La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - il teorema cosmologico

Abbiamo conosciuto le 92 stringhe atomiche del decadimento audioattivo. Ma che succede se prendiamo una stringa a caso e la facciamo decadere? Decaderà sicuramente, dopo un certo tempo, in sole stringhe atomiche?

Conway pubblicò nel 1986 i suoi studi riguardanti il gioco del decadimento audioattivo su Eureka, la rivista degli Archimedeans, cioè la società matematica dell'università di Cambridge; la maggior parte degli articoli è scritta da studenti (!), ma nell'elenco degli autori troviamo anche gente come Dirac, Erdős, Hofstadter, Stewart, per dire.

In quell'articolo Conway racconta di aver dimostrato, con la collaborazione di Richard Parker, che qualunque stringa arbitrariamente scelta decade in un composto di elementi comuni e transuranici — questa affermazione venne chiamata teorema cosmologico. La dimostrazione era scritta su foglietti e, purtroppo, è andata perduta.

In seguito Mike Guy calcolò il massimo numero di iterazioni necessarie per fare decadere una qualunque stringa, trovando il valore 24. Anche questa dimostrazione, però, è persa.

L'articolo di Conway conteneva una richiesta ai lettori: Can you find a proof in just a few pages? Please!

Nel 1997 uscì un articolo, scritto da Shalosh B. Ekhad e Doron Zeilberger, che conteneva la risposta: sì, la dimostrazione era stata trovata, ma richiedeva l'uso di un computer. Un uso pesante: dal sito degli autori si può scaricare un pacchetto che gira sotto Maple e, dopo un paio di settimane, produce il risultato (un paio di settimane del 1997 — sarei curioso di sapere quanto ci mette oggi, se qualcuno ha Maple può provarlo?).

La dimostrazione non era però perfetta: il programma dimostrava che il teorema cosmologico è vero, ma dava come massimo numero di iterazioni il valore di 29, più alto di quello trovato da Conway. Il fatto meraviglioso di questo lavoro, comunque, riguarda i due autori: Doron Zeilberger è un umano, ma Shalosh B. Ekhad è il suo computer. E risulta accreditato come autore.

Ma andiamo avanti: nel 2003 (con qualche correzione apportata poi nel 2006) R.A. Litherland provò a ridimostrare, utilizzando altre tecniche di programmazione, il teorema. Secondo l'autore il suo programma è simile, in spirito, alla dimostrazione perduta di Conway e Parker. Citando Conway, essa consisteva di “a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases”, casi che erano “handled on dozens of sheets of paper (now lost)”. Litherland ammette che, forse, la sua tecnica non è abbastanza sottile, perché comunque deve considerare 3360 casi distinti. Comunque è molto veloce, e in poco tempo fornisce la soluzione corretta, compreso il famoso valore di 24 iterazioni.

Ma le dimostrazioni fatte con l'ausilio del computer non sempre sono ben viste dai matematici, soprattutto quando non si è sicuri al di là di ogni ragionevole dubbio (cioè mai) che il software funzioni come si deve. Nel 2006, quindi, entra in scena un altro matematico, Kevin Watkins, che dimostra nuovamente il teorema cosmologico utilizzando il linguaggio Haskell; per me è totalmente incomprensibile, perché non è un linguaggio procedurale, comunque il codice è notevolmente più corto e, quindi, più facilmente controllabile.

E questo pone fine (almeno per ora) alla sequenza di dimostrazioni del teorema cosmologico di Conway: se la sua dimostrazione fatta su foglietti di carta era corretta, non è ancora stata trovata.

Rimane da chiarire un'ultima questione: è davvero 24 il valore minimo di iterazioni necessarie per far decadere qualunque stringa in elementi comuni? Sì, qua la risposta è certa: Conway trovò un controesempio, un composto che decade proprio in 24 iterazioni, da lui chiamato Methuselum (quale altro nome sarebbe stato altrettanto appropriato...?). Eccolo qua:

0: 22333222112
 1: 2233322112
 2: 2233222112
 3: 2223322112
 4: 3223222112
 5: 132213322112
 6: 1113221123222112
 7: 311322211213322112
 8: 1321133221121123222112
 9: La.H.123222112211213322112
10: 11121332212221121123222112
11: Sr.32211322112211213322112
12: 1322211322212221121123222112
13: 11133221133211322112211213322112
14: 3123222.Ca.Li
15: 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Guy ne trovò un altro, più efficiente perché più breve, che in seguito fu ulteriormente migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre. Dato che era più corto, lo chiamò Thuselum:

0: 333222112
 1: 33322112
 2: 33222112
 3: 23322112
 4: 1223222112
 5: 112213322112
 6: 21221123222112
 7: 121122211213322112
 8: 111.H.13221121123222112
 9: 31.1113222112211213322112
10: 1311.311332212221121123222112
11: 111321.Pm.Ca.32211322112211213322112
12: 31131211.1322211322212221121123222112
13: 132113111221.11133221133211322112211213322112
14: 1113122113312211.3123222.Ca.Li
15: Er.Ca.Sb.1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Per quanto riguarda il teorema cosmologico, non c'è altro da aggiungere. Ma lo studio non è finito qua: rimangono ancora alcune domande. Quanto sono frequenti gli elementi? Cioè, se una stringa scelta a caso decade, i vari elementi sono ugualmente distribuiti oppure possiamo aspettarci che qualcuno di essi sia più comune e qualcun altro più raro? E poi, come decade una stringa? Di quanto aumenta, se aumenta, la sua dimensione? Ma questa è un'altra storia, e si dovrà raccontare un'altra volta.