Auguri.
giovedì 22 novembre 2012
giovedì 8 novembre 2012
Cannoni che sparano alle mosche
Teorema: la radice cubica di 2 è irrazionale.
Dimostrazione: se la radice cubica di 2 fosse uguale alla frazione p/q, allora 2 sarebbe uguale a p3/q3, cioè p3 = q3+q3, ma questo contraddice l'ultimo teorema di Fermat.
La dimostrazione vale per tutti gli indici maggiori di 2. Purtroppo l'ultimo teorema di Fermat non è abbastanza potente da dimostrare che anche la radice quadrata di 2 è irrazionale.
Dicono gli esperti che, purtroppo, questa è una dimostrazione circolare. La verifica di quest'ultima affermazione è lasciata alla pazienza del lettore.
Teorema: 56 non è un cubo.
Dimostrazione: dato che 56 = 43-23, se fosse un cubo allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe falso.
Pare che questa dimostrazione sia stata data da uno studente del Benelux durante una gara di matematica, ma non ne abbiamo le prove.
Dimostrazione: se la radice cubica di 2 fosse uguale alla frazione p/q, allora 2 sarebbe uguale a p3/q3, cioè p3 = q3+q3, ma questo contraddice l'ultimo teorema di Fermat.
La dimostrazione vale per tutti gli indici maggiori di 2. Purtroppo l'ultimo teorema di Fermat non è abbastanza potente da dimostrare che anche la radice quadrata di 2 è irrazionale.
Dicono gli esperti che, purtroppo, questa è una dimostrazione circolare. La verifica di quest'ultima affermazione è lasciata alla pazienza del lettore.
Teorema: 56 non è un cubo.
Dimostrazione: dato che 56 = 43-23, se fosse un cubo allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe falso.
Pare che questa dimostrazione sia stata data da uno studente del Benelux durante una gara di matematica, ma non ne abbiamo le prove.
Come funziona il gps (in teoria)
«La teoria della relatività generale, addirittura?».
«Eh, sì. Partiamo dall'inizio: in orbita intorno alla terra ci sono tanti satelliti che, in sostanza, sono degli orologi molto precisi».
«Oltre a essere dei trasmettitori, immagino».
«Certo, ogni satellite trasmette a terra un codice che lo identifica, l'ora in cui il segnale è stato trasmesso, e le sue effemeridi».
«Effemeridi?».
«Sì, dice a tutti chi è e dove si trova in ogni istante: ciao, sono il satellite Marvin, se non mi colpisce un meteorite mi trovo su questa orbita con questi parametri, che noia».
«Ehm».
«Poi trasmette anche altre informazioni, perché il mondo non è perfetto, la ionosfera fa un po' quello che vuole… ma non complichiamo».
«Forse è meglio; allora, noi a terra col nostro ricevitore gps riceviamo tutte queste informazioni. Poi come facciamo a capire dove ci troviamo? Dobbiamo comunicare col satellite?».
«Impossibile, non abbiamo abbastanza potenza, e non abbiamo l'antenna giusta. Il nostro ricevitore deve cavarsela con quello che riceve».
«E come fa?».
«Prima di tutto, deve conoscere l'ora esatta».
«Vabbé, questo non è difficile».
«Poi ne parliamo, per adesso supponiamo che sia facile. Conoscendo l'ora esatta, il ricevitore può calcolare la distanza dal satellite: il segnale trasmesso viaggia alla velocità della luce, sappiamo quando è stato inviato, sappiamo che ore sono quando lo riceviamo, calcoliamo il tempo impiegato dal segnale per arrivare fino a noi, e da lì ricaviamo la distanza».
«Cosa ce ne facciamo della distanza dal satellite?».
«Ci permette di stabilire una cosa: la nostra posizione si trova sulla superficie di una sfera centrata sul satellite e di raggio uguale alla distanza appena calcolata».
«Una informazione un po' vaga, no?».
«Infatti. Prendiamo allora un secondo satellite, e rifacciamo i calcoli con i suoi dati».
«Otteniamo un'altra sfera?».
