Una vecchia pergamena, che descriveva il posto in cui era sepolto un tesoro di pirati su un'isola deserta, dava le seguenti istruzioni. Sull'isola ci sono solo due alberi, A e B, e i resti di una forca.
Partendo dalla forca contate il numero di passi necessari per raggiungere l'albero A camminando in linea retta. Arrivati all'albero, giratevi di 90 gradi a sinistra e procedete per lo stesso numero di passi. Nel punto in cui vi siete fermati piantate un bastone nel terreno.
Tornate ora alla forca e camminate in linea retta fino all'albero B contando i passi. Raggiunto l'albero, voltatevi di 90 gradi verso destra e procedete per lo stesso numero di passi, piantando un altro bastone nel punto in cui vi fermate. Scavate nel punto che si trova esattamente a metà strada tra i due bastoni e troverete il tesoro.
Un giovane, trovata la pergamena con queste istruzioni, affittò una barca e navigò fino all'isola. Non ebbe difficoltà a trovare i due alberi, ma con suo grande disappunto la forca era scomparsa e il tempo ne aveva fatto sparire ogni traccia. Non conoscendo la posizione della forca, non riuscì a trovare alcun modo per individuare il tesoro e se ne tornò a mani vuote.
Ah, se fosse stato un po' più pratico nel calcolo con i numeri complessi, sarebbe tornato a casa ricco!
(Poi vediamo anche le parole che servono per risolvere, eh)
(Se cliccate sulla forca, potete muoverla)
giovedì 11 dicembre 2014
mercoledì 12 novembre 2014
Matematica e gioco d'azzardo
Ebbene, sono diventato enciclopedico ho scritto, assieme a Spartaco Mencaroni — medico e personaggio più serio del sottoscritto — un e-book dal titolo Matematica e gioco d'azzardo.
L'intento è serio: abbiamo raccontato cosa succede in chi si fa prendere così tanto dal gioco da perdere la testa e trasformare il divertimento in malattia.
La matematica ci fa capire dove siano nascosti gli inganni che ci fanno credere di poter vincere anche quando le probabilità sono nettamente contro di noi. Perché, come diceva un saggio, non esistono cose come i pasti gratis, e nessun ente che gestisce il gioco d'azzardo ha mai proposto una scommessa equa.
Il libro fa parte della collana Altramatematica di 40k unofficial, e costa 1.99 euro. Guardatelo, via.
L'intento è serio: abbiamo raccontato cosa succede in chi si fa prendere così tanto dal gioco da perdere la testa e trasformare il divertimento in malattia.
La matematica ci fa capire dove siano nascosti gli inganni che ci fanno credere di poter vincere anche quando le probabilità sono nettamente contro di noi. Perché, come diceva un saggio, non esistono cose come i pasti gratis, e nessun ente che gestisce il gioco d'azzardo ha mai proposto una scommessa equa.
Il libro fa parte della collana Altramatematica di 40k unofficial, e costa 1.99 euro. Guardatelo, via.
martedì 4 novembre 2014
Perché il triangolo di Tartaglia funziona
“Tutti quanti abbiamo imparato a sviluppare il binomio di Newton col triangolo di Tartaglia, alle superiori…”.
“…”.
“Cosa c'è?”.
“Ma tutti quanti chi? Se mai l'abbiamo imparato, l'abbiamo dimenticato il giorno dopo”.
“Uff”.
“Che poi non serve a niente”.
“Ma cosa c'entra? Da quando in qua in matematica ci mettiamo a fare cose che servono? Noi facciamo cose che ci piacciono, se poi servono sarà un problema dei fisici, degli ingegneri, di quella gente là insomma”.
“Va bene, va bene, non proseguiamo con questo discorso, mi hai già spiegato varie volte il punto di vista dei Veri Matematici. Cos'è questo binomio di Newton? Perché io l'ho dimenticato davvero, eh”.
“Ah, immagino. Il binomio di Newton sarebbe questa espressione qua: (a + b)n”.
“Tutto qua? Ea cosa serve perché ne parliamo?”.
“Bé, ne parliamo perché il suo calcolo ci consente di sviluppare una tecnica che poi sarà utile…”.
“Ah-ha! Allora serve a qualcosa!”.
“La matematica è come il maiale, non si butta via niente: qualcuno studia una cosa perché gli interessa, e nel farlo può scoprire un sacco di altre cose interessanti. Oggi però mi interessava farti vedere perché una cosa che in prima superiore ci è stata presentata senza motivazioni chiare funziona”.
“Ammetto che sapere perché una cosa funziona è bello, sì”.
“Oh, bene. Allora, facciamo finta di non sapere niente e proviamo a calcolare lo sviluppo di quel binomio elevato a una generica potenza n”.
“Benissimo, fare finta di non sapere niente mi riesce molto facile”.
“Se uno dovesse calcolarsi tutta l'espressione, dovrebbe tradurla in questo modo: (a + b)(a + b)(a + b)…(a + b), che è un prodotto in cui la parentesi (a + b) compare n volte”.
“E fin qua mi sembra chiaro. Ma se il numero di parentesi è generico, come facciamo a fare i calcoli?”.
“Proprio questo è il punto. Allora, quel prodotto è composto di termini ottenuti scegliendo, per ogni parentesi, una delle due lettere a oppure b”.
“Mh. In che senso scegliendo?”.
“Quando fai il calcolo davvero, devi scrivere tutti i possibili prodotti che potresti ottenere prendendo a oppure b in ogni parentesi. Meglio se ti faccio vedere un esempio: quando devi calcolare (a + b)3, facendo finta di non ricordarti la regola…”.
“Come dicevo, questo mi riesce facilissimo”.
“Ecco, appunto. Allora è come se tu dovessi svolgere questo calcolo: (a + b)(a + b)(a + b). E come lo fai?”.
“E come lo faccio? Boh, moltiplico le prime due parentesi?”.
“Scegli l'ordine che vuoi, sono tutte uguali”.
“Ah, già. Bene, se moltiplico le prime due parentesi devo moltiplicare a per a, poi a per b, poi b per a, poi b per b”.
“Esattamente: ottieni tutti i possibili monomi composti da una lettera scelta nella prima parentesi, e una nella seconda. Cioè a2, ab, ba, b2”.
“Ma ab e ba sono uguali, no?”.
“Sì, e infatti il risultato è a2 + 2ab + b2”.
“Però devo ancora moltiplicare tutto per la terza parentesi (a + b)”.
“Sì, e per farlo devi moltiplicare tutto quello che hai ottenuto poco fa prima per a e poi per b, in modo da avere:”.
“Ok, comincio a capire. Però di termini a3 ne ho uno solo, mentre di termini a2b ne ho di più. Devo fare i conti?”.
“Non adesso: vorrei farli nel caso generale, quando hai n parentesi”.
“E come fai a fare il calcolo se non sai quanto vale n? Già con n = 3 mi sembra complicato…”.
“Tutto si basa su questa idea: devi scegliere una lettera tra a oppure b in ognuna delle parentesi. Quali combinazioni puoi avere? Quante sono quelle che si ripetono?”.
“Continua a sembrarmi difficile”.
“Vediamo il problema da un altro punto di vista: abbiamo detto che devi fare, per n volte, una scelta tra due”.
“Questo è chiaro, devo scegliere a oppure b”.
“Traduciamo questa idea in un problema diverso: devi muoverti in un labirinto, in cui ogni stanza ha due porte, una con un cartello che indica a e l'altra con un cartello che indica b”.
“Mh. E come è fatto questo labirinto?”.
“Così:”.
“Una scacchiera girata?”.
“E potenzialmente infinita. Naturalmente noi non andremo avanti all'infinito, ma ci fermeremo dopo n stanze. Si parte dall'alto e si può andare solo verso il basso. Diciamo che se scendi verso sinistra hai scelto la porta a, mentre se scendi verso destra hai scelto la porta b”.
“Ah, ok. E quindi cosa devo fare?”.
“Conti. Quante strade puoi scegliere per andare dalla casella in alto a quella con l'asterisco? Strade minime, eh, cioè senza andare avanti e indietro: puoi solo muoverti verso il basso”.
“Una sola”.
“Ok, quindi scriviamo un 1 in quella casella, per indicare che una sola strada porta lì. Metto un uno anche in quella simmetrica dall'altra parte, ok?”.
“Ok. Mi sembra tutto molto ovvio, ma vai avanti, sono sicuro che complicherai le cose molto velocemente”.
“Eh, adesso si tratta di andare avanti. Quante strade ti portano ora nella casella indicata con l'asterisco?”.
“Mi pare una, no? Devo sempre scendere scegliendo la sinistra, ho un solo modo per farlo”.
“Perfetto. E quanti modi invece per arrivare nella casella centrale, quella con la faccina?”.
“Ecco, boh? Cioè, sono due, ma mi chiedo come fare per calcolarlo quando scenderemo nelle righe di sotto”.
“Sì, il problema è scoprire il come, non il quanto. Ma non è difficile: nella casella in questione ci puoi solo arrivare dalle due caselle superiori, no?”.
“Certo, posso solo scendere andando dalla casella di sinistra verso destra, o da quella di destra verso sinistra”.
“E allora il numero di percorsi che puoi scegliere per arrivare in quella casella dipende solo dal numero di percorsi che potevi scegliere per arrivare nelle due caselle superiori”.
“Avevo un solo modo per arrivare nella casella che sta sopra a destra, un solo modo per arrivare in quella che sta sopra a sinistra, quindi adesso ho due modi!”.
“Semplicemente la somma dei modi per arrivare nelle due caselle superiori”.
“Ma allora è facile riempire le righe! Sotto avrò un solo modo per arrivare nella casella all'estrema sinistra…”.
“…che corrisponde alla scelta di a per tre volte”.
“Esatto. E anche nella casella simmetrica a destra posso mettere un 1, perché corrisponde alla scelta di tre volte b. Del resto queste caselle hanno solo una casella sopra di loro, quindi non devo sommare niente”.
“Molto bene. E per le altre due invece?”.
“Ci sono 3 modi per entrambe, dato che le caselle che stanno sopra di loro contengono un 1 e un 2”.
“Benissimo. Hai problemi a riempire le prossime righe?”.
“Direi proprio di no, eccone un po'”.
“Ottimo. Ora non dimentichiamo quello che stiamo facendo: ci stiamo muovendo in un labirinto e stiamo calcolando in quanti modi possiamo arrivare in ciascuna stanza, e però contemporaneamente stiamo anche risolvendo un problema algebrico, che è quello di contare quanti monomi del tipo arbs abbiamo nello sviluppo del binomio (a + b)n”.
“È vero, me lo stavo già dimenticando”.
“Ecco, appunto. Quindi la risposta è questa: il numero dei monomi che otterrai sarà dato dai coefficienti di un'opportuna riga di questa tabella”.
“Quale riga?”.
“Quella giusta!”.
“Ehm”.
“Quella che corrisponde alla potenza che stai calcolando, tenendo presente che la prima riga, quella con una sola casella, corrisponde a non scegliere niente, cioè alla potenza zero”.
“Ah, giusto, la prima scelta comincio a farla quando decido come scendere dalla prima alla seconda riga”.
“Esattamente. Quindi diciamo che numeriamo le righe di questa tabella a partire da 0, non da 1. E, per finire, mettiamo una cifra 1 anche nella casella più in alto, quella di partenza. Corrisponde alla potenza 0, che se evitiamo casi strani ci dà come risultato 1, appunto”.
“Oh, finalmente la tabella completa”.
“L'ultima riga che hai scritto, ad esempio, ci dice che ci sarà un solo monomio del tipo a5, mentre ce ne saranno 5 del tipo a4b,
“Quel 5 corrisponde ad aver scelto per 4 volte a e per una sola volta b, giusto. Ho capito!”.
“Molto bene. Andando avanti, avrai ancora 10 monomi del tipo a3b2, ancora 10 del tipo a2b3, 5 del tipo ab4, e infine uno solo del tipo b5”.
“Questa tabella avrà un nome, suppongo?”.
“Certo, per noi italiani è il triangolo di Tartaglia, per il resto del mondo è il triangolo di Pascal, tranne che per i cinesi, che lo conoscono come triangolo di Yanghui”.
“Che era un cinese che ha scoperto questo triangolo prima degli altri, immagino”.
“Già”.
“Come per gli spaghetti, insomma”.
“Come per gli spaghetti”.
Grazie a eslr, che sul socialino dell'amore mi ha aiutato un sacco a costruire le immagini. Se le avessi fatte a mano colorando pixel per pixel forse ci avrei messo meno tempo, ma volete mettere?
“…”.
“Cosa c'è?”.
