Trucchi matematici per le vostre serate mondane

Come elevare al quadrato un numero di due cifre

Ricordando il famoso prodotto notevole (a + b)² = a² + 2ab + b² (e cioè quadrato del primo più doppio prodotto del primo per il secondo più quadrato del secondo), si può elevare al quadrato a mente in questo modo:

• si calcola il quadrato della cifra delle unità, e si scrive la cifra delle unità del risultato (le decine vanno a riporto)
• si calcola il doppio prodotto della cifra delle unità per la cifra delle decine, si somma l'eventuale riporto, e si scrive la cifra delle unità alla sinistra della cifra scritta al punto precedente
• si calcola il quadrato della cifra delle decine, si somma l'eventuale riporto, e si scrive i risultato a sinistra delle due cifre scritte prima

Funziona perché un numero avente come cifra delle decine a e come cifra delle unità b può essere scritto come (10a + b) e quindi, elevandolo al quadrato, si ottiene:

(10a + b)² = 100a² + 20ab + b²,

da cui si deduce che la cifra delle unità è quella di b², quella delle decine è data da 2ab più l'eventuale riporto della cifra delle unità, e quella delle centinaia da a² più l'eventuale riporto della cifra delle decine.

Esempio, vogliamo calcolare il quadrato di 42:

• 2² = 4 — scrivo 4 e non riporto niente: 4
• 2·4·2 = 16 — scrivo 6 e riporto 1: 64
• 4² = 16, aggiungo il riporto: 16+1 = 17 — scrivo 17: 1764

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Come elevare al quadrato un numero che finisce per 5

Riprendendo quanto detto sopra, e notando che un numero che finisce per 5 può essere scritto come (10a + 5), con a eventualmente anche maggiore di 9, abbiamo che

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

da cui si deduce che i quadrati di tutti i numeri che finiscono per 5 hanno, come ultime due cifre, 25; le cifre più a sinistra (quindi centinaia, migliaia, eccetera) si ottengono moltiplicando a per a + 1. Quindi il procedimento è:

• si prende il numero ottenuto cancellando la cifra delle unità del numero dato e lo si moltiplica per il successivo, si scrive il risultato
• alla destra del risultato si scrive 25

Esempio, vogliamo calcolare il quadrato di 65:

• cancello il 5, rimane 6 — lo moltiplico per il successivo, cioè 7, ottengo 6·7 = 42 
• scrivo 25 a destra di 42: 4225.

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Come moltiplicare due numeri vicini tra loro.

Si può usare il prodotto notevole (a + b)(a − b) = a² − b² per calcolare il prodotto di due numeri p e q, se li si riesce a esprimere come somma e differenza di altri due numeri a e b (se sono vicini, la differenza a − b è un numero piccolo, e i calcoli risultano piu facili)

Esempio: calcolare il prodotto 41·43.

Si esprime 43 come 42 + 1 e 41 come 42 − 1, e quindi si calcola (42 + 1)(42 − 1) = 42² − 1² (il quadrato di 42 può essere calcolato con il metodo indicato sopra) =
1763.

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Come moltiplicare per 11

Il prodotto di un qualunque numero a per 11 può essere calcolato seguendo questo procedimento:

• si scrive la prima cifra
• si sommando le cifre consecutive di a a 2 a 2, tenendo conto dei riporti
• si scrive l'ultima cifra.

Esempio: calcolare 1489·11.

• si scrive la prima cifra: 1
• Si sommano le cifre a 2 a 2 (le scrivo separate da parentesi, che non indicano prodotti): 1(1+4)(4+8)(8+9)
• Si scrive l'ultima cifra: 1(1+4)(4+8)(8+9)9
• Si eseguono i calcoli tra parentesi: 1(5)(12)(17)9
• Andando da destra a sinistra, si scrive una sola cifra per raggruppamento e si tiene conto dei riporti: 1(5+1)(2+1)(7)9 = 16379

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(Questo post si aggiornerà se verranno suggeriti altri trucchi strabilianti (e se mi ricorderò di farlo)).