“Prima di provare a rispondere, ecco un riassunto di quanto abbiamo detto finora:”.
Se x è un numero irrazionale, esistono infinite frazioni del tipo m/n, ridotte ai minimi termini, che approssimano x con un errore minore di 1/(√(5)×n2), e la radice di 5 è la più grande costante utilizzabile in questo denominatore.
“Ok, mi ricordo, e ricordo anche che se si prova a aumentare la costante √(5) non è più vero che esistono infinite frazioni con quella proprietà”.
“Bene. Se proviamo ad aumentare ulteriormente l'esponente al denominatore, succede che il teorema non è più vero in generale. Cioè: non è vero che per qualsiasi numero algebrico esistono infinite frazioni del tipo m/n che approssimano quel numero con un errore minore di 1/n3. Questa è una proprietà dei numeri algebrici: se consideriamo i numeri trascendenti, non possiamo più affermarla. Esistono numeri trascendenti che la rispettano, e invece altri numeri trascendenti che possono essere approssimati con infinite frazioni con un errore minore di 1/n3, o anche 1/n4, 1/n1000, eccetera”.
“Addirittura”.
“Sì, esiste una categoria di numeri che possono essere approssimati con un errore minore di 1/nk, per qualunque k ti possa venire in mente”.
“Ah”.
“Ti faccio un esempio, ma prima dobbiamo ricordarci cosa sia il fattoriale”.
“Me lo ricordo, il fattoriale di un numero n è il prodotto di tutti i numeri da 1 fino a n”.
“Sì. Puoi scrivere i fattoriali dei primi numeri?”.
“Ah, certo, eccoli: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, …”.
“Ok, fermati pure. Allora, costruiamo un numero decimale in cui le cifre siano 0 oppure 1”.
“Bene, come decidiamo quando mettere 0 e quando mettere 1?”.
“Mettiamo quasi sempre 0, mettiamo 1 solo nelle posizioni 1, 2, 6, 24, eccetera”.
“Nelle posizioni identificate dai fattoriali?”.
“Esattamente. Le prime cifre del numero sono queste:”.
0.1100010000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010…
“Capito. Cos'ha di speciale questo numero?”.
“Questo può essere approssimato bene quanto vuoi con frazioni del tipo m/n in cui l'errore è minore di 1/n elevato a qualunque esponente ti possa venire in mente”.
“Oh, quindi è impossibile che sia algebrico, no?”.
“Proprio così, nessun numero algebrico gode di quella proprietà”.
“E come faccio a approssimarlo così bene?”.
“Te lo spiego con un esempio. Scegli un esponente a cui elevare 1/n, non troppo grande altrimenti dobbiamo scrivere un'infinità di zeri”.
“Facciamo 4, allora. Tanto il teorema che mi hai raccontato dice che non posso superare 2, no?”.
“Esatto. Ok, prendiamo 4 allora. Consideriamo quindi le cifre dopo la virgola del nostro numero fino alla quarta cifra 1. Insomma, prendiamo questo numero razionale:”.
0.110001000000000000000001
“Bene”.
“A che frazione è uguale?”.
“Allora, il quarto 1 si trova in posizione 4!, cioè 24, quindi dovrebbe essere questa frazione: 110001000000000000000001/104!”.
“Giusto. Facciamo così: indichiamo con L l'intero numero, e con A questa approssimazione”.
“Va bene”.
“Calcoliamo quindi L−A”.
“Ci sono un sacco di zeri, uhm. Abbiamo in pratica cancellato i primi quattro 1, tutto il resto è rimasto uguale”.
“Giusto. Ora ti scrivo una serie di stime per cercare di capire come sia fatto questa differenza L−A, tu seguimi, ok?”.
“Proviamo”.
“Prima di tutto, L−A è uguale a 1/105!+1/106!+1/107!+…”.
“Stai scrivendo tutti gli 1 che rimangono, insomma”.
“Esatto. Questo numero è certamente minore di 2/105!”.
“Uhm, d'accordo, hai sostituito la somma di tutte la frazioni da 1/106! in avanti con un altro termine 1/105!”.
“Sì. Ora, la frazione 2/105! è uguale a 2/105×4!”.
“Questo perché 5! è uguale a 5 moltiplicato 4!”.
“Certo. Possiamo anche scrivere che 2/105×4! è uguale a 2/10(4+1)×4!, cioè 2/[104×4!×104!]”.
“Mi pare che tu abbia usato una proprietà delle potenze”.
“Proprio così. Dato che 2/104! è certamente minore di 1, possiamo affermare che tutta la frazione è minore di 1/104×4!”.
“Sì, è chiaro”.
“Riassunto: L−A < 1/104×4!”.
“E quindi?”.
“Ricordi chi è A?”.
“L'approssimazione di L che stiamo studiando, cioè 110001000000000000000001/104!”.
“E ricordi quello che vogliamo fare?”.
“Vogliamo mostrare che possiamo approssimare L con frazioni del tipo m/n con un errore minore di 1/n elevato all'esponente che voglio”.
“E tu hai scelto 4 come esponente”.
“Giusto”.
“Ebbene, abbiamo appena trovato una frazione del tipo m/n, dove m = 110001000000000000000001 e n = 104! che approssima A con un errore minore di 1/104×4!, cioè 1/n4”.
“Ah!”.
“E hai visto che l'esponente 4 l'hai scelto tu, potevi scegliere un qualunque numero naturale”.
“Esatto”.
“E quindi hai in realtà infinite frazioni che approssimano L con un errore minore di 1/n4, o minore di 1/n5, eccetera”.
“Bene! E quindi L non è un numero algebrico, ecco fatto”.
“E così abbiamo fatto vedere che esiste almeno un numero trascendente. Bello, eh?”.
“Bello, sì. E anche per pi greco si può fare lo stesso ragionamento?”.
“Eh, magari”.
