto: il vettore che va dall'albero A al punto C è quindi uguale a i(− Γ)”.

“Ah”.

“E quindi la posizione del punto C è data dalla somma di tre vettori: Γ + (− Γ) + i(− Γ)”.



“Va bene. Come trovo il tesoro?”.

“Aspetta ancora un momento: ora rifacciamo la stessa costruzione dall'altra parte, andando verso l'albero B e poi il punto D. Anzi, prova tu”.

“Uh, allora, vediamo… se indico con B−Γ il vettore che va dalla forca a B, allora la posizione del punto B sarà data da Γ+(B−Γ)”.

“Giusto”.

“Ora devo voltare a destra di 90 gradi, e se ben ricordo il numero complesso che ruota i vettori in questo modo è −i”.

“Ricordi bene”.

“Quindi il vettore che va dall'albero B al punto D è − i(− Γ)”.

“Giusto. Quindi il punto D sarà uguale a…?”.

“Sarà Γ + (− Γ) − i(− Γ)”.



“Bene. Ora che conosciamo i punti C e D, possiamo trovare il punto medio del segmento che li congiunge”.

“Come si fa?”.

“Si fa semplicemente la media dei due numeri complessi”.

“Uh? Il punto medio è la media? Così facile?”.

“Sì, anche questo fa parte della magia dei numeri complessi. Guarda, questa figura dovrebbe farti capire perché il punto medio si trova facendo la media”.



“Ah, certo! x+y è la diagonale del parallelogramma, se ne prendo metà arrivo proprio nel punto medio”.

“Esattamente. Quindi puoi calcolare la posizione del tesoro”.

“Allora, scrivo tutte le operazioni: devo prendere il primo punto, sommare il secondo, e dividere tutto per due… ecco, questa è l'espressione”.

[Γ+(A−Γ)+i(A−Γ)+Γ+(B−Γ)−i(B−Γ)]/2

“Perfetto: fai i conti adesso”.

“Vediamo… si semplifica un po' di roba… rimane (B)/2 + i(− B)/2, ho separato la parte reale da quella immaginaria, come facevi tu tempo fa”.



“Bene, ma non hai fatto quello che pensi: A e B non sono numeri reali, ma sono complessi, quindi in realtà non hai separato le due parti”.

“Ah. Non va bene allora?”.

“No, no, va bene così, poi ragioniamo sopra a quell'espressione. Però, prima di farlo, hai notato come è fatto il risultato?”.

“Boh, non noto niente di particolare. C'è una certa simmetria nella formula, però… ehi! Manca Γ!”.

“Oh, bene! Manca Γ, questo significa che non è importante conoscere la posizione della forca: il tesoro puoi trovarlo ugualmente, ti basta conoscere soltanto le posizioni dei due alberi A e B”.

“Ah, ecco! Allora posso scegliere di mettere la forca dove voglio e fare tutti i calcoli in base a quella posizione”.

“Esatto. Ora ti propongo un metodo, che è anche quello scelto da Gamow per spiegare la soluzione”.

“Ti ascolto”.

“Prima di tutto, devi renderti conto che non solo possiamo scegliere la posizione della forca arbitrariamente, ma possiamo anche orientare gli assi di riferimento come ci pare”.

“Ah, sì, questo è vero”.

“E anche la scala che usiamo sugli assi può essere scelta a piacere”.

“Giusto anche questo”.

“Quindi scegliamo il riferimento in modo tale che i due alberi A e B si trovino in corrispondenza dei numeri reali +1 e −1”.

“Ah”.

“Ora la posizione del tesoro, che tu hai trovato essere (B)/2 + i(− B)/2, può essere calcolata molto facilmente: basta sostituire al posto di A e di B i due numeri +1 e −1”.

“Molto facile, quell'espressione diventa… semplicemente i. Possibile?”.

“Certo, tutto giusto. Nel sistema di riferimento in cui A e B sono i due numeri reali +1 e −1, il tesoro si trova nella posizione occupata dal numero i. Con questa scelta di sistema di riferimento, il risultato che hai ottenuto tu è effettivamente suddiviso in parte reale e parte immaginaria”.



“Facilissimo. Se non sbaglio, questo corrisponde a mettere la forca nell'origine, no?”.