“Ma tutti quanti chi? Se mai l'abbiamo imparato, l'abbiamo dimenticato il giorno dopo”.
“Uff”.
“Che poi non serve a niente”.
“Ma cosa c'entra? Da quando in qua in matematica ci mettiamo a fare cose che servono? Noi facciamo cose che ci piacciono, se poi servono sarà un problema dei fisici, degli ingegneri, di quella gente là insomma”.
“Va bene, va bene, non proseguiamo con questo discorso, mi hai già spiegato varie volte il punto di vista dei Veri Matematici. Cos'è questo binomio di Newton? Perché io l'ho dimenticato davvero, eh”.
“Ah, immagino. Il binomio di Newton sarebbe questa espressione qua: (a + b)n”.
“Tutto qua? E
“Bé, ne parliamo perché il suo calcolo ci consente di sviluppare una tecnica che poi sarà utile…”.
“Ah-ha! Allora serve a qualcosa!”.
“La matematica è come il maiale, non si butta via niente: qualcuno studia una cosa perché gli interessa, e nel farlo può scoprire un sacco di altre cose interessanti. Oggi però mi interessava farti vedere perché una cosa che in prima superiore ci è stata presentata senza motivazioni chiare funziona”.
“Ammetto che sapere perché una cosa funziona è bello, sì”.
“Oh, bene. Allora, facciamo finta di non sapere niente e proviamo a calcolare lo sviluppo di quel binomio elevato a una generica potenza n”.
“Benissimo, fare finta di non sapere niente mi riesce molto facile”.
“Se uno dovesse calcolarsi tutta l'espressione, dovrebbe tradurla in questo modo: (a + b)(a + b)(a + b)…(a + b), che è un prodotto in cui la parentesi (a + b) compare n volte”.
“E fin qua mi sembra chiaro. Ma se il numero di parentesi è generico, come facciamo a fare i calcoli?”.
“Proprio questo è il punto. Allora, quel prodotto è composto di termini ottenuti scegliendo, per ogni parentesi, una delle due lettere a oppure b”.
“Mh. In che senso scegliendo?”.
“Quando fai il calcolo davvero, devi scrivere tutti i possibili prodotti che potresti ottenere prendendo a oppure b in ogni parentesi. Meglio se ti faccio vedere un esempio: quando devi calcolare (a + b)3, facendo finta di non ricordarti la regola…”.
“Come dicevo, questo mi riesce facilissimo”.
“Ecco, appunto. Allora è come se tu dovessi svolgere questo calcolo: (a + b)(a + b)(a + b). E come lo fai?”.
“E come lo faccio? Boh, moltiplico le prime due parentesi?”.
“Scegli l'ordine che vuoi, sono tutte uguali”.
“Ah, già. Bene, se moltiplico le prime due parentesi devo moltiplicare a per a, poi a per b, poi b per a, poi b per b”.
“Esattamente: ottieni tutti i possibili monomi composti da una lettera scelta nella prima parentesi, e una nella seconda. Cioè a2, ab, ba, b2”.
“Ma ab e ba sono uguali, no?”.
“Sì, e infatti il risultato è a2 + 2ab + b2”.
“Però devo ancora moltiplicare tutto per la terza parentesi (a + b)”.
“Sì, e per farlo devi moltiplicare tutto quello che hai ottenuto poco fa prima per a e poi per b, in modo da avere:”.
- a3 — ottenuto scegliendo a in tutte e tre le parentesi
- a2b — ottenuto scegliendo a in due parentesi e b in una
- ab2 — ottenuto scegliendo a in una parentesi e b in due
- b3 — ottenuto scegliendo b in tutte e tre le parentesi
“Ok, comincio a capire. Però di termini a3 ne ho uno solo, mentre di termini a2b ne ho di più. Devo fare i conti?”.
“Non adesso: vorrei farli nel caso generale, quando hai n parentesi”.
“E come fai a fare il calcolo se non sai quanto vale n? Già con n = 3 mi sembra complicato…”.
“Tutto si basa su questa idea: devi scegliere una lettera tra a oppure b in ognuna delle parentesi. Quali combinazioni puoi avere? Quante sono quelle che si ripetono?”.
“Continua a sembrarmi difficile”.
“Vediamo il problema da un altro punto di vista: abbiamo detto che devi fare, per n volte, una scelta tra due”.
“Questo è chiaro, devo scegliere a oppure b”.
“Traduciamo questa idea in un problema diverso: devi muoverti in un labirinto, in cui ogni stanza ha due porte, una con un cartello che indica a e l'altra con un cartello che indica b”.
“Mh. E come è fatto questo labirinto?”.
“Così:”.
“Una scacchiera girata?”.
“E potenzialmente infinita. Naturalmente noi non andremo avanti all'infinito, ma ci fermeremo dopo n stanze. Si parte dall'alto e si può andare solo verso il basso. Diciamo che se scendi verso sinistra hai scelto la porta a, mentre se scendi verso destra hai scelto la porta b”.
“Ah, ok. E quindi cosa devo fare?”.
“Conti. Quante strade puoi scegliere per andare dalla casella in alto a quella con l'asterisco? Strade minime, eh, cioè senza andare avanti e indietro: puoi solo muoverti verso il basso”.
“Una sola”.
“Ok, quindi scriviamo un 1 in quella casella, per indicare che una sola strada porta lì. Metto un uno anche in quella simmetrica dall'altra parte, ok?”.
“Ok. Mi sembra tutto molto ovvio, ma vai avanti, sono sicuro che complicherai le cose molto velocemente”.
“Eh, adesso si tratta di andare avanti. Quante strade ti portano ora nella casella indicata con l'asterisco?”.
“Mi pare una, no? Devo sempre scendere scegliendo la sinistra, ho un solo modo per farlo”.
“Perfetto. E quanti modi invece per arrivare nella casella centrale, quella con la faccina?”.
“Ecco, boh? Cioè, sono due, ma mi chiedo come fare per calcolarlo quando scenderemo nelle righe di sotto”.
“Sì, il problema è scoprire il come, non il quanto. Ma non è difficile: nella casella in questione ci puoi solo arrivare dalle due caselle superiori, no?”.
“Certo, posso solo scendere andando dalla casella di sinistra verso destra, o da quella di destra verso sinistra”.
“E allora il numero di percorsi che puoi scegliere per arrivare in quella casella dipende solo dal numero di percorsi che potevi scegliere per arrivare nelle due caselle superiori”.
“Avevo un solo modo per arrivare nella casella che sta sopra a destra, un solo modo per arrivare in quella che sta sopra a sinistra, quindi adesso ho due modi!”.
“Semplicemente la somma dei modi per arrivare nelle due caselle superiori”.
“Ma allora è facile riempire le righe! Sotto avrò un solo modo per arrivare nella casella all'estrema sinistra…”.
“…che corrisponde alla scelta di a per tre volte”.
“Esatto. E anche nella casella simmetrica a destra posso mettere un 1, perché corrisponde alla scelta di tre volte b. Del resto queste caselle hanno solo una casella sopra di loro, quindi non devo sommare niente”.
“Molto bene. E per le altre due invece?”.
“Ci sono 3 modi per entrambe, dato che le caselle che stanno sopra di loro contengono un 1 e un 2”.
“Benissimo. Hai problemi a riempire le prossime righe?”.
“Direi proprio di no, eccone un po'”.
“Ottimo. Ora non dimentichiamo quello che stiamo facendo: ci stiamo muovendo in un labirinto e stiamo calcolando in quanti modi possiamo arrivare in ciascuna stanza, e però contemporaneamente stiamo anche risolvendo un problema algebrico, che è quello di contare quanti monomi del tipo arbs abbiamo nello sviluppo del binomio (a + b)n”.
“È vero, me lo stavo già dimenticando”.
“Ecco, appunto. Quindi la risposta è questa: il numero dei monomi che otterrai sarà dato dai coefficienti di un'opportuna riga di questa tabella”.
“Quale riga?”.
“Quella giusta!”.
“Ehm”.
“Quella che corrisponde alla potenza che stai calcolando, tenendo presente che la prima riga, quella con una sola casella, corrisponde a non scegliere niente, cioè alla potenza zero”.
“Ah, giusto, la prima scelta comincio a farla quando decido come scendere dalla prima alla seconda riga”.
“Esattamente. Quindi diciamo che numeriamo le righe di questa tabella a partire da 0, non da 1. E, per finire, mettiamo una cifra 1 anche nella casella più in alto, quella di partenza. Corrisponde alla potenza 0, che se evitiamo casi strani ci dà come risultato 1, appunto”.
“Oh, finalmente la tabella completa”.
“L'ultima riga che hai scritto, ad esempio, ci dice che ci sarà un solo monomio del tipo a5, mentre ce ne saranno 5 del tipo a4b,
“Quel 5 corrisponde ad aver scelto per 4 volte a e per una sola volta b, giusto. Ho capito!”.
“Molto bene. Andando avanti, avrai ancora 10 monomi del tipo a3b2, ancora 10 del tipo a2b3, 5 del tipo ab4, e infine uno solo del tipo b5”.
“Questa tabella avrà un nome, suppongo?”.
“Certo, per noi italiani è il triangolo di Tartaglia, per il resto del mondo è il triangolo di Pascal, tranne che per i cinesi, che lo conoscono come triangolo di Yanghui”.
“Che era un cinese che ha scoperto questo triangolo prima degli altri, immagino”.
“Già”.
“Come per gli spaghetti, insomma”.
“Come per gli spaghetti”.
Grazie a eslr, che sul socialino dell'amore mi ha aiutato un sacco a costruire le immagini. Se le avessi fatte a mano colorando pixel per pixel forse ci avrei messo meno tempo, ma volete mettere?
giovedì 16 ottobre 2014
Ada Lovelace Day
Arrivo con un giorno di ritardo, ma ieri è stato l'Ada Lovelace Day, giornata dedicata alla celebrazione dei successi delle donne nei campi della scienza, della tecnologia, dell'ingegneria e della matematica.
Ricordiamo Ada, la prima programmatrice di computer, con un semplice saluto — ovviamente scritto in Ada.
Ricordiamo Ada, la prima programmatrice di computer, con un semplice saluto — ovviamente scritto in Ada.
giovedì 9 ottobre 2014
Il teorema dei quattro cinque colori — la dimostrazione
Dimostriamo il teorema dei cinque colori per induzione. Ovvero: supponiamo che sia possibile colorare come si deve un grafo avente un certo numero di vertici, e facciamo vedere che è possibile colorare anche un grafo avente un vertice in più. Da qui, come in una catena di domino in cui ogni tessera che cade mette in moto una nuova tessera, si deduce che il teorema è vero per ogni grafo.
Quindi: sappiamo che in un qualunque grafo ci deve essere un vertice avente al massimo cinque spigoli che escono da esso. Troviamolo.
Ok, concentriamoci sul vertice blu, immaginiamo che il grafo possa proseguire a partire dai vertici rossi come vuole. Anche se i vertici rossi in questo disegno sono tutti connessi con meno di cinque spigoli, in realtà potrebbero averne molti di più.
Il vertice blu è collegato a meno di cinque vertici, in questo caso quattro.
Bene, se noi rimuoviamo dal grafo il vertice blu, otteniamo un grafo che ha un vertice in meno e, quindi, per ipotesi induttiva, è colorabile con cinque colori. Se aggiungiamo il vertice blu, non ci sono problemi a colorare il tutto: dato che è connesso con solo quattro altri vertici, non sono certamente stati usati tutti i cinque colori. Quindi prendiamo un colore che non abbiamo usato e siamo a posto.
Passiamo al caso difficile: il vertice sul quale abbiamo posto l'attenzione è effettivamente collegato con cinque altri vertici, e abbiamo già usato tutti i cinque colori disponibili.
Scegliamo due colori, per esempio il giallo e il viola, e consideriamo solo i nodi colorati con quei colori, e solo gli spigoli che connettono quei nodi. Può succedere, come in questa figura, che il sottografo contenente solo i due colori sia formato da due o più componenti connesse, separate tra di loro. Ecco qua:
Se le cose stanno così, è facile colorare il grafo con cinque colori: basta invertire i colori di una delle due componenti connesse, e si riesce a liberare un colore da assegnare al vertice nero. Per esempio, se invertiamo i colori della componente in alto, otteniamo questa figura:
Abbiamo liberato il colore viola, che possiamo assegnare al vertice nero, ed ecco fatto.
