venerdì 13 aprile 2007

Origami

Ieri sono stato a un seminario all'università tenuto dal prof. Benedetto Scimemi, dell'università di Padova. Titolo: Algebra e geometria piegando la carta.

Ho invitato anche qualche studente (il seminario era stato programmato per il pomeriggio, ora in cui lo studente medio evita come la peste qualunque tipo di attività didattica): uno è venuto, e pare che si sia anche divertito.

Ho ascoltato il relatore con piacere, che ha parlato in modo garbato e piacevole, raccontando della sua esperienza in fatto di origami. Tutto è cominciato circa 25 anni fa quando un giapponese, tale Humiaki Huzita, si è presentato alla porta del suo ufficio con una dimostrazione impossibile. Il giapponese aveva trovato su una rivista un articolo che spiegava come fare per trisecare un angolo, ma questo è impossibile: il problema della trisezione dell'angolo è uno dei tre classici problemi dell'antichità che non si possono risolvere col solo utilizzo della riga e del compasso. La dimostrazione non è semplice, richiede di passare attraverso l'algebra e non era quindi alla portata degli antichi greci: infatti l'impossibilità di questa costruzione è stata dimostrata soltanto nel 1837.

Dunque nell'articolo trovato da Huzita doveva esserci per forza un errore, ma nessuno dei due riusciva a trovarlo. In effetti, non c'era nessun errore: le costruzioni fatte dall'autore dell'articolo non erano assimilabili a quelle fattibili con solo l'uso della riga e del compasso. E quindi, cambiando le regole del gioco, l'impossibile può diventare possibile...

Ebbene, quelle strane costruzioni erano assimilabili a operazioni che si possono compiere sulla carta, piegandola, sovrapponendo punti, facendo coincidere pieghe, e cose così. Huzita si appassionò al problema e cominciò a studiarlo in modo approfondito, tanto da creare un sistema assiomatico relativo alla piegatura della carta. Elaborò, assieme all'italiano Scimemi, sei assiomi dell'origami.

Eccoli qua:

  1. Dati due punti, esiste un'unica piega che passa per entrambi.
  2. Dati due punti, esiste un'unica piega che li fa sovrapporre.
  3. Date due rette, esiste una piega che le fa sovrapporre.
  4. Dati un punto e una retta, esiste un'unica piega perpendicolare alla retta data che passa per il punto.
  5. Dati due punti p1 e p2 e una retta, esiste una piega che porta p1 sulla retta data e che passa per p2.
  6. Dati due punti p1 e p2 e due rette l1 e l2, esiste una piega che fa sovrapporre p1 a l1 e p2 a l2.
La storia degli assiomi proseguirebbe: ne esiste un settimo, definito da Koshiro Hatori, che dice:

Dato un punto p e due rette l1 e l2, esiste una piega che porta p su l1 ed è perpendicolare a l2.

In seguito è stato dimostrato da Robert Lang che questo sistema di assiomi è completo.

Il racconto di Scimemi non è andato per questa strada, ma si è limitato alla storia dei primi sei assiomi e del suo amico giapponese Huzita.

Abbiamo fatto ricerche - ha raccontato Scimemi - e abbiamo scoperto che negli anni '30 una donna, Piazzolla Beloch, aveva già studiato queste cose, ma non era stata in grado di algebrizzare il sistema. Negli anni '30 l'algebra non era molto studiata (in applicazione alle costruzioni geometriche), ma lei era quasi riuscita a fare tutto [il riferimento: Piazzolla Beloch, M., Sulla risoluzione dei problemi di terzo e quarto grado col metodo del ripiegamento della carta, Scritti matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia (1936), 93-95].

Allora Huzita scrisse un articolo, che spiegava che mediante l'origami si possono risolvere problemi di terzo grado, tra cui anche quello della trisezione dell'angolo, e lo mandò all'American Mathematical Monthly, una rivista famosa di matematica. Ma era scritto molto male; poveretto, Huzita non parlava tanto bene l'italiano, ma l'inglese lo parlava ancora peggio. L'articolo non fu pubblicato, mentre venne pubblicata una column che, in fondo, citava il nome di Huzita, ma associandolo a una dimostrazione sbagliata. Anche loro erano caduti nel solito errore: il fatto che la trisezione dell'angolo sia impossibile mediante riga e compasso non significa che sia impossibile con altri mezzi.

Allora io scrissi una lettera di risposta, dicendo che Huzita si era spiegato male, che i suoi assiomi in realtà erano più potenti di quelli delle costruzioni con riga e compasso, e i signori dell'American Mathematical Monthly risposero che, sì, si erano sbagliati (scusate tanto), e che avrebbero pubblicato l'articolo una volta scritto in inglese più corretto. L'articolo fu rimesso a posto, ma non venne mai pubblicato.

Finalmente gli assiomi di Huzika vennero pubblicati negli atti di un convegno tenuto a Ferrara. Devo dire che quegli assiomi alla fine li ho scritti io - ha concluso Scimemi - ma sono ben contento che siano stati pubblicati col suo nome, se lo meritava.

10 commenti:

Ronkas ha detto...

Ottima relazione prof!

fre ha detto...

mah... e lei ovviamente fa l'origami in classe, vero prof?

professore ha detto...

Bè, no, in classe faccio solo i castelli con le carte da briscola...

fre ha detto...

che prontamente qualcuno distrugge...e le palline magiche?

.mau. ha detto...

Hai visto l'articolo sui Notices of the AMS di maggio?

professore ha detto...

No, ora guardo... (vedo una recensione di Project Origami, è quello?)

.mau. ha detto...

yup, è quello. Viene appunto detto che con gli assiomi origami è possibile duplicare il cubo e trisecare l'angolo... che sono sempre delle belle cose. Avessi tempo e voglia, dovrei parlare della costruibilità geometrica :-)

Ricciele ha detto...

Ciao, mi chiamo Elena e ho appena preso l'abilitazione per l'insegnamento in matematica.

Studiando avevo scoperto questa faccenda degli origami ma non l'ho approfondita, rimandando la cosa a dopo gli esami perchè avevo impegni molto pressanti. Volevo semplicemente procurarmi il libro di Scimemi sull'argomento ma il resoconto sulla conferenza è davvero interessante al punto che mi chiedo è possibile scoprire se farà altre conferenze sull'argomento, in futuro (magari a Roma?)

professore ha detto...

Proprio non saprei, ma se cerchi il suo nome sul sito dell'università di Padova puoi trovare la sua email o il suo telefono, e puoi provare a chiedere...

Marco ha detto...

Mooolto interessante, soprattutto la storia degli assiomi. Cosa non si può fare con un semplice foglio di carta! ☺