“Insomma, i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno sono meno di quello che mi aspettavo”.
“Sì, è vero, esistono molti modi diversi per descrivere lo stesso numero: il teorema di semplificazione ci aiuta molto”.
“E quindi, alla fine, quanti nuovi numeri ci saranno ogni giorno? Si riesce a capire?”.
“Sì, certo. Le cose stanno così; supponi che dopo un certo numero di giorni siano stati creati m numeri:”.
x1 < x2 < … < xm
“Ok. Il giorno dopo che succede?”.
“Il giorno dopo saranno creati questi numeri:”.
{|x1}, {x1|x2}, {xm-1|xm}, {xm|}.
“Ah. Ogni altra possibile combinazione è quindi uguale a una di queste?”.
“Sì, è il teorema di semplificazione che ce lo dice. Per esempio, {x1|x3} è uguale al numero più anziano compreso tra x1 e x3”.
“Che in questo caso è x2”.
“Sì, perché c'è solo lui. In altri casi più complicati bisogna proprio controllare l'anzianità dei numeri compresi, e scegliere il più vecchio”.
“Quindi il giorno 1 abbiamo un solo numero, lo zero. Il giorno 2 abbiamo lo 0, +1 e -1, il giorno 3 abbiamo 0, +1/2, +1, +2, -1/2, -1, -2”.
“E, in generale, il giorno n abbiamo 2n-1 numeri”.
“Ho capito. Ma i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno che forma hanno? C'è una legge che ci dice quali sono questi nuovi numeri?”.
“Sì. Ogni giorno vengono creati due nuovi numeri interi, che sono quelli che nella lista abbiamo indicato con {|x1} e {xm|}”.
“Bene, questi li avevo capiti. Per esempio, 1 = {0|}, 2 = {1|}, 3 = {2|}, e così via”.
“Esatto. Gli altri, quelli che genericamente abbiamo indicato con {xi-1|xi}, sono uguali alla media tra xi-1 e xi”.
“Ah, ecco come funziona! Quindi, per fare un esempio, {1/2|3/4} dovrebbe essere uguale a 5/8”.
“Proprio così. Riassumendo, ogni giorno vengono creati nuovi numeri interi e nuove frazioni il cui denominatore è una potenza di 2. Sono quelle che vengono chiamate frazioni diadiche”.
“Ma allora non vengono creati tutti i numeri reali. Anzi, non vengono creati nemmeno tutti i numeri razionali! Per esempio, il semplice 1/3 non fa parte di questa lista”.
“Esatto: i numeri reali non vengono creati dopo un tempo finito”.
venerdì 25 settembre 2009
sabato 19 settembre 2009
Un sistema infallibile per vincere al lotto
Signore e signori, sono qui a proporvi un metodo infallibile per vincere al lotto. Prendiamo la giocata meno rischiosa, quella che si chiama ambata: si tratta di indovinare un numero secco su una ruota. Dato che vengono estratti cinque numeri su novanta, la probabilità di vincere è 1/18.
Se noi giochiamo un euro, e indoviniamo, i signori del lotto ci pagano 11,23 euro lordi, dai quali vanno sottratte le trattenute del 6%: la vincita netta sarà di 10.56 euro. Il nostro guadagno sarà quindi pari a 9.56 euro.
Supponiamo di scegliere un numero, per esempio il 22, e una ruota, per esempio quella di Cagliari. Supponiamo anche di non vincere al primo colpo.
Allora usiamo questo trucchetto: alla successiva estrazione non giochiamo un euro soltanto, ma giochiamo 1 euro e 10 centesimi. Perché? Perché così la vincita sarà di circa 11.66 euro: in questo modo recuperiamo il primo euro giocato e perso, e guadagniamo ancora 9.56 euro. Si tratta solo di aspettare qualche giorno in più.
Cosa succede se non indoviniamo nemmeno la seconda estrazione? Bé, è facile, alla terza giochiamo 1.22 euro: la vincita sarà di circa 12,88 euro che ci ripaga delle prime due giocate e ci permette di guadagnare ancora i nostri 9.56 euro.