E se il sottografo che contiene i due colori che abbiamo scelto fosse composto da un'unica componente connessa? Come potremmo fare in questo caso? Vediamo un disegnino:
Se le cose fossero così, dovremmo scegliere altri due colori e ripetere il ragionamento fatto sopra. Domanda: siamo sicuri di trovare una coppia di colori che forma almeno due sottografi sconnessi, come prima? Potrebbe verificarsi il caso in cui ogni coppia di colori che noi scegliamo genera un sottografo avente un'unica componente connessa?
La risposta è no, ma se cercate su internet trovate delle spiegazioni poco convincenti e troppo sbrigative. Dice per esempio wikipedia che se scegliamo altri due colori, per esempio il verde e il blu, allora il sottografo formato solo dai nodi avente quei colori e dagli spigoli che li collegano non può essere composto da un'unica componente connessa, perché si intreccerebbe con il sottografo giallo-viola. Ma non è mica vero, non è difficile immaginare un percorso verde-blu non intrecciato col giallo-viola.
Il fatto è che non è possibile che, comunque noi scegliamo due colori, il sottografo che li contiene sia composto da un'unica componente connessa.
Per dire, se aggiungo un po' di collegamenti posso arrivare a una figura del genere, dove ancora le componenti bicolorate sono tutte connesse:
Posso andare avanti ancora? Posso immaginare che blu e rosso siano collegati tra loro da un'unico cammino bicolorato? Sì, è possibile, ma questo cammino dovrà contenere il nodo verde, oppure tutti gli altri. Se contiene il verde, per esempio, può succedere una cosa del genere:
A questo punto un cammino verde-giallo non potrebbe più essere connesso, perché il verde è all'interno del circuito rosso-blu, mentre il giallo è all'esterno (e questo, attenzione, è il risultato di uno di quei teoremi aventi il rapporto chiarezza enunciato/facilità di dimostrazione elevatissimo: si tratta del teorema della curva di Jordan, che dice che ogni curva chiusa del piano non intrecciata divide il piano stesso in due regioni, una interna e una esterna. Sembra una scemata, ma non è banale per niente).
Quindi, anche in questo caso si riesce a colorare il vertice nero con uno dei cinque colori.
Conclusione: l'induzione funziona, le carte geografiche si possono colorare tutte utilizzando cinque colori al massimo.
Per dimostrare che di colori ne servono quattro servono un computer, tanto tempo a disposizione, e una predisposizione filosofica a fidarsi dell'operato di un programma.
Quindi: sappiamo che in un qualunque grafo ci deve essere un vertice avente al massimo cinque spigoli che escono da esso. Troviamolo.
Ok, concentriamoci sul vertice blu, immaginiamo che il grafo possa proseguire a partire dai vertici rossi come vuole. Anche se i vertici rossi in questo disegno sono tutti connessi con meno di cinque spigoli, in realtà potrebbero averne molti di più.
Il vertice blu è collegato a meno di cinque vertici, in questo caso quattro.
Bene, se noi rimuoviamo dal grafo il vertice blu, otteniamo un grafo che ha un vertice in meno e, quindi, per ipotesi induttiva, è colorabile con cinque colori. Se aggiungiamo il vertice blu, non ci sono problemi a colorare il tutto: dato che è connesso con solo quattro altri vertici, non sono certamente stati usati tutti i cinque colori. Quindi prendiamo un colore che non abbiamo usato e siamo a posto.
Passiamo al caso difficile: il vertice sul quale abbiamo posto l'attenzione è effettivamente collegato con cinque altri vertici, e abbiamo già usato tutti i cinque colori disponibili.
Scegliamo due colori, per esempio il giallo e il viola, e consideriamo solo i nodi colorati con quei colori, e solo gli spigoli che connettono quei nodi. Può succedere, come in questa figura, che il sottografo contenente solo i due colori sia formato da due o più componenti connesse, separate tra di loro. Ecco qua:
Se le cose stanno così, è facile colorare il grafo con cinque colori: basta invertire i colori di una delle due componenti connesse, e si riesce a liberare un colore da assegnare al vertice nero. Per esempio, se invertiamo i colori della componente in alto, otteniamo questa figura:
Abbiamo liberato il colore viola, che possiamo assegnare al vertice nero, ed ecco fatto.
E se il sottografo che contiene i due colori che abbiamo scelto fosse composto da un'unica componente connessa? Come potremmo fare in questo caso? Vediamo un disegnino:
Se le cose fossero così, dovremmo scegliere altri due colori e ripetere il ragionamento fatto sopra. Domanda: siamo sicuri di trovare una coppia di colori che forma almeno due sottografi sconnessi, come prima? Potrebbe verificarsi il caso in cui ogni coppia di colori che noi scegliamo genera un sottografo avente un'unica componente connessa?
La risposta è no, ma se cercate su internet trovate delle spiegazioni poco convincenti e troppo sbrigative. Dice per esempio wikipedia che se scegliamo altri due colori, per esempio il verde e il blu, allora il sottografo formato solo dai nodi avente quei colori e dagli spigoli che li collegano non può essere composto da un'unica componente connessa, perché si intreccerebbe con il sottografo giallo-viola. Ma non è mica vero, non è difficile immaginare un percorso verde-blu non intrecciato col giallo-viola.
Il fatto è che non è possibile che, comunque noi scegliamo due colori, il sottografo che li contiene sia composto da un'unica componente connessa.
Per dire, se aggiungo un po' di collegamenti posso arrivare a una figura del genere, dove ancora le componenti bicolorate sono tutte connesse:
A questo punto un cammino verde-giallo non potrebbe più essere connesso, perché il verde è all'interno del circuito rosso-blu, mentre il giallo è all'esterno (e questo, attenzione, è il risultato di uno di quei teoremi aventi il rapporto chiarezza enunciato/facilità di dimostrazione elevatissimo: si tratta del teorema della curva di Jordan, che dice che ogni curva chiusa del piano non intrecciata divide il piano stesso in due regioni, una interna e una esterna. Sembra una scemata, ma non è banale per niente).
Quindi, anche in questo caso si riesce a colorare il vertice nero con uno dei cinque colori.
Conclusione: l'induzione funziona, le carte geografiche si possono colorare tutte utilizzando cinque colori al massimo.
Per dimostrare che di colori ne servono quattro servono un computer, tanto tempo a disposizione, e una predisposizione filosofica a fidarsi dell'operato di un programma.
mercoledì 8 ottobre 2014
Il teorema dei quattro cinque colori — un errorino nella dimostrazione
Dicevamo che la seconda più bella formula della matematica afferma che Facce più Vertici uguale a Spigoli più 2. Usando le formule: F + V = S + 2.
Ogni faccia di un grafo planare come quelli di cui ci stiamo occupando (cioè quelli che modellizzano una carta geografica, in cui ogni vertice è collegato al più a uno spigolo) è circondata da almeno 3 spigoli. Insomma, non ci occupiamo di grafi di questo tipo:
Siccome le facce sono almeno triangolari, cioè circondate da almeno tre spigoli, allora 3F sarà minore o uguale al numero totale di spigoli presenti nel grafo, moltiplicato per 2 (questo perché ogni spigolo confina con due facce, quindi viene contato due volte). In formule: 3F ≤ 2S.
Facciamo un po' di passaggi banali, come dicono i Veri Matematici.
F + V = S + 2 (formula di Eulero)
3F + 3V = 3S + 6 (moltiplico tutto per 3)
3S = 3F + 3V − 6 (ricavo 3S)
3S ≤ 2S + 3V − 6 (per quanto detto sopra, 3F ≤ 2S)
S ≤ 3V − 6 (sottraggo 2S a destra e a sinistra)
2S ≤ 6V − 12 (moltiplico tutto per 2).
Risultato: il doppio del numero di spigoli nel grafo è minore o uguale di 6V − 12.
Domanda: è possibile che ogni vertice sia connesso a almeno altri sei vertici? Se così fosse, il totale degli spigoli moltiplicati per 2 dovrebbe essere uguale a almeno 6V. Dato che 6V − 12 non può essere uguale a 6V, la risposta alla domanda è no.
Quindi esiste almeno un vertice connesso con altri cinque vertici al massimo.
Nel 1879 il matematico Alfred Kempe annunciò di aver dimostrato il teorema dei quattro colori. Solo undici anni dopo, nel 1890, Percy Heawood si accorse di un errore nella dimostrazione di Kempe. Nel farlo, notò il particolare di cui abbiamo discusso ora (e cioè che deve esistere almeno un vertice dal quale escono al più cinque spigoli) che aprì le porte alla dimostrazione del teorema dei cinque colori. Ovvero: cinque colori sono sufficienti per colorare una carta geografica.
Per dimostrarlo non servono né computer né pagine e pagine di dimostrazioni.
Ogni faccia di un grafo planare come quelli di cui ci stiamo occupando (cioè quelli che modellizzano una carta geografica, in cui ogni vertice è collegato al più a uno spigolo) è circondata da almeno 3 spigoli. Insomma, non ci occupiamo di grafi di questo tipo:
Siccome le facce sono almeno triangolari, cioè circondate da almeno tre spigoli, allora 3F sarà minore o uguale al numero totale di spigoli presenti nel grafo, moltiplicato per 2 (questo perché ogni spigolo confina con due facce, quindi viene contato due volte). In formule: 3F ≤ 2S.
Facciamo un po' di passaggi banali, come dicono i Veri Matematici.
F + V = S + 2 (formula di Eulero)
3F + 3V = 3S + 6 (moltiplico tutto per 3)
3S = 3F + 3V − 6 (ricavo 3S)
3S ≤ 2S + 3V − 6 (per quanto detto sopra, 3F ≤ 2S)
S ≤ 3V − 6 (sottraggo 2S a destra e a sinistra)
2S ≤ 6V − 12 (moltiplico tutto per 2).
Risultato: il doppio del numero di spigoli nel grafo è minore o uguale di 6V − 12.
Domanda: è possibile che ogni vertice sia connesso a almeno altri sei vertici? Se così fosse, il totale degli spigoli moltiplicati per 2 dovrebbe essere uguale a almeno 6V. Dato che 6V − 12 non può essere uguale a 6V, la risposta alla domanda è no.
Quindi esiste almeno un vertice connesso con altri cinque vertici al massimo.
Nel 1879 il matematico Alfred Kempe annunciò di aver dimostrato il teorema dei quattro colori. Solo undici anni dopo, nel 1890, Percy Heawood si accorse di un errore nella dimostrazione di Kempe. Nel farlo, notò il particolare di cui abbiamo discusso ora (e cioè che deve esistere almeno un vertice dal quale escono al più cinque spigoli) che aprì le porte alla dimostrazione del teorema dei cinque colori. Ovvero: cinque colori sono sufficienti per colorare una carta geografica.
Per dimostrarlo non servono né computer né pagine e pagine di dimostrazioni.
martedì 7 ottobre 2014
Il teorema dei quattro cinque colori — grafi planari
Il teorema dei quattro colori è famoso, facile da enunciare, difficilissimo da dimostrare (tant'è che qualcuno ancora discute sulla validità della sua dimostrazione). Dice che sono sufficienti quattro colori per colorare una qualsiasi carta geografica in modo tale che due territori confinanti non siano colorati con lo stesso colore.
Naturalmente i Veri Matematici non dicono così: non parlano di carte geografiche (per le quali sicuramente si riuscirebbe a trovare qualche strana configurazione che nemmeno i cartografi più assatanati avrebbero mai immaginato di vedere), ma parlano di grafi planari.
I grafi planari sono molto semplici da descrivere: sono costituiti da un po' di oggetti (vertici) collegati da un po' di segmenti, anche curvilinei (detti spigoli, o archi). Cose così, insomma:
Alcuni grafi possono essere rappresentati senza intersezioni tra gli spigoli, altri no. Per esempio il grafo completo (cioè con tutti i possibili collegamenti) con 4 elementi è fatto così:
e basta poco per capire che si può evitare l'intersezione tra i due spigoli interni riarrangiando un pochino il disegno:
(si può fare anche lasciando la configurazione dei vertici un pochino più simmetrica, ma il programma che sto usando non lo fa in automatico e non so come fare per fargli fare quello che voglio io, quindi pazienza)
Esistono grafi non planari, cioè che non possono in nessun modo essere rappresentati sul piano senza intersezioni tra gli spigoli. Un teorema importante di teoria dei grafi (teorema di Kuratowski) afferma che se un grafo contiene almeno un sottografo omeomorfo (cioè avente la stessa forma) a uno dei due disegnati qua sotto, allora non è planare.
Questo qui sopra è il grafo completo con 5 vertici (per gli amici, K5).
E quest'altro è il famoso grafo relativo al giochino delle tre case che devono essere raggiunte dai tre fornitori di servizi (acqua, luce e gas, per esempio). Sono entrambi non planari, naturalmente.
