lunedì 7 febbraio 2011

Coi teoremi non si scherza

(Nota preventiva: ciò che segue ha lo scopo di stimolare chi sa a spiegare ciò che segue)

Esiste un teorema che ha un nome un po' particolare: si chiama teorema del libero arbitrio. L'hanno dimostrato, nel 2006, Conway (sempre lui) e Simon Kochen.

Si basa su tre ipotesi, che vado ad elencare; anche queste hanno nomi un po' particolari:

Fin: esiste una velocità massima di propagazione delle informazioni (non necessariamente deve essere la velocità della luce).

Spin: se si misurano le componenti dello spin di una determinata particella di spin uno lungo tre direzioni ortogonali, e si eleva al quadrato, si ottiene sempre la terna 1, 0, 1 o una sua permutazione (questo è un risultato della meccanica quantistica).

Twin: è possibile legare tra loro due particelle elementari in modo tale che una misura di spin al quadrato fatta su una di esse darà sempre lo stesso risultato di una analoga misura, nella stessa direzione, fatta sull'altra particella, anche se le particelle si trovano ad una notevole distanza una dall'altra (e anche questo è uno dei tanti risultati sconcertanti della meccanica quantistica).

Successivamente, l'ipotesi Fin è stata un po' indebolita (irrobustendo così il teorema) ed è stata quindi sostituita dalla

Min: due sperimentatori possono scegliere quali misure effettuare in maniera indipendente uno dall'altro. Quindi non necessariamente tutta l'informazione deve viaggiare a velocità finita: ciò che ci interessa è che l'informazione riguardante le loro scelte su cosa misurare viaggi a velocità finita.

Il teorema dice, più o meno, che se noi siamo liberi di scegliere quale tipo di misura fare, relativamente allo spin di una particella, allora il risultato che otteniamo non dipende dallo stato dell'universo prima dell'esperimento.

In altre parole più ad effetto, se noi possediamo il libero arbitrio, allora anche una certa categoria di particelle elementari lo possiede. Se no, no.

Comunque stiano le cose, la faccenda mi inquieta.

20 commenti:

hronir ha detto...

Fantastico, non lo conoscevo (e non l'ho capito, devo assolutamente approfondire).
Ad ogni modo non mi è chiara l'ipotesi Spin: le componenti dello spin in una base ortogonale rappresentano osservabili incompatibili, ovvero non è possibile misurare *contemporaneamente* tutte e tre le componenti (direi nemmeno due soltanto, se non sono troppo arrugginito: anzi, essendo lo spin totale fissato ad uno, la coppia spin/la-componente-dello-spin-lungo-una-direzione-arbitraria rappresenta un sistema completo di osservabili compatibili...).
Insomma, qual è davvero l'ipotesi spin?
(inutile precisare che ho già cercato su wikipedia, dove non si offrono dettagli maggiori che su questo tuo post...)

zar ha detto...

Ti dirò: non lo so :-)

Puoi però leggere l'articolo originale di Conway e socio: qui.

.mau. ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
.mau. ha detto...

la cosa peggiore è che Penrose potrebbe avere ragione.

zar ha detto...

Riguardo la coscienza?

.mau. ha detto...

yup. Che poi una particella abbia o no libero arbitrio non è un mio problema.

zar ha detto...

Il mio problema è che io voglio avere il libero arbitrio...

ilcomizietto ha detto...

Io avevo letto da qualche parte (non mi ricordo dove!) che l'entanglement non può essere usato per trasmettere informazioni a velocità superiori a quella della luce. Penso sia un altro modo per dire più o meno la stessa cosa. Forse.

Comunque la fisica quantistica è quanto di più affascinante l'uomo possa studiare.

.mau. ha detto...

@zar: pensa se non avessimo il libero arbitrio ma tu volessi averlo :-)

zar ha detto...

Argh!

zar ha detto...

@ilcomizietto: non so. Penso che il fatto che l'entanglement non possa essere usato per trasmettere informazioni a velocità superiori a quella della luce sia inserito nella prima ipotesi.

hronir ha detto...

Ora ho capito, ma è spiegato davvero da cani!

Dall'articolo arguisco che stanno mischiando una relazione algebrica fra gli operatori di spin (e proiezione) con relazioni fra i valori sperimentali di quelle osservabili, che algebricamente corrispondono agli autovalori di quegli operatori.

Algebricamente vale:

S^2 = Sx^2 + Sy^2 + Sz^2

Sperimentalmente, per una particella di spin 1, valgono

S^2 = 2;
Sk^2 = 0 oppure Sk^2 = 1, con k=x,y o z;

Ma mischiare le due cose per dire che se la somma di tre termini tutti zeri o uni è due, allora i tre termini sono una permutazione di (1,1,0) significa non aver capito nulla di meccanica quantistica o, ed evidentemente è questo il caso, significa voler insistere nel dare versioni "divulgative" della stessa col solo scopo di confondere.

Sostituire in una relazione algebrica fra operatori i loro possibili autovalori significa commettere un errore "matematico" grosso come una casa.

Del resto, anche il riferimento al libero arbitrio è volutamente provocatorio, perché di fatto quello di cui parlano è, in realtà, banalmente la casualità.

zar ha detto...

Eh, non so. L'unica cosa che capisco è che la conclusione dice questo: non puoi prevedere ciò che misurerai neanche se tu conoscessi lo stato (qualunque cosa ciò significhi) di tutto l'universo prima della misura.

hronir ha detto...

Be', detto così è ancora peggio: ce lo dice già la meccanica quantistica, dagli anni '30, che il risultato sperimentale di una misura è intrinsecamente aleatorio (e del resto gli aspetti davvero "sconvolgenti" della MQ sono i *dettagli* di questa aleatorietà: l'entanglment, le disuguaglianze di Bell, la distinzione fra miscela statistica e sovrapposizione coerente, l'esistenza di variabili non-compatibili, etc, etc...).
Intendiamoci, non credo affatto che abbiano scritto delle emerite stupidaggini, solo hanno utilizzato un taglio eminentemente divulgativo, e di un divulgativo che personalmente non apprezzo per niente: esasperare gli aspetti controintuitivi per generare sorpresa, portando le situazioni all'estremo fino al paradosso attraverso semplificazioni eccessive e paragoni azzardati, che nascondono completamente quanto di realmente sensazionale c'è nella MQ (e ce n'è, altrochè se ce n'è!).

PiccoloMike ha detto...

A proposito dell'entanglement, conoscete questo gioco?

http://entanglement.gopherwoodstudios.com/

Da quando l'ho scoperto sta prendendo il sopravvento su ogni altra mia attività, quindi fate attenzione!

agapetòs ha detto...

La cosa per me più "intrigante" dell'entanglement è che le due misure sono correlate ma non legate da un nesso causale (se le due rilevazioni avvengono in due eventi separati da un vettore space-like). Però ognuno dei due sistemi può, secondo il modello della teoria quantistica, ritenere di essere stato la "causa" del crollo della funzione d'onda. Insomma, uno di quei casi in cui MQ e relatività non si contraddicono ma concettualmente fanno a cazzotti fra loro.

zar ha detto...

@PiccoloMike: maledetto! :-)

@agapetos: mi piacerebbe averla studiata per bene, la meccanica quantistica...

Anonimo ha detto...

Capito qui per caso e mi sento di dire la mia:
@hronir secondo me hai afferrato il punto del problema, questo teorema non dice molto di più della disuguaglianza di Bell, se mai è una sua riformulazione. Tanto più che affermare l'impossibilità di "determinare il risultato dell'esperimento prima di effettuarlo" è il succo dell'interpretazione di Copenhagen.
Per quanto riguarda il sostituire agli operatori i propri autovalori.. beh non credo che nessuno possa fare un errore tanto grossolano, piuttosto secondo me si tratta di fare tre misure successive nelle tre direzioni ortogonali, segnarsi gli autovalori ed elevarli al quadrato (i conti tornano, sembrerebbe).
Poscritto: i miei più sinceri complimenti al blogger, mi sto leggendo l'intero blog da quando l'ho scoperto.
Marco

zar ha detto...

Marco, grazie...

hronir ha detto...

> secondo me si tratta di fare tre misure successive nelle tre direzioni ortogonali, segnarsi gli autovalori ed elevarli al quadrato (i conti tornano, sembrerebbe).

Ogni misura modifica lo stato iniziale portandolo nell'autostato relativo all'autovalore corrispondente al risultato sperimentale, quindi fare tre misure in successione nelle tre direzioni ortogonali non garantisce affatto che sussitano le relazioni "geometriche" che invece sussistono fra gli operatori (e.g. non è impossibile, cioè ha probabilità finita non-nulla, che misurando in successione la componente di spin nelle tre direzioni ortogonali si ottenga tutte e tre le volte 1).