«Che poi, non esistono soltanto gli ordinamenti totali, eh».
«Ma cosa dici?».
«La gente vuole mettere tutto in ordine e trovare per forza un primo, un secondo, e così via. Non è mica sempre possibile».
«Che cosa stai dicendo?».
«Cbi l'ha deciso che dieci medaglie d'argento valgono meno di una d'oro?».
«Ah, ricominciamo con quella faccenda delle olimpiadi? [
1,
2,
3]».
«Sì, questa mania di ordinare tutto… che criterio bisogna usare?».
«Si potrebbe dare un punteggio alle varie medaglie e poi sommare tutti i punti…».
«Ah, certo, ma che punteggio? Hai un'infinità di scelte».
«Eh, son problemi».
«Perché, vedi, immagina di avere una macchina con tre manopole».
«Ossignore».
«Ogni manopola regola il valore che decidiamo di attribuire a ogni tipo di medaglia: una manopola per le medaglie d'oro, una per quelle d'argento e la terza per quelle di bronzo».
«E noi, regolando le manopole, attribuiamo i valori?».
«Esatto, da 1 a infinito».
«Eh? In che senso?».
«Supponi di regolare tutte e tre le manopole a 1: questo significa che le medaglie hanno tutte lo stesso valore. In pratica stili una classifica basata solo sul numero di medaglie guadagnate».
«Eh, ma non va mica bene».
«Se non ti piace, decidi tu che valori utilizzare. Per esempio, sul sito ufficiale delle olimpiadi le squadre vengono ordinate in base al numero di medaglie d'oro, in caso di parità vengono considerate le medaglie d'argento, e in caso di ulteriore parità quelle di bronzo».
«Quindi non viene assegnato un valore numerico ad ogni medaglia, no?».
«Bé, non un numero reale, ma in realtà puoi pensarla in questo modo: alle medaglie di bronzo assegni valore 1, a quelle di argento un valore infinito…».
«Infinito?».
«Eh, sì, questo significa che una medaglia d'argento batte qualunque numero di medaglie di bronzo. Un Vero Matematico direbbe che in questo caso non vale più la
proprietà archimedea».
«Brr».
«E alle medaglie d'oro assegni un infinito di ordine superiore a quello assegnato alle medaglie d'argento».
«Eh?».
«Un infinito che rimane infinito anche se rapportato al valore delle medaglie d'argento. In questo modo una medaglia d'oro batte qualunque numero di medaglie d'argento (e quindi di bronzo)».
«Interessante, ma forse anche questo non è tanto giusto. Una squadra che ha vinto una sola medaglia d'oro è meglio di un'altra squadra che ha vinto dieci medaglie d'argento?».
«Eh, lo so, non si troverà mai una regolazione delle manopole soddisfacente».
«E allora come facciamo? Rinunciamo a fare classifiche?».
«Possiamo rinunciare a un ordinamento totale, ma esistono anche gli ordinamenti parziali, eh».
«Cioè?».
«Supponiamo di avere due squadre. Se la prima ha un numero di medaglie d'oro minore o uguale a quello della seconda, un numero di medaglie d'argento minore o uguale a quello della seconda, e anche un numero di medaglie di bronzo minore o uguale a quello della seconda, sei d'accordo sul fatto che essa debba trovarsi in una posizione più bassa in classifica rispetto alla seconda?».
«Sì, certo».
«A meno che, naturalmente, l'uguaglianza non valga in tutti e tre i casi».
«Giusto: in quel caso le due squadre hanno lo stesso numero di medaglie, dovrebbero trovarsi nella stessa posizione».
«Perfetto: questo criterio ci permette di stabilire un ordinamento, che però non è totale».
«Cosa significa?».
«Significa che valgono le proprietà a cui siamo abituati (per esempio, se una squadra
A si trova al di sotto di una squadra
B, e la squadra
B si trova al di sotto di
C, allora anche
A si trova al di sotto di
C), ma non tutte le squadre sono confrontabili tra loro».
«Vero, se una squadra ha una sola medaglia d'oro e una seconda squadra ha una sola medaglia di bronzo, non sapremmo come ordinarle. Anche se io direi che la prima squadra dovrebbe trovarsi al di sopra della seconda».
«Ma perché stai automaticamente assegnando un valore diverso ai due tipi di medaglie. Nella classifica basata soltanto sulla somma delle medaglie (quando cioè le tre manopole della macchina si trovano tutte sul numero 1), le due squadre sarebbero allo stesso posto».
«Ok, giusto».
«Quindi noi possiamo immaginare una struttura complicata che collega le varie squadre che hanno partecipato alle olimpiadi: una struttura che mostra un certo ordine, anche se non mette in fila una per una le varie squadre. Una struttura articolata, composta da diverse connessioni, che collassa in una struttura semplice e lineare ogni volta che tu regoli le manopole della macchinetta».
«Bello».
«Le varie strutture semplici e lineari che ottieni non sono sempre uguali. A seconda di come regoli le manopole, potrai avere classifiche diverse. La struttura che sta al di sotto, però, quella che regola tutto, e che è solo un ordinamento parziale, quella non varia».
«Mi piacerebbe vederla, questa struttura».
«Eccola qua:».
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