Perché proprio la radice di n?

Per completare il post precedente sulla legge dei grandi numeri e il gioco di testa o croce, ecco perché la differenza tra numero di teste e numero di croci varia come la radice del numero di lanci.

Indichiamo con T(n) il numero di teste dopo n lanci, e con C(n) il numero di croci. La differenza D(n) è naturalmente uguale a T(n)-C(n).

Ogni volta che n aumenta di 1, il valore di D(n) o aumenta di 1 oppure diminuisce di 1, cioè:

D(n+1) = D(n)+1 oppure D(n+1) = D(n)-1.

Elevando al quadrato, si ottiene

D(n+1)² = D(n)² + 1 ± 2D(n).

E qui mi sono piantato, perché mi avevano spiegato una cosa di cui non ero convinto, sono rimasto lì a rimuginarci sopra per un po' di tempo, fino a che non ho capito che mi ponevo la domanda sbagliata. Come si dice, spesso la risposta a una domanda è la stessa domanda formulata meglio.

Ecco come stanno le cose: dalla formula scritta sopra vorrei passare al valor medio di D. Questo significa che devo immaginare di fare tante sequenze di lanci (virtualmente tutte le sequenze di lanci) e calcolare la media dei termini presenti nell'uguaglianza scritta qua sopra. Io pensavo invece di fare la media al variare di n, sbagliando.

Se quindi facciamo la media su tutte le possibili sequenze di testa o croce, otteniamo che il valor medio di
D(n+1)² è uguale al valor medio di D(n)² + 1, perché il valor medio di D(n) è zero. Infatti, per ogni sequenza di teste e croci esiste la sequenza gemella ottenuta scambiando di posto le teste con le croci, e quindi per ogni D(n) positivo esiste un D(n) negativo che annulla la somma. Ragionando invece su una singola sequenza di lanci, è chiaro che non possiamo dire molto su D(n), ogni sequenza fa quello che vuole e avrà una media di D(n) diversa.

Ma allora, se il valor medio di D(n+1)² è uguale al valor medio di D(n)² + 1, questo significa che il valore medio del quadrato di D(n) aumenta ogni volta di 1, e dopo n lanci vale quindi esattamente n.

E dunque la radice del valore medio di D(n)², che si chiama scarto quadratico medio, è proprio la radice di n. Ecco fatto.

Concludo con un aneddoto finale: Enrico Fermi, dopo avere perso una partita a tennis a Los Alamos per 6-4 contro un matematico, gli disse che l'altro non poteva dire di avere vinto perché lo scarto era inferiore alla radice di n, con n = 6+4 = 10.