Ormai avete capito il metodo infallibile, no? Ogni volta aumentiamo un po' la giocata, in modo da recuperare i soldi persi nelle giocate precedenti. Dopo 18 volte la giocata sarà di soli 5.43 euro, che ci permetterà di vincere 57.3 euro (cioè tutte le 17 giocate precedenti che abbiamo perso, più i famosi 9,56 euro che volevamo vincere fin dall'inizio).
Come? Non è detto che il 22 esca sulla ruota di Cagliari ogni 18 estrazioni? Sì, è vero, in effetti è così: a volte i numeri ritardano un po'. Oh, mi accorgo solo adesso che il 22 è da un po' di tempo che non esce, e, guarda un po', proprio sulla ruota di Cagliari: non esce da 122 estrazioni. Sì, c'è da aspettare un po' di più, ma in fondo alla fine si vince sempre, no?
Volete sapere quanto si deve giocare la centoventiduesima settimana per vincere, recuperando tutte le giocate precedenti? Ecco, sono 169016.51 euro. Lo scrivo per esteso: centosessantavonemilasedici euro, e 51 centesimi. Quanti soldi sono stati giocati, in tutto? 1784804.81
Un milione e settecentoottantaquattromilaottocentoquattro euro, e 81 centesimi.
Però alla fine guadagniamo 9.56 euro, eh.
(P.S. Ho avuto molti dubbi riguardo la scrittura corretta di guadagniamo, ma pare che sia giusto così)
Se noi giochiamo un euro, e indoviniamo, i signori del lotto ci pagano 11,23 euro lordi, dai quali vanno sottratte le trattenute del 6%: la vincita netta sarà di 10.56 euro. Il nostro guadagno sarà quindi pari a 9.56 euro.
Supponiamo di scegliere un numero, per esempio il 22, e una ruota, per esempio quella di Cagliari. Supponiamo anche di non vincere al primo colpo.
Allora usiamo questo trucchetto: alla successiva estrazione non giochiamo un euro soltanto, ma giochiamo 1 euro e 10 centesimi. Perché? Perché così la vincita sarà di circa 11.66 euro: in questo modo recuperiamo il primo euro giocato e perso, e guadagniamo ancora 9.56 euro. Si tratta solo di aspettare qualche giorno in più.
Cosa succede se non indoviniamo nemmeno la seconda estrazione? Bé, è facile, alla terza giochiamo 1.22 euro: la vincita sarà di circa 12,88 euro che ci ripaga delle prime due giocate e ci permette di guadagnare ancora i nostri 9.56 euro.
Ormai avete capito il metodo infallibile, no? Ogni volta aumentiamo un po' la giocata, in modo da recuperare i soldi persi nelle giocate precedenti. Dopo 18 volte la giocata sarà di soli 5.43 euro, che ci permetterà di vincere 57.3 euro (cioè tutte le 17 giocate precedenti che abbiamo perso, più i famosi 9,56 euro che volevamo vincere fin dall'inizio).
Come? Non è detto che il 22 esca sulla ruota di Cagliari ogni 18 estrazioni? Sì, è vero, in effetti è così: a volte i numeri ritardano un po'. Oh, mi accorgo solo adesso che il 22 è da un po' di tempo che non esce, e, guarda un po', proprio sulla ruota di Cagliari: non esce da 122 estrazioni. Sì, c'è da aspettare un po' di più, ma in fondo alla fine si vince sempre, no?
Volete sapere quanto si deve giocare la centoventiduesima settimana per vincere, recuperando tutte le giocate precedenti? Ecco, sono 169016.51 euro. Lo scrivo per esteso: centosessantavonemilasedici euro, e 51 centesimi. Quanti soldi sono stati giocati, in tutto? 1784804.81
Un milione e settecentoottantaquattromilaottocentoquattro euro, e 81 centesimi.
Però alla fine guadagniamo 9.56 euro, eh.
(P.S. Ho avuto molti dubbi riguardo la scrittura corretta di guadagniamo, ma pare che sia giusto così)
domenica 13 settembre 2009
Sono già passati dieci anni
Esattamente dieci anni fa mandai questo messaggio a una lista di amici: riuscii a vedere il loro sguardo di compatimento attraverso il monitor.