“Certamente, e in un attimo si trova il tesoro. Vedi che la matematica è utile?”.

“…”.

29 commenti:

ilcomizietto ha detto...

Bello.

(Manca [1].)

zar ha detto...

In realtà non manca [1]: se vai sopra col mouse e aspetti un istante, compare la nota... Però manca il titolo!

.mau. ha detto...

Da furbofono non si vedono i mouseover. Vabbè che posso immaginare il testo...

zar ha detto...

"puntinare: v.tr. già usato in passato su queste pagine: esprimere disappunto nei confronti di una persona, un'affermazione, un'idea, mediante l'uso di puntini di sospensione"

Alberto Faverio ha detto...

bello! è troppo chiedere la costruzione con geogebra?

zar ha detto...

Nel primo post di questa serie c'è una costruzione con GeoGebra, può andare?

Alberto Faverio ha detto...

proprio di quella mi interesserebbero i passaggi della costruzione...

zar ha detto...

si vede qualcosa qua? http://tube.geogebra.org/material/show/id/386851

Alberto Faverio ha detto...

ok perfetto
ho scaricato il file
grazie

Matteo Testa ha detto...

Ciao!
complimenti per il blog, davvero interessante! Non sapevo come contattarti quindi eccomi qui.
Ho trovato un problema che ho provato a risolvere senza risultati: dimostrare che colorando i punti del piano di tre colori diversi esiste un triangolo equilatero con i vertici dello stesso colore.

.mau. ha detto...

@Matteo: non considerare tutto il piano, ma limitati a un reticolo triangolare. Basta già quello :-)

Matteo Testa ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
Matteo Testa ha detto...

Sì infatti ho provato così :) i casi però aumentano velocemente, ho anche provato a farli tutti ma rimango con decine di casi che non riesco comunque a risolvere :/

.mau. ha detto...

è perché ti starai ostinando a guardare solo i triangoli di lato 1 :-)

zar ha detto...

però bisognerebbe dimostrare che si riescono a trovare 4 punti equidistanti su una retta colorati allo stesso modo, direi, vero?

.mau. ha detto...

oh, mi pareva di averlo già pubblicato quel problemino!
http://xmau.com/quizzini/p002.html

zar ha detto...

Ehi, qui i colori sono tre :-)

.mau. ha detto...

ah, con tre non lo so mica, né sono certo che sia vero!

Matteo Testa ha detto...

Sì! Io avevo visto per 5 punti(4 non so) , poi ho provato a dimostrarlo prima per 3 ma non sono arrivato a niente

zar ha detto...

c'è qualcosa qua: http://skepticsplay.blogspot.it/2008/09/monochromatic-triangles-in-multi.html

.mau. ha detto...

favoloso. Quindi dato un qualunque numero di colori e una qualunque colorazione del piano con quei colori siamo certi che esiste un triangolo equilatero monocromatico. Ciumbia.

(il caso con tre colori mi sembra già un casino da dimostrare, però)

Matteo Testa ha detto...

wow grazie mille!! Bellissimo anche il collegamento con le successioni anche se l'ho capito solo in minima parte

Anonimo ha detto...

non capisco!
quindi dovei prendere il punto medio tra i due alberi come forca?
e se invece non fosse nel punto medio?

zar ha detto...

Non importa, il tesoro è sempre nello stesso punto...

Anonimo ha detto...

non ho capito da quando assegna i valori +1 e -1 ad A e B e il risultato della media viene i. praticamente dove vado a scavare? che significa i?


zar ha detto...

Bisogna conoscere i numeri complessi per capire la risoluzione. Puoi guardare i post precedenti per trovare qualche spiegazione.

Anonimo ha detto...

ho letto i 4 post del problema...e tempo fa lessi un pricipio di spiegazione sui numeri complessi. Non mi potrebbe spiegare? Mi semrba assurdo non capire solo l'ultima parte... (almeno credo, a questo punto!)

zar ha detto...

Ma mi hai chiesto cosa significa i, hai letto bene tutto? Quella è l'unità immaginaria, da cui parte tutta la definizione.

Anonimo ha detto...

ma quindi non hai scritto la soluzione? "in un attimo sio trova il tesoro"... ma come?