«Sì. La nostra posizione allora è in un qualche punto che appartiene sia alla prima che alla seconda sfera. Cioè?».
«Cioè su un qualche punto di una circonferenza! L'intersezione tra le due sfere è una circonferenza, vero?».
«Esatto».
«È ancora un po' vago, però. Ci serve un terzo satellite?».
«Proprio così: col terzo satellite otteniamo una terza sfera, e se la intersechiamo con la circonferenza che già abbiamo…».
«Otteniamo… due punti?».
«Già».
«Ma non va bene».
«Bé, uno dei due punti è quello giusto, e l'altro potrebbe trovarsi sotto terra, oppure in cielo, vai a sapere. Un'idea della nostra posizione dovremmo già averla».
«Non mi piace mica tanto questa imprecisione, però».
«Hai ragione, ma non è un problema, perché c'è un problema più grosso».
«Quale?».
«La precisione del nostro orologio. Per quanto la tecnologia di un aggeggino che costa alcune decine di euro sia avanzata, quanto deve essere preciso?».
«Boh?».
«Prova a calcolare quanto spazio percorre la luce in un microsecondo».
«300 mila chilometri al secondo, per un microsecondo, fa 300 metri… oh, non sono mica pochi».
«Soprattutto se devi capire se, alla rotonda, devi prendere la seconda o la terza uscita».
«Ma quindi i nostri ricevitori gps hanno degli orologi così precisi?».
«Assolutamente no: per questo ci serve il quarto satellite».
«E perché?».
«Perché il quarto satellite produrrà una nuova sfera, e intersecandola con i due punti dovremmo essere in grado di ricavare la nostra posizione, se gli orologi fossero sincronizzati. Dato che non lo sono, la quarta sfera non passerà per nessuno dei due punti».
«E quindi?».
«Quindi sarà il nostro ricevitore, dotato di orologio non in punto, che farà i conti necessari per fare sì che la quarta sfera passi per il punto giusto: dovrà cioè mettere in punto l'orologio, in modo che i conti tornino. Insomma, ci sono quattro incognite da trovare — le tre coordinate spaziali più il tempo — e quattro equazioni fornite dai quattro satelliti».
«Ah, bello».
«Ma tutto questo ancora non basta».
«E perché?».
«Perché c'è la teoria della relatività in ballo».
«Uh».
«I satelliti non sono fermi, ma si muovono. Secondo la teoria della relatività speciale, per un corpo in movimento si verifica il fenomeno della dilatazione dei tempi».
«Ma il corpo deve andare molto veloce, no? I satelliti hanno una velocità così alta?».
«L'hanno abbastanza alta per accumulare un ritardo di 7 microsecondi in un giorno. Robetta, se non fosse per il fatto che la luce ha questa brutta abitudine di andare molto veloce».
«Eh, 300 metri al microsecondo, dopo un giorno il navigatore chissà dove ci porta».
«E non è tutto».
«No? Cosa c'è ancora?».
«La relatività generale: lo spaziotempo nella zona in cui orbitano i satelliti è meno curvo rispetto a quello in cui si trova la superficie della terra; la relatività generale prevede dunque un anticipo degli orologi in orbita, rispetto a quelli che si trovano sulla terra».
«Quindi la relatività ristretta prevede un ritardo e quella generale un anticipo? Allora gli errori si correggono da soli, no?».
«Magari. L'anticipo è di 45 microsecondi, quindi di entità maggiore rispetto al ritardo. Sommando i due errori, abbiamo un anticipo di 38 microsecondi».
«Cominciano a diventare tanti, sono 11 chilometri e 400 metri in un giorno».
«Sono quasi 500 metri in un'ora, quasi 8 al minuto: se anche metti in punto molto precisamente il tuo orologio sulla terra, dopo qualche minuto sei già fuori strada. E quindi le correzioni relativistiche sono necessarie, altrimenti il gps non funzionerebbe».
«Pensa un po', io pensavo che fosse solo roba teorica, questa faccenda della teoria della relatività».
