“Uh, chissà cosa ne pensano i filosofi”.
“Eh, non è un’affermazione da poco: se l’insieme è abbastanza grande, emergeranno sempre strutture ordinate. Prima ancora che Ramsey sviluppasse tutta la sua teoria, i matematici hanno studiato strutture emergenti non solo in ambito geometrico, ma anche in ambito aritmetico”.
“Per esempio?”.
“Per esempio, nel 1926 un matematico olandese, Bartel van der Waerden, si mise a studiare strutture presenti all’interno di successioni aritmetiche ”.
“Che, ehm, sarebbero?”.
“Le successioni aritmetiche sono successioni di numeri in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre costante. Detto in un altro modo, ogni termine della successione si ottiene dal precedente aggiungendo sempre la stessa costante. Per esempio, la successione 4, 7, 10, 13, 16 è una successione aritmetica”.
“Vero, ogni volta aggiungi 3”.
“Sì: per definire una successione aritmetica serve il punto di partenza, che nel nostro caso è 4, e la costante, che i Veri Matematici chiamano ragione”.
“Che nel nostro caso è 3”.
“Sì. Ora, i problema che studiava van der Waerden è questo: scriviamo tutti i numeri da 1 a 9 in rosso oppure in blu. È sempre vero che possiamo trovare tre numeri rossi o tre numeri blu che formano una progressione aritmetica?”.
“Uhm, con così pochi numeri non mi sembra un problema difficile”.
“Hai ragione, questo è un esempio, giusto per capire come funziona il problema, Puoi risolvere il quesito senza sapere nulla della teoria di Ramsey”.
“Allora ci provo. Vediamo un momento, mi sembra utile partire dal centro della successione. Provo a vedere cosa succede se i numeri 4 e 6 sono colorati di rosso”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Molto bene”.
“Devo sicuramente evitare la progressione 4, 5, 6. E quindi devo colorare 5 di blu”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Pefetto”.
“Però così non ho escluso tutte le possibili progressioni. Per esempio, potrebbe esserci 2, 4, 6. Oppure anche 4, 6, 8. Ok, coloro di blu anche 2 e 8”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Uhm”.
“Cosa succede? Ah! Ho colorato di blu 2, 5, 8, che sono in progressione aritmetica!”.
“E quindi la tua supposizione iniziale non funziona”.
“Hai ragione. Allora 4 e 6 non possono essere colorati entrambi di rosso. E, simmetricamente, nemmeno di blu. Significa che devono avere due colori diversi!”.
“Forse”.
“Giusto, se hanno colori diversi posso sperare di evitare progressioni monocromatiche, ma devo capire se ci riesco. Allora, proviamo. Coloro 4 di rosso e 6 di blu”.
“Senza perdita di generalità”.
“wlog!”.
“Già”.
“Ahh, ho usato wlog anche io, come fanno i Veri Matematici! Allora, parto da qua:”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Bene”.
“Direi di poter colorare il 5 come voglio, anche qui non perdo di generalità se lo coloro di rosso o di blu: in ogni caso non ottengo una progressione aritmetica monocromatica”.
“Giusto”.
“Quindi lo coloro di rosso. Ora la situazione è questa:”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Sì, vedo. Con questa configurazione, mi devo preoccupare di non avere il 3 rosso. Se invece 5 fosse blu, mi dovrei preoccupare di non avere il 7 blu. Ho capito. E allora coloro di blu il 3”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Ho già due numeri blu, devo evitare di avere il terzo in progressione. Direi quindi che 9 debba essere rosso”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Uhm. Sì, bisogna evitare che 1, 5, 9 sia tutta rossa, quindi 1 va colorato di blu”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Vedo che 5, 7, 9 rischia di essere tutta rossa, quindi coloro 7 di blu. Però devo evitare che 6, 7, 8 sia blu, quindi coloro 8 di rosso”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
“Per evitare che 1, 2, 3 sia tutta blu, devo colorare 2 di rosso. Ehi, ma se 2 è rosso dopo ho 2, 5, 8 tutta rossa!”.
“E quindi?”.
“E quindi non ce la faccio a colorare i numeri da 1 a 9 con due colori in modo da non ottenere successioni aritmetiche monocromatiche”.
“Ancora una volta, emerge un ordine”.
“Già. Bell’esercizio, ma van der Waerden non avrà studiato questo problema, vero?”.
“Beh, questo era un esempio semplice. Sai come fanno i Veri Matematici quando risolvono un problema: partendo dal caso semplice, guardano se possono...”.
“...generalizzarlo, ormai ho capito”.
Questa è la terza parte di un articolo uscito sulla rivista Archimede, numero 4, del 2017. La prima parte è qua, la seconda qua.
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