La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - fissione

1
11
21
1211
111221
...

Cosa viene dopo? Questa semplice domanda ci permette di dividere il mondo in tre categorie: quelli che rispondono “boh?”, quelli che ci pensano un po' e poi trovano la risposta, e i Veri Matematici.

Dunque, cosa viene dopo? Non è facile rispondere, perché... Beh, provateci un po', prima di continuare a leggere.

Trovata la soluzione? Il motivo per cui è difficile rispondere è dovuto al fatto che quelli che leggiamo non sono semplici numeri, ma sono descrizioni di numeri (metanumeri?). Ogni riga, infatti, descrive la precedente: cosa si legge nella prima riga, per esempio? Una cifra uno, cioè “un uno”, in numeri 11.

Cosa si legge nella seconda? Due cifre uno, cioè “due uno”, in numeri 21. Poi leggiamo un due e un uno, cioè 1211, e così via. Chi appartiene alla seconda categoria si ferma qui, ben felice di aver trovato la soluzione. Cosa fa invece un Vero Matematico? Certamente non si ferma alla soluzione del quesito: ora che ha scoperto cosa viene dopo, vuole capire come funziona la regola. E quindi comincia a domandarsi: posso prevedere come sarà la n-esima stringa? Come si evolvono le stringhe? Ma è un caso che compaiano solo le cifre 1, 2 e 3? Compare mai la cifra 4?

In sostanza, un Vero Matematico si domanda: posso ricavare una qualche regola?

Si dà il caso che in questo giochino di regole ce ne siano tante, e per nulla banali.

Per esempio: in che modo una stringa influenza la successiva? Dobbiamo valutare una sequenza di cifre nella sua globalità, per stabilire come sarà la successiva? La risposta è no: se sono valide certe condizioni possiamo spezzare una stringa in sottostringhe separate, e farle evolvere separatamente. Ecco qua le condizioni:


1) ...m][n..., se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3

Con questa simbologia vogliamo indicare che una stringa si spezza in corrispondenza delle due parentesi quadrate se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3: ciò significa che le due cifre m e n non si influenzano nella generazione della stringa successiva. Per esempio, osserviamo l'evoluzione seguente:

124.1
111214.11
31121114.21
1321123114.1211

tutto quello che avviene prima della cifra 4 non può modificare quello che avviene dopo: se noi prendiamo le due stringhe 124 e 1 e le facciamo evolvere separatamente, ottieniamo lo stesso risultato. Vediamo gli altri casi in cui le stringhe si spezzano:

2) ...2][1¹x¹...

Con questa simbologia vogliamo intendere che una stringa si spezza in due se un 2 è seguito da un singolo 1 e un'altra singola cifra diversa da 1

3) ...2][1³...

4) ...2][3¹x^≠3...

Qui, con una simbologia che il mio vecchio prof di meccanica razionale avrebbe definito sportiva, intendiamo che il 3 è seguito da un'altra cifra che può anche ripetersi, ma non per tre volte.

5) ...2][n¹...

6) ...≠2][2²1¹x¹...

Qui si intende che la cifra prima della parentesi quadra deve essere diversa da 2.

7) ...≠2][2²1³...

8) ...≠2][2²3¹x^≠3...

9) ...≠2][2²n^{0|1}...

Qua si intende che la cifra n o non c'è o è presente una sola volta.

Queste regole ci fanno capire un concetto fondamentale: è vero che la stringa da cui si parte aumenta di dimensione ad ogni passaggio, però essa è spezzabile in varie sottostringhe che possono essere studiate separatamente. Quindi la domanda che dovrebbe nascere spontanea è: esistono delle sottostringhe di base che generano tutto il resto, come se fossero una sorta di atomi, oppure no? Se sì, quante sono? Come sono fatte? Che proprietà hanno?

Vedremo prossimamente quali sono le risposte a queste domande, perché ora ne sorge una ancora più importante: che nome diamo a questo procedimento di costruzione di stringhe numeriche?

Il nome scelto dal Vero Matematico che ha studiato il tutto, Conway (sempre lui, sì), è il seguente: decadimento audioattivo.