A volte i computer non ce la fanno — 2

Anche se noi pensiamo di utilizzare una calcolatrice con tanta memoria, o un computer che memorizza i numeri reali utilizzando molto spazio, potremmo sempre incappare in qualche problema.

Per esempio, consideriamo l'equazione seguente:

(x-1)(x-2)(x-3)…(x-19)(x-20) = 0.

Non è difficile capire che ha venti soluzioni, i numeri naturali da 1 a 20. Basta sostituirli per vedere che risulta sempre 0.

Se noi svolgiamo quelle 19 moltiplicazioni tra binomi, otteniamo questa espressione:

x²⁰ - 210x¹⁹ + 20615x¹⁸ - 1256850x¹⁷ + 53327946x¹⁶ -
1672280820x¹⁵ + 40171771630x¹⁴ - 756111184500x¹³ +
11310276995381x¹² - 135585182899530x¹¹ + 1307535010540395x¹⁰ -
10142299865511450x⁹ + 63030812099294896x⁸ -
311333643161390640x⁷ + 1206647803780373360x⁶ -
3599979517947607200x⁵ + 8037811822645051776x⁴ -
12870931245150988800x³ + 13803759753640704000x² -
8752948036761600000x + 2432902008176640000.

Un po' meno bella della precedente, ma è sempre lei.

Ora, supponiamo che un errore di approssimazione modifichi leggermente una delle cifre di questo lungo polinomio. Immaginiamo, ad esempio, che il computer che stiamo utilizzando abbia a disposizione 30 bit per memorizzare le cifre significative.

Diamo un'occhiata al coefficiente di x¹⁹, cioè -210; servono 8 bit per memorizzarlo, e ci rimangono così 22 bit per la parte decimale, che è tutta a zero.

Modifichiamo quel coefficiente di un'inezia: lo diminuiamo di 2^-23, un numero molto piccolo. Ora è diventato uguale a circa -210.0000001192: ci aspettiamo che le soluzioni dell'equazione così perturbata non siano molto diverse da quelle dell'equazione iniziale. Il nostro computer con 30 cifre significative, in effetti, non è in grado di distinguere tra -210 e -210-2^-23, perché questi due numeri sono diversi a partire dal trentunesimo bit. Per lui l'equazione perturbata e quella iniziale sono uguali.

Vediamo invece che succede: se nell'equazione perturbata sostituiamo 20 al posto di x, invece di ottenere 0 abbiamo la bellezza di −6.25×10¹⁷, un numero grandicello. Le venti soluzioni dell'equazione iniziale sono ora queste (approssimate alla quinta cifra dopo la virgola):

1.00000, 2.00000, 3.00000, 4.00000, 5.00000,
6.00001, 6.99970, 8.00727, 8.91725, 20.84691.

Se le contate, non sono venti, ma solo dieci! Le altre dieci spariscono (o diventano complesse coniugate, se ci mettiamo nei numeri complessi).

Dunque una piccola modifica in un coefficiente produce un errore gigantesco nelle soluzioni. E questo, per uno che si affida ai computer per risolvere le equazioni, è Male.

Si può pensare che sui polinomi non ci sia più nulla da scoprire, ma il comportamento imprevedibile di questo particolare polinomio è stato scoperto solo nel 1984, in un un articolo dal meraviglioso titolo The perfidious polynomial.

In cui Wilkinson, l'autore, scrive:

Speaking for myself I regard it as the most traumatic experience in my career as a numerical analyst.