Tre aspetti complessi

“L'altra volta hai detto che i numeri complessi sono visualizzabili come punti del piano, poi hai anche parlato di vettori”.

“Giusto”.

“Ma quindi sono punti o vettori?”.

“Sono numeri, che possono essere visti in entrambi i modi. Anzi, volendo essere precisi puoi usare i numeri complessi in tre modi diversi”.

“Addirittura tre?”.

“Già. E ti propongo una strada insolita per esplorare questi tre aspetti, che è in un certo senso la strada inversa rispetto a quella che hai percorso a scuola…”.

“Non c'è problema che io mi confonda, eh”.

“Mh. Va bene, diciamo che è l'inversa rispetto a quella che si percorre di solito nelle scuole”.

“Diciamo così”.

“E che però è analoga a quella che ha portato alla scoperta dei quaternioni”.

“Ah”.

“E che parte dal concetto di quoziente tra due vettori”.

“Ecco, io so fare il quoziente tra due numeri. Cosa significa farlo tra due vettori?”.

“Dimmi prima cosa significa farlo tra due numeri”.

“Eh, significa trovare un numero che, moltiplicato per il divisore, mi dia il dividendo”.

“Bene. Se generalizziamo un pochino ai vettori, le cose non cambiano di molto”.

“In che senso?”.

“Cosa significa moltiplicare un vettore per due?”.

“Significa farlo lungo il doppio”.

“E cosa mi dici della sua direzione e del suo verso?”.

“Quelli non cambiano”.

“Benissimo. Possiamo allora dire che il rapporto tra il vettore 2v e v è uguale a 2”.

“Fin qua sono d'accordo”.

“Ora, che significato possiamo dare al rapporto tra due vettori che non hanno la stessa direzione?”.

“Boh? Servirebbe un numero che modifica sia la lunghezza che la direzione del vettore divisore in modo da dare come risultato il dividendo”.

“Esatto”.

“Ma non esiste un numero di questo tipo! Se moltiplichiamo per un numero reale un vettore, lo possiamo allungare, accorciare, se vuoi ruotare di 180 gradi, ma non di più”.

“Bene, vorrà dire che dobbiamo definire dei nuovi numeri, che ci permettano di ruotare di quanti gradi vogliamo”.

“Ah. Ma come fa un numero a modificare due caratteristiche, la lunghezza e la direzione? Un numero è un numero!”.

“Questi nuovi numeri saranno composti da due parti, una che interagisce con la lunghezza e un'altra che invece interviene sulla direzione”.

“Un numero composto da due parti?”.

“Sì, una coppia di valori: il primo serve per modificare la lunghezza del vettore, il secondo per l'angolo. Insomma, dato il vettore v di lunghezza a e formante un angolo α con il semiasse positivo delle ascisse, e il nuovo numero (r,θ)…”.

“…che chiamiamo numero complesso?”.

“Esatto. Dicevo, la moltiplicazione tra v e (r,θ) produce come risultato un vettore di lunghezza ar e formante un angolo α + θ”.

“Mh. E però non mi sembra che ci sia molta differenza tra il concetto di vettore e quello di numero complesso. Voglio dire, entrambi sono composti da due valori, che in entrambi i casi sono un numero e un angolo, no?”.

“Perfetto. Anche il numero (r,θ) può essere visto come vettore. All'inizio ti avevo detto che i numeri complessi possiamo vederli in tre modi diversi, ti ricordi?”.

“Sì”.

“Eccoli qua, i tre modi: i numeri complessi sono punti del piano, ma sono anche vettori, e sono pure quozienti”.

“E questa confusione è utile?”.

“Certo, e non è una confusione. È una specie di magia, le cose funzionano benissimo, tutto combacia, si ha proprio la sensazione che sia giusto così”.

“Uhm”.

“Guarda, ti faccio qualche esempio. Cosa vuol dire sommare due numeri complessi? Se li vedi come vettori, è semplicissimo: metti le frecce una dietro l'altra”.

“Uh, questa è la somma di vettori che avevo imparato a scuola”.

“Esatto. In figura vedi l'operazione (2 + i) + (1 + 3i)”.

“Che dà come risultato (3 + 4i), mi sembra semplice. La moltiplicazione, invece?”.

