Bookreview ha raccolto i cento migliori incipit di romanzi: la posizione numero 30 è occupata da
The sky above the port was the color of television, tuned to a dead channel.
Che probabilmente è l'unica frase di quel libro che merita di essere letta.
(via friendfeed)
domenica 31 maggio 2009
sabato 30 maggio 2009
Nidan
Per la serie gli esami non finiscono mai, da oggi posso fregiarmi del titolo di nidan.
Anche noi avevamo i debiti: con una materia insufficiente, ma la media almeno pari a sei, vieni promosso. Con due o tre materie insufficienti (ma sempre con la media del sei), sei rimandato.
Oggi ho compreso per bene l'importanza di uno scrutinio: perché non puoi rimandare un ragazzo con due cinque e mezzo, quando con un cinque e mezzo e un sei sarebbe stato promosso. Dagli quattro, se vuoi, ma abbi un minimo di decenza. Così lo prendi in giro: sarebbe come bocciare uno all'esame di stato con cinquantanove.
(No, io niente debiti, eh)
Anche noi avevamo i debiti: con una materia insufficiente, ma la media almeno pari a sei, vieni promosso. Con due o tre materie insufficienti (ma sempre con la media del sei), sei rimandato.
Oggi ho compreso per bene l'importanza di uno scrutinio: perché non puoi rimandare un ragazzo con due cinque e mezzo, quando con un cinque e mezzo e un sei sarebbe stato promosso. Dagli quattro, se vuoi, ma abbi un minimo di decenza. Così lo prendi in giro: sarebbe come bocciare uno all'esame di stato con cinquantanove.
(No, io niente debiti, eh)
giovedì 28 maggio 2009
L'ultima settimana di scuola
“Prof, ascolti, io ho due, tre e mezzo e quattro allo scritto. All'orale ho preso due e tre. Domani posso farmi interrogare per rimediare?”.
“Ehm. Proprio domani, che è l'ultima ora dell'anno? Perché non vieni oggi che abbiamo due ore?”.
“Eh, no, prof, devo ripassare. Facciamo domani?”.
“Prof, domani vorrei venire anche io a farmi interrogare”.
“Anche io!”.
“Ehi, anche io!”.
“C'eravamo prima noi due!”.
“Io mi sono prenotato la settimana scorsa!”.
“Noi cinque volevamo venire fuori ora, possiamo?”.
“Ehm. Proprio domani, che è l'ultima ora dell'anno? Perché non vieni oggi che abbiamo due ore?”.
“Eh, no, prof, devo ripassare. Facciamo domani?”.
“Prof, domani vorrei venire anche io a farmi interrogare”.
“Anche io!”.
“Ehi, anche io!”.
“C'eravamo prima noi due!”.
“Io mi sono prenotato la settimana scorsa!”.
“Noi cinque volevamo venire fuori ora, possiamo?”.
martedì 12 maggio 2009
La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - la costante di Conway
Il decadimento audioattivo è analogo alla compressione RLE, usata ad esempio nei fax. L'idea alla base di questo tipo di compressione senza perdita di informazioni è questa: invece di memorizzare n byte tutti uguali, memorizzo n e un solo byte. In pratica un pezzo di immagine tutta bianca, che verrebbe memorizzata come BBBBBBBBBB, una volta compressa diventerebbe 10B.
Non è un sistema molto efficiente, tant'è che nel decadimento audioattivo la stringa che decade pian piano aumenta la sua dimensione. Magari qualche volta la lunghezza potrà anche diminuire, ma in media aumenterà. Ecco un esempio:
Bene, Conway ha studiato la crescita di una generica sequenza, scoprendo che l'n-esima stringa ha una lunghezza proporzionale a λn, dove λ è circa uguale a 1.303577.
Per essere più preciso, ha specificato che λ è l'unica soluzione positiva della seguente equazione:
x71-x69-2x68-x67+2x66+2x65+x64-x63-x62-x61-x60-x59
+2x58+5x57+3x56-2x55-10x54-3x53-2x52+6x51+6x50+x49+9x48-3x47
-7x46-8x45-8x44+10x43+6x42+8x41-5x40-12x39+7x38-7x37+7x36+x35
-3x34+10x33+x32-6x31-2x30-10x29-3x28+2x27+9x26-3x25+14x24-8x23
-7x21+9x20+3x19-4x18-10x17-7x16+12x15+7x14+2x13-12x12-4x11
-2x10+5x9+x7-7x6+7x5-4x4+12x3-6x2+3x-6 = 0.