«E invece non è così. A dir la verità, il gps funzionerebbe ugualmente anche senza la comprensione della relatività: gli ingegneri sono abituati a lavorare con errori sistematici, a cercarli e a ridurli al minimo. Anzi, pare che sia successo proprio questo: inizialmente non era stata compresa a pieno la portata degli effetti relativistici, e gli errori furono corretti senza conoscerne la causa. Poi è arrivato qualche teorico che ha spiegato la natura degli errori».
«Bravi, questi ingegneri».
«Non esageriamo, eh?».
«Scusa».
«Eh, sì. Partiamo dall'inizio: in orbita intorno alla terra ci sono tanti satelliti che, in sostanza, sono degli orologi molto precisi».
«Oltre a essere dei trasmettitori, immagino».
«Certo, ogni satellite trasmette a terra un codice che lo identifica, l'ora in cui il segnale è stato trasmesso, e le sue effemeridi».
«Effemeridi?».
«Sì, dice a tutti chi è e dove si trova in ogni istante: ciao, sono il satellite Marvin, se non mi colpisce un meteorite mi trovo su questa orbita con questi parametri, che noia».
«Ehm».
«Poi trasmette anche altre informazioni, perché il mondo non è perfetto, la ionosfera fa un po' quello che vuole… ma non complichiamo».
«Forse è meglio; allora, noi a terra col nostro ricevitore gps riceviamo tutte queste informazioni. Poi come facciamo a capire dove ci troviamo? Dobbiamo comunicare col satellite?».
«Impossibile, non abbiamo abbastanza potenza, e non abbiamo l'antenna giusta. Il nostro ricevitore deve cavarsela con quello che riceve».
«E come fa?».
«Prima di tutto, deve conoscere l'ora esatta».
«Vabbé, questo non è difficile».
«Poi ne parliamo, per adesso supponiamo che sia facile. Conoscendo l'ora esatta, il ricevitore può calcolare la distanza dal satellite: il segnale trasmesso viaggia alla velocità della luce, sappiamo quando è stato inviato, sappiamo che ore sono quando lo riceviamo, calcoliamo il tempo impiegato dal segnale per arrivare fino a noi, e da lì ricaviamo la distanza».
«Cosa ce ne facciamo della distanza dal satellite?».
«Ci permette di stabilire una cosa: la nostra posizione si trova sulla superficie di una sfera centrata sul satellite e di raggio uguale alla distanza appena calcolata».
«Una informazione un po' vaga, no?».
«Infatti. Prendiamo allora un secondo satellite, e rifacciamo i calcoli con i suoi dati».
«Otteniamo un'altra sfera?».
«Sì. La nostra posizione allora è in un qualche punto che appartiene sia alla prima che alla seconda sfera. Cioè?».
«Cioè su un qualche punto di una circonferenza! L'intersezione tra le due sfere è una circonferenza, vero?».
«Esatto».
«È ancora un po' vago, però. Ci serve un terzo satellite?».
«Proprio così: col terzo satellite otteniamo una terza sfera, e se la intersechiamo con la circonferenza che già abbiamo…».
«Otteniamo… due punti?».
«Già».
«Ma non va bene».
«Bé, uno dei due punti è quello giusto, e l'altro potrebbe trovarsi sotto terra, oppure in cielo, vai a sapere. Un'idea della nostra posizione dovremmo già averla».
«Non mi piace mica tanto questa imprecisione, però».
«Hai ragione, ma non è un problema, perché c'è un problema più grosso».
«Quale?».
«La precisione del nostro orologio. Per quanto la tecnologia di un aggeggino che costa alcune decine di euro sia avanzata, quanto deve essere preciso?».
«Boh?».
«Prova a calcolare quanto spazio percorre la luce in un microsecondo».
«300 mila chilometri al secondo, per un microsecondo, fa 300 metri… oh, non sono mica pochi».
«Soprattutto se devi capire se, alla rotonda, devi prendere la seconda o la terza uscita».
«Ma quindi i nostri ricevitori gps hanno degli orologi così precisi?».