Un minuto di silenzio per commemorare la più grande catastrofe che ha colpito la Terra da quando l'impatto con un meteorite ha causato l'estinzione dei dinosauri. Centinaia di persone disperse nello spazio, migliaia di morti sulla Terra, un intero continente radioattivo, non ci saranno più maree.
Addio, Luna.
sabato 12 settembre 2009
Monodialogo, ovvero: sottile è la linea che ci separa dalla follia
“Cosa fai?”.
“Preparo lo zaino”.
“Lo sai che nostra moglie ci ha detto che è meglio se non andiamo in montagna da soli”.
“Oh, senti, dobbiamo andare in montagna perché lei ha lasciato dell'insalata nel frigo?”.
“Sì”.
“E allora questo non ci consente di godere di punti-moglie illimitati, almeno per oggi?”.
“Mh, sarà. E allora perché non ci vestiamo con gli abiti che stai infilando dentro allo zaino, come se tu volessi tenerli nascosti?”.
“Perché non so bene cosa faremo: andiamo su, vuotiamo il frigo, poi vediamo che tempo fa”.
...
“Bene, ora che abbiamo disinnescato la bomba all'insalata, possiamo tornare a casa?”.
“A casa? Mi piacerebbe andare a vedere com'è il tempo al Lago Santo”.
“Come vuoi che sia? Il cielo è tutto nuvoloso, non potrà essere molto diverso da quello che c'è qui”.
“Vabbè, io vado a vedere lo stesso”.
“Non è che poi vuoi salire da qualche parte, vero? Vogliamo solo andare a vedere, no?”.
“Certamente”.
...
“Ecco, visto che nuvole? Non è proprio il caso di salire”.
“Forse è vero. Mettiamoci i vestiti da montagna”.
“E cosa ce ne facciamo?”.
“Qua ci sono molti alberi, non si vede bene il cielo; metti che dal lago vediamo che c'è bel tempo: possiamo fare un giretto”.
“Figurati”.
...
“Visto? Nuvole”.
“Vedo. Andiamo dentro al rifugio”.
“A far cosa?”.
“Non abbiamo da mangiare, io prenderei qualcosa. Un gelatino”.
“Va bene”.
...
“Andiamo?”.
“Aspetta che guardo la cartina”.
“Perché?”.
“Voglio chiedere un'informazione al rifugiaio: — Scusi? Per andare al passo Boccaia si prende il sentiero 529? Bene, grazie”.
“Non andiamo a casa, suppongo”.
“Dai, il passo Boccaia è vicino. Aspetta — Senta, cosa dicono le previsioni? Pioverà oggi? Solo se smette il vento? Bene, grazie”.
“Quindi?”.
“Senti che vento? Possiamo andare”.
...
“Ecco il passo Boccaia, bello, freddo, andiamo”.
“Andiamo”.
“No, ma, non di là”.
“Il Giovo è di là”.
“Andiamo sul Giovo?”.
“Mi piacerebbe”.
“Era la tua intenzione fin da quando siamo partiti, eh?”.
“Ehm”.
...
“Senti, quelle persone che abbiamo incrociato poco fa hanno detto che su c'è un vento fortissimo e gelido. Siamo sicuri di aver preso vestiti abbastanza pesanti?”.
“Direi di sì, mal che vada si torna giù”.
“Sì, figuriamoci. Saresti capace di salire anche con un costume da bagno. Ma non ti inquieta un po' salire da solo?”.
“Un po', sì. Ho sempre il terrore di incrociare un cinghiale”.
“Ma qui è alto, e c'è freddo, figuriamoci se ci sono cinghiali”.
“E se ce n'è uno? Che faccio? Mi ci vorrebbe la valigetta dei coltelli di Locke. Ma poi, non mi ci vedo mica tanto a usare un coltello contro a un cinghiale”.
“No, decisamente no. Soprattutto perché ci fanno paura persino le cavallette”.
“Bleah, le cavallette. Piuttosto un cinghiale”.
...