Ecco una rappresentazione sul piano complesso di tutte le 71 soluzioni del precedente polinomio: si vede che tre di esse sono reali, e una sola positiva: quella è λ, detta anche costante di Conway.
Rimane un'ultima questione: se prendo una generica stringa e la faccio decadere, posso aspettarmi di trovare tutti i 92 elementi distribuiti con la stessa frequenza?
Naturalmente la risposta è no: alcuni elementi sono più rari, altri più comuni: basta osservare la tabella del decadimento per notare che alcuni elementi compaiono con maggiore frequenza. Ecco qua la lista di tutti gli elementi con le loro frequenze relative:
E questo, almeno per ora, è tutto.
“Ma tutto questo, a che scopo?”.
“Bé, per amor di precisione”.
“Precisione?”.
“Certo, è brutto dire che conosciamo solo l'approssimazione di una certa costante...”.
“Brutto? Ma ti rendi conto? Un'equazione di settantunesimo grado per definire un numero? Che oltretutto serve per spiegare come funziona un giochino? Spero almeno che abbia qualche applicazione”.
“Naturalmente...”.
“Ah, meno male. E dove viene usata, tutta questa matematica?”.
“No, ehm, stavo dicendo naturalmente no”.
“Eh? Non serve a niente? E sette persone, per non parlare del computer con nome e cognome...”.
“Ha anche un secondo nome”.
“Eh?”.
“Il computer con nome e cognome si chiama Shalos B. Ekhad, ha anche un secondo nome...”.
“Roba da matti. Sette persone e un computer con nome, secondo nome e cognome, impiegano vent'anni per studiare come funziona un giochino, tentando di ridimostrare un teorema perduto e inutile scritto su foglietti volanti, oltretutto non riuscendoci completamente?”.
“Sì, hai riassunto bene la storia. Anche se i Veri Matematici non dicono mai che i loro teoremi non servono a niente. In verità, i teoremi servono per fare altri teoremi”.
“Voi siete matti”.
Non è un sistema molto efficiente, tant'è che nel decadimento audioattivo la stringa che decade pian piano aumenta la sua dimensione. Magari qualche volta la lunghezza potrà anche diminuire, ma in media aumenterà. Ecco un esempio:
11111111 81 1811 111821 31181211 132118111221
Bene, Conway ha studiato la crescita di una generica sequenza, scoprendo che l'n-esima stringa ha una lunghezza proporzionale a λn, dove λ è circa uguale a 1.303577.
Per essere più preciso, ha specificato che λ è l'unica soluzione positiva della seguente equazione:
x71-x69-2x68-x67+2x66+2x65+x64-x63-x62-x61-x60-x59
+2x58+5x57+3x56-2x55-10x54-3x53-2x52+6x51+6x50+x49+9x48-3x47
-7x46-8x45-8x44+10x43+6x42+8x41-5x40-12x39+7x38-7x37+7x36+x35
-3x34+10x33+x32-6x31-2x30-10x29-3x28+2x27+9x26-3x25+14x24-8x23
-7x21+9x20+3x19-4x18-10x17-7x16+12x15+7x14+2x13-12x12-4x11
-2x10+5x9+x7-7x6+7x5-4x4+12x3-6x2+3x-6 = 0.
Ecco una rappresentazione sul piano complesso di tutte le 71 soluzioni del precedente polinomio: si vede che tre di esse sono reali, e una sola positiva: quella è λ, detta anche costante di Conway.
Rimane un'ultima questione: se prendo una generica stringa e la faccio decadere, posso aspettarmi di trovare tutti i 92 elementi distribuiti con la stessa frequenza?
