Padé, che approssimava bene

“Allora non ce la facciamo a capire se pi greco è trascendente o no? Con tutta la teoria che abbiamo visto…”.

“Eh, non basta”.

“Ma, scusa, avevi detto che se un numero è approssimabile da numeri razionali con errore più piccolo di qualunque potenza del denominatore, allora è trascendente”.

“Esatto”.

“Ma quindi?”.

“Non ho detto il viceversa. Non è mica vero che ogni trascendente è approssimabile come si vuole, purtroppo”.

“Ah”.

“Il numero di Liouville è stato costruito apposta per soddisfare quel teorema, ma pi greco è un'altra cosa. Diciamo che è più naturale del numero di Liouville, ammesso che questa affermazione abbia senso”.

“Ci sarebbe da discutere, infatti”.

“Fatto sta che non si può procedere con pi greco come abbiamo fatto con quel numero. Le cose diventano molto, molto più difficili”.

“Ahi, hai detto molto due volte”.

“Già. Invece di usare frazioni che approssimano, si usano polinomi che approssimano. E per fare vedere che pi greco è trascendente, serve l'analisi”.

“Derivate?”.

“Derivate e integrali, condite con il teorema di infinità dei numeri primi e compagnia bella, tra cui anche la formula più bella della matematica”.

“Uh”.

“Provo a darti un'idea di queste frazioni polinomiali che approssimano le funzioni”.

“Proviamo”.

“Hai presente l'idea che sta sotto alla formula di Taylor?”.

“Ehm”.

“Capirai. L'idea è questa: ogni funzione (che soddisfa determinate ipotesi ragionevoli, naturalmente), può essere approssimata bene quanto si vuole da un polinomio. Se vogliamo che l'approssimazione sia buona, il polinomio deve avere grado alto. Più alto è il grado, migliore è l'approssimazione”.

“Va bene, l'idea me la ricordavo”.

“Prendiamo per esempio la funzione y = e^x, che ci servirà”.

“Ok”.

“Ecco un po' di polinomi approssimanti:”.

y = 1
y = 1 + x
y = 1 + x + x²/2
y = 1 + x + x²/2 + x³/6
y = 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24

“Simpatici”.

“Te li metto anche in un disegno, eccoli qua. In rosso c'è la funzione y = e^x, in verde le varie approssimazioni”.

“Non mi dirai che sono belle approssimazioni”.

“Capisco la tua obiezione: devi guardare vicino al punto (0,1). La retta orizzontale è la funzione costante uguale a 1, che approssima come può”.

“Una schifezza”.

“Sì. Poi però abbiamo una retta che approssima meglio, la tangente, e poi delle curve. Se osservi bene, vedi che andando verso destra approssimano sempre meglio la curva rossa”.

“Sì, capisco, ma a sinistra fanno pena”.

“E questo è il problema dei polinomi. La funzione esponenziale ha un asintoto orizzontale, ma i polinomi non ce l'hanno. O salgono sempre, o scendono sempre”.

“E quindi come si fa?”.

“Con queste approssimazioni, non facciamo molto. Ma Padé, che era un matematico francese, ha studiato approssimazioni con frazioni algebriche, cioè frazioni in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi”.

“E queste approssimano meglio?”.

“Beh, con le frazioni puoi anche fare gli asintoti”.

“Ah”.

“Per esempio, la frazione che ha al numeratore 60 + 24x + 3x² e al denominatore 60 − 36x + 9x² − x³ ha questo grafico”.

“Ah, sembra identica, si vede sbordare un po' di rosso solo agli estremi”.

“Visto? Approssima molto meglio del singolo polinomio, anche se anche qua c'è un difetto”.

“Quale?”.

“Ti faccio vedere il grafico da un po' più lontano”.

“Ah, c'è una parte anche sotto!”.

“Già, non si può avere la perfezione, però questo tipo di approssimazione ci basta”.

“Ma cosa c'entra l'esponenziale con pi greco?”.

“C'entra, c'entra, colpa della formula più bella della matematica”.