Quindi, riassumendo, le carte geografiche di cui si occupa il teorema dei quattro colori sono grafi
E per questo tipo di grafi è valida la seconda più bella formula della matematica, ovvero Facce più Vertici = Spigoli più 2. Dove con facce intendiamo le regioni delimitate dai bordi, compresa quella esterna che ha estensione infinita.
Dopo tutte queste belle definizioni, e grazie anche a Eulero, dimostrare il teorema dei quattro colori dovrebbe essere molto facile.
Naturalmente i Veri Matematici non dicono così: non parlano di carte geografiche (per le quali sicuramente si riuscirebbe a trovare qualche strana configurazione che nemmeno i cartografi più assatanati avrebbero mai immaginato di vedere), ma parlano di grafi planari.
I grafi planari sono molto semplici da descrivere: sono costituiti da un po' di oggetti (vertici) collegati da un po' di segmenti, anche curvilinei (detti spigoli, o archi). Cose così, insomma:
Alcuni grafi possono essere rappresentati senza intersezioni tra gli spigoli, altri no. Per esempio il grafo completo (cioè con tutti i possibili collegamenti) con 4 elementi è fatto così:
e basta poco per capire che si può evitare l'intersezione tra i due spigoli interni riarrangiando un pochino il disegno:
(si può fare anche lasciando la configurazione dei vertici un pochino più simmetrica, ma il programma che sto usando non lo fa in automatico e non so come fare per fargli fare quello che voglio io, quindi pazienza)
Esistono grafi non planari, cioè che non possono in nessun modo essere rappresentati sul piano senza intersezioni tra gli spigoli. Un teorema importante di teoria dei grafi (teorema di Kuratowski) afferma che se un grafo contiene almeno un sottografo omeomorfo (cioè avente la stessa forma) a uno dei due disegnati qua sotto, allora non è planare.
Questo qui sopra è il grafo completo con 5 vertici (per gli amici, K5).
E quest'altro è il famoso grafo relativo al giochino delle tre case che devono essere raggiunte dai tre fornitori di servizi (acqua, luce e gas, per esempio). Sono entrambi non planari, naturalmente.
Quindi, riassumendo, le carte geografiche di cui si occupa il teorema dei quattro colori sono grafi
- planari,
- connessi (una carta geografica potrebbe avere due continenti disconnessi, separati da un oceano, ma questo non ci dà fastidio: il nostro problema è colorare un continente alla volta),
- semplici, cioè tali che due vertici sono connessi da al massimo un solo spigolo (non ha senso dire che i due stati A e B confinano due o più volte, insomma).
E per questo tipo di grafi è valida la seconda più bella formula della matematica, ovvero Facce più Vertici = Spigoli più 2. Dove con facce intendiamo le regioni delimitate dai bordi, compresa quella esterna che ha estensione infinita.
Dopo tutte queste belle definizioni, e grazie anche a Eulero, dimostrare il teorema dei quattro colori dovrebbe essere molto facile.
lunedì 15 settembre 2014
Una serie di fortunati eventi
Sei anni fa lui aveva 11 anni e io stavo leggendo La Strada. Dopo pochi giorni commentavo: "non ho mica ancora capito se mi è piaciuto o no".
Pochi giorni fa lui ha compiuto 18 anni e io ho assistito a una conferenza di Massimo Recalcati al festival della filosofia di Modena, dal titolo Il modello paterno.
Recalcati ha iniziato parlando dell'evaporazione del concetto di padre, così come lo si intendeva una volta. E fin qua ok. Ha poi aggiunto che la figura del padre è comunque ancora oggi necessaria perché è solo attraverso l'incontro con l'esperienza del limite che si può fare esperienza del desiderio. E qui i padri già cominciano a drizzare le orecchie per provare a capire il loro nuovo ruolo.
Poi è arrivato a parlare di Telemaco, che è il figlio che sa fare esistere il padre (al contrario di Edipo), come Cristo che salva Dio (citando Lacan che, io, ho sentito nominare per la prima volta in quel momento). Per me Cristo che salva Dio è un concetto molto illuminante, uno di quei pensieri sotto traccia che ti girano per la testa senza che tu te ne renda conto.
Poi, Recalcati ha paragonato questo capovolgimento teologico a quello che succede nella storia raccontata da La Strada, in cui la vita del bambino senza nome in un mondo senza Dio rende ancora possibile l'esistenza di Dio.
In quella storia è il figlio che salva il padre.
E questa frase, il figlio che salva il padre, dopo tutto quello che ti è successo da quando lui aveva 11 anni e tu leggevi La Strada, e vedevi proprio lui nel bambino senza nome, questa frase ha evitato tutti i filtri vulcaniani che ti eri fabbricato nel corso della vita, è andata diretta alla pancia, ti ha colpito come mai ti saresti aspettato, e ti ha commosso oltre ogni misura (e dignità di uomo adulto in piedi in mezzo a piazza Grande, ma vabbé).
Dunque buon compleanno, salame che non sei altro. Benvenuto nella maggiore età. E grazie.
Pochi giorni fa lui ha compiuto 18 anni e io ho assistito a una conferenza di Massimo Recalcati al festival della filosofia di Modena, dal titolo Il modello paterno.
Recalcati ha iniziato parlando dell'evaporazione del concetto di padre, così come lo si intendeva una volta. E fin qua ok. Ha poi aggiunto che la figura del padre è comunque ancora oggi necessaria perché è solo attraverso l'incontro con l'esperienza del limite che si può fare esperienza del desiderio. E qui i padri già cominciano a drizzare le orecchie per provare a capire il loro nuovo ruolo.
Poi è arrivato a parlare di Telemaco, che è il figlio che sa fare esistere il padre (al contrario di Edipo), come Cristo che salva Dio (citando Lacan che, io, ho sentito nominare per la prima volta in quel momento). Per me Cristo che salva Dio è un concetto molto illuminante, uno di quei pensieri sotto traccia che ti girano per la testa senza che tu te ne renda conto.
Poi, Recalcati ha paragonato questo capovolgimento teologico a quello che succede nella storia raccontata da La Strada, in cui la vita del bambino senza nome in un mondo senza Dio rende ancora possibile l'esistenza di Dio.
In quella storia è il figlio che salva il padre.
E questa frase, il figlio che salva il padre, dopo tutto quello che ti è successo da quando lui aveva 11 anni e tu leggevi La Strada, e vedevi proprio lui nel bambino senza nome, questa frase ha evitato tutti i filtri vulcaniani che ti eri fabbricato nel corso della vita, è andata diretta alla pancia, ti ha colpito come mai ti saresti aspettato, e ti ha commosso oltre ogni misura (e dignità di uomo adulto in piedi in mezzo a piazza Grande, ma vabbé).
Dunque buon compleanno, salame che non sei altro. Benvenuto nella maggiore età. E grazie.
domenica 7 settembre 2014
Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Eh, la famosa regola del prodotto (e della divisione) dei segni dice che meno per meno fa più, ma perché è così? Perché il prodotto di due numeri negativi deve essere positivo? Perché non negativo al quadrato, per dire? (No, ok, vabbé).
Emma Castelnuovo suggeriva una presentazione, ai fanciulli alle prese per la prima volta con questa domanda, fatta utilizzando un cartoncino colorato con due colori diversi sui due lati. Facciamo blu e rosso.
Interpretiamo la moltiplicazione 2×3 come il calcolo dell'area del suddetto cartoncino rettangolare: se la base è lunga 2 e l'altezza 3, allora l'area sarà 6, e fin qua è facile. Il cartoncino ha la faccia blu verso l'alto, e diciamo che blu = positivo. Mettiamolo su un riferimento cartesiano.
Adesso immaginiamo di sostituire 2 con −2. Cosa significa, dal punto di vista geometrico?
Significa che dobbiamo girare il cartoncino, tenendo fissa l'altezza, in modo che la base ora si estenda lungo la parte negativa dell'asse delle ascisse. Il cartoncino si è capovolto, e ora presenta l'altra faccia. Rosso = negativo. Quindi −2×3 = −6, meno per più fa meno.
Ovviamente se giriamo il cartoncino lungo l'altra direzione, tenendo quindi fissa la base, otteniamo il risultato di 2×(−3), che fa ancora −6, e la proprietà commutativa è assicurata.
Infine, cosa succede se ruotiamo il cartoncino due volte, una tenendo fisso l'asse orizzontale e l'altra tenendo fisso quello verticale? Facile, il cartoncino ruota due volte, andrà a finire nel terzo quadrante, e presenterà però nuovamente la faccia blu. Ecco la magia: −2×(−3)=6, meno per meno fa più.
Ok, questo per i fanciulli. Così si capisce, e probabilmente non si dimentica. Ma un Vero Matematico cosa dice? Mica si mette a giocare coi cartoncini, no? Dov'è il rigore? E poi cosa c'entra la geometria?
Ebbene, i Veri Matematici utilizzano un principio fondamentale, quello che dice la matematica è come il maiale: non si butta via niente (in realtà loro lo chiamano principio di permanenza, o principio di Henkel (questo l'ho scoperto ieri)).
In pratica funziona così: da bambini impariamo a contare, da grandi definiamo l'insieme dei numeri naturali (in pratica rifacciamo la stessa cosa in modo complicato), poi scopriamo delle belle proprietà, ci affezioniamo e vogliamo che esse continuino a essere valide anche quando allarghiamo le nostre definizioni. Definisco i numeri negativi? Bene, però attenzione, per essi devono valere le stesse proprietà che valevano prima, eh. Anzi, se definisco cose nuove devo stare bene attento a non introdurre eccezioni alle regole che già conoscevo prima. In matematica non esiste l'eccezione che conferma la regola, proprio no.
E quindi ora consideriamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, quella che dice che per calcolare 2×(3 + 4) si può calcolare 2×7 oppure 2×3 + 2×4. In formule:
a×(b + c) = a×b + a×c.
Questa proprietà vale nell'insieme dei numeri naturali, e quando introduciamo i numeri interi desideriamo che essa sia ancora valida. Anzi, estendiamo le regole per questi numeri in modo che sia valida: lo facciamo proprio volontariamente, con questo scopo. E ora applichiamo la proprietà distributiva a questa espressione:
a×(b − b) [immaginamo per comodità a e b positivi, senza segni nascosti]
Conosciamo naturalmente già il risultato: sarà 0, dato che b − b fa 0. Cosa succede però se applichiamo la proprietà distributiva? Vediamo:
0 = a×(b − b) = a×b + a×(−b).
Ma allora a×b e a×(−b) devono essere opposti, dato che il risultato è nullo. Quindi, siccome sappiamo già che a×b è positivo (questi sono i vecchi numeri naturali), allora a×(−b) deve essere negativo. Più per meno deve fare meno.
Infine, consideriamo quest'altra operazione:
−a×(b − b).
Anche questa deve fare 0, e anche in questo caso, applicando la proprietà distributiva, abbiamo
0 = −a×(b − b) = −a×b + (−a)×(−b). Dato che i due termini finali sono opposti, e dato che sappiamo già che −a×b è negativo, è necessario che (−a)×(−b) sia positivo. E così tutto funziona bene, non si può fare altrimenti.
(Poi non dite che i numeri sono creazione della mente umana, eh)
Emma Castelnuovo suggeriva una presentazione, ai fanciulli alle prese per la prima volta con questa domanda, fatta utilizzando un cartoncino colorato con due colori diversi sui due lati. Facciamo blu e rosso.
Interpretiamo la moltiplicazione 2×3 come il calcolo dell'area del suddetto cartoncino rettangolare: se la base è lunga 2 e l'altezza 3, allora l'area sarà 6, e fin qua è facile. Il cartoncino ha la faccia blu verso l'alto, e diciamo che blu = positivo. Mettiamolo su un riferimento cartesiano.
Adesso immaginiamo di sostituire 2 con −2. Cosa significa, dal punto di vista geometrico?
Significa che dobbiamo girare il cartoncino, tenendo fissa l'altezza, in modo che la base ora si estenda lungo la parte negativa dell'asse delle ascisse. Il cartoncino si è capovolto, e ora presenta l'altra faccia. Rosso = negativo. Quindi −2×3 = −6, meno per più fa meno.
Ovviamente se giriamo il cartoncino lungo l'altra direzione, tenendo quindi fissa la base, otteniamo il risultato di 2×(−3), che fa ancora −6, e la proprietà commutativa è assicurata.
Infine, cosa succede se ruotiamo il cartoncino due volte, una tenendo fisso l'asse orizzontale e l'altra tenendo fisso quello verticale? Facile, il cartoncino ruota due volte, andrà a finire nel terzo quadrante, e presenterà però nuovamente la faccia blu. Ecco la magia: −2×(−3)=6, meno per meno fa più.