Naturalmente la risposta è no: alcuni elementi sono più rari, altri più comuni: basta osservare la tabella del decadimento per notare che alcuni elementi compaiono con maggiore frequenza. Ecco qua la lista di tutti gli elementi con le loro frequenze relative:
1 91790.38321598 2 3237.29685875 3 4220.06659818 4 2263.88603245 5 2951.15037158 6 3847.05254190 7 5014.93024640 8 6537.34907500 9 8521.93965391 10 11109.00682092 11 14481.44877330 12 18850.44122748 13 24573.00669542 14 32032.81295997 15 14895.88665819 16 19417.93924972 17 25312.78421743 18 32997.17012181 19 43014.36091325 20 56072.54312854 21 9302.09744434 22 12126.00278278 23 15807.18159188 24 20605.88261067 25 26861.36017966 26 35015.85854555 27 45645.87725570 28 13871.12419974 29 18082.08220273 30 23571.39133629 31 1447.89056423 32 1887.43722758 33 27.24621608 34 35.51754794 35 46.29986815 36 60.35545568 37 78.67800009 38 102.56285249 39 133.69860315 40 174.28645997 41 227.19586752 42 296.16736852 43 386.07704943 44 328.99480576 45 428.87015042 46 559.06537945 47 728.78492056 48 950.02745645 49 1238.43419719 50 1614.39466866 51 2104.48819331 52 2743.36297175 53 3576.18561068 54 4661.83427193 55 6077.06118890 56 7921.91882838 57 10326.83331181 58 13461.82516638 59 17548.52928660 60 22875.86388300 61 29820.45616740 62 15408.11518153 63 20085.66870930 64 21662.97282106 65 28239.35894924 66 36812.18641833 67 47987.52943839 68 1098.59559973 69 1204.90838414 70 1570.69118084 71 2047.51732002 72 2669.09703633 73 242.07736666 74 315.56655252 75 169.28801808 76 220.68001229 77 287.67344775 78 375.00456739 79 488.84742983 80 637.25039755 81 830.70513293 82 1082.88832855 83 1411.62861001 84 1840.16696832 85 2398.79983113 86 3127.02093283 87 4076.31340783 88 5313.78949991 89 6926.93520451 90 7581.90471245 91 9883.59863913 92 102.56285249
E questo, almeno per ora, è tutto.
“Ma tutto questo, a che scopo?”.
“Bé, per amor di precisione”.
“Precisione?”.
“Certo, è brutto dire che conosciamo solo l'approssimazione di una certa costante...”.
“Brutto? Ma ti rendi conto? Un'equazione di settantunesimo grado per definire un numero? Che oltretutto serve per spiegare come funziona un giochino? Spero almeno che abbia qualche applicazione”.
“Naturalmente...”.
“Ah, meno male. E dove viene usata, tutta questa matematica?”.
“No, ehm, stavo dicendo naturalmente no”.
“Eh? Non serve a niente? E sette persone, per non parlare del computer con nome e cognome...”.
“Ha anche un secondo nome”.
“Eh?”.
“Il computer con nome e cognome si chiama Shalos B. Ekhad, ha anche un secondo nome...”.
“Roba da matti. Sette persone e un computer con nome, secondo nome e cognome, impiegano vent'anni per studiare come funziona un giochino, tentando di ridimostrare un teorema perduto e inutile scritto su foglietti volanti, oltretutto non riuscendoci completamente?”.
“Sì, hai riassunto bene la storia. Anche se i Veri Matematici non dicono mai che i loro teoremi non servono a niente. In verità, i teoremi servono per fare altri teoremi”.
“Voi siete matti”.
lunedì 11 maggio 2009
La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - il teorema cosmologico
Abbiamo conosciuto le 92 stringhe atomiche del decadimento audioattivo. Ma che succede se prendiamo una stringa a caso e la facciamo decadere? Decaderà sicuramente, dopo un certo tempo, in sole stringhe atomiche?
Conway pubblicò nel 1986 i suoi studi riguardanti il gioco del decadimento audioattivo su Eureka, la rivista degli Archimedeans, cioè la società matematica dell'università di Cambridge; la maggior parte degli articoli è scritta da studenti (!), ma nell'elenco degli autori troviamo anche gente come Dirac, Erdős, Hofstadter, Stewart, per dire.
In quell'articolo Conway racconta di aver dimostrato, con la collaborazione di Richard Parker, che qualunque stringa arbitrariamente scelta decade in un composto di elementi comuni e transuranici — questa affermazione venne chiamata teorema cosmologico. La dimostrazione era scritta su foglietti e, purtroppo, è andata perduta.
In seguito Mike Guy calcolò il massimo numero di iterazioni necessarie per fare decadere una qualunque stringa, trovando il valore 24. Anche questa dimostrazione, però, è persa.
L'articolo di Conway conteneva una richiesta ai lettori: Can you find a proof in just a few pages? Please!
