Baricentro

 

“Cos'è 'sta roba?”.

“Le mediane di un triangolo si intersecano tutte in uno stesso punto che si chiama baricentro e che le divide in due parti, una il doppio dell'altra”.

“Ehhh?”.

“Il famoso teorema sul baricentro, no?”.

“Famosissimo. Però il baricentro l'ho già sentito nominare, ma in fisica”.

“Beh, la fisica è una parte della matematica che ha qualche applicazione a volte utile”.

“Andiamo bene”.

“Però, sì, anche in fisica esiste il baricentro”.

“Che ha qualcosa a che fare con la forza di gravità, mi pare”.

“E infatti in questi disegni abbiamo un solido pesante”.

“Io vedo un triangolo”.

“Non vedere un triangolo, ma un solido formato da tre masse uguali, poste nei vertici del triangolo”.

“E questo lo vediamo grazie a quei numeri 1 che ogni tanto compaiono?”.

“Esatto. Compaiono quando servono. All'inizio poniamo l'attenzione solo su due delle tre masse”.

“Quelle in basso”.

“Quelle in basso nella figura, sì. Possiamo pensare alla base del triangolo come a un'asta alle cui estremità sono fissate due masse”.

“Ok”.

“Ora, al posto di quelle due masse possiamo sostituire una massa doppia messa al centro del lato”.

“Perché al centro?”.

“Se vogliamo che quell'asta sia in equilibrio, la massa dovrà stare al centro. Se fosse spostata verso destra o verso sinistra sarebbe sbilanciata”.

“Come un'altalena?”.

“Esattamente. O come una bilancia antica, a due piattelli: il fulcro sta al centro e il braccio è in equilibrio se sul piattello di destra e su quello di sinistra ci sono gli stessi pesi”.

“Ok”.

“Nella terza figura, mettiamo in gioco anche il terzo vertice”.

“Vedo anche una nuova asta”.

“Sì, che collega il terzo vertice alla massa doppia che abbiamo usato prima”.

“E ora dobbiamo mettere in equilibrio questa nuova asta”.

“Esatto”.

“Dove va il fulcro? Non al centro, no?”.

“No: ricordi cosa diceva Archimede?”.

“Eureka?”.

“Anche. La leggenda racconta che pronunciò anche questa frase: datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo”.

“E cosa significa?”.

“Aveva scoperto il principio di funzionamento delle leve: se sposti il fulcro puoi sollevare grossi pesi facendo poca fatica”.

“Mh, e come?”.

“Il fulcro divide l'asta in due parti: l'asta sarà in equilibrio se il prodotto fra la distanza massa-fulcro e la massa è costante per entrambe le masse”.

“Eh?”.

“Se hai una massa uguale a 2 e una seconda massa uguale a 1, allora il fulcro divide l'asta in due parti che saranno una doppio dell'altra. La parte più corta sta dalla parte della massa maggiore, la parte più lunga dalla parte della massa minore”.

“Ah, ecco perché 1/3 e 2/3”.

“Esatto: l'asta viene divisa in tre parti, il fulcro ne tiene una da un lato e due dall'altro. In questo modo i prodotti massa-distanza sono costanti”.

“Vedo”.

“E quindi abbiamo trovato il baricentro, cioè il punto in cui possono essere concentrate le tre masse. E anche il punto che divide le mediane in due parti, una doppia dell'altra”.

“Molto bene. Ma questa è una vera dimostrazione?”.

“Perché no? La dimostrazione geometrica è diversa, usa le proprietà delle rette parallele e dei parallelogrammi, ma questa è più efficace, almeno dal punto di vista mnemonico”.

“Ok”.

“Poi, volendo, da qui si potrebbe partire per sviluppare strumenti notevoli per risolvere problemi difficili”.

“Aiuto”.