“Se vuoi moltiplicare per un numero complesso, devi pensare a quello che abbiamo detto prima sui quozienti. Un numero complesso è un oggetto in grado di modificare la lunghezza di un vettore e anche la sua direzione”.

“E quindi non è così semplice da disegnare come la somma”.

“Eh, no. Uno dei due vettori lo devi disegnare, dell'altro invece devi prendere la lunghezza, che serve per modificare la lunghezza del primo…”.

“Moltiplicando le due lunghezze”.

“Esatto. E poi devi prendere l'angolo che forma con il semiasse positivo delle ascisse, che serve per modificare l'angolo del primo…”.

“Sommando i due angoli”.

“È così. Non è semplice vedere il risultato di una moltiplicazione a occhio, però c'è un caso particolare che è facile da visualizzare. Prova a pensare all'effetto che fa il numero i quando lo usi in una moltiplicazione”.

“E come faccio?”.

“Ricordi quello che abbiamo detto l'altra volta? Abbiamo definito i proprio come quel numero che ruota di 90 gradi in senso antiorario un vettore”.

“Uhm, è vero”.

“Allora, ecco i tre aspetti del numero i: primo, è un punto del piano”.

“E dove si trova?”.

“Dato che lo puoi scrivere come 0 + i, si trova in corrispondenza del punto (0,1)”.

“E va bene. Ma è anche un vettore, no?”.

“Certo, eccolo qua”.

“Un vettore che punta verso l'alto”.

“Un vettore di lunghezza unitaria che forma un angolo di 90 gradi con la direzione positiva dell'asse delle ascisse”.

“Perché lo descrivi in questo modo da Vero Matematico Precisino?”.

“Bé, prima di tutto perché tutti i Veri Matematici sono Precisini, e poi perché la magia viene da qua: la regola della moltiplicazione dice che devi moltiplicare le lunghezze e sommare gli angoli. Il numero i ha lunghezza 1, quindi moltiplicare un qualsiasi vettore per i non fa cambiare la lunghezza. Però cambia la direzione, perché l'angolo che il vettore i forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse si somma all'angolo del vettore che stai moltiplicando”.

“In sostanza i è un oggetto che ruota i vettori di 90 gradi in senso antiorario, e non ne modifica la lunghezza”.

“Esatto, l'abbiamo definito così”.

“Non saprei come rappresentare questo fatto, però”.

“Non rappresenti direttamente i, questa volta, ma rappresenti un vettore v qualsiasi, e il vettore iv”.

“E come?”.

“Così”.

“Ah, ma certo! Il vettore iv è il vettore v ruotato di 90 gradi!”.

“In senso antiorario, certo. Ora riassumiamo quello che abbiamo detto”.

“Benissimo”.

“Un numero complesso è un punto del piano, identificabile da due coordinate (a,b). Allo stesso modo è un vettore, identificabile dalla sua componente lungo l'asse orizzontale e quella lungo l'asse verticale, che sono sempre a e b”.

“Ok”.

“I Veri Matematici dicono che (a,b) è la forma cartesiana del vettore, o del numero”.

“Come le coordinate cartesiane, no?”.

“Esatto. Ma, come vettore, un numero complesso è altrettanto identificabile da altri due numeri (r,θ): la sua lunghezza e l'angolo che forma con la direzione positiva delle ascisse”.

“E i Veri Matematici come chiamano quest'altro modo?”.

“Forma polare”.

“E tutto questo risolve il problema del tesoro del pirata?”.

“Eh, sì. Solo però se sei in grado di ruotare di 90 gradi anche in senso orario”.

“Uh. Devo girare dall'altra parte”.

“Sì. Come fai?”.

“Uso un angolo negativo?”.

“Perfetto. Che numero stai usando?”.

“Eh, in forma polare il numero (1,−90°)”.

“E in forma cartesiana?”.

“Boh?”.

“Prova a disegnarlo”.

“Dovrebbe essere questo”.

“Giusto. Quanto valgono le sue coordinate cartesiane?”.

“Sono (0,−1). Ma allora il punto dovrebbe essere 0−i”.

“Cioè −i, esattamente. Per ruotare in senso antiorario si moltiplica per i, per ruotare in senso orario per −i. E adesso possiamo cercare il tesoro”.