Nel 1997 uscì un articolo, scritto da Shalosh B. Ekhad e Doron Zeilberger, che conteneva la risposta: sì, la dimostrazione era stata trovata, ma richiedeva l'uso di un computer. Un uso pesante: dal sito degli autori si può scaricare un pacchetto che gira sotto Maple e, dopo un paio di settimane, produce il risultato (un paio di settimane del 1997 — sarei curioso di sapere quanto ci mette oggi, se qualcuno ha Maple può provarlo?).
La dimostrazione non era però perfetta: il programma dimostrava che il teorema cosmologico è vero, ma dava come massimo numero di iterazioni il valore di 29, più alto di quello trovato da Conway. Il fatto meraviglioso di questo lavoro, comunque, riguarda i due autori: Doron Zeilberger è un umano, ma Shalosh B. Ekhad è il suo computer. E risulta accreditato come autore.
Ma andiamo avanti: nel 2003 (con qualche correzione apportata poi nel 2006) R.A. Litherland provò a ridimostrare, utilizzando altre tecniche di programmazione, il teorema. Secondo l'autore il suo programma è simile, in spirito, alla dimostrazione perduta di Conway e Parker. Citando Conway, essa consisteva di “a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases”, casi che erano “handled on dozens of sheets of paper (now lost)”. Litherland ammette che, forse, la sua tecnica non è abbastanza sottile, perché comunque deve considerare 3360 casi distinti. Comunque è molto veloce, e in poco tempo fornisce la soluzione corretta, compreso il famoso valore di 24 iterazioni.
Ma le dimostrazioni fatte con l'ausilio del computer non sempre sono ben viste dai matematici, soprattutto quando non si è sicuri al di là di ogni ragionevole dubbio (cioè mai) che il software funzioni come si deve. Nel 2006, quindi, entra in scena un altro matematico, Kevin Watkins, che dimostra nuovamente il teorema cosmologico utilizzando il linguaggio Haskell; per me è totalmente incomprensibile, perché non è un linguaggio procedurale, comunque il codice è notevolmente più corto e, quindi, più facilmente controllabile.
E questo pone fine (almeno per ora) alla sequenza di dimostrazioni del teorema cosmologico di Conway: se la sua dimostrazione fatta su foglietti di carta era corretta, non è ancora stata trovata.
Rimane da chiarire un'ultima questione: è davvero 24 il valore minimo di iterazioni necessarie per far decadere qualunque stringa in elementi comuni? Sì, qua la risposta è certa: Conway trovò un controesempio, un composto che decade proprio in 24 iterazioni, da lui chiamato Methuselum (quale altro nome sarebbe stato altrettanto appropriato...?). Eccolo qua:
Guy ne trovò un altro, più efficiente perché più breve, che in seguito fu ulteriormente migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre. Dato che era più corto, lo chiamò Thuselum:
Per quanto riguarda il teorema cosmologico, non c'è altro da aggiungere. Ma lo studio non è finito qua: rimangono ancora alcune domande. Quanto sono frequenti gli elementi? Cioè, se una stringa scelta a caso decade, i vari elementi sono ugualmente distribuiti oppure possiamo aspettarci che qualcuno di essi sia più comune e qualcun altro più raro? E poi, come decade una stringa? Di quanto aumenta, se aumenta, la sua dimensione? Ma questa è un'altra storia, e si dovrà raccontare un'altra volta.
Conway pubblicò nel 1986 i suoi studi riguardanti il gioco del decadimento audioattivo su Eureka, la rivista degli Archimedeans, cioè la società matematica dell'università di Cambridge; la maggior parte degli articoli è scritta da studenti (!), ma nell'elenco degli autori troviamo anche gente come Dirac, Erdős, Hofstadter, Stewart, per dire.
In quell'articolo Conway racconta di aver dimostrato, con la collaborazione di Richard Parker, che qualunque stringa arbitrariamente scelta decade in un composto di elementi comuni e transuranici — questa affermazione venne chiamata teorema cosmologico. La dimostrazione era scritta su foglietti e, purtroppo, è andata perduta.
In seguito Mike Guy calcolò il massimo numero di iterazioni necessarie per fare decadere una qualunque stringa, trovando il valore 24. Anche questa dimostrazione, però, è persa.
L'articolo di Conway conteneva una richiesta ai lettori: Can you find a proof in just a few pages? Please!
Nel 1997 uscì un articolo, scritto da Shalosh B. Ekhad e Doron Zeilberger, che conteneva la risposta: sì, la dimostrazione era stata trovata, ma richiedeva l'uso di un computer. Un uso pesante: dal sito degli autori si può scaricare un pacchetto che gira sotto Maple e, dopo un paio di settimane, produce il risultato (un paio di settimane del 1997 — sarei curioso di sapere quanto ci mette oggi, se qualcuno ha Maple può provarlo?).
La dimostrazione non era però perfetta: il programma dimostrava che il teorema cosmologico è vero, ma dava come massimo numero di iterazioni il valore di 29, più alto di quello trovato da Conway. Il fatto meraviglioso di questo lavoro, comunque, riguarda i due autori: Doron Zeilberger è un umano, ma Shalosh B. Ekhad è il suo computer. E risulta accreditato come autore.
Ma andiamo avanti: nel 2003 (con qualche correzione apportata poi nel 2006) R.A. Litherland provò a ridimostrare, utilizzando altre tecniche di programmazione, il teorema. Secondo l'autore il suo programma è simile, in spirito, alla dimostrazione perduta di Conway e Parker. Citando Conway, essa consisteva di “a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases”, casi che erano “handled on dozens of sheets of paper (now lost)”. Litherland ammette che, forse, la sua tecnica non è abbastanza sottile, perché comunque deve considerare 3360 casi distinti. Comunque è molto veloce, e in poco tempo fornisce la soluzione corretta, compreso il famoso valore di 24 iterazioni.
Ma le dimostrazioni fatte con l'ausilio del computer non sempre sono ben viste dai matematici, soprattutto quando non si è sicuri al di là di ogni ragionevole dubbio (cioè mai) che il software funzioni come si deve. Nel 2006, quindi, entra in scena un altro matematico, Kevin Watkins, che dimostra nuovamente il teorema cosmologico utilizzando il linguaggio Haskell; per me è totalmente incomprensibile, perché non è un linguaggio procedurale, comunque il codice è notevolmente più corto e, quindi, più facilmente controllabile.
E questo pone fine (almeno per ora) alla sequenza di dimostrazioni del teorema cosmologico di Conway: se la sua dimostrazione fatta su foglietti di carta era corretta, non è ancora stata trovata.
Rimane da chiarire un'ultima questione: è davvero 24 il valore minimo di iterazioni necessarie per far decadere qualunque stringa in elementi comuni? Sì, qua la risposta è certa: Conway trovò un controesempio, un composto che decade proprio in 24 iterazioni, da lui chiamato Methuselum (quale altro nome sarebbe stato altrettanto appropriato...?). Eccolo qua:
0: 22333222112 1: 2233322112 2: 2233222112 3: 2223322112 4: 3223222112 5: 132213322112 6: 1113221123222112 7: 311322211213322112 8: 1321133221121123222112 9: La.H.123222112211213322112 10: 11121332212221121123222112 11: Sr.32211322112211213322112 12: 1322211322212221121123222112 13: 11133221133211322112211213322112 14: 3123222.Ca.Li 15: 1311121332 16: 11133112112.Zn 17: Zn.321122112 18: 131221222112 19: 1113112211322112 20: 311321222113222112 21: 1321131211322113322112 22: 111312211311122113222.Na 23: 3113112221133122211332 24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn
Guy ne trovò un altro, più efficiente perché più breve, che in seguito fu ulteriormente migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre. Dato che era più corto, lo chiamò Thuselum:
0: 333222112 1: 33322112 2: 33222112 3: 23322112 4: 1223222112 5: 112213322112 6: 21221123222112 7: 121122211213322112 8: 111.H.13221121123222112 9: 31.1113222112211213322112 10: 1311.311332212221121123222112 11: 111321.Pm.Ca.32211322112211213322112 12: 31131211.1322211322212221121123222112 13: 132113111221.11133221133211322112211213322112 14: 1113122113312211.3123222.Ca.Li 15: Er.Ca.Sb.1311121332 16: 11133112112.Zn 17: Zn.321122112 18: 131221222112 19: 1113112211322112 20: 311321222113222112 21: 1321131211322113322112 22: 111312211311122113222.Na 23: 3113112221133122211332 24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn
Per quanto riguarda il teorema cosmologico, non c'è altro da aggiungere. Ma lo studio non è finito qua: rimangono ancora alcune domande. Quanto sono frequenti gli elementi? Cioè, se una stringa scelta a caso decade, i vari elementi sono ugualmente distribuiti oppure possiamo aspettarci che qualcuno di essi sia più comune e qualcun altro più raro? E poi, come decade una stringa? Di quanto aumenta, se aumenta, la sua dimensione? Ma questa è un'altra storia, e si dovrà raccontare un'altra volta.
domenica 10 maggio 2009
È un duro lavoro
Un mio studente è arrivato primo nella sua categoria ai giochi matematici Kangourou, ed è stato ammesso alla finale. Mi tocca accompagnarlo, starò via da questa sera a martedì.
