Come elevare al quadrato un numero di due cifre
Ricordando il famoso prodotto notevole (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (e cioè quadrato del primo più doppio prodotto del primo per il secondo più quadrato del secondo), si può elevare al quadrato a mente in questo modo:
- si calcola il quadrato della cifra delle unità, e si scrive la cifra delle unità del risultato (le decine vanno a riporto)
- si calcola il doppio prodotto della cifra delle unità per la cifra delle decine, si somma l'eventuale riporto, e si scrive la cifra delle unità alla sinistra della cifra scritta al punto precedente
- si calcola il quadrato della cifra delle decine, si somma l'eventuale riporto, e si scrive i risultato a sinistra delle due cifre scritte prima
Funziona perché un numero avente come cifra delle decine a e come cifra delle unità b può essere scritto come (10a + b) e quindi, elevandolo al quadrato, si ottiene:
(10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2,
da cui si deduce che la cifra delle unità è quella di b2, quella delle decine è data da 2ab più l'eventuale riporto della cifra delle unità, e quella delle centinaia da a2 più l'eventuale riporto della cifra delle decine.
Esempio, vogliamo calcolare il quadrato di 42:
- 22 = 4 — scrivo 4 e non riporto niente: 4
- 2·4·2 = 16 — scrivo 6 e riporto 1: 64
- 42 = 16, aggiungo il riporto: 16+1 = 17 — scrivo 17: 1764
Come elevare al quadrato un numero che finisce per 5
Riprendendo quanto detto sopra, e notando che un numero che finisce per 5 può essere scritto come (10a + 5), con a eventualmente anche maggiore di 9, abbiamo che
(10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
da cui si deduce che i quadrati di tutti i numeri che finiscono per 5 hanno, come ultime due cifre, 25; le cifre più a sinistra (quindi centinaia, migliaia, eccetera) si ottengono moltiplicando a per a + 1. Quindi il procedimento è:
- si prende il numero ottenuto cancellando la cifra delle unità del numero dato e lo si moltiplica per il successivo, si scrive il risultato
- alla destra del risultato si scrive 25
Esempio, vogliamo calcolare il quadrato di 65:
- cancello il 5, rimane 6 — lo moltiplico per il successivo, cioè 7, ottengo 6·7 = 42
- scrivo 25 a destra di 42: 4225.
Come moltiplicare due numeri vicini tra loro.
Si può usare il prodotto notevole (a + b)(a − b) = a2 − b2 per calcolare il prodotto di due numeri p e q, se li si riesce a esprimere come somma e differenza di altri due numeri a e b (se sono vicini, la differenza a − b è un numero piccolo, e i calcoli risultano piu facili)
Esempio: calcolare il prodotto 41·43.
Si esprime 43 come 42 + 1 e 41 come 42 − 1, e quindi si calcola (42 + 1)(42 − 1) = 422 − 12 (il quadrato di 42 può essere calcolato con il metodo indicato sopra) =
1763.
Come moltiplicare per 11
Il prodotto di un qualunque numero a per 11 può essere calcolato seguendo questo procedimento:
- si scrive la prima cifra
- si sommando le cifre consecutive di a a 2 a 2, tenendo conto dei riporti
- si scrive l'ultima cifra.
Esempio: calcolare 1489·11.
- si scrive la prima cifra: 1
- Si sommano le cifre a 2 a 2 (le scrivo separate da parentesi, che non indicano prodotti): 1(1+4)(4+8)(8+9)
- Si scrive l'ultima cifra: 1(1+4)(4+8)(8+9)9
- Si eseguono i calcoli tra parentesi: 1(5)(12)(17)9
- Andando da destra a sinistra, si scrive una sola cifra per raggruppamento e si tiene conto dei riporti: 1(5+1)(2+1)(7)9 = 16379
(Questo post si aggiornerà se verranno suggeriti altri trucchi strabilianti (e se mi ricorderò di farlo)).