«Assolutamente no: per questo ci serve il quarto satellite».
«E perché?».
«Perché il quarto satellite produrrà una nuova sfera, e intersecandola con i due punti dovremmo essere in grado di ricavare la nostra posizione, se gli orologi fossero sincronizzati. Dato che non lo sono, la quarta sfera non passerà per nessuno dei due punti».
«E quindi?».
«Quindi sarà il nostro ricevitore, dotato di orologio non in punto, che farà i conti necessari per fare sì che la quarta sfera passi per il punto giusto: dovrà cioè mettere in punto l'orologio, in modo che i conti tornino. Insomma, ci sono quattro incognite da trovare — le tre coordinate spaziali più il tempo — e quattro equazioni fornite dai quattro satelliti».
«Ah, bello».
«Ma tutto questo ancora non basta».
«E perché?».
«Perché c'è la teoria della relatività in ballo».
«Uh».
«I satelliti non sono fermi, ma si muovono. Secondo la teoria della relatività speciale, per un corpo in movimento si verifica il fenomeno della dilatazione dei tempi».
«Ma il corpo deve andare molto veloce, no? I satelliti hanno una velocità così alta?».
«L'hanno abbastanza alta per accumulare un ritardo di 7 microsecondi in un giorno. Robetta, se non fosse per il fatto che la luce ha questa brutta abitudine di andare molto veloce».
«Eh, 300 metri al microsecondo, dopo un giorno il navigatore chissà dove ci porta».
«E non è tutto».
«No? Cosa c'è ancora?».
«La relatività generale: lo spaziotempo nella zona in cui orbitano i satelliti è meno curvo rispetto a quello in cui si trova la superficie della terra; la relatività generale prevede dunque un anticipo degli orologi in orbita, rispetto a quelli che si trovano sulla terra».
«Quindi la relatività ristretta prevede un ritardo e quella generale un anticipo? Allora gli errori si correggono da soli, no?».
«Magari. L'anticipo è di 45 microsecondi, quindi di entità maggiore rispetto al ritardo. Sommando i due errori, abbiamo un anticipo di 38 microsecondi».
«Cominciano a diventare tanti, sono 11 chilometri e 400 metri in un giorno».
«Sono quasi 500 metri in un'ora, quasi 8 al minuto: se anche metti in punto molto precisamente il tuo orologio sulla terra, dopo qualche minuto sei già fuori strada. E quindi le correzioni relativistiche sono necessarie, altrimenti il gps non funzionerebbe».
«Pensa un po', io pensavo che fosse solo roba teorica, questa faccenda della teoria della relatività».
«E invece non è così. A dir la verità, il gps funzionerebbe ugualmente anche senza la comprensione della relatività: gli ingegneri sono abituati a lavorare con errori sistematici, a cercarli e a ridurli al minimo. Anzi, pare che sia successo proprio questo: inizialmente non era stata compresa a pieno la portata degli effetti relativistici, e gli errori furono corretti senza conoscerne la causa. Poi è arrivato qualche teorico che ha spiegato la natura degli errori».
«Bravi, questi ingegneri».
«Non esageriamo, eh?».
«Scusa».
mercoledì 7 novembre 2012
Il problema del fabbricante di tachimetri
«Ma quindi, prof, il tachimetro di un'automobile calcola le derivate?».
«In un mondo ideale, sì: calcola lo spazio percorso in un tempo infinitesimo, fa il rapporto, ed ecco la velocità istantanea. Naturalmente nella realtà no: si basa sui giri che fanno le ruote, o magari sui sottomultipli di un giro, e calcola una velocità media. Comunque, è meglio il gps».
«Per calcolare le velocità?».
«Eh, sì, è più preciso».
«Ma dai, anche i tachimetri sono precisi, non è che siano così tanto scarsi».
«Eppure, basta tenere le gomme più o meno gonfie, oppure averle un po' troppo consumate, e si sbagliano anche loro».
«Massé».
«Proviamo a fare un calcolo».
«Capirai».