A Mirabilandia.
A Mirabilandia.
giovedì 7 maggio 2009
La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - gli elementi
Dunque una stringa decade, seguendo le regole del decadimento audioattivo, in una stringa più lunga ma spezzabile in tante parti separate, indipendenti. Esistono quindi delle stringhe indivisibili, atomiche?
Sì, effettivamente è così, esistono delle stringhe di base che non sono ulteriormente divisibili. Per esempio la stringa 22 è un atomo, ed è anche stabile, ovvero non decade. Il fatto meraviglioso è che di stringhe atomiche ce ne sono 92, tante quanti sono gli elementi chimici naturali (wikipedia dice che qualche elemento transuranico è stato rinvenuto anche in natura, ma non sottilizziamo). Data la forte analogia con la chimica, Conway ha deciso di chiamare ogni stringa atomica con il nome di un elemento chimico, partendo dall'Uranio e facendolo decadere fino all'Idrogeno.
Ecco la tabella con tutte le stringhe atomiche:
Dobbiamo leggerla in questo modo: l'Uranio decade nel Protoattinio, perché 3 diventa 13, il quale decade a sua volta nel Torio, perché 13 diventa 1113, e così via. Se in una stringa compaiono simboli di altri elementi, significa che la stringa precedente decade in più di un elemento: per esempio, la stringa del Samario (311332) decade in 13212312, che si spezza (secondo le regole già enunciate) in 132.12.312: 132 corrisponde al Promezio, 12 a Calcio e 312 a Zinco. L'ultimo elemento nella lista è l'Idrogeno (22), che è stabile. Il fatto che le stringhe più lunghe siano composte da 42 cifre non deve farvi prendere dal panico.
Come si vede, non compare mai la cifra 4, a meno che non la inseriamo noi all'inizio (infatti nulla vieta di fare partire il decadimento da una stringa contenente cifre maggiori di 3). Ma anche le stringe artificiali contenenti una cifra maggiore di 3 sono state previste e studiate da Conway: esse decadono in elementi naturali e in elementi chiamati transuranici. Questi ultimi costituiscono due diverse famiglie, quella del Plutonio, che corrisponde a
Pux = 31221132221222112112322211x
dove con x indichiamo una qualunque cifra maggiore di 3, e quella del Nettunio, l'elemento nel quale decade il Plutonio e che corrisponde a
Npx = 1311222113321132211221121332211x
A sua volta il Nettunio decade in elementi stabili e Plutonio — più precisamente, il Nettunio diventa Hf.Pa.H.Ca.Pux.
Ora la prossima domanda: abbiamo visto che se partiamo dall'Uranio (3) otteniamo tutti gli elementi, ma è così per qualunque stringa scritta a caso? È vero che ogni possibile stringa decade solo in questi elementi, prima o poi? (E quanto poi?)
Ma la storia della ricerca della risposta a questa domanda merita un post a parte...
Sì, effettivamente è così, esistono delle stringhe di base che non sono ulteriormente divisibili. Per esempio la stringa 22 è un atomo, ed è anche stabile, ovvero non decade. Il fatto meraviglioso è che di stringhe atomiche ce ne sono 92, tante quanti sono gli elementi chimici naturali (wikipedia dice che qualche elemento transuranico è stato rinvenuto anche in natura, ma non sottilizziamo). Data la forte analogia con la chimica, Conway ha deciso di chiamare ogni stringa atomica con il nome di un elemento chimico, partendo dall'Uranio e facendolo decadere fino all'Idrogeno.