Ok, questo per i fanciulli. Così si capisce, e probabilmente non si dimentica. Ma un Vero Matematico cosa dice? Mica si mette a giocare coi cartoncini, no? Dov'è il rigore? E poi cosa c'entra la geometria?
Ebbene, i Veri Matematici utilizzano un principio fondamentale, quello che dice la matematica è come il maiale: non si butta via niente (in realtà loro lo chiamano principio di permanenza, o principio di Henkel (questo l'ho scoperto ieri)).
In pratica funziona così: da bambini impariamo a contare, da grandi definiamo l'insieme dei numeri naturali (in pratica rifacciamo la stessa cosa in modo complicato), poi scopriamo delle belle proprietà, ci affezioniamo e vogliamo che esse continuino a essere valide anche quando allarghiamo le nostre definizioni. Definisco i numeri negativi? Bene, però attenzione, per essi devono valere le stesse proprietà che valevano prima, eh. Anzi, se definisco cose nuove devo stare bene attento a non introdurre eccezioni alle regole che già conoscevo prima. In matematica non esiste l'eccezione che conferma la regola, proprio no.
E quindi ora consideriamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, quella che dice che per calcolare 2×(3 + 4) si può calcolare 2×7 oppure 2×3 + 2×4. In formule:
a×(b + c) = a×b + a×c.
Questa proprietà vale nell'insieme dei numeri naturali, e quando introduciamo i numeri interi desideriamo che essa sia ancora valida. Anzi, estendiamo le regole per questi numeri in modo che sia valida: lo facciamo proprio volontariamente, con questo scopo. E ora applichiamo la proprietà distributiva a questa espressione:
a×(b − b) [immaginamo per comodità a e b positivi, senza segni nascosti]
Conosciamo naturalmente già il risultato: sarà 0, dato che b − b fa 0. Cosa succede però se applichiamo la proprietà distributiva? Vediamo:
0 = a×(b − b) = a×b + a×(−b).
Ma allora a×b e a×(−b) devono essere opposti, dato che il risultato è nullo. Quindi, siccome sappiamo già che a×b è positivo (questi sono i vecchi numeri naturali), allora a×(−b) deve essere negativo. Più per meno deve fare meno.
Infine, consideriamo quest'altra operazione:
−a×(b − b).
Anche questa deve fare 0, e anche in questo caso, applicando la proprietà distributiva, abbiamo
0 = −a×(b − b) = −a×b + (−a)×(−b). Dato che i due termini finali sono opposti, e dato che sappiamo già che −a×b è negativo, è necessario che (−a)×(−b) sia positivo. E così tutto funziona bene, non si può fare altrimenti.
(Poi non dite che i numeri sono creazione della mente umana, eh)
martedì 5 agosto 2014
Codici PIN di quattro cifre che potreste voler utilizzare
0042
Lo sapete tutti, è la risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull'Universo e Tutto quanto.
1138
È il numero preferito da Lucas. Da quando esiste Jar Jar Binks, però, non so quanti possano seriamente desiderare di utilizzare questo numero.
1337
Nella codifica leet, si legge leet.
1701
NCC-1701 è il numero di matricola della nave stellare Enteprise, classe Constitution.
1969
Questo è l'unico numero naturale n minore di 4000000 per il quale la funzione standard di Ackermann modulo n non si stabilizza.
Ma è anche l'anno in cui l'uomo ha messo piede sulla luna, eh.
3435
È l'unico numero per il quale la somma delle sue cifre elevate a un esponente uguale a loro stesse è uguale al numero stesso. Si fa prima a scrivere la formula:
33 + 44 + 33 + 55 = 3435.
(No, non è vero, non è l'unico numero di questo tipo, l'altro è 1, ma vabbé. Comunque si chiamano numeri di Münchhausen, perché si elevano da soli, come l'omonimo barone)
5141
Questo è l'unico numero che, rovesciato e letto in esadecimale, rimane uguale a sé stesso.
514110 = 141516.
6174
È la costante di Kaprekar. Funziona così:
Dopo al massimo sette passi si arriva a 6174, e da lì non ci si muove più.
(Via Facebook)
Lo sapete tutti, è la risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull'Universo e Tutto quanto.
"Quarantadue!" urlò Loonquawl. "Questo è tutto ciò che sai dire dopo un lavoro di sette milioni e mezzo di anni?"
"Ho controllato molto approfonditamente," disse il computer, "e questa è sicuramente la risposta. Ad essere sinceri, penso che il problema sia che voi non abbiate mai saputo veramente qual è la domanda."
1138
È il numero preferito da Lucas. Da quando esiste Jar Jar Binks, però, non so quanti possano seriamente desiderare di utilizzare questo numero.
1337
Nella codifica leet, si legge leet.
1701
NCC-1701 è il numero di matricola della nave stellare Enteprise, classe Constitution.
1969
Questo è l'unico numero naturale n minore di 4000000 per il quale la funzione standard di Ackermann modulo n non si stabilizza.
Ma è anche l'anno in cui l'uomo ha messo piede sulla luna, eh.
3435
È l'unico numero per il quale la somma delle sue cifre elevate a un esponente uguale a loro stesse è uguale al numero stesso. Si fa prima a scrivere la formula:
33 + 44 + 33 + 55 = 3435.
(No, non è vero, non è l'unico numero di questo tipo, l'altro è 1, ma vabbé. Comunque si chiamano numeri di Münchhausen, perché si elevano da soli, come l'omonimo barone)
5141
Questo è l'unico numero che, rovesciato e letto in esadecimale, rimane uguale a sé stesso.
514110 = 141516.
6174
È la costante di Kaprekar. Funziona così:
- prendete un numero qualsiasi di quattro cifre, usando almeno due cifre diverse,
- ordinate le cifre in ordine decrescente e in ordine crescente, ottenendo (altri) due numeri
- sottraete il più piccolo dal più grande
- ripetete i passi 2 e 3
Dopo al massimo sette passi si arriva a 6174, e da lì non ci si muove più.
(Via Facebook)
lunedì 28 luglio 2014
Particelle familiari
Recensione breve: ho letto il libro Particelle familiari di Marco Delmastro e mi è piaciuto, leggetelo.
Recensione lunga: Marco Delmastro è un fisico che lavora a ATLAS, uno degli esperimenti del CERN che ha osservato il (un?) bosone di Higgs. In questo libro racconta cosa fa un fisico sperimentale, come fa a osservare particelle così piccole e elusive che anche solo il termine "osservare" assume significati nuovi.
Il libro è dedicato a chi non sa niente di fisica e vorrebbe saperne qualcosa di più, vorrebbe capire: non contiene formule, non contiene figure, non contiene spiegoni complicati. Le figure, però, Marco le mette sul suo blog, assieme a spiegazione più dettagliate per i più curiosi (con anche qualche formula, sì). Più che una relazione scientifica (cosa che non vuole essere), è un racconto, che parla della famiglia e degli amici di Marco, cioè gente normale (nel senso positivo del termine, se esiste, e se non esiste ho sbagliato termine) che cerca di capire cose speciali. Speciali e stranissime come quelle descritte dalla meccanica quantistica, per la quale onde e particelle sono un po' la stessa cosa e tu, ogni volta che leggi questa cosa, continui a chiederti ma come è possibile, ma cosa vorrà poi dire davvero questa cosa qui?
E a te piacciono tanto, le domande di questo tipo, che vorresti sapere tutto, e vorresti anche che LHC, l'acceleratore di particelle che spacca tutto, non fosse mai spento, e vorresti che ne accendessero uno ancora più grande, e che le scoperte eccezionali venissero annunciate più spesso. Poi ti dici che non sarebbero più eccezionali, e quindi pazienza. E allora arrivi alla fine del libro, spinto da questo desiderio di conoscenza, e ti trovi un capitolo finale che si intitola A che cosa serve? e che ti spiega qual è il senso della ricerca fondamentale. Che assomiglia un po' al senso della ricerca in matematica (che, in effetti, matematica e fisica teorica non sono mica tanto diverse, poi i matematici vincono perché non hanno bisogno di verificare nessuna teoria, e il metodo scientifico lo lasciano ai fisici, appunto, che costruiscono macchine gigantesche e meravigliose per capire se le cose sono proprio così come pensavano oppure no, mentre i matematici li stanno a guardare sogghignando con aria di giusta superiorità). Assomiglia anche alle domande che ti fanno gli studenti, quando dicono prof ma a cosa ci serve questa roba nella vita di tutti i giorni? E, poi, qua non ti sbagli, passano le generazioni ma ti fanno sempre quell'esempio, non lo cambiano mai, ti chiedono a cosa serve il quadrato di binomio quando vai a fare la spesa, e tu tiri un sospiro e cominci la tua predica.
E ti fermeresti anche qua, in questa recensione un po' strana, ma poi è successo che prima che tu finissi di leggere il libro è arrivato Peppe che ha scritto pure lui una recensione, che ti ha stupito nella sua parte finale, perché in quel momento non la capivi del tutto. Poi hai finito anche tu il libro, e sarà magari per la tua particolare e strana situazione personale in cui ti trovi in questo momento, sarà l'anzianità che ormai si fa avanti e ti rende sensibile a cose che prima non ti facevano né caldo né freddo, sarà il caldo, sarà Ulisse, fatto sta che la parte più bella ti è sembrata proprio la fine, quella delle navi volanti che arrivano fino alle stelle, del respiro profondo e del sorriso, che prima o poi arriverà, sicuro.
Se non si è capito, pazienza, leggete il libro. Costa 13 euro e 60, da Amazon.
lunedì 30 giugno 2014
Il senso di Newton per le cose piccole (e in movimento)
Newton era uno di quelli che ha sviluppato le basi dell'analisi matematica senza utilizzare il calcolo dei limiti (e per questo andrebbe venerato da tutti gli studenti di matematica) — l'altro era Leibniz. Questi due signori giocavano in modo non tanto rigoroso con gli infinitesimi e gli infiniti, procurandosi anche qualche critica da parte di alcuni colleghi. Eppure le cose funzionavano, e anche bene.
Per esempio, dice Newton, prendiamo il Sole e un pianeta che gli orbita intorno: la Terra, se volete. E facciamo subito un disegnino. Ah, prima che mi dimentichi, sapete tutti che due triangoli che hanno la stessa base e la stessa altezza hanno anche la stessa area, vero?
Mh, no, l'avevamo soltanto accennato alle elementari, risponde uno studente casuale che passava di lì. Vabbé, adesso lo sai, risponde Newton fulminandolo con lo sguardo.
E, dato che conosce i suoi polli, Newton fa anche un disegno:
Ecco, siamo d'accordo? Il triangolo rosso e quello blu hanno la stessa area, giusto? Bé, no, dice lo studente che si è svegliato in quel momento, è evidente che quello blu è più grande.
Ma no! urla Newton, lanciandogli una copia degli Elementi di Euclide dritta sul naso, a occhio forse vedi che il perimetro del triangolo blu è maggiore, ma a scuola hai anche dimostrato che questi due triangoli hanno la stessa area! E senza tirare fuori le dimostrazioni di Euclide, ti ricorderai almeno come si calcola l'area di un triangolo, vero?
Ehm, certo, sì, base per altezza…
…
Ehm.
Diviso due!
Diviso due, stavo per dirlo!
Bene. Quindi se due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, siamo d'accordo sul fatto che hanno la stessa area?
Eh, sì.
Stabilita questa importante verità matematica, Newton procede nel suo ragionamento, disegnando il Sole e la Terra. Poi continua dicendo ecco, vedete, noi dobbiamo immaginare che il Sole non eserciti in continuazione la sua forza attrattiva. Immaginiamo per un momento che il Sole agisca per impulsi.
Impulsi? Domanda il pubblico.
Sì, ogni tanto il Sole dà uno strattone alla Terra, zacchete, poi per un po' di tempo è come se non ci fosse, poi un nuovo strattone, e così via.
Ah, va bene, ma ogni quanto? Perché non è mica così che funziona, gli domandano.
Ogni poco, fate finta che il tempo tra un impulso e l'altro sia infinitesimo.
E cosa vuol dire? Cosa sono mai questi infinitesimi? Sono quantità reali? Sono zeri?
Senta, lei, signor vescovo, con tutto il rispetto, la battuta sui fantasmi di quantità defunte l'ha già fatta, mi lasci lavorare che le cose funzionano bene anche se la matematica che lei ha in mente non si è ancora adattata. Allora, guardate un po' questa figura: qui abbiamo la Terra che si muove per un po' di moto rettilineo uniforme, dato che su di essa non agiscono forze.
