martedì 4 settembre 2012

Una misteriosa costante matematica — 2

«Per ottenere un metodo veloce, anche se approssimato, per calcolare la somma dei primi n termini della serie armonica, dobbiamo dare un'occhiata a questo grafico».



«Uh, e cosa si vede?».

«Allora, la funzione rossa è = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».

«Vedo».

«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».

«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».

«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».

«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».

«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».

«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».

«Giusto».

«Quindi l'area è data dall'altezza».

«Ancora giusto».

«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».

«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».

«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».

«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».

«Davvero?».

«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».



«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».

«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».

«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».

«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».

«E come facciamo a dirlo?».

«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».

«Vero».

«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».

«Anche questo è vero».

«E lascerebbero un po' di spazio libero».

«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».

«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».

«Mica poche».

«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».

«Ah».

«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».

«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».

«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».

«Immagino, eh».

«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».

«Uno dei problemi del millennio?».

«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».

«Addirittura».

«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».

«Ma dai».

«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10242080».

«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».

«Eh».

«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».

«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».

N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).

«E per non fare tutto a mano, come si fa?».

«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».



«Vediamo un po', se = 719 mi viene 5145.5. Argh».

«Si fanno affari con le figurine, eh?».

6 commenti:

Matteo Tommasini ha detto...

Decisamente si fanno affari notevoli con le figurine! Anche se bisognerebbe stimare anche gli scambi, che contribuiscono a diminuire quel numero!

Complimenti per i 2 post!

Juhan ha detto...

Vale dire come Matteo? Io comunque lo faccio, almeno per questa volta.

zar ha detto...

Eh, stimare gli scambi mi sa difficile, hai voglia di scriverci un programmino...?

Anonimo ha detto...

Si è tenuto conto anche del fatto che nei pacchetti di figurine ci sono n figurine non 1 sola?

Non sono patito di figurine, ma so per esperienza che gli scambi riducono di molto la necessità di acquisto.

Succede sempre, però, che in una determinata zona siano introvabili, non si sa bene come mai, una o due figurine. Le case editrici spergiurano che loro hanno prodotto tutte le figurine allo stesso modo. Facciamo finta di crederci. E' possibile che queste rarità locali siano giustificate statisticamente? Io non saprei dimostrarlo.

ilcomizietto

zar ha detto...

No, non ho tenuto conto del fatto che compri n figurine alla volta, ma i conti cambiano poco (cioè, se consideriamo la spesa per figurina, va bene quello che ho scritto). Non so però se sia assicurato il fatto che ogni pacchetto deve contenere figurine diverse: in questo caso le cose cambiano un po'.

Mi diceva un amico che lavora alla Panini che, almeno un tempo, c'erano alcune figurine "speciali" che venivano stampate su carta diversa (lucida, argentata, trasparente, non so). In quel caso il processo di produzione produce più scarti, perché la carta è più delicata, e automaticamente quelle figurine diventano rare.

Marco ha detto...

Roba sempre attuale: la serie armonica è usatissima anche in analisi asintotica degli algoritmi per giudicare le prestazioni di uno di essi. Chi dice che si può programmare benissimo senza sapere nemmeno le tabelline è come un monaco amanuense che ricopia le lettere altrui senza saper leggere: non farà mai niente di suo se non accozzare assieme scritte altrui.