Ecco la tabella con tutte le stringhe atomiche:
92 U 3 91 Pa 13 90 Th 1113 89 Ac 3113 88 Ra 132113 87 Fr 1113122113 86 Rn 311311222113 85 At Ho.1322113 84 Po 1113222113 83 Bi 3113322113 82 Pb Pm.123222113 81 Tl 111213322113 80 Hg 31121123222113 79 Au 132112211213322113 78 Pt 111312212221121123222113 77 Ir 3113112211322112211213322113 76 Os 1321132122211322212221121123222113 75 Re 111312211312113221133211322112211213322113 74 W Ge.Ca.312211322212221121123222113 73 Ta 13112221133211322112211213322113 72 Hf 11132.Pa.H.Ca.W 71 Lu 311312 70 Yb 1321131112 69 Tm 11131221133112 68 Er 311311222.Ca.Co 67 Ho 1321132.Pm 66 Dy 111312211312 65 Tb 3113112221131112 64 Gd Ho.13221133112 63 Eu 1113222.Ca.Co 62 Sm 311332 61 Pm 132.Ca.Zn 60 Nd 111312 59 Pr 31131112 58 Ce 1321133112 57 La 11131.H.Ca.Co 56 Ba 311311 55 Cs 13211321 54 Xe 11131221131211 53 I 311311222113111221 52 Te Ho.1322113312211 51 Sb Eu.Ca.3112221 50 Sn Pm.13211 49 In 11131221 48 Cd 3113112211 47 Ag 132113212221 46 Pd 111312211312113211 45 Rh 311311222113111221131221 44 Ru Ho.132211331222113112211 43 Tc Eu.Ca.311322113212221 42 Mo 13211322211312113211 41 Nb 1113122113322113111221131221 40 Zr Er.12322211331222113112211 39 Y 1112133.H.Ca.Tc 38 Sr 3112112.U 37 Rb 1321122112 36 Kr 11131221222112 35 Br 3113112211322112 34 Se 13211321222113222112 33 As 11131221131211322113322112 32 Ge 31131122211311122113222.Na 31 Ga Ho.13221133122211332 30 Zn Eu.Ca.Ac.H.Ca.312 29 Cu 131112 28 Ni 11133112 27 Co Zn.32112 26 Fe 13122112 25 Mn 111311222112 24 Cr 31132.Si 23 V 13211312 22 Ti 11131221131112 21 Sc 3113112221133112 20 Ca Ho.Pa.H.12.Co 19 K 1112 18 Ar 3112 17 Cl 132112 16 S 1113122112 15 P 311311222112 14 Si Ho.1322112 13 Al 1113222112 12 Mg 3113322112 11 Na Pm.123222112 10 Ne 111213322112 9 F 31121123222112 8 O 132112211213322112 7 N 111312212221121123222112 6 C 3113112211322112211213322112 5 B 1321132122211322212221121123222112 4 Be 111312211312113221133211322112211213322112 3 Li Ge.Ca.312211322212221121123222112 2 He 13112221133211322112211213322112 1 H Hf.Pa.22.Ca.Li
Dobbiamo leggerla in questo modo: l'Uranio decade nel Protoattinio, perché 3 diventa 13, il quale decade a sua volta nel Torio, perché 13 diventa 1113, e così via. Se in una stringa compaiono simboli di altri elementi, significa che la stringa precedente decade in più di un elemento: per esempio, la stringa del Samario (311332) decade in 13212312, che si spezza (secondo le regole già enunciate) in 132.12.312: 132 corrisponde al Promezio, 12 a Calcio e 312 a Zinco. L'ultimo elemento nella lista è l'Idrogeno (22), che è stabile. Il fatto che le stringhe più lunghe siano composte da 42 cifre non deve farvi prendere dal panico.
Come si vede, non compare mai la cifra 4, a meno che non la inseriamo noi all'inizio (infatti nulla vieta di fare partire il decadimento da una stringa contenente cifre maggiori di 3). Ma anche le stringe artificiali contenenti una cifra maggiore di 3 sono state previste e studiate da Conway: esse decadono in elementi naturali e in elementi chiamati transuranici. Questi ultimi costituiscono due diverse famiglie, quella del Plutonio, che corrisponde a
Pux = 31221132221222112112322211x
dove con x indichiamo una qualunque cifra maggiore di 3, e quella del Nettunio, l'elemento nel quale decade il Plutonio e che corrisponde a
Npx = 1311222113321132211221121332211x
A sua volta il Nettunio decade in elementi stabili e Plutonio — più precisamente, il Nettunio diventa Hf.Pa.H.Ca.Pux.
Ora la prossima domanda: abbiamo visto che se partiamo dall'Uranio (3) otteniamo tutti gli elementi, ma è così per qualunque stringa scritta a caso? È vero che ogni possibile stringa decade solo in questi elementi, prima o poi? (E quanto poi?)
Ma la storia della ricerca della risposta a questa domanda merita un post a parte...
martedì 5 maggio 2009
La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - fissione
1
11
21
1211
111221
...
Cosa viene dopo? Questa semplice domanda ci permette di dividere il mondo in tre categorie: quelli che rispondono “boh?”, quelli che ci pensano un po' e poi trovano la risposta, e i Veri Matematici.
Dunque, cosa viene dopo? Non è facile rispondere, perché... Beh, provateci un po', prima di continuare a leggere.
Trovata la soluzione? Il motivo per cui è difficile rispondere è dovuto al fatto che quelli che leggiamo non sono semplici numeri, ma sono descrizioni di numeri (metanumeri?). Ogni riga, infatti, descrive la precedente: cosa si legge nella prima riga, per esempio? Una cifra uno, cioè “un uno”, in numeri 11.
Cosa si legge nella seconda? Due cifre uno, cioè “due uno”, in numeri 21. Poi leggiamo un due e un uno, cioè 1211, e così via. Chi appartiene alla seconda categoria si ferma qui, ben felice di aver trovato la soluzione. Cosa fa invece un Vero Matematico? Certamente non si ferma alla soluzione del quesito: ora che ha scoperto cosa viene dopo, vuole capire come funziona la regola. E quindi comincia a domandarsi: posso prevedere come sarà la n-esima stringa? Come si evolvono le stringhe? Ma è un caso che compaiano solo le cifre 1, 2 e 3? Compare mai la cifra 4?
In sostanza, un Vero Matematico si domanda: posso ricavare una qualche regola?
Si dà il caso che in questo giochino di regole ce ne siano tante, e per nulla banali.
Per esempio: in che modo una stringa influenza la successiva? Dobbiamo valutare una sequenza di cifre nella sua globalità, per stabilire come sarà la successiva? La risposta è no: se sono valide certe condizioni possiamo spezzare una stringa in sottostringhe separate, e farle evolvere separatamente. Ecco qua le condizioni:
1) ...m][n..., se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3
Con questa simbologia vogliamo indicare che una stringa si spezza in corrispondenza delle due parentesi quadrate se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3: ciò significa che le due cifre m e n non si influenzano nella generazione della stringa successiva. Per esempio, osserviamo l'evoluzione seguente:
124.1
111214.11
31121114.21
1321123114.1211
tutto quello che avviene prima della cifra 4 non può modificare quello che avviene dopo: se noi prendiamo le due stringhe 124 e 1 e le facciamo evolvere separatamente, ottieniamo lo stesso risultato. Vediamo gli altri casi in cui le stringhe si spezzano:
2) ...2][11x1...
Con questa simbologia vogliamo intendere che una stringa si spezza in due se un 2 è seguito da un singolo 1 e un'altra singola cifra diversa da 1
3) ...2][13...
4) ...2][31x≠3...
Qui, con una simbologia che il mio vecchio prof di meccanica razionale avrebbe definito sportiva, intendiamo che il 3 è seguito da un'altra cifra che può anche ripetersi, ma non per tre volte.
5) ...2][n1...
6) ...≠2][2211x1...
Qui si intende che la cifra prima della parentesi quadra deve essere diversa da 2.
7) ...≠2][2213...
8) ...≠2][2231x≠3...
9) ...≠2][22n{0|1}...
Qua si intende che la cifra n o non c'è o è presente una sola volta.
Queste regole ci fanno capire un concetto fondamentale: è vero che la stringa da cui si parte aumenta di dimensione ad ogni passaggio, però essa è spezzabile in varie sottostringhe che possono essere studiate separatamente. Quindi la domanda che dovrebbe nascere spontanea è: esistono delle sottostringhe di base che generano tutto il resto, come se fossero una sorta di atomi, oppure no? Se sì, quante sono? Come sono fatte? Che proprietà hanno?
Vedremo prossimamente quali sono le risposte a queste domande, perché ora ne sorge una ancora più importante: che nome diamo a questo procedimento di costruzione di stringhe numeriche?
Il nome scelto dal Vero Matematico che ha studiato il tutto, Conway (sempre lui, sì), è il seguente: decadimento audioattivo.
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