Dopo che ha percorso un po' di strada…
Un tratto infinitesimo, ah!
Sì, è così, un tratto infinitesimo, e la smetta di intervenire, sa? Dopo questo tratto il Sole manda il suo impulso, che disegno qua in rosso. Senza questo impulso la Terra proseguirebbe ancora di moto rettilineo uniforme, ma l'impulso fa deviare la traiettoria, che rappresento in questo modo. Ecco, vedete? La Terra finirebbe qui, dove la disegno in azzurro chiaro, ma la presenza della forza attrattiva la fa finire qui, dove disegno la freccia rossa.
E adesso? Domanda il pubblico.
E adesso vi disegno un po' di triangoli. Vedete questi due triangoli blu? Hanno la base uguale, formata dai due vettori blu, e la stessa altezza. Uhm, vedo dall'espressione spenta dello studente là nell'ultimo banco che non ha mica capito. Aspetta che disegno anche l'altezza comune. Si capisce, adesso?
Lo studente annuisce silenzioso, e Newton continua: bene, abbiamo quindi due triangoli con la stessa area. State attenti adesso, eh? Ora tengo in evidenza uno di questi due triangoli, quello più in alto, e ne disegno un altro, in arancione. Guardate bene: anche questi due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza. A beneficio del nostro studente che si è addormentato di nuovo disegno anche qui l'altezza (povero me): ecco fatto, questi due segmenti verdi sono uguali, e sono le due altezze dei triangoli.
Il triangolo arancione ha dunque la stessa area del triangolo blu. Riassumendo il tutto in questa nuova figura, possiamo dire che il triangolo blu inferiore e quello arancione hanno la stessa area:
Da cui possiamo dedurre la legge nota come seconda legge di Keplero: il segmento che unisce il centro del Sole con il centro della Terra (o di qualunque altra coppia di corpi celesti) descrive aree uguali in tempi uguali.
Perché, come potete ben immaginare, se noi ripetiamo questo procedimento per infiniti istanti di tempo infinitesimi, riusciamo a ricostruire tutta l'orbita del pianeta.
Argh!
Portate i sali al vescovo, mi sembra che sia svenuto.
Mi perdonino Newton e il vescovo Berkeley. Tutto questo post nasce dall'aver trovato un'animazione fatta da un mai abbastanza lodato wikipediano, LucasVB, che ho già citato in passato. Eccola qua, una bella dimostrazione senza parole.
Per esempio, dice Newton, prendiamo il Sole e un pianeta che gli orbita intorno: la Terra, se volete. E facciamo subito un disegnino. Ah, prima che mi dimentichi, sapete tutti che due triangoli che hanno la stessa base e la stessa altezza hanno anche la stessa area, vero?
Mh, no, l'avevamo soltanto accennato alle elementari, risponde uno studente casuale che passava di lì. Vabbé, adesso lo sai, risponde Newton fulminandolo con lo sguardo.
E, dato che conosce i suoi polli, Newton fa anche un disegno:
Ecco, siamo d'accordo? Il triangolo rosso e quello blu hanno la stessa area, giusto? Bé, no, dice lo studente che si è svegliato in quel momento, è evidente che quello blu è più grande.
Ma no! urla Newton, lanciandogli una copia degli Elementi di Euclide dritta sul naso, a occhio forse vedi che il perimetro del triangolo blu è maggiore, ma a scuola hai anche dimostrato che questi due triangoli hanno la stessa area! E senza tirare fuori le dimostrazioni di Euclide, ti ricorderai almeno come si calcola l'area di un triangolo, vero?
Ehm, certo, sì, base per altezza…
…
Ehm.
Diviso due!
Diviso due, stavo per dirlo!
Bene. Quindi se due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, siamo d'accordo sul fatto che hanno la stessa area?
Eh, sì.
Stabilita questa importante verità matematica, Newton procede nel suo ragionamento, disegnando il Sole e la Terra. Poi continua dicendo ecco, vedete, noi dobbiamo immaginare che il Sole non eserciti in continuazione la sua forza attrattiva. Immaginiamo per un momento che il Sole agisca per impulsi.
Impulsi? Domanda il pubblico.
Sì, ogni tanto il Sole dà uno strattone alla Terra, zacchete, poi per un po' di tempo è come se non ci fosse, poi un nuovo strattone, e così via.
Ah, va bene, ma ogni quanto? Perché non è mica così che funziona, gli domandano.
Ogni poco, fate finta che il tempo tra un impulso e l'altro sia infinitesimo.
E cosa vuol dire? Cosa sono mai questi infinitesimi? Sono quantità reali? Sono zeri?
Senta, lei, signor vescovo, con tutto il rispetto, la battuta sui fantasmi di quantità defunte l'ha già fatta, mi lasci lavorare che le cose funzionano bene anche se la matematica che lei ha in mente non si è ancora adattata. Allora, guardate un po' questa figura: qui abbiamo la Terra che si muove per un po' di moto rettilineo uniforme, dato che su di essa non agiscono forze.
Dopo che ha percorso un po' di strada…
Un tratto infinitesimo, ah!
Sì, è così, un tratto infinitesimo, e la smetta di intervenire, sa? Dopo questo tratto il Sole manda il suo impulso, che disegno qua in rosso. Senza questo impulso la Terra proseguirebbe ancora di moto rettilineo uniforme, ma l'impulso fa deviare la traiettoria, che rappresento in questo modo. Ecco, vedete? La Terra finirebbe qui, dove la disegno in azzurro chiaro, ma la presenza della forza attrattiva la fa finire qui, dove disegno la freccia rossa.
E adesso? Domanda il pubblico.
E adesso vi disegno un po' di triangoli. Vedete questi due triangoli blu? Hanno la base uguale, formata dai due vettori blu, e la stessa altezza. Uhm, vedo dall'espressione spenta dello studente là nell'ultimo banco che non ha mica capito. Aspetta che disegno anche l'altezza comune. Si capisce, adesso?
Lo studente annuisce silenzioso, e Newton continua: bene, abbiamo quindi due triangoli con la stessa area. State attenti adesso, eh? Ora tengo in evidenza uno di questi due triangoli, quello più in alto, e ne disegno un altro, in arancione. Guardate bene: anche questi due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza. A beneficio del nostro studente che si è addormentato di nuovo disegno anche qui l'altezza (povero me): ecco fatto, questi due segmenti verdi sono uguali, e sono le due altezze dei triangoli.
Il triangolo arancione ha dunque la stessa area del triangolo blu. Riassumendo il tutto in questa nuova figura, possiamo dire che il triangolo blu inferiore e quello arancione hanno la stessa area:
Da cui possiamo dedurre la legge nota come seconda legge di Keplero: il segmento che unisce il centro del Sole con il centro della Terra (o di qualunque altra coppia di corpi celesti) descrive aree uguali in tempi uguali.
Perché, come potete ben immaginare, se noi ripetiamo questo procedimento per infiniti istanti di tempo infinitesimi, riusciamo a ricostruire tutta l'orbita del pianeta.
Argh!
Portate i sali al vescovo, mi sembra che sia svenuto.
Mi perdonino Newton e il vescovo Berkeley. Tutto questo post nasce dall'aver trovato un'animazione fatta da un mai abbastanza lodato wikipediano, LucasVB, che ho già citato in passato. Eccola qua, una bella dimostrazione senza parole.
sabato 31 maggio 2014
Sensori in tasca
Come accade ormai da alcuni anni, ho accompagnato una delle mie classi in visita di istruzione a Mirabilandia. Non ridete, ha davvero una parte istruttiva niente male.
Quest'anno la classe con cui ero io ha seguito il percorso matematico, applicando lo studio dell'ellisse alla ruota panoramica (con un po' di dispiacere da parte degli studenti, dato che la ruota non è che sia questa gran attrazione. Poco male, comunque, dato che i ragazzi hanno avuto tutto il tempo, sia prima che dopo la lezione, per divertirsi su tutte le attrazioni da giovani che volevano).
Bene, durante l'attività ho scoperto che a partire da quest'anno Mirabilandia offre anche un percorso di fisica utilizzando, come strumento di misura, il cellulare. Quindi ho subito installato l'app necessaria sul mio telefono e mi sono divertito a fare un po' di misure.
Ecco, ad esempio, il grafico della pressione in funzione del tempo, misurata da una cabina della ruota.
Una sinusoide niente male… Dice l'internet che una variazione di pressione 10 hPa corrisponde a una variazione di altitudine di 80 metri. In effetti i dati reali riportano, per la ruota, un diametro di circa 90 metri.
Mi sono divertito anche a misurare le accelerazioni su attrazioni un po' più movimentate (anche se quelle davvero movimentate non le ho fatte, temo per il mio stomaco). Ecco, ad esempio, il Divertical:
Questi non sono i dati grezzi: ho calcolato il modulo del vettore accelerazione a partire dai dati lungo tre direzioni ortogonali, e li ho integrati un po' con una media trascinata. Sull'asse verticale c'è l'accelerazione, e l'unità corrisponde a un g.
Una botta più secca (e successiva lavata) la si ha sul Niagara:
Qui probabilmente ci sono pochi dati sull'asse dei tempi, le oscillazioni che si vedono sono dovute anche alla troppa discretizzazione. La prossima volta provo a aumentare un po' la velocità di raccolta dei dati.
Se siete ardimentosi e avete fatto misure sul Katun o sull'Ispeed, sarei curioso di vederle…
Quest'anno la classe con cui ero io ha seguito il percorso matematico, applicando lo studio dell'ellisse alla ruota panoramica (con un po' di dispiacere da parte degli studenti, dato che la ruota non è che sia questa gran attrazione. Poco male, comunque, dato che i ragazzi hanno avuto tutto il tempo, sia prima che dopo la lezione, per divertirsi su tutte le attrazioni da giovani che volevano).
Bene, durante l'attività ho scoperto che a partire da quest'anno Mirabilandia offre anche un percorso di fisica utilizzando, come strumento di misura, il cellulare. Quindi ho subito installato l'app necessaria sul mio telefono e mi sono divertito a fare un po' di misure.
Ecco, ad esempio, il grafico della pressione in funzione del tempo, misurata da una cabina della ruota.
Una sinusoide niente male… Dice l'internet che una variazione di pressione 10 hPa corrisponde a una variazione di altitudine di 80 metri. In effetti i dati reali riportano, per la ruota, un diametro di circa 90 metri.
Mi sono divertito anche a misurare le accelerazioni su attrazioni un po' più movimentate (anche se quelle davvero movimentate non le ho fatte, temo per il mio stomaco). Ecco, ad esempio, il Divertical:
Questi non sono i dati grezzi: ho calcolato il modulo del vettore accelerazione a partire dai dati lungo tre direzioni ortogonali, e li ho integrati un po' con una media trascinata. Sull'asse verticale c'è l'accelerazione, e l'unità corrisponde a un g.
Una botta più secca (e successiva lavata) la si ha sul Niagara:
Qui probabilmente ci sono pochi dati sull'asse dei tempi, le oscillazioni che si vedono sono dovute anche alla troppa discretizzazione. La prossima volta provo a aumentare un po' la velocità di raccolta dei dati.
Se siete ardimentosi e avete fatto misure sul Katun o sull'Ispeed, sarei curioso di vederle…
sabato 10 maggio 2014
Su una fondamentale applicazione del Theorema Egregium
Il concetto di curvatura è facile da intuire, ma difficile da definire in una maniera gradita ai Veri Matematici.
Ecco un'idea semplice:
La curvatura di una curva corrisponde a quanto deve piegarsi un motociclista per percorrerla. Facile. I flessi sono i punti in cui il pilota cambia inclinazione e si piega dall'altra parte; se il pilota è poco inclinato la curvatura è piccola, se è molto inclinato la curvatura è grande.
Se il pilota mantenesse sempre la stessa inclinazione lo vedremmo descrivere una circonferenza, il cui raggio è tanto più piccolo quanto più il pilota è inclinato. Ecco allora che possiamo legare il concetto di curvatura a quello di circonferenza che meglio approssima (qualunque cosa ciò significhi, la spiegheranno i Veri Matematici) la curva, e quando parliamo di raggio di curvatura intendiamo parlare del raggio di quella particolare circonferenza.
Per esempio, qua sotto c'è una animazione fatta con GeoGebra (e inserita come html5 (credo), se non la vedete fatemi sapere) che mostra il grafico della funzione seno, un punto che si muove su di esso, e il cerchio avente come raggio il raggio di curvatura in quel punto.
Per calcolare la curvatura i Veri Matematici hanno naturalmente sviluppato metodi rigorosi che non fanno uso di piloti di moto, ma ora non ci addentriamo nella questione, perché vogliamo invece passare alle superfici.