“Uno dei vantaggi a salire da soli è il silenzio. Che bello”.
“Appunto”.
“Ehm”.
...
“Il fatto che stiamo camminando inclinati non ci preoccupa?”.
“Ma no, il vento tiene lontana la pioggia, siamo tranquilli”.
“Freddino però”.
“Già. Eccoci al crinale finale”.
“E adesso? Da che parte andiamo? Dov'è la vetta?”.
“Ehm, non si vede bene”.
“Non si vede niente, siamo in mezzo alle nuvole”.
“Proviamo di qua”.
...
“Legge di Murphy?”.
“Esatto. Torniamo indietro, la vetta è dall'altra parte”.
...
“Secondo me il fatto che non ci sia nessuno quassù ha un qualche significato. Perché ce ne stiamo seduti qui, sotto la croce, con il vento che ci gela la schiena, invece di scendere?”.
“Perché è bello. Quando ci ricapiterà di essere completamente soli con i nostri pensieri?”.
“Ma cosa stai facendo?”.
“Attivo fring, tramite l'interfaccia per gtalk aggiorno il mio stato su pingdotfm che automaticamente aggiorna twitter e facebook”.
“Non parlavi di solitudine?”.
“Sì, bé, questo è per tranquillizzare nostra moglie, così sa dove siamo”.
“Tranquillizzare o fare inferocire?”.
“Bello questo silenzio, vero?”.
...
“Oh, adesso che siamo scesi un po' c'è meno freddo, si sta meglio”.
“Sì, il vento si è calmato un po'”.
“Oh-oh...”.
“Sta piovendo”.
“Per fortuna manca poco”.
“E abbiamo questo giacchino impermeabile”.
“Questa pioggia mi fa venire in mente quella volta alle elementari in cui ho scritto l'unico tema decente di tutta la mia carriera scolastica”.
“Eh, ricordo. Che tristezza la nostra capacità di scrivere”.
“Mai stati capaci”.
“Eppure, quel tema... Parlava della bellezza della pioggia”.
“Più precisamente, della bellezza di uscire di casa con l'ombrello quando piove”.
“Sì, l'ombrello è come uno scudo, che ti difende dal bagnato e ti consente di camminare tra la pioggia”.
“Che bello. E pensare che fino a che non abbiamo conosciuto nostra moglie pensavamo che fosse Male uscire senza ombrello”.
“E bagnarsi? Figuriamoci. Contro natura”.
“È stata lei a farci capire la bellezza di... faccio ancora fatica a dirlo... andare sotto la pioggia senza ombrello”.
“Ma tu guarda come corre la mente quando si è completamente soli”.
“Ormai siamo arrivati: là c'è il rifugio, c'è della gente, fine del giro”.
“Peccato”.
“Già”.
Bé, insomma, sono stato a fare un giretto in montagna, in una giornata non proprio consigliabile dal punto di vista meteorologico. Qui c'è qualche foto.
“Preparo lo zaino”.
“Lo sai che nostra moglie ci ha detto che è meglio se non andiamo in montagna da soli”.
“Oh, senti, dobbiamo andare in montagna perché lei ha lasciato dell'insalata nel frigo?”.
“Sì”.
“E allora questo non ci consente di godere di punti-moglie illimitati, almeno per oggi?”.
“Mh, sarà. E allora perché non ci vestiamo con gli abiti che stai infilando dentro allo zaino, come se tu volessi tenerli nascosti?”.
“Perché non so bene cosa faremo: andiamo su, vuotiamo il frigo, poi vediamo che tempo fa”.
...
“Bene, ora che abbiamo disinnescato la bomba all'insalata, possiamo tornare a casa?”.
“A casa? Mi piacerebbe andare a vedere com'è il tempo al Lago Santo”.
“Come vuoi che sia? Il cielo è tutto nuvoloso, non potrà essere molto diverso da quello che c'è qui”.
“Vabbè, io vado a vedere lo stesso”.
“Non è che poi vuoi salire da qualche parte, vero? Vogliamo solo andare a vedere, no?”.
“Certamente”.
...
“Ecco, visto che nuvole? Non è proprio il caso di salire”.
