venerdì 24 aprile 2015

Non tutti gli angoli retti sono congruenti


A colori uguali corrispondono oggetti uguali. Dunque un angolo maggiore di un angolo retto è congruente a un angolo retto. Ehm.



Edit: siccome dal disegno non si capisce la costruzione, la esplicito qua, anche se non ho lettere sui vertici della figura.

Dato un rettangolo (quello coi lati blu e rossi in alto), ruotare di un certo angolo uno dei suoi lati (quello rosso in alto a destra). Costruire l'asse del lato lungo del rettangolo e l'asse del segmento arancione: si formano due triangoli isosceli (quello coi lati viola e quello coi lati verdi).

I due triangoli coi lati rosso, viola e verde risultano così congruenti.

16 commenti:

hronir ha detto...

uh?

zar ha detto...

I due triangoli coi lati rosso, viola e verde hanno i lati ordinatamente congruenti, e quindi l'angolo tra i lati viola e rosso è sempre uguale in entrambi. Quindi un angolo che contiene un angolo retto è retto. Ehm.

atlantropa ha detto...

Il segmento verde a dx è esterno al rettangolo (basta esasperare un po' la figura, ad esempio disegnando il rosso inclinato di destra sul prolungamento del blu), così l'"angolo uguale" di dx dei due triangoli verde-viola-rosso, vertice a parte, non interseca il rettangolo, e la dimostrazione è — fortunatamente — disinnescata.

Nico ha detto...

Ma com'è che i due segmenti verdi dovrebbero essere uguali? Se "tiro" l'angolo rosso-verde-arancio dalla sua posizione originale (come era nel lato sx), o il verde o il rosso devono cambiare dimensione, no? Non ho capito il paradosso :-(

hronir ha detto...

"I due triangoli coi lati rosso, viola e verde hanno i lati ordinatamente congruenti"

e da cosa si dedurrebbe ciò?
Sono davvero confuso: io vedo solo i segmenti viola come congruenti... immagino che ci sia un qualche ragionamento ingenuo/intuitivo/apparentemente-ovvio che lasci supporre uguali anche gli altri lati, per arrivare alla conclusione paradossale, ma non riesco a vederlo...

zar ha detto...

Ho editato il post provando a spiegare la costruzione (anche se non ho lettere sui vertici, spero si capisca. Si capisce?)

Nico ha detto...

Ok, ora ho capito il problema.
Forse non la soluzione, però :-)

A me la cosa che non "segue" da costruzione è che l'asse del segmento arancione debba intersecare il vertice in basso. Oppure, che il segmento grigio non sia un'altezza (ma solo una mediana) e quindi il triangolo non sia isoscele.

O invece segue?

zar ha detto...

No, sono entrambi assi, è tutto giusto :-)

atlantropa ha detto...

Nico, il punto in basso è l'intersezione dei due assi, l'azzurro è l'asse del blu, il grigio è l'asse dell'arancione; da dilettante direi grossolanamente che tale l'intersezione esiste, perchè altrimenti i due assi sarebbero paralleli, quindi sarebbero paralleli blu di sopra e arancio, che però hanno un punto in comune, quindi coinciderebbero; i triangoli li costruisci solo dopo unendo tale punto ai vertici della figura.

Professore, ma Euclide come avrebbe detto "ruotare di un certo angolo uno dei suoi lati (quello rosso in alto a destra)"?

PS-disclaimer: ho il sospetto che conoscessi già questo problema.

zar ha detto...

Euclide, uhm, bè, avrebbe detto di ruotare di un angolo qualsiasi (magari non troppo grande, facciamo minore di un angolo retto)?

Il problema l'ho conosciuto poco tempo fa, ma l'ho postato solo dopo aver trovato la soluzione :-)

atlantropa ha detto...

Sorry prof, per ora le do del lei, ed il soggetto sottinteso di conoscessi era io (ah, l'italiano!); intendevo dire che se ho trovato subito la soluzione (sempre ammesso sia corretta, ed in subordine espressa bene), forse è perchè in passato avevo già visto una costruzione simile.

zar ha detto...

Ah, OK :-)

Nico ha detto...

Ops, scusate ma sono duro. Ora ho capito la costruzione :/

Ma secondo me il lato verde a destra non dovrebbe intersecare quello blu. Anche per un angolo di rotazione piccolo l'intersezione degli assi sarà talmente "lontana" in basso (assi "quasi paralleli") che comunque il lato verde passa "fuori" dal rettangolo.
Quindi i due triangoli sono congruenti, ma quello di destra è ribaltato rispetto alla figura, e quindi non ribaltato rispetto a quello di sinistra. Non sono nemmeno sicuro sia vero, figuriamoci se lo so dimostrare.

atlantropa ha detto...

Bravo, ci sei, perchè ora che hai "fatto bene la figura" dimostrare l'"eguaglianza" di quei triangoli non ti interessa più, o quantomeno non porta più a quelle conseguenze disastrose che si temevano.

Nella figura qui sopra gli angoli retto (a sx) e un po' più che retto (a dx) erano pensati come resto della sottrazione da angoli uguali (i rosso-viola) di angoli uguali (i viola-blu); e queste eguaglianze tra angoli erano ottenute eguagliando triangoli di cui quegli angoli "facevano parte".

In ogni caso le singole dimostrazioni sono più semplici di quel che immagini.
Per "eguagliare" due triangoli (ossia almeno tutti i loro lati ed angoli) hai tre criteri: 1) LLL: fai vedere che sono uguali i tre lati; 2) LAL: fai vedere che sono uguali due lati e l'angolo compreso; 3) ALA: fai vedere che sono uguali uguali un lato e i due angoli adiacenti (o due qualunque, se disponi già del risultato che la somma dei tre angoli è un piatto).
L'asse di un segmento classicamente è la perpendicolare per il suo punto medio, quindi i due triangoli viola-azzurrino-mezzo(blu) o i due triangoli verde-grigio-mezzo(arancio) sono uguali per il criterio LAL (lato in comune: quello sottile giacente sull'asse; angolo retto; metà del segmento); l'uguaglianza della prima coppia di triangoli implica l'uguaglianza tra i due viola, e quella tra i due verdi — da un punto di vista moderno, ossia concependo l'asse come luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento, l'uguaglianza dei triangoli manco ti serve (in realtà perchè l'hai già usata implicitamente).
Una volta che sai che verde uguale a verde e viola uguale viola, essendo rosso uguale rosso "per costruzione", i due triangoli rosso-viola-verde saranno uguali per LLL, e dunque…

hronir ha detto...


Grazie, l'edit del post ha chiarito il senso della costruzione e del paradosso.
Sposo la soluzione di Altlantropa: di più, direi che la dimostrazione, ineccepibile, che i tre lati colorati sono uguali, è da considerarsi la dimostrazione che il lato verde di destra deve esterno al rettangolo: se così non fosse, per assurdo... "non tutti gli angoli retti sarebbero congruenti" :)

galliolus ha detto...

Bellissimo! Non ci ho capito niente finché non mi sono rassegnato a rifare da capo il disegno.