Qui le cose si fanno più difficili, perché a seconda della direzione con cui percorriamo la superficie, la curvatura potrebbe cambiare. Ad esempio, prendiamo una superficie a forma di sella.
Possiamo immaginare che sia un passo di montagna: se partiamo da una valle, saliamo fino al valico e poi scendiamo dall'altra parte, la concavità del sentiero che stiamo percorrendo è rivolta verso il basso; viceversa, se partiamo da una cima montuosa e scendiamo fino al valico, per poi salire dall'altra parte, notiamo che la concavità è rivolta verso l'alto: il cerchio che meglio approssima il percorso si trova, in un caso, al di sotto della superficie, e nell'altro caso si trova invece al di sopra.
Bene, quindi come si misura la curvatura di una superficie? Bé, esistono alcuni modi diversi, che mettono in evidenza proprietà diverse delle superfici: ora ci concentriamo su uno solo di questi, detto della curvatura gaussiana.
Metodo che nasce da questo problema: come facciamo ad accorgerci se una superficie è curva oppure no? Capisco che questa domanda possa fare alzare un sopracciglio anche a un vulcaniano addormentato, perciò mi spiego meglio: come facciamo a capire se una superficie è curva o no senza uscire da essa, cioè senza guardarla dall'esterno?
Detto in altri termini: come fanno gli abitanti di Flatlandia a capire se il loro mondo è un piano euclideo, una sfera, oppure una sella come quella disegnata qua sopra? Loro non possono osservarlo dall'esterno, e quindi per loro non è così facile.
Bene, il buon Gauss ha trovato una soluzione (anche) a questo problema. Dopo essere diventato grande e aver smesso di calcolare somme di interi consecutivi, si è dedicato a questa faccenda della curvatura e, all'età di 50 anni, ha scritto un articolo intitolato Disquisitiones generales circa superficies curvas, nel quale si trova la seguente affermazione:
Che significa: cari lettori, se noi prendiamo una superficie curva e la sviluppiamo su una qualunque altra superficie, il calcolo della curvatura come ve l'ho spiegato io nelle righe precedenti non cambia.
E i lettori rispondono: eh?
E Gauss allora spiega meglio: se io prendo questa superficie e riesco, piegandola senza deformazioni, a appiccicarla a un'altra superficie, la curvatura non cambia. Insomma, vedete questo cilindro? Ecco, se io lo taglio in modo da ottenere un rettangolo riesco a appiccicarlo su un piano, e quindi il cilindro e il piano hanno la stessa curvatura.
Grazie, caro Gauss, rispondono i lettori, l'hai tagliato!
Carissimi, riprende Gauss, l'ho tagliato perché le vostre semplici menti si sarebbero trovate in difficoltà con il concetto di isometria locale. Pezzo per pezzo il mio cilindro si può mettere su un piano, quindi pezzo per pezzo ha curvatura uguale a quella del piano: dato che il piano ha curvatura nulla, anche il cilindro ha curvatura nulla pezzo per pezzo. E quindi ha curvatura nulla sempre. Se ci provo con una sfera non ci riesco, nemmeno se taglio pezzi piccoli: devo comunque sempre deformarli per appiccicarli su un piano.
Ah, Gauss, sai che forse abbiamo capito? E come funziona questo tuo calcolo della curvatura?
Ecco, vedete, spiega Gauss, ho scoperto che se definisco come curvatura il prodotto delle due curvature principali, allora questo risultato è indipendente dalle osservazioni che si possono fare dall'esterno sulla superficie in questione. Insomma, è una misura che anche gli abitanti di Flatlandia potrebbero fare.
Bello, ma non sappiamo assolutamente cosa siano le curvature principali, sai?
Avete ragione: si chiamano curvature principali misurate in un punto il massimo valore e il minimo valore della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.
Uhm.
Avete presente quella sella di prima? Se vado da una valle all'altra, salgo e poi scendo. Quindi la circonferenza che meglio approssima si trova al di sotto della superficie. Se invece vado da una montagna all'altra, prima scendo e poi salgo: in questo modo la circonferenza che meglio approssima si trova al di sopra della superficie. Ora non sto a tediarvi con questioni di segno, ma capite anche voi che una delle due circonferenze avrà curvatura positiva, l'altra negativa. Quindi il loro prodotto sarà negativo.
E quindi la sella ha una curvatura negativa?
Esattamente. Più precisamente, ha curvatura negativa nel punto in cui la stiamo misurando. Se cambio punto la curvatura potrebbe cambiare. Ma non ci addentriamo troppo in questi discorsi, perché mi è venuta fame. Avete ancora un po' di pizza?
Ehm, certo.
Ecco, bene, perché è con la pizza che il mio teorema trova una fondamentale applicazione.
Eh?
Certo, certo. Osservate questa bella pizza, che superficie occupa?
È un cerchio, no?
Sì, il pizzaiolo è stato molto abile, quando le faccio io sembrano dei frattali.
Eh?
Non importa, qualcosa che studieranno bene in futuro… Dicevo, questa pizza è un cerchio, certo, ma vedete che è appoggiata su un piano, no?
Ovvio.
E quindi ha la stessa curvatura del piano.
Che, secondo quanto hai detto, dovrebbe essere zero, vero?
Esattamente. Allora, secondo il mio egregio teorema, se anche la deformo senza stirarla la curvatura non cambia.
Certo, Gauss, a meno che non sia fatta di gomma.
Questa è un'ottima pizza, non è per niente gommosa. Allora, guardate, ne taglio una bella fetta…
Isometria locale?
Bene, bene, vedo che mi seguite. Questo bello spicchio che ho appena tagliato ha curvatura zero, come l'intero cerchio, e come l'intero piano.
Ok, quindi?
Quindi ora lo piego lungo un raggio con le mani, e lo sollevo dal piatto, vedete?
Cosa?
Vedete che ora ho in mano una superficie curva, no? Che secondo il mio teorema ha ancora curvatura zero.
E quindi?
E quindi io l'ho piegata per tenerla in mano, e allora una delle due curvature principali è aumentata.
Quella lungo la direzione perpendicolare alla piega, che ora assomiglia a una conca, una specie di cilindro.
Proprio così. E dunque, se la mia curvatura, ehm, se la curvatura gaussiana deve rimanere zero, l'altra curvatura principale che valore dovrà avere?
Eh, dovrà essere zero, no? Solo moltiplicando per zero otteniamo zero.
Esatto. Ecco perché piegando uno spicchio di pizza la punta non cade verso il basso: se la curvatura principale in quella direzione deve rimanere zero, la pizza deve stare su. Così ce la possiamo mangiare comodamente con le mani. Gnam.
Ecco un'idea semplice:
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| Grazie a ultimatemotorcycling.com |
La curvatura di una curva corrisponde a quanto deve piegarsi un motociclista per percorrerla. Facile. I flessi sono i punti in cui il pilota cambia inclinazione e si piega dall'altra parte; se il pilota è poco inclinato la curvatura è piccola, se è molto inclinato la curvatura è grande.
Se il pilota mantenesse sempre la stessa inclinazione lo vedremmo descrivere una circonferenza, il cui raggio è tanto più piccolo quanto più il pilota è inclinato. Ecco allora che possiamo legare il concetto di curvatura a quello di circonferenza che meglio approssima (qualunque cosa ciò significhi, la spiegheranno i Veri Matematici) la curva, e quando parliamo di raggio di curvatura intendiamo parlare del raggio di quella particolare circonferenza.
Per esempio, qua sotto c'è una animazione fatta con GeoGebra (e inserita come html5 (credo), se non la vedete fatemi sapere) che mostra il grafico della funzione seno, un punto che si muove su di esso, e il cerchio avente come raggio il raggio di curvatura in quel punto.
Per calcolare la curvatura i Veri Matematici hanno naturalmente sviluppato metodi rigorosi che non fanno uso di piloti di moto, ma ora non ci addentriamo nella questione, perché vogliamo invece passare alle superfici.
Qui le cose si fanno più difficili, perché a seconda della direzione con cui percorriamo la superficie, la curvatura potrebbe cambiare. Ad esempio, prendiamo una superficie a forma di sella.
Possiamo immaginare che sia un passo di montagna: se partiamo da una valle, saliamo fino al valico e poi scendiamo dall'altra parte, la concavità del sentiero che stiamo percorrendo è rivolta verso il basso; viceversa, se partiamo da una cima montuosa e scendiamo fino al valico, per poi salire dall'altra parte, notiamo che la concavità è rivolta verso l'alto: il cerchio che meglio approssima il percorso si trova, in un caso, al di sotto della superficie, e nell'altro caso si trova invece al di sopra.
Bene, quindi come si misura la curvatura di una superficie? Bé, esistono alcuni modi diversi, che mettono in evidenza proprietà diverse delle superfici: ora ci concentriamo su uno solo di questi, detto della curvatura gaussiana.
Metodo che nasce da questo problema: come facciamo ad accorgerci se una superficie è curva oppure no? Capisco che questa domanda possa fare alzare un sopracciglio anche a un vulcaniano addormentato, perciò mi spiego meglio: come facciamo a capire se una superficie è curva o no senza uscire da essa, cioè senza guardarla dall'esterno?
Detto in altri termini: come fanno gli abitanti di Flatlandia a capire se il loro mondo è un piano euclideo, una sfera, oppure una sella come quella disegnata qua sopra? Loro non possono osservarlo dall'esterno, e quindi per loro non è così facile.
Bene, il buon Gauss ha trovato una soluzione (anche) a questo problema. Dopo essere diventato grande e aver smesso di calcolare somme di interi consecutivi, si è dedicato a questa faccenda della curvatura e, all'età di 50 anni, ha scritto un articolo intitolato Disquisitiones generales circa superficies curvas, nel quale si trova la seguente affermazione:
Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.
Che significa: cari lettori, se noi prendiamo una superficie curva e la sviluppiamo su una qualunque altra superficie, il calcolo della curvatura come ve l'ho spiegato io nelle righe precedenti non cambia.
E i lettori rispondono: eh?
E Gauss allora spiega meglio: se io prendo questa superficie e riesco, piegandola senza deformazioni, a appiccicarla a un'altra superficie, la curvatura non cambia. Insomma, vedete questo cilindro? Ecco, se io lo taglio in modo da ottenere un rettangolo riesco a appiccicarlo su un piano, e quindi il cilindro e il piano hanno la stessa curvatura.
Grazie, caro Gauss, rispondono i lettori, l'hai tagliato!
Carissimi, riprende Gauss, l'ho tagliato perché le vostre semplici menti si sarebbero trovate in difficoltà con il concetto di isometria locale. Pezzo per pezzo il mio cilindro si può mettere su un piano, quindi pezzo per pezzo ha curvatura uguale a quella del piano: dato che il piano ha curvatura nulla, anche il cilindro ha curvatura nulla pezzo per pezzo. E quindi ha curvatura nulla sempre. Se ci provo con una sfera non ci riesco, nemmeno se taglio pezzi piccoli: devo comunque sempre deformarli per appiccicarli su un piano.
Ah, Gauss, sai che forse abbiamo capito? E come funziona questo tuo calcolo della curvatura?
Ecco, vedete, spiega Gauss, ho scoperto che se definisco come curvatura il prodotto delle due curvature principali, allora questo risultato è indipendente dalle osservazioni che si possono fare dall'esterno sulla superficie in questione. Insomma, è una misura che anche gli abitanti di Flatlandia potrebbero fare.
Bello, ma non sappiamo assolutamente cosa siano le curvature principali, sai?
Avete ragione: si chiamano curvature principali misurate in un punto il massimo valore e il minimo valore della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.
Uhm.
Avete presente quella sella di prima? Se vado da una valle all'altra, salgo e poi scendo. Quindi la circonferenza che meglio approssima si trova al di sotto della superficie. Se invece vado da una montagna all'altra, prima scendo e poi salgo: in questo modo la circonferenza che meglio approssima si trova al di sopra della superficie. Ora non sto a tediarvi con questioni di segno, ma capite anche voi che una delle due circonferenze avrà curvatura positiva, l'altra negativa. Quindi il loro prodotto sarà negativo.
E quindi la sella ha una curvatura negativa?
Esattamente. Più precisamente, ha curvatura negativa nel punto in cui la stiamo misurando. Se cambio punto la curvatura potrebbe cambiare. Ma non ci addentriamo troppo in questi discorsi, perché mi è venuta fame. Avete ancora un po' di pizza?
Ehm, certo.
Ecco, bene, perché è con la pizza che il mio teorema trova una fondamentale applicazione.
Eh?
Certo, certo. Osservate questa bella pizza, che superficie occupa?