«Per calcolare la velocità, o anche lo spazio percorso, ci serve sapere la lunghezza della circonferenza della gomma».
«Uh?».
«Altrimenti come fai a calcolare quanta strada hai fatto, se non sai quanta strada percorri con un giro di ruote?».
«Anche questo è vero».
«Quindi, ci serve il raggio di una ruota. Facciamo circa trenta centimetri?».
«Più o meno, se non prendiamo un SUV».
«Lasciamo perdere i SUV: allora, la lunghezza di una circonferenza di raggio trenta centimetri è circa… 188.5 centimetri. Per fare 100 chilometri, quanti giri fa una ruota?».
«Aspetti che faccio la divisione: viene 53050 giri».
«Bene. Adesso facciamo consumare le gomme, diciamo che dopo molta strada abbiamo perso 5 millimetri di spessore».
«Così tanti?».
«Eh, succede. Poi magari abbiamo anche le gomme un po' sgonfie…».
«Mh, allora il raggio diventa 29.5 centimetri».
«E la circonferenza?».
«Diventa 185.4 centimetri».
«Bene, ora calcola quanta strada fai con 53050 giri di quella lunghezza».
«Mi risulta 98.3 chilometri, possibile?».
«Eh, sì, perdi un paio di chilometri ogni cento».
«E allora anche la velocità non è più quella?».
«Eh, no: se il tachimetro segna 100 km/h, in realtà stai facendo i 98.3».
«Potrei andare più forte!».
«Potresti cambiare le gomme, anche. Comunque, come dicevo, il gps funziona meglio, ed è una tecnologia meravigliosa».
«Perché?».
«Perché senza la teoria della relatività generale non funzionerebbe».
«In un mondo ideale, sì: calcola lo spazio percorso in un tempo infinitesimo, fa il rapporto, ed ecco la velocità istantanea. Naturalmente nella realtà no: si basa sui giri che fanno le ruote, o magari sui sottomultipli di un giro, e calcola una velocità media. Comunque, è meglio il gps».
«Per calcolare le velocità?».
«Eh, sì, è più preciso».
«Ma dai, anche i tachimetri sono precisi, non è che siano così tanto scarsi».
«Eppure, basta tenere le gomme più o meno gonfie, oppure averle un po' troppo consumate, e si sbagliano anche loro».
«Massé».
«Proviamo a fare un calcolo».
«Capirai».
«Per calcolare la velocità, o anche lo spazio percorso, ci serve sapere la lunghezza della circonferenza della gomma».
«Uh?».
«Altrimenti come fai a calcolare quanta strada hai fatto, se non sai quanta strada percorri con un giro di ruote?».
«Anche questo è vero».
«Quindi, ci serve il raggio di una ruota. Facciamo circa trenta centimetri?».
«Più o meno, se non prendiamo un SUV».
«Lasciamo perdere i SUV: allora, la lunghezza di una circonferenza di raggio trenta centimetri è circa… 188.5 centimetri. Per fare 100 chilometri, quanti giri fa una ruota?».
«Aspetti che faccio la divisione: viene 53050 giri».
«Bene. Adesso facciamo consumare le gomme, diciamo che dopo molta strada abbiamo perso 5 millimetri di spessore».
«Così tanti?».
«Eh, succede. Poi magari abbiamo anche le gomme un po' sgonfie…».
«Mh, allora il raggio diventa 29.5 centimetri».
«E la circonferenza?».
«Diventa 185.4 centimetri».
«Bene, ora calcola quanta strada fai con 53050 giri di quella lunghezza».
«Mi risulta 98.3 chilometri, possibile?».
«Eh, sì, perdi un paio di chilometri ogni cento».
«E allora anche la velocità non è più quella?».
«Eh, no: se il tachimetro segna 100 km/h, in realtà stai facendo i 98.3».
«Potrei andare più forte!».
«Potresti cambiare le gomme, anche. Comunque, come dicevo, il gps funziona meglio, ed è una tecnologia meravigliosa».
«Perché?».
«Perché senza la teoria della relatività generale non funzionerebbe».
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