La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - la costante di Conway

Il decadimento audioattivo è analogo alla compressione RLE, usata ad esempio nei fax. L'idea alla base di questo tipo di compressione senza perdita di informazioni è questa: invece di memorizzare n byte tutti uguali, memorizzo n e un solo byte. In pratica un pezzo di immagine tutta bianca, che verrebbe memorizzata come BBBBBBBBBB, una volta compressa diventerebbe 10B.

Non è un sistema molto efficiente, tant'è che nel decadimento audioattivo la stringa che decade pian piano aumenta la sua dimensione. Magari qualche volta la lunghezza potrà anche diminuire, ma in media aumenterà. Ecco un esempio:

11111111
81
1811
111821
31181211
132118111221

Bene, Conway ha studiato la crescita di una generica sequenza, scoprendo che l'n-esima stringa ha una lunghezza proporzionale a λⁿ, dove λ è circa uguale a 1.303577.

Per essere più preciso, ha specificato che λ è l'unica soluzione positiva della seguente equazione:

x⁷¹-x⁶⁹-2x⁶⁸-x⁶⁷+2x⁶⁶+2x⁶⁵+x⁶⁴-x⁶³-x⁶²-x⁶¹-x⁶⁰-x⁵⁹
 +2x⁵⁸+5x⁵⁷+3x⁵⁶-2x⁵⁵-10x⁵⁴-3x⁵³-2x⁵²+6x⁵¹+6x⁵⁰+x⁴⁹+9x⁴⁸-3x⁴⁷
 -7x⁴⁶-8x⁴⁵-8x⁴⁴+10x⁴³+6x⁴²+8x⁴¹-5x⁴⁰-12x³⁹+7x³⁸-7x³⁷+7x³⁶+x³⁵
 -3x³⁴+10x³³+x³²-6x³¹-2x³⁰-10x²⁹-3x²⁸+2x²⁷+9x²⁶-3x²⁵+14x²⁴-8x²³
 -7x²¹+9x²⁰+3x¹⁹-4x¹⁸-10x¹⁷-7x¹⁶+12x¹⁵+7x¹⁴+2x¹³-12x¹²-4x¹¹
 -2x¹⁰+5x⁹+x⁷-7x⁶+7x⁵-4x⁴+12x³-6x²+3x-6 = 0.

Ecco una rappresentazione sul piano complesso di tutte le 71 soluzioni del precedente polinomio: si vede che tre di esse sono reali, e una sola positiva: quella è λ, detta anche costante di Conway.

Rimane un'ultima questione: se prendo una generica stringa e la faccio decadere, posso aspettarmi di trovare tutti i 92 elementi distribuiti con la stessa frequenza?

Naturalmente la risposta è no: alcuni elementi sono più rari, altri più comuni: basta osservare la tabella del decadimento per notare che alcuni elementi compaiono con maggiore frequenza. Ecco qua la lista di tutti gli elementi con le loro frequenze relative:

1   91790.38321598
 2    3237.29685875
 3    4220.06659818
 4    2263.88603245
 5    2951.15037158
 6    3847.05254190
 7    5014.93024640
 8    6537.34907500
 9    8521.93965391
10   11109.00682092
11   14481.44877330
12   18850.44122748
13   24573.00669542
14   32032.81295997
15   14895.88665819
16   19417.93924972
17   25312.78421743
18   32997.17012181
19   43014.36091325
20   56072.54312854
21    9302.09744434
22   12126.00278278
23   15807.18159188
24   20605.88261067
25   26861.36017966
26   35015.85854555
27   45645.87725570
28   13871.12419974
29   18082.08220273
30   23571.39133629
31    1447.89056423
32    1887.43722758
33      27.24621608
34      35.51754794
35      46.29986815
36      60.35545568
37      78.67800009
38     102.56285249
39     133.69860315
40     174.28645997
41     227.19586752
42     296.16736852
43     386.07704943
44     328.99480576
45     428.87015042
46     559.06537945
47     728.78492056
48     950.02745645
49    1238.43419719
50    1614.39466866
51    2104.48819331
52    2743.36297175
53    3576.18561068
54    4661.83427193
55    6077.06118890
56    7921.91882838
57   10326.83331181
58   13461.82516638
59   17548.52928660
60   22875.86388300
61   29820.45616740
62   15408.11518153
63   20085.66870930
64   21662.97282106
65   28239.35894924
66   36812.18641833
67   47987.52943839
68    1098.59559973
69    1204.90838414
70    1570.69118084
71    2047.51732002
72    2669.09703633
73     242.07736666
74     315.56655252
75     169.28801808
76     220.68001229
77     287.67344775
78     375.00456739
79     488.84742983
80     637.25039755
81     830.70513293
82    1082.88832855
83    1411.62861001
84    1840.16696832
85    2398.79983113
86    3127.02093283
87    4076.31340783
88    5313.78949991
89    6926.93520451
90    7581.90471245
91    9883.59863913
92     102.56285249

E questo, almeno per ora, è tutto.



“Ma tutto questo, a che scopo?”.

“Bé, per amor di precisione”.

“Precisione?”.

“Certo, è brutto dire che conosciamo solo l'approssimazione di una certa costante...”.

“Brutto? Ma ti rendi conto? Un'equazione di settantunesimo grado per definire un numero? Che oltretutto serve per spiegare come funziona un giochino? Spero almeno che abbia qualche applicazione”.

“Naturalmente...”.

“Ah, meno male. E dove viene usata, tutta questa matematica?”.

“No, ehm, stavo dicendo naturalmente no”.

“Eh? Non serve a niente? E sette persone, per non parlare del computer con nome e cognome...”.

“Ha anche un secondo nome”.

“Eh?”.

“Il computer con nome e cognome si chiama Shalos B. Ekhad, ha anche un secondo nome...”.

“Roba da matti. Sette persone e un computer con nome, secondo nome e cognome, impiegano vent'anni per studiare come funziona un giochino, tentando di ridimostrare un teorema perduto e inutile scritto su foglietti volanti, oltretutto non riuscendoci completamente?”.

“Sì, hai riassunto bene la storia. Anche se i Veri Matematici non dicono mai che i loro teoremi non servono a niente. In verità, i teoremi servono per fare altri teoremi”.

“Voi siete matti”.