“Oh, finalmente”.
“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.
“Ricordo”.
“Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.
“Ricordo anche questo”.
“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.
“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.
“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.
“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.
“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.
“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.
“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.
“E non moltiplichi u per y?”.
“Ancora no”.
“Ma così non ottieni la soluzione, però”.
“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.
“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.
“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.
“Viene moltiplicata pure lei per x”.
“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.
“Bene, ci sono”.
“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.
“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.
“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.
“Non riesco a vederlo…”.
“Ruota un po' la testa”.
“Ehm”.
“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.
“Il vettore v”.
“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.
“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.
“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.
“Uno è v, abbiamo detto”.
“Certo. E l'altro?”.
“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.
“Esatto, e quanto è lunga?”.
“Come faccio a saperlo?”.
“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.
“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.
“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.
“Perché?”.
“Beh, è il testo del sistema”.
“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.
“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.
“In questo caso la diagonale è (e,f)”.
“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.
“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.
“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.
“Certo, eccola:”.
“Ricava la x ed è fatta”.
“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.
“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.
“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.
“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.
“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.
“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.
“Naturalmente”.
“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.
“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.