“Forse è vero. Mettiamoci i vestiti da montagna”.
“E cosa ce ne facciamo?”.
“Qua ci sono molti alberi, non si vede bene il cielo; metti che dal lago vediamo che c'è bel tempo: possiamo fare un giretto”.
“Figurati”.
...
“Visto? Nuvole”.
“Vedo. Andiamo dentro al rifugio”.
“A far cosa?”.
“Non abbiamo da mangiare, io prenderei qualcosa. Un gelatino”.
“Va bene”.
...
“Andiamo?”.
“Aspetta che guardo la cartina”.
“Perché?”.
“Voglio chiedere un'informazione al rifugiaio: — Scusi? Per andare al passo Boccaia si prende il sentiero 529? Bene, grazie”.
“Non andiamo a casa, suppongo”.
“Dai, il passo Boccaia è vicino. Aspetta — Senta, cosa dicono le previsioni? Pioverà oggi? Solo se smette il vento? Bene, grazie”.
“Quindi?”.
“Senti che vento? Possiamo andare”.
...
“Ecco il passo Boccaia, bello, freddo, andiamo”.
“Andiamo”.
“No, ma, non di là”.
“Il Giovo è di là”.
“Andiamo sul Giovo?”.
“Mi piacerebbe”.
“Era la tua intenzione fin da quando siamo partiti, eh?”.
“Ehm”.
...
“Senti, quelle persone che abbiamo incrociato poco fa hanno detto che su c'è un vento fortissimo e gelido. Siamo sicuri di aver preso vestiti abbastanza pesanti?”.
“Direi di sì, mal che vada si torna giù”.
“Sì, figuriamoci. Saresti capace di salire anche con un costume da bagno. Ma non ti inquieta un po' salire da solo?”.
“Un po', sì. Ho sempre il terrore di incrociare un cinghiale”.
“Ma qui è alto, e c'è freddo, figuriamoci se ci sono cinghiali”.
“E se ce n'è uno? Che faccio? Mi ci vorrebbe la valigetta dei coltelli di Locke. Ma poi, non mi ci vedo mica tanto a usare un coltello contro a un cinghiale”.
“No, decisamente no. Soprattutto perché ci fanno paura persino le cavallette”.
“Bleah, le cavallette. Piuttosto un cinghiale”.
...
“Uno dei vantaggi a salire da soli è il silenzio. Che bello”.
“Appunto”.
“Ehm”.
...
“Il fatto che stiamo camminando inclinati non ci preoccupa?”.
“Ma no, il vento tiene lontana la pioggia, siamo tranquilli”.
“Freddino però”.
“Già. Eccoci al crinale finale”.
“E adesso? Da che parte andiamo? Dov'è la vetta?”.
“Ehm, non si vede bene”.
“Non si vede niente, siamo in mezzo alle nuvole”.
“Proviamo di qua”.
...
“Legge di Murphy?”.
“Esatto. Torniamo indietro, la vetta è dall'altra parte”.
...
“Secondo me il fatto che non ci sia nessuno quassù ha un qualche significato. Perché ce ne stiamo seduti qui, sotto la croce, con il vento che ci gela la schiena, invece di scendere?”.
“Perché è bello. Quando ci ricapiterà di essere completamente soli con i nostri pensieri?”.
“Ma cosa stai facendo?”.
“Attivo fring, tramite l'interfaccia per gtalk aggiorno il mio stato su pingdotfm che automaticamente aggiorna twitter e facebook”.
“Non parlavi di solitudine?”.
“Sì, bé, questo è per tranquillizzare nostra moglie, così sa dove siamo”.
“Tranquillizzare o fare inferocire?”.
“Bello questo silenzio, vero?”.
...
“Oh, adesso che siamo scesi un po' c'è meno freddo, si sta meglio”.
“Sì, il vento si è calmato un po'”.
“Oh-oh...”.
“Sta piovendo”.
“Per fortuna manca poco”.
“E abbiamo questo giacchino impermeabile”.
“Questa pioggia mi fa venire in mente quella volta alle elementari in cui ho scritto l'unico tema decente di tutta la mia carriera scolastica”.
