Mi serve più antenna

“Un'altra dimostrazione senza parole?”.

“Già”.

“Qui, però, qualche parolina ci starebbe bene, eh?”.

“Forse hai ragione”.

“Quella disegnata lì è una parabola?”.

“Esatto. La figura evidenzia la definizione: la parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto e da una retta”.

“Ah, nella figura il punto è F e la retta è quella orizzontale che contiene A?”.

“Sì. Il punto si chiama fuoco, la retta invece direttrice”.

“Ok, quindi PF e PA sono uguali”.

“O, come dicono i Veri Matematici, congruenti. O isometrici”.

“Va bene. Cos'altro si vede in figura?”.

“Si vede un altro punto particolare della parabola, quello indicato con V, che si chiama vertice”.

“Bene, vedo. È quello che si trova sull'asse di simmetria, giusto?”.

“Giusto. Dato che anche V è un punto della parabola, allora VF e VB sono segmenti congruenti”.

“Poi vedo anche il segmento FA, è diviso a metà da M?”.

“Esatto, la retta VM divide a metà sia FB che FA, per il teorema di Talete”.

“Ok. Però c'è una cosa non chiara: come faccio a dire che PM è la tangente?”.

“Bene, ottima osservazione: in effetti non l'abbiamo mai detto. Si può ragionare in questo modo: il triangolo PFA è isoscele, giusto?”.

“Certo, l'abbiamo detto all'inizio: è la definizione di parabola”.

“Sappiamo anche che in un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice”.

“Vero. Quindi PM divide in due AF, è perpendicolare ancora ad AF, e in più divide in due l'angolo in P. Ah, ecco, vedo che i due angoli FPM e MPA sono segnati allo stesso modo”.

“Esatto. Ora, ragionamo sulla retta PM; questa divide il piano in due parti: una contiene punti che hanno distanza da F minore della loro distanza da A, l'altra contiene punti che hanno la proprietà opposta, cioè hanno distanza da A minore della distanza che essi hanno da F”.

“Uhm, va bene, credo di aver capito. Dovrebbe essere il modo che usano i Veri Matematici per dire che la retta PM divide il piano in due parti, i punti vicini a F e quelli vicini ad A”.

“Va bene, diciamo così. Ora, noterai che tutti i punti della parabola stanno dalla stessa parte”.

“Ehi, Vero Matematico! Quasi tutti i punti...”.

“Sì, hai ragione, tutti i punti tranne P stanno dalla stessa parte, quella dei punti vicini a F”.

“Bene”.

“Siamo sicuri?”.

“Eh?”.

“Siamo sicuri che non ci siano altri punti della parabola che stanno sulla retta PM?”.

“Uffa. Come faccio a saperlo? Ma dai, si vede!”.

“Eh, si vede è una risposta non accettabile... Lo sai, vero?”.

“Già. Quindi, come faccio?”.

“Prova. Immagina di prendere un altro punto della parabola, chiamalo Q”.

“Ok. Aspetta che faccio una figura”.

“Bene. Ora, Q si trova sulla parabola, quindi la sua distanza da F sarà uguale alla sua distanza dalla direttrice”.

“Cioè QF è uguale — anzi, congruente — a QQ'”.

“Sì. Dato che QQ' sarà sempre minore di QA, possiamo concludere che QF è minore di QA”.

“E quindi?”.

“E quindi Q sta nel semipiano dei punti vicini a F, e non può appartenere a PM”.

“Va bene, ma ancora non vedo la conclusione”.

“Ormai è semplice: hai immaginato di prendere un qualsiasi punto Q della parabola diverso da P, e hai concluso che Q non appartiene a PM”.

“E quindi?”.

“E quindi PM ha un solo punto in comune con la parabola”.

“Ah! Ho capito! Dato che PM ha un solo punto in comune con la parabola, è la tangente”.

“Proprio così. A questo punto la nostra dimostrazione senza parole ci dice qualcosa sugli angoli che hanno vertice P”.

“Uhm, vedo tre angoli congruenti”.

“Sì. Considera anche la linea tratteggiata, che è la perpendicolare alla tangente”.

“Si chiama anche normale, vero?”.

“Esatto. Immaginala come asse di simmetria”.

“Ah, vedo: i due angoli segnati in blu sono simmetrici rispetto alla normale”.

“Già. Immagina che la parabola sia uno specchio. Ti traduco quello che abbiamo dimostrato in linguaggio fisico: l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione”.

“Wow!”.

“Quindi ogni raggio parallelo all'asse della parabola viene riflesso nel fuoco”.

“Ma allora è per questo che mettiamo le parabole sul tetto per ricevere i segnali da satellite?”.

“Proprio così. Anche se quelle che mettiamo sul tetto non sono curve, ma sono superfici. In pratica si prende una parabola, la si fa ruotare intorno al suo asse, e si ottiene una specie di scodella che i Veri Matematici chiamano paraboloide ellittico”.

“E poi mettiamo il ricevitore nel fuoco?”.

“Sì”.

“A me però non sembra che il ricevitore delle antenne che stanno sui tetti sia proprio nel fuoco, mi sembra un po' fuori asse”.

“In realtà è il paraboloide che è tagliato storto: viene tagliato con un piano non perpendicolare all'asse in modo tale che il ricevitore non schermi una parte di superficie. Le antenne fatte così si chiamano antenne offset. In questo modo si può risparmiare sulle dimensioni del disco”.

“Anche se...”.

“Anche se?”.

“Se uno ha bisogno di un'antenna grande può usare questa”.