Erone in corsa

Uno dei quesiti assegnati quest'anno all'esame di stato agli studenti del liceo scientifico riguardava il problema di Erone, che ora enuncio dandogli un'ambientazione sportiva (ehm).

Si tratta di un problema di corsa, per cui il nostro protagonista sarà, ovviamente, il piè veloce Achille. Egli dovrà percorrere, nel minor tempo possibile, la distanza tra un punto A e un punto B, e dovrà anche toccare con una mano un qualunque punto del muro rettilineo che corre a fianco della zona in cui si svolgerà la prova.

Il problema è il seguente: dove dovrà essere posizionato il punto C in modo tale che Achille perda il minor tempo possibile?

Se C si trova troppo vicino ad A, ad esempio, spostandolo un po' verso B otteniamo due risultati: la lunghezza di CB diminuisce, e quella di AC aumenta. Il fatto è che la diminuzione e l'aumento non si compensano: AC varia meno rispetto a CB, dato che CB forma un angolo piccolo col muro, mentre AC ne forma uno più grande. Ecco un disegno:

La differenza tra AC e AD (ciò che perdiamo) è minore rispetto alla differenza tra CB e DB (ciò che guadagniamo), quindi D risulta una posizione migliore rispetto a C: se Achille tocca il muro in D, invece che in C, guadagna un po' di strada.

Se invece C si trova troppo vicino a B, il problema si ribalta (ma rimane un problema):

Quello che succede in questo caso è che la differenza tra AC e AD è maggiore di quella tra BD e BC. Anche in questo caso ad Achille conviene toccare il punto D invece del punto C.

Dunque, nel primo caso conviene spostare D verso l'alto, nel secondo caso invece conviene spostarlo verso il basso. Esisterà dunque un punto giusto in cui tutto è in equilibrio e non conviene più spostarsi.

Come facciamo a trovarlo?

Facciamolo alla Newton, o alla Leibniz — insomma, senza gli strumenti standard dell'analisi.

Il punto C ideale sarà un punto tale per cui, se mi sposto di una quantità infinitesima verso l'alto o verso il basso, non trovo convenienza. Questo succede quando ciò che perdo nella variazione di una delle due lunghezze è uguale a ciò che guadagno nella variazione dell'altra: quando, insomma, c'è equilibrio.

Ora, per visualizzare uno spostamento infinitesimo, abbiamo bisogno di una lente di ingrandimento molto potente. Supponiamo quindi di disporre di un microscopio capace di infiniti ingrandimenti, e andiamo a vedere come stanno le cose intorno a questo misterioso punto di equilibrio.

Ecco, cosa vediamo in questa figura? Ci sono due punti C₁ e C₂ che, non dimentichiamo, sono infinitamente vicini. Riusciamo a risolverli perché stiamo utilizzando un microscopio capace di ingrandire all'infinito. I due segmenti che congiungono questi punti con A ci appaiono infinitamente lunghi (e perciò sono delle semirette), e ci appaiono anche paralleli, dato che il punto A si trova a distanza infinita. Stessa cosa per le due semirette blu che sono parallele e convergenti in B (convergenze parallele, roba da matti).

Se la posizione di C è quella giusta (come, quale delle due? Vanno bene tutte e due, sono a distanza infinitesima…), allora il passare da C₁ a C₂ farà aumentare un po' la lunghezza del segmento rosso, e farà diminuire della stessa lunghezza il segmento blu. Vediamo di mettere in evidenza queste due differenze.

Ecco, la differenza tra AC₂ e AC₁ è uguale alla lunghezza del segmento HC₂, mentre la differenza tra BC₁ e BC₂ è pari alla lunghezza del segmento KC₁. E noi abbiamo detto che questi due segmenti devono avere la stessa lunghezza. Ma allora siamo di fronte a due triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa C₁C₂ e aventi anche due cateti di uguale misura: si tratta quindi di due triangoli rettangoli congruenti, e saranno congruenti anche i loro angoli acuti. In particolare, l'angolo che la semiretta rossa forma con il muro dovrà essere uguale all'angolo che la semiretta blu forma con il muro.

Il punto ideale, quello che farà perdere ad Achille la minor quantità di tempo possibile, sarà quel punto C del muro tale per cui AC e CB formano due angoli congruenti con il muro stesso.

Ed ecco fatto.


«Eppure, signor Achille, tutta questa fatica…».

«Ah, signorina Tartaruga, buonasera! Perché mi dice così?».

«Bé, perché ha fatto un sacco di calcoli, di figure, e poi ha usato dei concetti un po' strani».

«Dice?».

«Mah, parla di distanze infinitesime, di microscopi infiniti? Ma cosa sono questi infinitesimi? Mi paiono fantasmi di quantità defunte».

«Eh, ma allora come…».

«Ma proprio lei, un atleta, mi chiede come?».

«Mi scusi, ma cosa c'entra adesso il fatto che io sia un atleta?».

«So che voi atleti, nelle palestre, avete sempre degli specchi in cui ammirarvi, no?».

«In effetti».

«E, del resto, lei ha appena dimostrato, per così dire, che per correre il più veloce possibile dovrebbe arrivare verso il muro formando un angolo identico a quello che dovrà poi formare quando si dirigerà verso l'arrivo».

«Esattamente».

«Detto in altri termini, l'angolo di incidenza deve essere uguale all'angolo di riflessione».

«Ah, ma lei mi sta parlando del modo in cui gli specchi riflettono la luce».

«Proprio così. Se lei mettesse uno specchio sul muro, prima di partire per la corsa, avrebbe a disposizione un modo semplicissimo per trovare il suo famoso punto C».

«E quale sarebbe, questo modo?».

«Bé, le basterebbe dirigersi verso l'immagine riflessa del traguardo».

«Signorina Tartaruga, devo ammettere che lei è sempre un passo avanti rispetto a me».

«Signor Achille, lei ha la memoria corta: questo lo avevamo già stabilito ai tempi della nostra famosa corsa».