“Eh, ricordo. Che tristezza la nostra capacità di scrivere”.
“Mai stati capaci”.
“Eppure, quel tema... Parlava della bellezza della pioggia”.
“Più precisamente, della bellezza di uscire di casa con l'ombrello quando piove”.
“Sì, l'ombrello è come uno scudo, che ti difende dal bagnato e ti consente di camminare tra la pioggia”.
“Che bello. E pensare che fino a che non abbiamo conosciuto nostra moglie pensavamo che fosse Male uscire senza ombrello”.
“E bagnarsi? Figuriamoci. Contro natura”.
“È stata lei a farci capire la bellezza di... faccio ancora fatica a dirlo... andare sotto la pioggia senza ombrello”.
“Ma tu guarda come corre la mente quando si è completamente soli”.
“Ormai siamo arrivati: là c'è il rifugio, c'è della gente, fine del giro”.
“Peccato”.
“Già”.
Bé, insomma, sono stato a fare un giretto in montagna, in una giornata non proprio consigliabile dal punto di vista meteorologico. Qui c'è qualche foto.
sabato 5 settembre 2009
Su un particolare insieme numerico - simplicity theorem
“Tornato dalle vacanze?”.
“Eh, sì, perché?”.
“È da un po' che non parli di numeri surreali”.
“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.
“Anche se?”.
“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.
“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.
“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.
“Che sarebbe?”.
“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.
“Uh, quella mi piace”.
“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.
“Va bene, cosa semplifichiamo?”.
“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.
“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.
“Giusto, ma non basta”.
“Sarà 1+1/2?”.
“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.
“Ahia”.
“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.
“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.
“Perché?”.
“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.
“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.
“Perché usi l'inglese?”.
“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.
“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.
“Dice questo: se tu hai un numero x = {xL|xR} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra xL e xR, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.
“Chiamala semplicità...”.
“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.
“Dai, proviamo a capire allora”.
“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.
“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.
“O anche la tua proposta 1+1/2”.
“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.
“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.
“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.
“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.
“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.
“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.
“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.
“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.
“Uhh, comincio a capire...”.
“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.
“E se quel numero non esiste?”.
“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.
“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.
“Esatto. Prova a farlo”.
“Ecco qua:”.
{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2
“Perfetto: 7 numeri”.
“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.
“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.
“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.
“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.
“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.
“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che xR non sia minore o uguale di z (no, z è minore di xR per ipotesi) oppure zL non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ zL potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.
xL < x ≤ zL < z < xR.
“Eh, ehm, allora?”.
“E allora zL sarebbe compreso tra xL e xR, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.
“Bello”.
“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.
“Eh, sì, perché?”.
“È da un po' che non parli di numeri surreali”.
“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.
“Anche se?”.
“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.
“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.
“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.
“Che sarebbe?”.
“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.
“Uh, quella mi piace”.
“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.
“Va bene, cosa semplifichiamo?”.
“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.
“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.
“Giusto, ma non basta”.
“Sarà 1+1/2?”.
“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.
“Ahia”.
“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.
“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.
“Perché?”.
“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.
“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.
“Perché usi l'inglese?”.
“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.
“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.
“Dice questo: se tu hai un numero x = {xL|xR} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra xL e xR, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.
“Chiamala semplicità...”.
“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.
“Dai, proviamo a capire allora”.
“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.
“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.
“O anche la tua proposta 1+1/2”.
“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.
“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.
“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.
“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.
“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.
“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.
“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.
“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.
“Uhh, comincio a capire...”.
“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.
“E se quel numero non esiste?”.
“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.
“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.
“Esatto. Prova a farlo”.
“Ecco qua:”.
{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2
“Perfetto: 7 numeri”.
“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.
“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.
“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.
“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.
“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.
“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che xR non sia minore o uguale di z (no, z è minore di xR per ipotesi) oppure zL non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ zL potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.
xL < x ≤ zL < z < xR.
“Eh, ehm, allora?”.
“E allora zL sarebbe compreso tra xL e xR, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.
“Bello”.
“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.
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