Criteri di divisibilità (quasi) senza parole

Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2. E fin qua.

Complichiamo le cose con un disegnino. Scriviamo uno 0 e un 1, mettiamo un dito sullo 0, e cominciamo a contare da 0 al numero di cui vogliamo stabilire la divisibilità per 2, spostando il dito alternativamente sullo 0 e sull'1 che abbiamo scritto. Se finiamo la conta sullo 0, il numero è divisibile per 2, altrimenti non lo è.

Possiamo fare la stessa cosa per quanto riguarda la divisibilità per ogni numero: se vogliamo vedere se un numero è divisibile per 3, ad esempio, dobbiamo scrivere i numeri 0, 1 e 2 e contare, come se essi fossero collegati in maniera circolare, così:

Però, se il numero che stiamo studiando è molto grande, la faccenda diventa noiosa. Prendiamo un numero a caso, ad esempio 42. Se non vogliamo fare il giro dell'oca per 42 volte, possiamo scomporlo in decine e unità. Abbiamo 4 decine: dato che 3 decine sono certamente divisibili per 3, è come se avessimo una sola decina da considerare. E sappiamo che 10 è uguale a 9+1, quindi dopo aver contato per 40 passi dobbiamo finire sul numero 1. Poi aggiungiamo le 2 unità e arriviamo sullo 0: 42 è divisibile per 3. Bella forza.

La morale della storia è che invece di contare 42 volte si potrebbe contare solo 4 volte per le decine, 2 volte per le unità, e si ottiene il risultato corretto: il passaggio da decine a unità è come se non ci fosse. Ma perché succede questo? Funziona sempre così?

Proviamo ad analizzare quello che succede. Una decina, abbiamo detto, è uguale a 9+1, quindi fare 10 passi corrisponde a farne uno solo. Contare dunque le decine o le unità è la stessa cosa. Possiamo passare da decine a unità come se niente fosse, o anche da centinaia a decine, o da migliaia a centinaia, eccetera.

Vediamo che succede con 2 decine: dato che 20 è uguale a 18+2, contare 2 decine oppure contare 2 unità è uguale. Stessa cosa con 30: 30 è multiplo di 10 e quindi contare per 30 passi è come stare fermi sullo zero.

Potremmo allora generalizzare il nostro schema in questo modo: mettiamo il dito sullo 0, consideriamo la prima cifra del numero dato e cominciamo a contare. Ogni volta che cambiamo cifra (passando da decine a unità, o a centinaia a decine, o da migliaia a centinaia, eccetera) dobbiamo seguire una freccia rossa.

Ok, direte, è una cosa un po' inutile. È vero.

Proviamo a fare lo schema per il criterio di divisibilità per 4.

Qui le cose cambiano un po': 10, ad esempio, è uguale a 8+2, quindi se passiamo da una decina alle unità, dobbiamo saltare da 1 a 2. Invece 20 è un multiplo di 4, quindi quando passiamo da 2 decine alle unità, ripartiamo da 0. Infine, 30 è uguale a 28+2, quindi passando da 3 decine alle unità ripartiamo da 2.

La regola dunque è questa: conto sulle cifre nere, quando cambio posizione seguo una freccia rossa, poi ricomincio.

Ecco la divisibilità per 5 (questo è facile, le decine sono tutte divisibili per 5).

Il grafo per il criterio di divisibilità per 6 comincia a diventare interessante:

Ora arriviamo a un bel numero primo: 7

Tra l'altro, esiste un criterio di divisibilità per 7, ma è un po' complicato. Funziona in questo modo: dal numero dato si cancella l'ultima cifra e si sottrae dal risultato il doppio della cifra appena cancellata, e si va avanti così fino a che non si capisce se il numero ottenuto è multiplo di sette oppure no.

In formule:

x → x div 10 - 2(x mod 10)

Esempio: partiamo da 325 → 32 - 2×5 = 22, non divisibile per 7.
Altro esempio: partiamo da 294 → 29 - 2×4 = 21, divisibile per 7.

Esercizio: riuscite a dimostrare che il grafo della divisibilità per 7 è planare (cioè sta sul piano senza che vi siano intersezioni tra le varie frecce)? Qui la soluzione.

Dicono poi che il grafo per la divisibilità per 8 non sia planare, ma non conosco la dimostrazione. Comunque eccolo qua:

Ecco il 9:

(la prova del 9 ce la ricordiamo, no?).

Infine (saltando il grafo per il 10), ecco quello per la divisibilità per 11:

La disposizione dei numeri in queste figure è stata fatta da un programma, graphviz — io ho soltanto dovuto scrivere i vari collegamenti, ci ha pensato lui a dare una forma circolare al tutto. Se trovate dei modi migliori per rappresentare i vari criteri, fatemi sapere.

Ah, dimenticavo un ultimo grafo: