Matematica e letteratura

Oggi in edicola, assieme a una grossa sindrome dell'impostore. E Dante, Borges, Buzzati, Melville.

Classifiche olimpiche di Parigi 2024

Ecco la classifica definitiva delle olimpiadi di Parigi 2024, ordinata come al solito secondo la proposta di Simon Tatham.

Newton

Il progetto iniziale del librino sulle funzioni prevedeva anche che io scrivessi qualcosa su un matematico famoso. Poi il progetto è cambiato, è cambiata la lista dei personaggi, assegnati tutti a un'autrice unica. Dunque il pezzo è rimasto in mano mia, e visto che non si butta via niente lo metto qua sotto.

Il 4 ottobre 1582 papa Gregorio XIII pubblicò la bolla pontificia Inter Gravissimas, che conteneva questa frase:

E mentre noi stessi, forti dell'autorità che a noi, benché indegni, è stata data da Dio, ci occupavamo di questa preoccupazione, dal caro figlio Antonio Giglio, professore di scienza e medicina, ci è stato dato il libro che il suo defunto fratello Luigi aveva scritto, in cui, per mezzo del ciclo d'epatta da lui inventato, e in relazione diretta col numero d'oro, e adattato alla durata di qualunque anno solare, ha mostrato che tutti i difetti del calendario possono essere corretti con un rapporto costante valido per tutti i secoli, in modo che il calendario non sia soggetto a nessun altro cambiamento nel futuro.

La "preoccupazione" di cui parlava era relativa al problema di mantenere intatti gli antichi riti ecclesiastici, pur modificando il calendario. Perché il calendario andava modificato, visto che quello giuliano, in vigore fino a quel giorno e non molto preciso, aveva accumulato un errore di dieci giorni.

La bolla introduceva un nuovo calendario, detto poi gregoriano, che correggeva l'errore e calcolava il tempo in modo più preciso. Esso fu subito adottato in alcuni paesi cattolici, si diffuse poi negli anni successivi anche in altri paesi cattolici, ma fu rifiutato dai paesi protestanti, che lo adottarono soltanto in epoche successive. Gli stati luterani e calvinisti lo adottarono nel 1700, e quelli anglicani nel 1752.

Il giorno di Natale del 1642, secondo il calendario giuliano allora in vigore, a Woolsthorpe-by-Colsterworth nacque Isaac Newton. Per i paesi cattolici era già il 4 gennaio 1643, ma il villaggio di Woolsthorpe-by-Colsterworth si trova nella contea del Lincolnshire, a 170 km da Londra, in pieno territorio anglicano. E, infatti, Isaac Newton dichiarò sempre, a chi glielo chiese, di essere nato "il giorno di Natale dell'anno di grazia 1642". Se domandassimo al più famoso motore di ricerca su internet quale sia la data di nascita di Newton, avremmo invece come risposta la data del 4 gennaio 1643. Punti di vista.

Mentre Newton frequentava la scuola locale, le sue doti venivano notate da uno zio che consigliò la mamma di iscriverlo a Cambridge, cosa che avvenne nel 1661. Inizialmente Newton si dedicò alla chimica, che non abbandonò mai del tutto, poi si dedicò alla lettura del classico matematico per antonomasia, gli Elementi di Euclide, e in seguito studiò il metodo delle coordinate di Cartesio, l'ottica di Keplero, gli scritti di Viète e l'Arithmetica infinitorum di Wallis, opera che lo influenzò moltissimo. Dopo aver assimilato le conoscenze matematiche dell'epoca, Newton era pronto per contribuire con idee proprie e originali. Nel 1665, all'età di 23 anni, pubblicò la sua prima scoperta: il modo di esprimere alcune funzioni sotto forma di somme infinite, il cosiddetto teorema binomiale. Siamo abituati a considerare le funzioni come una sequenza finita di operazioni elementari, e così sono state presentate le funzioni in questo volume. Ma esistono anche funzioni più complesse, che non si possono esprimere in questo modo. Ecco quindi l'idea di Newton: se non posso esprimere una funzione mediante una sequenza finita di operazioni semplici, allora devo dare un senso all'idea di svolgere infinite operazioni. L'idea che per i matematici Greci era da evitare a tutti i costi, cioè l'idea di infinito, ora non era più un tabù. Punti di vista.

Ed è ragionando sull'infinito che Newton arriva a formulare una delle sue scoperte più importanti: il calcolo infinitesimale (di cui dovrà condividere la paternità con Leibniz; i due matematici avevano sviluppato autonomamente, e all'insaputa uno dell'altro, il calcolo con gli infinitesimi e infiniti. Di questo parleremo più avanti). Egli immaginava le funzioni come oggetti dinamici: pensiamo alla variabile indipendente, la x, come a un fiume che scorre; ecco allora che la funzione agisce su questo flusso di numeri per alterarne il percorso. Newton, infatti, chiamava fluenti le variabili di ingresso e di uscita di una funzione, e si chiedeva come misurare il tasso di variazione istantaneo della variabile in uscita: di quanto varia l'uscita se l'ingresso varia di una certa quantità? E se la quantità di cui varia la variabile in ingresso è molto piccola, infinitesima, di quanto varia la variabile in uscita? Newton chiamava flussioni le velocità di variazione delle fluenti: noi, oggi, ci riferiamo a esse col nome di derivate.

La prima opera in cui Newton descriveva la sua analisi infinita si intitolava De analysi per aequationes numero terminorum infinitas e fu pubblicata nel 1711. È interessante leggere cosa pensasse di questo nuovo metodo:

E qualsiasi cosa l'analisi comune esegua per mezzo di equazioni con un numero finito di termini (purché lo si possa fare), questo metodo può sempre eseguire la stessa cosa per mezzo di equazioni infinite. Così non ho esitato a dare ad esso lo stesso nome di analisi. Infatti i ragionamenti usati in questa analisi non sono meno certi di quelli usati nell'altra, e le sue equazioni non sono meno esatte.

Da allora i matematici non hanno più cercato di evitare l'infinito, come invece avevano fatto i greci.

Mentre Newton espandeva le sue conoscenze in Gran Bretagna, un altro matematico scopriva le stesse idee nel continente europeo: Leibniz, che nel 1676 era giunto alle stesse conclusioni di Newton. Anch'egli aveva capito come affrontare il mondo degli infiniti e degli infinitesimi. Nel 1684, dunque molto prima di quanto fece Newton, pubblicò la propria versione del calcolo differenziale e, due anni dopo, quella sul calcolo integrale.

Di chi fu, quindi, l'idea originale? Chi aveva copiato da chi? All'epoca nacque una polemica tra i sostenitori di Newton e quelli di Leibniz, che non si risolse immediatamente. Oggi sappiamo che Newton formulò il suo metodo circa dieci anni prima di Leibniz; del resto, Leibniz pubblicò i propri risultati prima di Newton, ma egli fece le proprie scoperte indipendentemente da Newton. Nessuno copiò nessuno, insomma: evidentemente i tempi erano maturi per questo grande passo verso l'infinito.

Anche se le idee erano le stesse, i metodi per svilupparle erano però diversi. L'idea di Newton nasceva dalla fisica, e venne poi rivestita di geometria in modo che i contemporanei potessero comprenderla meglio. L'opera più famosa di Newton, quella che fu la sua prima presentazione del calcolo infinitesimale, fu pubblicata nel 1687 e si intitolava Philosophiae naturalis principia mathematica. Già dal titolo si capisce come essa sia un'opera di grande respiro, non un breve trattato su un nuovo metodo di calcolo. Era una presentazione dei fondamenti della fisica e dell'astronomia in cui veniva usato il linguaggio della geometria.

Newton non fu il primo a usare operazioni di differenziazione o integrazione: già altri matematici avevano studiato funzioni particolari con questi metodi. Il suo contributo fondamentale fu quello di raggruppare le varie tecniche speciali in un unico metodo generale, applicandolo a tutte le funzioni.

Si dice che Philosophiae naturalis principia mathematica sia stato l'apice della Rivoluzione scientifica, termine con il quale si fa riferimento a quella serie di eventi che ha portato allo sviluppo della scienza moderna. La pubblicazione dell'opera De revolutionibus orbium coelestium di Copernico ne segna, convenzionalmente, l'inizio. La teoria eliocentrica di Copernico aveva tolto la terra dal centro dell'universo, mostrando come una descrizione del moto dei pianeti fatta tenendo come riferimento centrale il sole fosse sostanzialmente più semplice, cioè senza ipotesi aggiuntive create ad hoc. Successivamente Keplero perfezionò la teoria, formulando le leggi che portano il suo nome, riguardanti il moto dei pianeti intorno al sole: il moto dei pianeti avviene su orbite ellittiche (e non necessariamente circolari), il segmento che congiunge il sole con un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, e infine il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita. Queste leggi, tradotte in termini più comprensibili, anche se meno rigorose, ci dicono che la velocità orbitale di un pianeta è maggiore quando il pianeta si trova vicino al sole, ed è minore quando il pianeta si trova più lontano.

Newton riuscì a dimostrare che le tre leggi di Keplero sono la conseguenza di un'unica legge che si applica a qualunque corpo dotato di massa, la famosa legge di gravitazione universale. Fu il primo ad affermare che la dipendenza della forza gravità dalla distanza tra i due corpi era legata da una proporzionalità quadratica inversa. E cioè, se indichiamo con m₁ e m₂ le masse di due corpi e con r la loro distanza, allora la forza di attrazione è direttamente proporzionale alle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Indicando con G la costante di proporzionalità, la legge è

F=Gm₁m₁/r².

Bisognerà aspettare Einstein per ottenere miglioramenti sostanziali a questa nuova concezione dell'universo, questa cosmologia.

Come faceva Newton a essere così avanti sui tempi? Capitano momenti, nella storia, in cui vengono fatti enormi passi avanti, e non è detto che essi siano il merito di un'unica mente geniale. Newton stesso ha affermato: non so come io appaia al mondo, ma per quel che mi riguarda mi sembra di essere stato solo come un fanciullo sulla spiaggia che si diverte nel trovare qua e là una pietra più liscia delle altre o una conchiglia più graziosa, mentre il grande oceano della verità giace del tutto inesplorato davanti a me. Del resto, bisogna avere una mente che si diverte a esplorare per poterli fare davvero, questi passi avanti.

Per esempio, come è nata l'idea del calcolo con le flussioni? Per capire come varia, istante per istante, una funzione, Newton ha pensato di spezzettarla in tante piccole parti, analizzarle singolarmente, per poi sommare tutti i risultati. Occorre avere una doppia idea: da un lato quella di lavorare con quantità evanescenti, infinitesime; dall'altro, quella di poter sommare infiniti termini. L'idea di somma infinita nacque in seguito agli studi sul teorema binomiale, una delle prime, e fondamentali, scoperte matematiche di Newton, già citata all'inizio di questo paragrafo.

Tutti gli studenti di scuola superiore, oggi, imparano la formula detta quadrato di binomio, che afferma che (a+b)² = a² + 2ab + b². Spesso si studia anche il cubo di binomio, che si traduce in questa formula: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + a³, e qualcuno vede anche una generalizzazione a tutte le potenze naturali, in cui i coefficienti vengono costruiti mediante il triangolo di Tartaglia.

Newton mostrò che la regola della potenza del binomio può essere generalizzata anche a potenze frazionarie, a patto che la somma risultante sia infinita. Espressa in termini moderni, la formula è la seguente:

(1+x)^a = 1 + ax + a(a−1)/2! x² + a(a−1)(a−2)/3! x³ + …

La formula non ha termine: la somma è infinita. Si tratta di una serie di potenze in cui il coefficiente generico di xⁿ si costruisce in questo modo:

a(a−1)(a−2)…(a−n+1)/n!.

Per esempio, se volessimo esprimere la funzione radice quadrata in questo modo, potremmo scrivere che

√(1+x) = (1+x)^1/2 = 1 + x/2 − x²/8 + x³/16 − 5x⁴/128 + 7x⁵/256 + …

Il poter lavorare con somme infinite, generalizzazione di regole note e consolidate come il quadrato di binomio, ha consentito poi a Newton di poter definire i metodi del calcolo differenziale. La matematica funziona così, un mattone alla volta. Si costruisce pian piano, appoggiandosi sulle basi poste da altri. Scriveva Newton, in una lettera a Robert Hooke, citando le parole attribuite a Bernardo di Chartres:

Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti.

Punti di vista, insomma.

Funzioni e equazioni

Questa settimana in edicola, allegato alla Gazzetta dello Sport e al Corriere della Sera, c'è questo volumetto:

Che parla di funzioni e equazioni, che sono un po' la stessa cosa e un po' no e magari si rischia di fare confusione, ma ai Veri Matematici piace vedere le cose da punti di vista diversi e quindi va bene così.

Io lo prenderei, tra l'altro la data ufficiale di uscita è il 29 febbraio, quando mai ricapita di comprare un libro proprio il 29 febbraio?

Inferno, canto XXIII

“L'osmio è un metallo scoperto da Smithson Tennant e William Hyde Wollaston, a Londra, nel 1803. Lo isolò insieme con l'iridio dal residuo ottenuto dallo scioglimento del platino nell'acqua regia”.

“Molto bene”.

“Peccato non fosse conosciuto ai tempi di Dante”.

“Ah, una vera mancanza”.

“Perché se Dante ne fosse stato a conoscenza, l'avrebbe sicuramente usato per la pena degli ipocriti, nella sesta bolgia”.

“E invece cos'ha usato?”.

Là giù trovammo una gente dipinta
che giva intorno assai con lenti passi,
piangendo e nel sembiante stanca e vinta.

Elli avean cappe con cappucci bassi
dinanzi a li occhi, fatte de la taglia
che in Clugnì per li monaci fassi.

Di fuor dorate son, sì ch’elli abbaglia;
ma dentro tutte piombo, e gravi tanto,
che Federigo le mettea di paglia.

“Piombo?”.

“Piombo. Sembrano monaci, camminano insieme, hanno delle cappe dorate, molto belle all'esterno, ma foderate di piombo e molto pesanti”.

“E Federigo chi è?”.

“Federico II di Svevia. Si narra che punisse i colpevoli di lesa maestà rivestendoli di una cappa di piombo e ponendoli poi in una caldaia sul fuoco, ma è quasi certamente propaganda nemica. Comunque, queste cappe di piombo sono pesantissime e i dannati se le devono portare sulle spalle per l'eternità”.

“Bene. E l'osmio cosa c'entra?”.

“L'osmio è un metallo ancora più denso del piombo, quindi un mantello di osmio sembrebbe più sottile ma avrebbe ugualmente lo stesso peso. O un mantello come quello portato dai dannati ma fatto di osmio sarebbe ancora più pesante. Insomma, sarebbe uno strumento di tortura ancora più efficace”.

“Santo cielo”.

“Dunque, cos'ha di speciale l'osmio? E, anche se in misura minore, il piombo? Perché pesano tanto?”.

“Boh, saranno atomi più pesanti, no?”.

“Sì, ma no. Cioè, se bastasse il peso atomico, allora basterebbe prendere l'ultimo elemento della tavola periodica, ma gli atomi si legano tra loro, e il problema è come lo fanno”.

“Uhm”.

“Gli atomi hanno un nucleo, nel quale si concentra quasi tutta la massa. Il rapporto tra massa dei protoni (o neutroni) e massa degli elettroni vale circa 1800”.

“Ok, e quindi ciò che conta è il nucleo”.

“Eh, ma quando leghi tanti atomi tra loro, per fare per esempio una bella giacca di piombo, conta anche la distanza tra i vari nuclei. Se i nuclei molto pesanti sono anche molto lontani tra loro, allora il materiale non è poi così tanto pesante. Uno scatolone pieno zeppo di chicchi di riso pesa di più dello stesso scatolone che contiene un solo mattone”.

“Va bene, ma la distanza tra i nuclei da cosa dipende? Intorno ai nuclei girano gli elettroni, come se fossero un mini sistema solare: c'entra questa cosa?”.

“C'entra, anche se non è vera”.

“Ma come?”.

“Il modello di atomo come mini sistema solare è superato, non funziona così”.

“Ah. Eppure mi sembrava che fosse così”.

“Quella è una prima, grossolana, approssimazione. In realtà gli elettroni non sono pianetini, c'è la faccenda della dualità onda-particella che complica un po' le cose. Gli elettroni si comportano a volte come particelle, e a volte come onde”.

“Questa cosa è incredibile, ma come si spiega?”.

“Cito Feynman: the behavior of things on a small scale is so fantastic, it's so wonderfully different, so marvelously different than anything that behaves on a large scale”.

“Ma non ha spiegato, ha solo detto che il comportamento delle cose microscopiche è molto diverso da quello delle cose macroscopiche”.

“Meravigliosamente diverso”.

“Vabbe', è un fisico…”.

“E poi aggiunge: you say electrons act like waves: no, they don't exactly”.

“Ma come? Non hai detto che a volte gli elettroni si comportano come onde?”.

“Ma io non sono Feynman”.

“Ah, bene”.

“E poi aggiunge: they act like particles: no, they don't exactly”.

“Eh, ma allora”.

“they act like a kind of a fog around the nucleus: no, they don't exactly”.

“Vabbe'. E allora come si fa a avere un'immagine vera di un atomo?”.

“Ha la risposta anche a questa domanda, senti qua: if you would like to get a clear, sharp picture of an atom, so that you can tell exactly how it's going to behave correctly and have a good image, in other words a really good image of reality…”.

“Eh, esatto, questo voglio sapere: si può avere una descrizione chiara di un atomo, in modo da capire come funziona? Cosa dice Feynman?”.

“I don't know how to do it”.

“Ma no!”.

“Già. E, nel caso qualcuno pensasse di non aver capito bene, aggiunge: I don't understand how it is, but we can write mathematical expressions and calculate what the thing is going to do, without actually being able to picture it”.

“Santo cielo. Dante avrebbe messo i fisici quantistici in una bolgia speciale tutta per loro, costretti a trasportare avanti e indietro dei pesantissimi libri di matematica”.

“Con le Malebranche che tirano loro dei dadi con delle fionde, fortissimo”.

“Dei dadi? Perché?”.

“Perché la matematica di cui parla Feynman ci fornisce solo la probabilità che un elettrone si trovi in una certa posizione, ma non ci dà nessuna certezza. Nonostante questo, la matematica è lo strumento che, incredibilmente, si presta benissimo a essere usato come linguaggio della fisica”.

“Incredibilmente?”.

“Sì, perché mai la fisica parla il linguaggio della matematica? Perché il mondo può essere descritto con equazioni? Perché la matematica è così efficace nel descrivere e anche nel predire?”.

“Predire?”.

“Eh, sì. A volte la struttura matematica di una teoria aiuta a predire altri fenomeni fisici, che poi vengono osservati sperimentalmente. Questa irragionevole efficacia della matematica è stata sottolineata dal fisico Eugene Wigner nel 1960 in un suo famoso articolo, che ha poi suscitato tante discussioni. C'è chi dice che questa efficacia sia un'illusione, perché l'uomo vede ciò che cerca, e chi invece dice che il mondo fisico è completamente matematico, e noi stiamo scoprendolo pian piano. E certamente non lo abbiamo ancora scoperto tutto, anche perché ci sono cose che scopriamo e non capiamo”.

“Come gli atomi”.

“Esatto. E per tornare alla domanda iniziale, cioè perché l'osmio è così denso?, premesso che non sappiamo spiegare benissimo quello che c'è sotto, possiamo però dare delle idee, delle intuizioni parziali, come la nuvoletta di elettroni intorno al nucleo. La descrizione migliore che abbiamo oggi dell'atomo è proprio quella della nube di elettroni, che non va però interpretata come un insieme di puntini che si muovo veloci, ma come una probabilità che hanno gli elettroni di trovarsi in un certo posto. Questi posti in cui si trovano gli elettroni vengono chiamati orbitali, con un nome che ricorda il modello a sistema solare, che però è sbagliato”.

“Ottimo”.

“E anche se noi non sappiamo esattamente dove sono gli elettroni, sappiamo che sono circa lì e che si muovono intorno al nucleo, e per rispettare le leggi matematiche che sono irragionevoli ma che funzionano benissimo sappiamo anche che se il nucleo è molto pesante essi devono muoversi molto velocemente. La legge matematica che descrive questo fenomeno contiene una costante famosa che ha un nome bellissimo, si chiama costante di struttura fine”.

“Uh, e che roba è?”.

“È una costante adimensionale, un numero che sta lì ma non si sa bene perché, come se fosse un artificio per fare funzionare una cosa che non abbiamo ancora ben compreso”.

“Ed è così?”.

“Cito nuovamente Feynman: It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it”.

“Perfetto”.

“Tornando ai nostri atomi, dunque, quello che succede è che gli elettroni interagiscono tra loro, non vogliono stare troppo vicini perché particelle con la stessa carica si respingono”.

“Ammesso che siano particelle”.

“Appunto. Quindi ci sono questi elettroni, che non sono in una posizione ben precisa, ma non vogliono stare troppo vicini e quindi forse una posizione ce l'hanno, e però noi possiamo conoscerla solo in termini di probabilità, e insomma questi elettroni si dispongono su orbitali che hanno varie forme, create dalle irragionevoli ma efficaci leggi matematiche. Ci sono dunque atomi con elettroni vicini al nucleo, e atomi con elettroni invece più lontani: dipende da come sono fatti gli orbitali. Ma la teoria della relatività…”.

“Un'altra roba misteriosa e irragionevole”.

“Esatto, ma che almeno non gioca a dadi, ci dice che quando un corpo si muove a velocità elevate, la sua massa aumenta”.

“Ah, ed ecco la densità dell'osmio?”.

“Esatto, ma non del tutto. È tutto un equilibrio tra elettroni la cui massa aumenta a causa della velocità (facendo aumentare la densità) e la cui nube elettronica aumenta di dimensione (facendo diminuire la densità). Insomma, contano sia la massa del nucleo sia la dimensione dell'atomo, e dunque gli atomi possono aggregarsi in materiali più o meno densi. L'osmio è un atomo pesante ma piccolino, e che quindi quando si aggrega con altri atomi a formare un reticolo cristallino metallico, crea un materiale molto denso. Il piombo, per esempio, è un atomo con un nucleo più pesante di quello dell'osmio, ma è più grande, cioè ha orbitali più grandi, e quindi quando vari atomi di piombo si mettono insieme creano un materiale un po' più leggero, perché tra i vari atomi c'è un po' più spazio (mi perdonino i fisici per tutte le imprecisioni)”.

“Anche se i dannati che indossano la tunica di piombo non sarebbero tanto d'accordo su questa leggerezza del piombo”.

“Eh, neanche un po'”.

“Ma almeno avrebbero una consolazione: i fisici quantistici sarebbero puniti con una pena più pesante della loro”.

“Poveretti”.