È un cerchio, no?
Sì, il pizzaiolo è stato molto abile, quando le faccio io sembrano dei frattali.
Eh?
Non importa, qualcosa che studieranno bene in futuro… Dicevo, questa pizza è un cerchio, certo, ma vedete che è appoggiata su un piano, no?
Ovvio.
E quindi ha la stessa curvatura del piano.
Che, secondo quanto hai detto, dovrebbe essere zero, vero?
Esattamente. Allora, secondo il mio egregio teorema, se anche la deformo senza stirarla la curvatura non cambia.
Certo, Gauss, a meno che non sia fatta di gomma.
Questa è un'ottima pizza, non è per niente gommosa. Allora, guardate, ne taglio una bella fetta…
Isometria locale?
Bene, bene, vedo che mi seguite. Questo bello spicchio che ho appena tagliato ha curvatura zero, come l'intero cerchio, e come l'intero piano.
Ok, quindi?
Quindi ora lo piego lungo un raggio con le mani, e lo sollevo dal piatto, vedete?
Cosa?
Vedete che ora ho in mano una superficie curva, no? Che secondo il mio teorema ha ancora curvatura zero.
E quindi?
E quindi io l'ho piegata per tenerla in mano, e allora una delle due curvature principali è aumentata.
Quella lungo la direzione perpendicolare alla piega, che ora assomiglia a una conca, una specie di cilindro.
Proprio così. E dunque, se la mia curvatura, ehm, se la curvatura gaussiana deve rimanere zero, l'altra curvatura principale che valore dovrà avere?
Eh, dovrà essere zero, no? Solo moltiplicando per zero otteniamo zero.
Esatto. Ecco perché piegando uno spicchio di pizza la punta non cade verso il basso: se la curvatura principale in quella direzione deve rimanere zero, la pizza deve stare su. Così ce la possiamo mangiare comodamente con le mani. Gnam.
lunedì 28 aprile 2014
domenica 27 aprile 2014
mercoledì 16 aprile 2014
martedì 8 aprile 2014
Post con un inizio e senza una fine
E quindi quella volta là non era poi mica la fine. Non lo è nemmeno oggi, del resto.
Come diceva il saggio Oogway, oggi è un dono. Per questo si chiama presente.
Come diceva il saggio Oogway, oggi è un dono. Per questo si chiama presente.
mercoledì 2 aprile 2014
martedì 25 marzo 2014
Un punto fermo — l'appendice
Un attento lettore ha notato una falla nella dimostrazione sul gioco del 15 che ho pubblicato su Un punto fermo. Il Vero Matematico che l'ha scritta è andato in crisi, si è chiuso nella sua stanzetta a meditare, e poi ha scoperto una strada più semplice che conduce allo stesso risultato, mettendo in luce un aspetto che prima era del tutto nascosto.
Eccola qua.
(Mi dicono che se aggiornate la vostra copia del libro dovreste ritrovarvela anche lì, tutto in automagico)
Eccola qua.
(Mi dicono che se aggiornate la vostra copia del libro dovreste ritrovarvela anche lì, tutto in automagico)
martedì 25 febbraio 2014
Un Punto Fermo
Ho scritto un secondo libro.
Questa volta non è di carta, è un ebook, piccolino, pubblicato da 40k. Fa parte della collana Altramatematica di 40k Unofficial, si intitola Un Punto Fermo e parla dell'enigma della scacchiera mutilata, della seconda più bella formula della matematica, dei dadi per giocare a Dungeons and Dragons, del gioco del 15 (con un premio mai riscosso), e dell'avanzata dei soldati nel deserto.
Se siete affezionati lettori di questo blog, molto probabilmente alcune cose le avete già lette. Le ho risistemate un pochino, e raccolte sotto forma di dialogo tra un Vero Matematico e il suo apprendista, che esplorano alcuni problemi apparentemente molto diversi tra loro andando alla ricerca di una costante.
Perché, in fondo, tutti cerchiamo una Costante.
Un Punto Fermo costa 1 euro e 99 centesimi, ed esiste anche grazie a .mau. e a tutti quelli di 40k.
Questa volta non è di carta, è un ebook, piccolino, pubblicato da 40k. Fa parte della collana Altramatematica di 40k Unofficial, si intitola Un Punto Fermo e parla dell'enigma della scacchiera mutilata, della seconda più bella formula della matematica, dei dadi per giocare a Dungeons and Dragons, del gioco del 15 (con un premio mai riscosso), e dell'avanzata dei soldati nel deserto.
Se siete affezionati lettori di questo blog, molto probabilmente alcune cose le avete già lette. Le ho risistemate un pochino, e raccolte sotto forma di dialogo tra un Vero Matematico e il suo apprendista, che esplorano alcuni problemi apparentemente molto diversi tra loro andando alla ricerca di una costante.
Perché, in fondo, tutti cerchiamo una Costante.
Un Punto Fermo costa 1 euro e 99 centesimi, ed esiste anche grazie a .mau. e a tutti quelli di 40k.
sabato 22 febbraio 2014
Un intervento rancoroso fatto da uno che non ne sa niente ma che comunque dice la sua (perché questo è il web, bellezza)
Ho accompagnato un po' di studenti a Milano, alla mostra di Kandinskij Kandinsky insomma, Кандинский. Secondo me (e questo è il parere di un umile insegnante di matematica che di storia dell'arte ne sa poco, che si appassiona, che dà giudizi tipo questo mi piace e questo non mi piace) la mostra è fatta molto bene e vale la pena andarci. Abbiamo avuto una guida molto paziente, gentile, che faceva intervenire gli studenti, che ha spiegato tante cose. La mostra è realizzata (sempre secondo il mio molto modesto parere) bene, ogni quadro è illuminato da un proiettore dedicato, che fa risaltare l'opera lasciando in penombra il resto.
Sono rimasto così favorevolmente colpito dall'allestimento che, a un certo punto, ho preso in mano il cellulare e ho fatto una foto:
Non è stata ritoccata, è un po' sfuocata, il contrasto è tutta opera degli automatismi del cellulare: secondo me rende bene l'idea dell'ottima illuminazione di cui parlavo qualche riga fa.
Ebbene, per questa foto sono stato sgridato da una delle signore della sorveglianza, che velocemente si è avvicinata (marcia rapida, diciamo) per dirmi che era vietato fare foto. Ho avuto l'impressione, dal suo sguardo diretto verso il mio telefono, che fosse sul punto di farmi cancellare la foto, ma alla fine non l'ha fatto. Le ho chiesto scusa, le ho detto che avevo visto una persona con una macchina fotografica poco prima, pensavo di poter fare una foto (ok, in realtà all'entrata c'era un divieto evidente, ma non l'avevo notato). Lei è rimasta un po' interdetta davanti alla notizia di un abusivo con la macchina fotografica, ha borbottato qualcosa e poi si è allontanata.
Ora l'invettiva.
Signori, perché oggi, nel 2014, ancora vi amminchiate con questi divieti inutili? Lo sapete che molti musei concedono l'uso della macchina fotografica, purché sia senza flash in modo da non disturbare le altre persone? Cosa temete? Che danno può farvi una foto come quella qua sopra? Lo so che avete un catalogo in vendita (che, se permettete, ha dei colori più falsati rispetto a quelli della foto, che pure sono falsi) che costa la bellezza di 34 euro, ma pensate che uno possa decidere di comprarlo se gli viene impedito di fotografare?
Lo sapete che su internet si trovano immagini meravigliose, fatte benissimo e, soprattutto, gratuite? Legalmente gratuite, dico.
Fate un giro su wikipaintings, per dire. O provate a usare google.
Tra l'altro il quadro è normalmente esposto a Parigi, al museo Pompidou, dove è permesso fare tutte le foto che si vuole.
[Lo so che il discorso sul fair use in Italia è complesso, e che non funziona come negli Stati Uniti, ma fa molta differenza nel 2014 accedere a un sito italiano o statunitense?]
[Comunque la mostra è molto bella e le persone molto gentili: fateci un salto]
Sono rimasto così favorevolmente colpito dall'allestimento che, a un certo punto, ho preso in mano il cellulare e ho fatto una foto:
Non è stata ritoccata, è un po' sfuocata, il contrasto è tutta opera degli automatismi del cellulare: secondo me rende bene l'idea dell'ottima illuminazione di cui parlavo qualche riga fa.
Ebbene, per questa foto sono stato sgridato da una delle signore della sorveglianza, che velocemente si è avvicinata (marcia rapida, diciamo) per dirmi che era vietato fare foto. Ho avuto l'impressione, dal suo sguardo diretto verso il mio telefono, che fosse sul punto di farmi cancellare la foto, ma alla fine non l'ha fatto. Le ho chiesto scusa, le ho detto che avevo visto una persona con una macchina fotografica poco prima, pensavo di poter fare una foto (ok, in realtà all'entrata c'era un divieto evidente, ma non l'avevo notato). Lei è rimasta un po' interdetta davanti alla notizia di un abusivo con la macchina fotografica, ha borbottato qualcosa e poi si è allontanata.
Ora l'invettiva.
Signori, perché oggi, nel 2014, ancora vi amminchiate con questi divieti inutili? Lo sapete che molti musei concedono l'uso della macchina fotografica, purché sia senza flash in modo da non disturbare le altre persone? Cosa temete? Che danno può farvi una foto come quella qua sopra? Lo so che avete un catalogo in vendita (che, se permettete, ha dei colori più falsati rispetto a quelli della foto, che pure sono falsi) che costa la bellezza di 34 euro, ma pensate che uno possa decidere di comprarlo se gli viene impedito di fotografare?
Lo sapete che su internet si trovano immagini meravigliose, fatte benissimo e, soprattutto, gratuite? Legalmente gratuite, dico.
Fate un giro su wikipaintings, per dire. O provate a usare google.
Tra l'altro il quadro è normalmente esposto a Parigi, al museo Pompidou, dove è permesso fare tutte le foto che si vuole.
[Lo so che il discorso sul fair use in Italia è complesso, e che non funziona come negli Stati Uniti, ma fa molta differenza nel 2014 accedere a un sito italiano o statunitense?]
[Comunque la mostra è molto bella e le persone molto gentili: fateci un salto]
venerdì 21 febbraio 2014
venerdì 24 gennaio 2014
martedì 14 gennaio 2014
Le proprietà dell'ellisse dimostrate senza parole
GnuGnu mi ha mandato un'animazione GeoGebra che illustra e dimostra senza parole un po' di proprietà dell'ellisse. Abilitate pure java e gustatevela qua sotto:
venerdì 10 gennaio 2014
L'ellisse del giardiniere
Una definizione di ellisse dice:
E cioè:
i punti A e B sono fissi, e si chiamano fuochi; le due distanze PA e PB variano al variare di P sulla curva, ma la somma PA + PB rimane sempre costante.
Quindi è possibile costruire un'ellisse in questo modo: si prende una corda non elastica, di lunghezza pari a PA + PB e se ne fissano le estremità nei punti A e B (per esempio legando la corda a due pioli piantati nel terreno). Utilizzando uno strumento in grado di lasciare una traccia si può ora disegnare l'ellisse: basta tenere la corda sempre tesa e fare scorrere lo strumento..
Questo metodo viene detto ellisse del giardiniere perché pare che[citation needed] venga utilizzato proprio dai giardinieri per costruire aiuole ellittiche.
Qui sotto (se tutto funziona) (forse dovete dire al vostro sistema di fidarsi del codice java che deve essere caricato) (fidatevi) ci dovrebbe essere una animazione che mostra il tutto: la lunghezza della spezzata rossa rimane sempre costante.
l'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali rimane costante la somma delle distanze da due punti, detti fuochi.
E cioè:
i punti A e B sono fissi, e si chiamano fuochi; le due distanze PA e PB variano al variare di P sulla curva, ma la somma PA + PB rimane sempre costante.
Quindi è possibile costruire un'ellisse in questo modo: si prende una corda non elastica, di lunghezza pari a PA + PB e se ne fissano le estremità nei punti A e B (per esempio legando la corda a due pioli piantati nel terreno). Utilizzando uno strumento in grado di lasciare una traccia si può ora disegnare l'ellisse: basta tenere la corda sempre tesa e fare scorrere lo strumento..
Questo metodo viene detto ellisse del giardiniere perché pare che[citation needed] venga utilizzato proprio dai giardinieri per costruire aiuole ellittiche.
Qui sotto (se tutto funziona) (forse dovete dire al vostro sistema di fidarsi del codice java che deve essere caricato) (fidatevi) ci dovrebbe essere una animazione che mostra il tutto: la lunghezza della spezzata rossa rimane sempre costante.
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